Nieuwe Eurocode voor windbelastingen (2) Trillingen dwars op de wind en torsietrillingen 1 Blik op hoge gebouwen in het Scheepvaartkwartier in Rotterdam, waaronder de Zamlhaventoren, foto: 365 Focus Photography 1 Eurocode2 18? CEMENT 8 20 23 Sinds 2012 worden constructies in Nederland ontworpen en ge- controleerd aan de hand van de Eurocodes. Op Europees niveau wordt momenteel gewerkt aan de tweede generatie Eurocodes. Alle delen van de Eurocodereeks worden herzien, zowel de materiaalgebon - den normbladen als de normbladen waarin de belasting en zijn gespecificeerd. Het is de bedoeling dat in 2028 de huidige Eurocode - reeks in zijn geheel wordt ingetrokken. Vóór dit moment worden alle Eurocodedelen aan - gepast, moeten deze door de formele stem- ming in Europa en worden de vertalingen en de nationale bijlag en gemaakt. Inmiddels zijn de werkzaamheden voor veel van de normbladen inhoudelijk zover dat duidelijk is hoe de rekenregels eruit gaan zien. In dit artikel wordt ingegaan op de be- rekening van de effecten van windtrillingen op (hoge) gebouwen in de Eurocode windbe- lastingen, EN 1991-1-4. Dit artikel is een ver- volg op een eerder artikel waarin de nieuwe regels voor trillingen in de windrichting zijn behandeld [1]. Windtrillingen in dwars- en torsierichting Windtrillingen worden bepaald door het fluctuerende deel van de windbelasting. Deze trillingen kunnen optreden in langs-, dwars- en torsierichting, en worden veroor- zaakt door verschillende aerodynamische verschijnselen, weergegeven in figuur 2. De langstrillingen beschreven in het vorige Cement-artikel [1] worden voorname- lijk veroorzaakt door snelheidsfluctuaties in de richting van de wind (langsturbulentie). Bij slanke hoge constructies kunnen ook trillingen in dwars- en torsierichting optre- den. Als het effect van deze trillingen minder is dan die van langstrillingen, dan is het geen probleem om de bepaling van dwars- en torsietrillingen achterwege te laten. Dit is echter niet altijd het geval. Met name bij de toetsing op de voelbare trillingsniveaus (voor een toets op bruikbaarheid) kunnen dwars- wind- en torsietrillingen een relevante rol spelen. Bij gebouwen met rechthoekige doorsnedes zijn de drukcoëfficiënten aan de zijden van het gebouw gelijk en leveren een tegengestel - de belasting op deze zijden. Dit levert gemid- deld geen netto windbelasting dwars op de wind op. De drukverdelingen op de zijden van een gebouw worden bepaald door het loslaten van de wind bij omstroming van de gebouwhoeken. Door deze loslating worden wervels opgewekt. Deze wervels laten aan weerszijden niet gelijktijdig los. Daardoor is op een willekeurig moment de druk aan weerszijden niet gelijk aan elkaar, en ont- staat een afwisselende belasting dwars op de windrichting. Bij slanke gebouwen kan deze wisse- lende belasting haaks op de wind relatief groot zijn, in dezelfde orde of zelfs meer dan de wisselende belasting in de windrichting. Als de frequentie van de drukwisselingen aan de zijden overeenkomt met de eigenfre- quentie van het gebouw dwars op de wind, kan daarbij ook sprake zijn