64? CEMENT 6 20 22 RUBRIEK REKENEN IN DE PRAKTIJK Dit is de 19e aflevering in de Cement-rubriek 'Rekenen in de praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Lonneke van Haalen (ABT), Matthijs de Hertog (Nobleo), Jorrit van Ingen (WSP), ir. Friso Janssen (Croes Bouwtechnisch Ingenieursbureau), Jacques Linssen (redactie Cement) en Bart Vosslamber (Heijmans). De artikelen in deze rubriek worden telkens opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervol- gens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenme- thode de visie van een aantal individuen. De berekening van de scheurwijdte in een betondoorsnede is voorgeschreven in artikel 7.3.4.van NEN-EN 1992-1-1. Deze berekening is gebaseerd op een aantal invoerparameters die betrekking hebben op de doorsnede en op de toegepaste materialen, een aantal vaste parameters en de spanning in het wapeningstaal onder de te toetsen belastingcombinatie. In dit artikel is beschreven hoe de optredende staalspanning kan worden berekend. BEREKENING STAALSPANNING WAPENING Case Deze case richt zich op het bepalen van (trek)spanning in de wapening bij een betondoorsnede. Deze spanning is nodig om de scheurwijdte te kunnen bepalen. CEMENT 6 2022 ?65 rekenen in de praktijk (19) Voor de berekening van de scheurwijdte is het nodig om de staalspanning in het wapeningsstaal te bepalen voor de te toetsen belastingcombinatie. Deze spanning volgt uit het krachtenevenwicht in de beschouwde doorsnede. Deze wordt door verschillende factoren bepaald. In dit artikel wordt ingegaan op twee variabe- len, namelijk de hoogte van de betondrukzone (x ) en de rek in de uiterste vezel van het beton (? c;top ) (fig. 2). Voor dit rekenvoorbeeld worden alle krachten op de door- snede uitgedrukt in deze twee parameters. Als deze twee parameters bekend zijn, kan de spanningsverde- ling in de doorsnede worden bepaald. ?????Om een stelsel vergelijkingen met twee variabelen op te lossen, zijn twee vergelijkingen nodig. Deze twee vergelijkingen volgen uit het krachtenevenwicht: de som van de horizontale belastingen op de doorsnede moet gelijk moet zijn aan nul (? hor = 0) en de som van de momenten moet gelijk zijn aan nul (? mom = 0). Op basis van figuur 2 wordt in dit artikel een reken- voorbeeld uitgewerkt om de spanning in het wape- UITGANGS- PUNTEN hoogte doorsnede 700 mm breedte doorsnede 400 mm betonsterkteklasse C20/25 E-modulus beton E cm = 30.000 N/mm 2 E-modulus wapeningstaal E s = 200.000 N/mm 2 betondekking c = 40 mm beugelwapening Ø bgls = 12 mm drukwapening 4Ø12 / A s,1 = 452 mm 2 trekwapening 4Ø16 A s,2 = 804 mm 2 normaaltrekkracht N E;fr = 80 kN moment M E;fr = 100 kNm INVLOEDSFACTOREN SCHEURWIJDTE In het artikel 'Invloed parameters op scheurvorming', elders in dit nummer, zijn een aantal scheur- wijdteberekeningen gemaakt, waarbij verschillende inputpara- meters worden aangepast om de invloed daarvan op de scheur- wijdte te beschouwen. foto 1 Wapeningsstaal balk 66? CEMENT 6 20 22 ?hor= 0???6,00 · 10 6 ?c;top x2 + 2,51 · 10 8 ?c;top x - 1,08 · 10 11 ?c;top + 80.000x = 0 [1] De tw eede vergelijking volgt uit het momenteneven- wicht in de doorsnede. Deze wordt bepaald door van alle krachttermen de bijdrage aan het buigend moment te berekenen ten opzichte van het midden van de doorsnede. Hieruit volgen onderstaande waarden: Hieruit volgt de tweede vergelijking voor het bepalen van ?' c en x: ? mom =?0???