4 5 2018 78 Rekenen in de praktijk Spreiding piekmomenten in vlakke plaatvloeren Een puntvormige ondersteuning van vlakke plaatvloeren resulteert in EEM-programma's vaak in piekresultaten in moment en dwarskracht. Dit komt doordat de reële afmeting van de kolom in EEM-berekeningen wordt verwaarloosd (ondersteuning wordt in een knoop aangebracht). Omdat er in de norm geen rekenregels zijn opgenomen voor het uitmiddelen van deze pieken, worden hier in de praktijk verschillende methoden voor aangehouden door constructeurs. In dit rekenvoorbeeld werken we enkele methoden uit om tot realistische resultaten te komen. Rubriek Rekenen in de praktijk Dit is de vierde aflevering in de Cement -rubriek 'Rekenen in de praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werk - groep, bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingenieursbureau Gemeente Rotterdam), Gökhan Dilsiz (Arup), Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Jorrit van Ingen (Bartels Ingenieurs voor Bouw & Infra), Jacques Linssen (redactie Cement ), Bart Vosslamber (Heijmans) en Bas Wijnbeld (ABT ). Een artikel wordt steeds opge - steld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervolgens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenmethode de visie van een aantal individuen. Er kan nooit volledig worden gegarandeerd dat wat er is geschreven waar is. Case Er wordt een rekenvoorbeeld beschouwd van een puntvormig ondersteunde vlakke plaat. De plaat heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede met b = 4500 mm, h = 500 mm en d = 450 mm (fig. 1). De puntvormige ondersteu - ning is een ronde kolom met doorsnede D = 600 mm. De kolom is monoliet verbonden met de plaat. Over het gehele oppervlak van de plaat is een gelijkmatig verdeelde belasting aanwezig.      Modellering De plaat is gemodelleerd in een EEM-programma met 2D-schaalelementen. De geometrie van de plaat is ingevoerd, waarna het rekenprogramma automatisch een net genereert. De gemiddelde netfijnheid bedraagt 500 mm. Ter plaatse van de kolom is een automatische lokale netverfijning toegepast van circa 125 mm (0,25  h). Als buigtheorie voor de schaalele - menten is de theorie van Mindlin toegepast, die iets meer betrouwbare resultaten geeft ten opzichte van Kirchoff omdat de vervorming door dwarskracht wordt meegenomen. 79 4500 mm 500 mm 600 mm arctg h 3 1 2 2 ? ? b2 b1 s 164.25 kNm/m 369.56 kNm/m mx [kNm/m] 369.56330.00300.00270.00240.00210.00180.00150.00120.0090.0060.0030.000.00 De kolom is gemodelleerd als een liggerelement met aan de onderzijde een volledig starre inklemming.     Toetsing Door de puntvormige ondersteuning wordt het buigend moment in de plaat overschat (fig. 3). In NEN-EN 1992-1-1 worden echter geen rekenregels gegeven voor spreiden van pieken in 2D-resultaten.   Spreiding in de praktijk De gebruikelijke spreidingsmaat voor momenten is veelal 2 d of 2d + D, waarbij d de effectieve hoogte van de plaat is en D de diameter van de kolom. In dit geval zou een spreidingsbreedte van 2 d = 900 mm betekenen en een spreidingsbreedte van 2d + D = 1500 mm. Deze spreidingsbreedten zijn arbitrair gekozen waarden die in de praktijk vaak worden aangehouden. In de praktijk wordt de spreiding in rekening gebracht door het aanbrengen van een snede in het 2D-model. Deze snedefunctie stelt de constructeur in staat de resultaten in de sectie door het programma te laten middelen. Het wapeningsmoment in de snede betreft het moment na spreiding.   Spreiding volgens VBC De voorganger van de Eurocode, de VBC (NEN 6720 art. 7.5.3.4), bevat wel een methode om piekmomenten te spreiden in een wapeningsbaan. Hierbij wordt een spreiding aangehou - den onder een helling 3:2 vanaf de rand van de kolom tot 0,5 h vanaf diezelfde rand (fig. 2). Dit resulteert in een wapenings - baan van  s = b2 + 1,5 b1 + 1,5 h. Hierin zijn b1 en b2 de afmetin - gen van een kolom in de twee verschillende richtingen en is h de dikte van de plaat. Gemakshalve wordt in het rekenvoor - beeld een afmeting van 600 x 600 mm 2 aangehouden in plaats 1 Geometrie plaat en kolom2 Spreidingsbreedte conform VBC3 Wapeningsmomenten in bruikbaarheidsgrenstoestand over snede in het hart van de kolom zonder spreiding van Ø600 mm. In het voorbeeld heeft de wapeningsbaan dus een breedte van s = 600 + 1,5 · 600 + 1,5 · 500 = 2250 mm. Deze wapeningsbaan wordt als snede ingevoerd in het 2D-model (zie onder 'Spreiding in de praktijk'). Dit resulteert in een momentverdeling als in figuur 4.   