van opslingering (resonantie). DR.IR. CHRIS GEURTS Principal Consultant TNO IR. OKKE BRONKHORST ScientistTNO auteurs In de huidige Eurocode 1 voor windbelastingen, EN 1991-1-4, zijn geen rekenregels opgenomen voor het trillen van gebouwen dwars op de wind, of voor torsietrillingen. In de nieuwe Eurocode is dat wel het geval. Deze rekenregels worden in dit artikel besproken. Om zelf ervaring op te doen met deze nieuwe regels, worden lezers uitgenodigd drie cases door te rekenen en de resultaten te delen. CEMENT 8 2023 ?19 Naast opslingering in dwarsrichting kunnen asymmetrische drukwisselingen op de ge- bouwzijden ook leiden tot opslingering in de torsiefrequentie van een gebouw. Gebouwen met een grote lengte of breedte, of met een asymmetrische positionering van de kern zijn vooral gevoelig hiervoor. Rekenregels van prEN 1991-1-4 In de nieuwe Eurocode prEN 1991-1-4 [3] worden rekenregels gegeven voor dwars- windtrillingen en torsietrillingen. In hoofd- stuk 9 staan de normatieve regels, waarin wordt verwezen naar de informatieve Annex G en H. In de nationale bijlagen kunnen deze informatieve Annexen aangewezen worden, waarmee ze normatief worden. De regels in Annex G zijn overgenomen uit de rekenregels die sinds 1993 in Japan van kracht zijn [4]. Deze rekenregels zijn afgeleid uit windtunnelonderzoek aan een set gebouw- vormen. De eerste stap in deze berekeningen is het bepalen van de slankheid h/?(b d) uit de hoogte h, de breedte b en diepte d van het gebouw. Als deze slankheid kleiner is dan 3, dan hoeven de dwarswind- en torsietrillin- gen niet te worden berekend. De windtunnelresultaten zijn afgeleid voor modellen met een slankheid van maxi- maal 8. In de Japanse norm [5] is de keuze gemaakt om de rekenregels tot een slankheid van 6 van toepassing te verklaren. Daarnaast is de vorm van de plattegrond gelimiteerd en is ook de toepassing begrenst als het gaat om de eigenfrequenties. Deze voorwaarden zijn in de nieuwe Eurocode overgenomen. Ze zijn in Annex G als volgt geformuleerd: 36 h bd < 0, 2 5 d b () m LM 10 vh n bd () 2 L m Lj Lj Lj sj L 2 22 j1 2 LL Lj sj sj 4 1 0, 6 14 n k \f\f n S nn\f nn = ?? ?? ?? + ?? = ?? ?? ?? ??+ ?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ? 42 L1 4 32 2, 3 0, 12 2, 4 9, 2 1\b 9, 5 0, 15 dd bb \f d d dd d b b bb b ?? ?? + ?? ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ++ ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 0 ,34 L2 0, 2\b d \f b ?? = ?? ?? () () mm s1 s2 0 ,\b9 0 ,\b5 2 0,12 0, 56 ; 1 0, 3\b vh vh nn bb d d b b == ? ? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 2L L L2 S R = () () LL L 0, 577 2 ln 22, \b 2 ln 2 k nT nT=+ 2 dL L L 1 ck R =+ () ( )L m L dL 3 z f z q h cb c h ?? = ???? 36 h bd < 0, 2 5 d b () m LM 10 vh n bd () 2 L m Lj Lj Lj sj L 2 22 j1 2 LL Lj sj sj 4 1 0, 6 14 n k \f\f n S nn\f nn = ?? ?? ?? + ?? = ?? ?? ?? ??+ ?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ? 42 L1 4 32 2, 3 0, 12 2, 4 9, 2 1\b 9, 5 0, 15 dd bb \f d d dd d b b bb b ?? ?? + ?? ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ++ ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 0 ,34 L2 0, 2\b d \f b ?? = ?? ?? () () mm s1 s2 0 ,\b9 0 ,\b5 2 0,12 0, 56 ; 1 0, 3\b vh vh nn bb d d b b == ? ? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 2L L L2 S R = () () LL L 0, 577 2 ln 22, \b 2 ln 2 k nT nT=+ 2 dL L L 1 ck R =+ () ( )L m L dL 3 z f z q h cb c h ?? = ???? 36 h bd < 0, 2 5 d b () m LM 10 vh n bd () 2 L m Lj Lj Lj sj L 2 22 j1 2 LL Lj sj sj 4 1 0, 6 14 n k \f\f n S nn\f nn = ?? ?? ?? + ?? = ?? ?? ?? ??+ ?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ? 42 L1 4 32 2, 3 0, 12 2, 4 9, 2 1\b 9, 5 0, 15 dd bb \f d d dd d b b bb b ?? ?? + ?? ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ++ ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 0 ,34 L2 0, 2\b d \f b ?? = ?? ?? () () mm s1 s2 0 ,\b9 0 ,\b5 2 0,12 0, 56 ; 1 0, 3\b vh vh nn bb d d b b == ? ? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 2L L L2 S R = () () LL L 0, 577 2 ln 22, \b 2 ln 2 k nT nT=+ 2 dL L L 1 ck R =+ () ( )L m L dL 3 z f z q h cb c h ?? = ???? Hierin is: v m(h) de g emiddelde windsnelheid op gebouwhoogte h n LM de eer ste eigenfrequentie in dwars- of torsierichting Voor dwarswindtrillingen wordt n L gebruikt (de eerste eigenfrequentie in dwarsrichting) en voor torsietrillingen n M (de eerste eigenfre- quentie in torsierichting). De laatste voorwaar- de moet dus per trilvorm getoetst worden. Als de slankheid groter is dan 6, dan wordt in de Eurocode een andere methode gegeven voor de berekening van de dwars- windtrillingen in Annex H. Deze methode is oorspronkelijk afgeleid voor slanke, gestroom - lijnde brugdekken [6] en de toepassing ervan voor gebouwen staat nog ter discussie. Het is nog maar de vraag of deze methode in de uiteindelijke versie van de Eurocode van toepassing wordt verklaard voor gebouwen. In dit artikel wordt Annex H niet behandeld. Voor torsietrillingen wordt voor grotere slankheden geen aanvullend rekenmodel gegeven. In veel gevallen zal dat hoge gebou- wen met een (nagenoeg) vierkante platte- grond betreffen, die minder torsiegevoelig zijn. De volgende paragraaf beschrijft eerst de richtlijnen in de nieuwe Eurocode voor be- paling van de dynamische eigenschappen van het gebouw. Vervolgens worden de re- kenmodellen voor dwars- en torsietrillingen uit Annex G (voor een slankheid tussen 3 en 6) toegelicht, waarna het voorbeeld dat in het vorige artikel is gebruikt voor langstril- lingen, is uitgewerkt voor dwars- en torsie- trillingen. 2 Schematische weergave van windbelasting op hoogbouw en resulterende trillingen met van links naar rechts: (1) zijaanzicht met wind van links, (2) bovenaanzicht van windtrillingen in de windrichting door langsturbulentie, (3) bovenaanzicht van windtrillingen dwars op de wind door wervelafscheiding en (4) bovenaanzicht van torsietrillingen door fluctuerende asymmetrische windbelasting over het gebouwoppervlak SERIE OVER NIEUWE EUROCODE WINDBELASTINGEN Dit artikel is het tweede in een serie over de nieuwe Eurocode over windbelastin- gen, prEN 1991-1-4. In het eerste artikel is ingegaan op de berekening van de trillingen in de windrichting. In dit tweede artikel worden de modellen voor dwars- en torsietrillingen beschreven. In een derde artikel worden verschillende cases behandeld. 