themaAnalyse van een verrassend fenomeen3201454themaDe laatste jaren is veel aandacht uitgegaan naar hetdraagvermogen van bestaande bruggen. De reden hier-voor was dat sterke twijfel bestond over de constructieveveiligheid van veel bruggen in de huidige situatie. Ditdoor de toename van de verkeerslasten en soms de niet-optimale wapening naar het ontwerp van globaal vijftigtot zestig jaar geleden. In een uitvoerig onderzoek werdeen grondige analyse uitgevoerd naar het werkelijkedraagvermogen van de beschouwde constructies. Daarbijwerd vastgesteld dat in veel gevallen sprake is vanAnalyse vaneen verrassendfenomeenExperimentele en numerieke analyselangeduurgedrag van op afschuiving belastebetonelementen zonder afschuifwapeningOp de TU Delft is recent een onderzoek afgerondnaar het langeduurgedrag van op afschuivingbelaste betonelementen zonder schuifwapening. Nade interim-rapportage in Cement 2012/4 wordt indit artikel dieper ingegaan op de resultaten enwordt aangegeven hoe de experimenteel gevondenresultaten via onder meer numerieke analyseskunnen worden onderbouwd en verklaard.`reserve-draagvermogen'. Er zijn mechanismen dievolgens de regelgeving in de ontwerpperiode niet werdenmeegenomen en nu buitengewoon welkom zijn. Metgebruikmaking hiervan kan immers worden aangetoonddat de constructies veilig genoeg zijn en kostbare verster-kingsmaatregelen achterwege kunnen blijven. Op ditgrootschalige onderzoek is in een eerder themanummervan dit tijdschrift uitvoerig ingegaan (Cement 2012/4).Een promotieonderzoek naar het langeduurgedrag vanop afschuiving belaste betonelementen zonder schuifwa-pening was op dat moment nog niet afgerond. Inmiddelsis dat wel het geval en is er gerapporteerd in een disserta-tie [2].ProbleemstellingEen van de positieve ontdekkingen bij het onderzoek naar hetwerkelijke draagvermogen van bestaande bruggen was, dat debetonsterkte sinds de bouw aanzienlijk was toegenomen.Evenals nu werd indertijd bij het ontwerpen van een construc-tie uitgegaan van de betondruksterkte, bepaald op een ouder-dom van 28 dagen. Het in die dagen gebruikte cement wastamelijk grofkorrelig. Bij de initi?le hydratatie vormt zich eenschil van verhard cement aan de buitenkant van de korrel, diede toegang van het in het mengsel aanwezige water tot de onge-hydrateerde kern van de cementkorrel afsluit. Om tot hydrata-tie van dit deel van het cement te komen, moet het water eerstvia diffusie door de verharde schil heendringen. Omdat de schilAnalyse van een verrassend fenomeen 32014 55290 mm450mm1260 mm 1000 mm 1260 mm 290 mm111212 12121212 1212111111101010101010101010101088977 77 7777666655555533333 333332223536664444444444 44 499999991111fct= fccn(4)waarin fctde betontreksterkte is, fccde betondruksterkte en neen co?ffici?nt.In het verleden werd meestal uitgegaan van n = ? als goedebenadering tot fcc= 65 N/mm2. Tegenwoordig, met betonsterk-teklassen tot C90/105 in de normen, gaat men liever uit vann = 1/3, zie bijvoorbeeld [3].Dat het formuleren van het afschuifdraagvermogen als functievan de betontreksterkte (direct of indirect) realistisch is, wordtdes te duidelijker bij het bijwonen van een dwarskrachtproef.Bezwijken treedt op na het progressief verder ontwikkelen vaneen schuine scheur, gevolgd door explosief bezwijken van hetbetonelement (fig. 1). Deze figuur toont het scheurenpatroonin een balk zonder schuifwapening (langswapeningspercentage0,75%, kubusdruksterkte beton 34 N/mm2) op het moment datde belasting 97% van het afschuifdraagvermogen heeft bereikt[4]. Kort daarna zal een van de scheuren zich progressiefontwikkelen (gestippelde lijn), waardoor geen evenwicht meermogelijk is en de balk plotseling bezwijkt.Bij het gebruik van de betonsterkte in de functie voor hetdwarskrachtdraagvermogen speelt echter een cruciale vraag.Uit onderzoek is bekend dat de treksterkte van beton afneemtdoor een hoge langeduurbelasting. Dit staat bekend als hetlangeduureffect. In NEN 6720 werd hiervoor een reductiefactor0,7 in rekening gebracht (NEN 6720, artikel 6.1.2.). De Euro-code gebruikt voor de rekenkundige treksterkte de uitdrukking:(5)3b1 h 0 b0,4 0,4f fk k = ct ctkctdcff =max,lang max,kort 001 ( , ). 