-2,00 · 10 6 ?c;top x3 + 2,10 · 10 9 ?c;top x2 - 2,02 · 10 10 ?c;top x + 2,83 · 10 13 ?c;top - 100.000.000x = 0 ?????? [ 2] Door nu formule [1] te vermenigvuldigen met een factor -100.000.000/80.000 = -1.250 ontstaan twee formules met dezelfde x-term: ? hor =?0?? -7,50 · 10 9 ?c;top x2 - 3,14 · 10 11 ?c;top x + 1,35 · 10 14 ?c;top - 100.000.000x = 0 Door deze twee formules van elkaar af te trekken blijft één formule over met twee onbekenden: Formules Rekenen in de praktijk 19 [eerste rij formules] = = 62 c c;top cm c;top 1 ' 6, 00 10 2 N bx E x ? ? = = ?? ?? ?? 7 9 s,1 ,1 s,1 c;top c;topc;top'9, 05 10 5, 25 10s s xd N A E x x ? ? = = ?? ?? ?? 8 11 s,2 ,2 s,2 c;top c;topc;top 1, 61 10 1, 03 10 s s xd N A E x x =E;\fr 80.000 Nx [tweede rij formules] ?? = = + ?? ?? 63 92 N'c c c;topc;top 11 ' 2, 00 10 2, 10 10 23 M N hx x x ?? = = ?? ?? 10 12 Ns,1 ,1 s,1c;top c;top 1 ' 2, 6\b 10 1, 53 10 2 s M N hd x ?? = = + ?? ?? 10 13 Ns,2 ,2 s,2 c;topc;top 1 \b, 66 10 2, 99 10 2 s MN hd x = NE;\fr E;\fr 0 mm = 0 MN x = E;\fr 100.0000.000 M x [derde rij formules] ?? = = ?? ?? N'c c 11 ' 119, 1 kN 0, 319 m = 38,0 kNm 23 M N hx ?? = = ?? ?? Ns,1 ,1 s,1 1 '7,2 kN 0,292 m = 2,1kNm 2 s M N hd ?? = = ?? ?? Ns,2 ,2 s,2 1 206, \b kN 0, 290 m = 59, 8 kNm 2 s MN hd = NE;\fr E;\fr 0mm=80kN 0,000m=0,0kNm MN = E;\fr 100 kNm M ningsstaal te bepalen. Als uitgangspunt hierbij wordt aangehouden dat alle belastingen die naar rechts werken als positief worden aangehouden. Voor de E-modulus wordt de waarde van E cm volgens NEN-EN 1992-1-1, tabel 3.1 aangehouden. Voor het rekenvoorbeeld wordt een doorsnede beschouwd van 700 x 400 mm 2 met een drukwapening van 4Ø12, een trekwapening van 4Ø16 en beugelwa- pening Ø12. Op de doorsnede wordt een normaaltrek- kracht uitgeoefend van 80 kN en een buigend moment van 100 kNm. Voor de overige uitgangspunten zie het kader 'Uitgangspunten'. Voor de positie van de wapening geldt: d s,1 = 40 mm + 12 mm + ½ · 12 mm ? 58 mm d s,2 = 700 mm ? 40 mm ? 12 mm ? ½ · 16 mm 640 mm Met de ze waarden worden de belastingen op de door- snede bepaald, uitgedrukt in ? c;top en x. Om op hanteer- bare formules uit te komen worden alle termen met x vermenigvuldigd. Hierdoor verdwijnen de breuken uit de vergelijking. Sommatie van bovenstaande termen geeft de eerste vergelijking voor het bepalen van ? c;top en x: Formules Rekenen in de praktijk 19 [eerste rij formules] = = 62 c c;top cm c;top 1 ' 6, 00 10 2 N bx E x ? ? = = ?? ?? ?? 7 9 s,1 ,1 s,1 c;top c;topc;top '9, 05 10 5, 25 10s s xd N A E x x ? ? = = ?? ?? ?? 8 11 s,2 ,2 s,2 c;top c;topc;top 1, 61 10 1, 03 10 s s xd N A E x x =E;\fr 80.000 N x [tweede rij formules] ?? = = + ?? ?? 63 92 N'c c c;topc;top 11 ' 2, 00 10 2, 10 10 23 M N hx x x ?? = = ?? ?? 10 12 Ns,1 ,1 s,1c;top c;top 1 ' 2, 6\b 10 1, 53 10 2 s M N hd x ?? = = + ?? ?? 10 13 Ns,2 ,2 s,2 c;topc;top 1 \b, 66 10 2, 99 10 2 s MN hd x = NE;\fr E;\fr 0 mm = 0 MN x =E;\fr 100.0000.000 M x [derde rij formules] ?? = = ?? ?? N'c c 11 ' 119, 1 kN 0, 319 m = 38,0 kNm 23 M N hx ?? = = ?? ?? Ns,1 ,1 s,1 1 '7,2 kN 0,292 m = 2,1kNm 2 s M N hd ?? = = ?? ?? Ns,2 ,2 s,2 1 206, \b kN 0, 290 m = 59, 8 kNm 2 s MN hd = NE;\fr E;\fr 0mm=80kN 0,000m=0,0kNm MN = E;\fr 100 kNm M fig. 2  Spanningsfiguren doorsnede CEMENT 6 2022 ?67 rekenen in de praktijk (19) -2,00 · 10 6 ?c;top x3 + 9,60 · 10 9 ?c;top x2 + 2,94 · 10 11 ?c;top x - 1,07 · 10 14 ?c;top = 0 In elk e term van de formule staat de onbekende para- meter ? c;tp. Door nu de formule door ? c;top te delen blijft één derdegraads formule met één onbekende para- meter x over. x 3 ? 