Spreiding volgens aanpassing model Een meer theoretisch onderbouwde methode is het vervangen van de puntvormige ondersteuning door een verdeelde last die de doorsnede van de kolom representeert. In figuur 5b is een dergelijke schematisering en de bijbehorende dwarskrachten - lijn getoond. Door de verdeelde last ontstaat een andere dwars - krachtenlijn. Omdat de hellingsfunctie van de momentenlijn gelijk is aan de dwarskrachtenlijn, neemt hiermee ook het moment af. Het moment wordt ter plaatse van de kolom als het ware afgevlakt (fig. 5c). Het verschil in het moment is eenvou - dig handmatig uit te rekenen door verschil in oppervlak te bepalen van beide dwarskrachtlijnen: 1 2 3 Rekenen in de praktijk 5 2018 80 5 2018 R1 a. b. c. R1 R2/D R2/D D 0,5 ? R2/2 ? D/2 0,5 ? R2/2 ? D/2 dwarskrachtenlijnvolgens rekenmodel (blauw) dwarskrachtenlijn inaangepast model (oranje) momentenlijn inrekenmodel (blauw) en in werkelijkheid (oranje) ?M / ?x = V ? V ?x = M ?M = R2 D/4 R2 R3 R3 272.80 kNm/m mx [kNm/m] 369.56330.00300.00270.00240.00210.00180.00150.00120.0090.0060.0030.000.00 ?M = 2 ? (0,5 ? R2/2 ? D/2) = R2 ? D/4. Het aangepaste moment wordt vervolgens handmatig uitgerekend door ? M van het moment uit het rekenmodel af te trekken. Deze methode is direct toe te passen op liggers of lijnvormig ondersteunde platen. Het is echter de vraag of deze methode ook mag worden toegepast bij puntvormig ondersteunde platen. Bij puntvormig ondersteunde platen moeten ? M en de resulta - ten uit het rekenmodel worden gespreid over een spreidings - breedte. Hiervoor kunnen de eerder gepresenteerde methoden worden toegepast. In dit rekenvoorbeeld is de methode 'sprei - ding volgens VBC' gecombineerd met aanpassing van het model.     Discussie De piekresultaten in dit rekenvoorbeeld zijn de oorzaak van een schematisering van de constructie. In werkelijkheid treden deze pieken niet op. Door gebrek aan een eenduidige rekenre - gel in de Eurocode worden door constructeurs verschillende spreidingsbreedten aangehouden voor piekmomenten en -dwarskrachten. Er zijn verschillende manieren uitgewerkt om de resultaten te spreiden. Echter, andere methoden zijn ook mogelijk. Zo kan bijvoorbeeld de kolom als verticale bedding worden gemodelleerd. Het is onduidelijk welke methode de werkelijkheid het beste benadert. De VBC-methode in combinatie met aanpassing van het model blijkt te resulteren in het laagste wapeningsmoment (tabel 1). Het is echter de vraag of deze methoden gecombineerd mogen worden.     Conclusie In dit rekenvoorbeeld is een puntvormig ondersteunde plaat uitgewerkt. Als gevolg van de schematisering van de kolom als puntvormige ondersteuning ontstaan er piekmomenten in de 2D-EEM-resultaten. Voor het middelen van die pieken zijn drie methoden voorgesteld. De uitkomsten lopen behoorlijk uiteen. Aan de constructeur te beoordelen welke methode hij of zij het meest verantwoord acht. ? 4 5 4 Wapeningsmomenten in bruikbaar - heidsgrenstoestand gespreid over 2250 mm conform VBC5 Schematisering van steunpunt door verdeelde last Tabel 1 Resultaten wapeningsmoment in langsrichting na spreiden bij verschillende methoden methode spreidings - breedte [mm] maximum moment in langsrichting [kNm/m] reductie t.o.v. piekresultaat [%] resultaat zonder middeling 0 370 0 spreiden over 2d 900 330 -11% spreiden over 2d + D 1500 300* -19% spreiding volgens aanpassing model + VBC-methode 2250 196** -10% VBC-methode 2250 273 -26% *) Volgt uit niet-getoonde EEM-berekening**) M = 273 ? R2 ? D / (4 ? 2,25) = 196 kNm/m Rekenen in de praktijk