2 Eurocode2 20? CEMENT 8 20 23 Dynamische eigenschappen gebouw De berekening van de trillingen in dwars- en torsierichting, zoals die in Annex G van prEN 1991-1-4 is gegeven, doorloopt een aan- tal stappen. Allereerst moet op basis van de genoemde criteria worden bepaald of deze berekening moet worden uitgevoerd. De hoogte, breedte en diepte van het gebouw volgen direct uit het gebouwontwerp. De ge- middelde windsnelheid op hoogte h wordt gevonden via de rekenregels die overeenko- men met die in de huidige Eurocode. Voor de bepaling van de eigenfrequen- tie n L en n M geeft de Eurocode vuistregels. Hier wordt overigens opgemerkt dat deze eigenschappen ook uit een FEM-model kun- nen worden afgeleid. Voor de eigenfrequentie in dwarsrich- ting geldt dat deze volgens de Eurocode kan worden afgeschat met n 1 = 46/h. Deze vuist- regel is ook voor de eigenfrequentie in langs- richting van toepassing. De vuistregel is afgeleid uit metingen aan de eerste eigenfre- quentie van een groot aantal gebouwen, en daarmee voor de minst stijve richting van een gebouw. De richting loodrecht erop zal doorgaans stijver zijn, wat een hogere eigen- frequentie levert. De Eurocode geeft hier- voor geen aanvullende vuistregels. Voor torsie geeft de Eurocode aan dat n M = 1,3n 1 als een schatting kan worden ge- bruikt, ofwel 60/h. In het geval van de demping geeft de Eurocode geen specifieke regels voor dwars- wind- of torsietrillingen. De aerodynami- sche demping zit impliciet verwerkt in de empirische formules van Annex G voor dwars- en torsietrillingen. Er is weinig lite- ratuur met vuistregels over de constructieve demping van hoogbouw in hogere eigenfre- quenties. Tamura et al. [7] geven op basis van een Japanse database van demping- waarden voor hoge gebouwen aan dat de demping bij de tweede eigenfrequentie (voor hoogbouw meestal in dwarsrichting) gemid- deld genomen 30 á 40% hoger is dan de demping bij de eerste eigenfrequentie. Een- zelfde toename wordt genoemd voor de demping in de derde eigenfrequentie (voor hoogbouw meestal in torsierichting) ten opzichte van de tweede eigenfrequentie. Rekenmodel voor dwarstrillingen Het rekenmodel voor dwarstrillingen in Annex G van de nieuwe Eurocode beschrijft een aantal stappen. De eerste stap is de bepaling van de dimensieloze spectrale dichtheid S L. Hier- voor wordt de volgende formule gegeven: 36 h bd < 0, 2 5 d b () m LM 10 vh n bd () 2 L m Lj Lj Lj sj L 2 22 j1 2 LL Lj sj sj 4 1 0, 6 14 n k \f\f n S nn \f nn = ?? ?? ?? + ?? = ?? ?? ?? ??+ ?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ? 42 L1 4 32 2, 3 0, 12 2, 4 9, 2 1\b 9, 5 0, 15 dd bb \f d d dd d b b bb b ?? ?? + ?? ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ++ ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 0 ,34 L2 0, 2\b d \f b ?? = ?? ?? () () mm s1 s2 0 ,\b9 0 ,\b5 2 0,12 0, 56 ; 1 0, 3\b vh vh nn bb d d b b == ? ? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 2L L L2 S R = () () LL L 0, 577 2 ln 22, \b 2 ln 2 k nT nT=+ 2 dL L L 1 ck R =+ () ( )L m L dL 3 z f z q h cb c h ?? = ???? Deze formule is afgeleid uit Japanse wind- tunnelmetingen [8]. Voor de parameter m geldt dat m = 1 als d/b < 3, en m = 2 voor d/b ? 3. De coëfficiënten n sj en ? Lj zijn afhan- kelijk van de gebouwafmetingen en van de gemiddelde windsnelheid. De bijbehorende formules zijn gegeven in kader 'Factoren voor de berekening van dwarstrillingen'. Nadat S L is uitgerekend, wordt de resonan- tierespons factor R L berekend met: 36 h bd < 0, 2 5 d b () m LM 10 vh n bd () 2 L m Lj Lj Lj sj L 2 22 j1 2 LL Lj sj sj 4 1 0, 6 14 n k \f\f n S nn\f nn = ?? ?? ?? + ?? = ?? ?? ?? ??+ ?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ? 42 L1 4 32 2, 3 0, 12 2, 4 9, 2 1\b 9, 5 0, 15 dd bb \f d d dd d b b bb b ?? ?? + ?? ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ++ ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 0 ,34 L2 0, 2\b d \f b ?? = ?? ?? () () mm s1 s2 0 ,\b9 0 ,\b5 2 0,12 0, 56 ; 1 0, 3\b vh vh nn bb d d b b == ? ? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 2L L L2 S R = () () LL L 0, 577 2 ln 22, \b 2 ln 2 k nT nT=+ 2 dL L L 1 ck R =+ () ( )L m L dL 3 z f z q h cb c h ?? = ???? Vervolgens wordt de piekfactor k L bepaald (met een minimum waarde van 2,8), deze wordt afgeleid uit de verdeling van de optre- dende pieken in de belasting tijdens de mid- delingstijd T (met T = 10 minuten, of 600 s). 36 h bd < 0, 2 5 d b () m LM 10 vh n bd () 2 L m Lj Lj Lj sj L 2 22 j1 2 LL Lj sj sj 4 1 0, 6 14 n k \f\f n S nn\f nn = ?? ?? ?? + ?? = ?? ?? ?? ??+ ?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ? 42 L1 4 32 2, 3 0, 12 2, 4 9, 2 1\b 9, 5 0, 15 dd bb \f d d dd d b b bb b ?? ?? + ?? ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ++ ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 0 ,34 L2 0, 2\b d \f b ?? = ?? ?? () () mm s1 s2 0 ,\b9 0 ,\b5 2 0,12 0, 56 ; 1 0, 3\b vh vh nn bb d d b b == ? ? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 2L L L2 S R = () () LL L 0, 577 2 ln 22, \b 2 ln 2 k nT nT =+ 2 dL L L 1 ck R =+ () ( )L m L dL 3 z f z q h cb c h ?? = ???? De dynamische vergrotingsfactor voor dwarstrillingen wordt berekend met: 36 h bd < 0, 2 5 d b () m LM 10 vh n bd () 2 L m Lj Lj Lj sj L 2 22 j1 2 LL Lj sj sj 4 1 0, 6 14 n k \f\f n S nn\f nn = ?? ?? ?? + ?? = ?? ?? ?? ??+ ?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ? 42 L1 4 32 2, 3 0, 12 2, 4 9, 2 1\b 9, 5 0, 15 dd bb \f d d dd d b b bb b ?? ?? + ?? ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ++ ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 0 ,34 L2 0, 2\b d \f b ?? = ?? ?? () () mm s1 s2 0 ,\b9 0 ,\b5 2 0,12 0, 56 ; 1 0, 3\b vh vh nn bb d d b b == ? ? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 2L L L2 S R = () () LL L 0, 577 2 ln 22, \b 2 ln 2 k nT nT=+ 2 dL L L 1 ck R =+ () ( )L m L dL 3 z f z q h cb c h ?? = ???? De (equivalent statische) kracht als gevolg van dwarstrillingen als functie van de hoogte wordt uiteindelijk berekend met: 36 h bd < 0, 2 5 d b () m LM 10 vh n bd () 2 L m Lj Lj Lj sj L 2 22 j1 2 LL Lj sj sj 4 1 0, 6 14 n k \f\f n S nn\f nn = ?? ?? ?? + ?? = ?? ?? ?? ??