4,80 · 10 3 x2 ? 1,47 · 10 5 x + 5,35 · 10 7 = 0 De ze formule kan worden opgelost en hieruit volgt de hoogte van de betondrukzone. Uit deze berekening wordt voor x een waarde gevonden van 92,1 mm. Deze waarde kan vervolgens in één van de twee formules ([1] of [2]) ingevuld worden om de bijbehorende rek in de uiterste betonvezel (? c;top ) te bepalen. Hieruit volgt: ? c;top = 0,216? (2,16 · 10 -4) De formules om de individuele krachtcomponenten te bepalen zijn al eerder bepaald en kunnen worden ingevuld nu de hoogte van de drukzone en de rek in het beton bekend zijn. Denk eraan dat alle compo- nenten met x vermenigvuldigd zijn om de breuken uit de formules weg te werken en dus ook weer door x gedeeld moeten worden om de krachten te bepalen. N' c= 6,00 · 10 6?c;top x2/x = 119,1 kN (druk) N' s,1 = 9,05 · 10 7?c;top x/x - 5,25 · 10 9 ?c;top /x = 7,2 kN (druk) N s,2 = 1,61 · 10 8 ?c;top x /x - 1,03 · 10 11 ?c;top /x = -206,4 kN (trek) N E;fr= 80.000x/x = 80 ,0 kN (trek) Positieve krachten werken hierbij volgens figuur 2 naar rechts, negatieve krachten werken naar links. Uit de sommatie van de gevonden krachten volgt dat er inderdaad evenwicht heerst in de doorsnede (fig. 3). Nu de krachten bekend zijn, kan ook het momenteneven- wicht in de doorsnede worden gecontroleerd. Hieruit volgt: Formules Rekenen in de praktijk 19 [eerste rij formules] = = 62 c c;top cm c;top 1 ' 6, 00 10 2 N bx E x ? ? = = ?? ?? ?? 7 9 s,1 ,1 s,1 c;top c;topc;top'9, 05 10 5, 25 10s s xd N A E x x ? ? = = ?? ?? ?? 8 11 s,2 ,2 s,2 c;top c;topc;top 1, 61 10 1, 03 10 s s xd N A E x x =E;\fr 80.000 Nx [tweede rij formules] ?? = = + ?? ?? 63 92 N'c c c;topc;top 11 ' 2, 00 10 2, 10 10 23 M N hx x x ?? = = ?? ?? 10 12 Ns,1 ,1 s,1c;top c;top 1 ' 2, 6\b 10 1, 53 10 2 s M N hd x ?? = = + ?? ?? 10 13 Ns,2 ,2 s,2 c;topc;top 1 \b, 66 10 2, 99 10 2 s MN hd x = NE;\fr E;\fr 0 mm = 0 MN x =E;\fr 100.0000.000 M x [derde rij formules] ?? = = ?? ?? N'c c 11 ' 119, 1 kN 0, 319 m = 38,0 kNm 23 M N hx ?? = = ?? ?? Ns,1 ,1 s,1 1 '7,2 kN 0,292 m = 2,1kNm 2 s M N hd ?? = = ?? ?? Ns,2 ,2 s,2 1 206, \b kN 0, 290 m = 59, 8 kNm 2 s MN hd = NE;\fr E;\fr 0mm=80kN 0,000m=0,0kNm MN = E;\fr 100 kNm M Ook hier volgt uit de sommatie van de buigende momenten dat er evenwicht heerst in de doorsnede. De (trek)spanning in de wapening, die nodig is om de scheurwijdte te berekenen, kan nu berekend worden uit de optredende trekkracht in de wapening. Hieruit volgt: 206,4 · 103 N / 804 mm 2 = 256,6 N/mm 2 Voor de drukspanning in het beton in de uiterste vezel wordt een waarde gevonden van: 2,16? · 30.000 N/mm 2 = 6,5 N/mm 2 Bovenstaande formules zijn goed te programmeren in een rekensheet om daarmee de representatieve staalspanning voor het berekenen van de scheurwijdte te bepalen. De formules kunnen relatief eenvoudig worden uitgebreid met extra lagen wapeningstaal of bijvoorbeeld aangepaste materiaaleigenschappen voor andere beton- en staalkwa- liteiten. Zie daarvoor ook het artikel 'Invloedsfactoren scheurvorming' elders in dit nummer. fig. 3  Krachtsverdeling in de doorsnede