+ ?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ? 42 L1 4 32 2, 3 0, 12 2, 4 9, 2 1\b 9, 5 0, 15 dd bb \f d d dd d b b bb b ?? ?? + ?? ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ++ ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 0 ,34 L2 0, 2\b d \f b ?? = ?? ?? () () mm s1 s2 0 ,\b9 0 ,\b5 2 0,12 0, 56 ; 1 0, 3\b vh vh nn bb d d b b == ? ? ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2 2L L L2 S R = () () LL L 0, 577 2 ln 22, \b 2 ln 2 k nT nT=+ 2 dL L L 1 ck R =+ () ( )L m L dL 3 z f z q h cb c h ?? = ???? Hierin is q m(h) de gemiddelde stuwdruk op gebouwhoogte: () ()2 mm 1 2 qh v h = 2 L 0, 015 0,14 0, 03 dd c bb?? = + + ?? ?? () () pL L aLaz \f z = () () ( ) () 2 m aL L L L L L 0, 5 v h bh z cR h z m = () () h 2 LL \b m m z z dz =? { () () M1 M2 M 2 * M1 m m M2 m M1 m M1 2 M2 m m als 4, 5 exp 3, 5 ln ln als 4,5< 6 4, 5 als 6 S Sv v sv Sv s Sv v = ?? ?? ?? ?? < ®¾ ¨¸ ¨¸ °° ©¹ ©¹ ¯¿ 2 2M M M2 S R = () () MM M 0, 577 2 ln 22, 8 2 ln 2 \f nT nT =+ 2 dM M M 1 c\f R =+ () m m Mvh v n bd = ( )() M1 2 2 22 2 M1 M1 2 3 0, 14 4, 5 K db d S l b + = Bij slanke gebouwen kan de wisselende belasting haaks op de wind relatief groot zijn FACTOREN VOOR DE BEREKENING VAN DWARSTRILLINGEN kL1 = 0,85 ; k L2 = 0,02 + =+ ?+ +? 42 L1 43 22,3 0,12 2, 49 ,218 9,50 ,15 dd bb 4 44 44 2 22 22 ? = 0,34 L2 0, 28 d b () () == + mm s1 s2 0, 89 0,85 2 0, 12 0,56 ; 10 ,38 h h nn bbd d b b + =+ ?+ +? 42 L1 43 2 2,3 0,12 2, 49 ,218 9,50 ,15 dd bb d dd dd b bb bb ? = 0,34 L2 0, 28 d 2 () () == + mm s1 s2 0, 89 0,85 2 0, 12 0,56 ; 10 ,38 h h nn bbd d b b + =+ ?+ +? 42 L1 43 2 2,3 0,12 2, 49 ,218 9,50 ,15 dd bb d dd dd b bb bb ? = 0,34 L2 0, 28 d b () () == + mm s1 s2 0, 89 0,85 2 0, 12 0,56 ; 10 ,38 h h nn bb d d b b CEMENT 8 2023 ?21 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0 12 34 5 cL d/b En de aerodynamische dwarskrachtcoëffici- e nt c L wordt bepaald met de volgende uit- drukking (ook weergegeven in figuur 3): () () 2 mm 1 2 qh v h = 2 L 0, 015 0,14 0, 03 dd c bb ?? = + + ?? ?? () () pL L aLaz \f z = () () ( ) () 2 m aL L L L L L 0, 5 v h bh z cR h z m = () () h 2 LL \b m m z z dz =? { () () M1 M2 M 2 * M1 m m M2 m M1 m M1 2 M2 m m als 4, 5 exp 3, 5 ln ln als 4,5< 6 4, 5 als 6 S Sv v sv Sv s Sv v = ?? ?? ?? ?? < ®¾ ¨¸ ¨¸ °° ©¹ ©¹ ¯¿ 2 2M M M2 S R = () () MM M 0, 577 2 ln 22, 8 2 ln 2 \f nT nT =+ 2 dM M M 1 c\f R =+ () m m Mvh v n bd = ( )() M1 2 2 22 2 M1 M1 2 3 0, 14 4, 5 K db d S l b + = Naast de kracht die benodigd is voor de toet- sing van de sterkte, moet voor de toetsing van de bruikbaarheidstoestand de piekwaar- de van de versnelling worden berekend. Deze wordt bepaald aan de hand van de volgende uitdrukking: () () 2 mm 1 2 qh v h = 2 L 0, 015 0,14 0, 03 dd c bb?? = + + ?? ?? () () pL L aLaz \f z = () () ( ) () 2 m aL L L L L L 0, 5 v h bh z cR h z m = () () h 2 LL \b m m z z dz =? { () () M1 M2 M 2 * M1 m m M2 m M1 m M1 2 M2 m m als 4, 5 exp 3, 5 ln ln als 4,5< 6 4, 5 als 6 S Sv v sv Sv s Sv v = ?? ?? ?? ?? < ®¾ ¨¸ ¨¸ °° ©¹ ©¹ ¯¿ 2 2M M M2 S R = () () MM M 0, 577 2 ln 22, 8 2 ln 2 \f nT nT =+ 2 dM M M 1 c\f R =+ () m m Mvh v n bd = ( )() M1 2 2 22 2 M1 M1 2 3 0, 14 4, 5 K db d S l b + = Met: () () 2 mm 1 2 qh v h = 2 L 0, 015 0,14 0, 03 dd c bb?? = + + ?? ?? () () pL L aLaz \f z = () () ( ) () 2 m aL L L L L L 0, 5 v h bh z cR h z m = () () h 2 LL \b m m z z dz =? { () () M1 M2 M 2 * M1 m m M2 m M1 m M1 2 M2 m m als 4, 5 exp 3, 5 ln ln als 4,5< 6 4, 5 als 6 S Sv v sv Sv s Sv v = ?? ?? ?? ?? < ®¾ ¨¸ ¨¸ °° ©¹ ©¹ ¯¿ 2 2M M M2 S R = () () MM M 0, 577 2 ln 22, 8 2 ln 2 \f nT nT =+ 2 dM M M 1 c\f R =+ () m m Mvh v n bd = ( )() M1 2 2 22 2 M1 M1 2 3 0, 14 4, 5 K db d S l b + = De factor R L is hiervoor afgeleid. Opgemerkt wordt dat voor de bepaling van R L bij de toetsing op versnellingen de windsnelheid met een herhalingstijd van 1 jaar moet wor- den gebruikt. De resulterende waarde voor R L wijkt af van de waarde die berekend is voor de toets op sterkte (op basis van een herhalingstijd van 50 jaar). m L is de gegeneraliseerde massa voor de eerste trilvorm, die wordt berekend uit de verdeling van de massa over de hoogte als volgt: () () 2 mm 1 2 qh v h = 2 L 0, 015 0,14 0, 03 dd c bb?? = + + ?? ?? () () pL L aLaz \f z = () () ( ) () 2 m aL L L L L L 0, 5 v h bh z cR h z m = () () h 2 LL \b m m z z dz =? { () () M1 M2 M 2 * M1 m m M2 m M1 m M1 2 M2 m m als 4, 5 exp 3, 5 ln ln als 4,5< 6 4, 5 als 6 S Sv v sv Sv s Sv v = ?? ?? ?? ?? < ®¾ ¨¸ ¨¸ °° ©¹ ©¹ ¯¿ 2 2M M M2 S R = () () MM M 0, 577 2 ln 22, 8 2 ln 2 \f nT nT =+ 2 dM M M 1 c\f R =+ () m m Mvh v n bd = ( )() M1 2 2 22 2 M1 M1 2 3 0, 14 4, 5 K db d S l b + = ?L is de gegeneraliseerd trilvorm genor- meerd naar de maximale waarde. Figuur 4 3 4 Opslingering in torsiefrequenties is vooral van belang voor hoge gebouwen met een grote lengte of breedte, of met een asymmetrische positionering van de kern 3 Dwarskrachtcoëfficiënt c L als functie van d/b 4 Genormaliseerde trilvormen Eurocode2 geeft voorbeelden van de eerste drie trilvor- men genormaliseerd naar de maximale w aarde. Voor trilvorm 1 is te zien dat de grootste waarde bovenin optreedt. Voor de eerste buigtrilvorm van een gebouw kan daarom worden aangenomen dat ? L( h ) gelijk is aan 1. De maximale versnelling in deze tril - vorm wordt gevonden als ? L( z ) ook gelijk is aan 1, ofwel op hoogte h . Voor hogere trilvor - men kan de grootste waarde op een andere hoogte optr eden, zoals te zien is in figuur 4 voor trilvorm 3. Voor de meeste hoogbouw is alleen de eerste buigtrilvorm van belang. Voor de gegeneraliseerde massa kan voor de eerste trilvorm, in het geval van een gelijkmatig verdeelde massa over de hoogte, uit worden gegaan van 1/3 van de totale massa. Rekenmodel voor torsietrillingen Het rekenmodel voor torsietrillingen volgt dezelfde stappen als die voor de dwarstril- lingen in Annex G in de nieuwe Eurocode. De eerste stap betreft de bepaling van de dimensieloze spectrale dichtheid S M. Hiervoor wordt de volgende formule gegeven: MS = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? < ?? M1 M22 m M1 m M2 m M1 m M1 2 m M2 m als4 ,5 4,5 ex p3 ,5ln ln als4 ,5