1 exp 1tCTOD CTOD tt= + c0 001 ( , ). 1 exp 1c,maxtt(t)t= + ?? ??Hierbij is fctkde karakteristieke betontreksterkte, cde materi-aalfactor en ctde langeduurfactor, die op nationale basis magworden gekozen in het interval tussen 0,8 en 1,0. Veel landen,zoals Nederland, hebben 1,0 gekozen, met als argument dat hetlangeduureffect al snel wordt gecompenseerd door de eerderge-noemde toename van de betonsterkte in de tijd. Dit argumentdr.Msc. reza sarkhosh,prof.dr.ir.dr.-ing. h.c. Joostwalraven, ir. Joop den uijlTU Delft, fac. CiTG1 Scheurpatroon bij een op afschuiving belaste gewapende betonnen balk zon-der dwarskrachtwapening, op 97% van het afschuifdraagvermogen [4]door dit proces steeds dikker wordt, gaat het hydratatieprocesnog jaren door, met als gevolg dat uiteindelijk een betonsterktewordt bereikt die ver uitstijgt boven de 28-daagse. Waar aanvan-kelijk werd uitgegaan van beton C20/25, worden nu aan boorker-nen gemiddelde sterkten gevonden die liggen tussen 50 en 120N/mm2[3]. Ten aanzien van de vraag of betonnen plaatbruggenzonder afschuifwapening ook voor de huidige verkeersbelastingvoldoende veilig zijn, kan de vaststelling ? dat de betonsterkteaanzienlijk hoger is dan vroeger ? worden beschouwd als een`geschenk uit de hemel'. Immers, volgens alle geldende normenhangt het afschuifdraagvermogen direct af van de betonsterkte.Uit NEN 6720, artikel 8.2.3.1 gold de uitdrukking voor de uiterstopneembare schuifspanning 1die werd geformuleerd als:(1)3b1 h 0 b0,4 0,4f fk k = ct ctkctdcff =max,lang max,kort 001 ( , ). 1 exp 1tCTOD CTOD tt= + c0 001 ( , ). 1 exp 1c,maxtt(t)t= + ?? ??waarin fbde rekenkundige treksterkte van het beton was.Tegenwoordig wordt gewerkt met Eurocode 2, NEN-EN1992-1-1. De uitdrukking voor het afschuifdraagvermo-gen is daarin:vRd,c= CRd,ck (1001fck)1/3 vmin(2)waarin fckde karakteristieke cilinderdruksterkte is en vminvolgt uit:vmin= 0,025k3/2fck1/2(3)De symbolen 1(oude notatie) en vRd,c(nieuwe notatie) represen-teren beide de rekenkundige schuifsterkte van de constructie.In de uitdrukkingen (2) en (3) valt op dat, in tegenstelling tot(1), waarbij van de rekenkundige betontreksterkte is uitgegaan,de karakteristieke betondruksterkte fckwordt gebruikt. Volgensvelen is dit echter toch een verkapte vorm van de betontrek-sterkte, gezien het feit dat de betontreksterkte kan wordenuitgedrukt als een functie van de betondruksterkte volgens derelatie:1themaAnalyse van een verrassend fenomeen3201456505050 1251255050 450410,950,90,850,80,750,70,650t - t0[sec]completed testsongoing tests=Psus/Pu,mean10+110+210+310+410+510+610+710+8notchCTODCMOD450402 Balken met kerf om de scheurontwikkeling onder korte- en langeduurbelastingte bestuderen3 Resultaten van de langeduurbuigproeven op balkjes met kerfbezwijkproces kan worden gevolgd totdat het proefstuk nietmeer in staat is nog enige belasting te dragen. Juist in de fase nahet passeren van de maximale belasting kan het scheurvor-mingsproces goed worden bestudeerd. Na het uitvoeren vandeze serie kortdurende proeven werden langeduurproevenuitgevoerd. Hierbij werd de belasting opgevoerd tot eengekozen percentage van de maximale kortstondige belasting, envervolgens constant gehouden tot bezwijken optrad. Depercentages van de kortdurende maximale belasting werdenuitgedrukt in de parameter = Plang/Pum,kort. In figuur 3 zijn deresultaten van de proeven in diagramvorm weergegeven.Het laagste belastingsniveau waarbij in de uitgevoerde proe-venserie nog bezwijken optrad, was 72% van het korteduur-draagvermogen. Hierbij trad breuk op na 73 dagen. Bij eenbelastingsniveau van 85% werd breuk verkregen na een tijd van103seconden wat overeenkomt met ongeveer 17 minuten. Voordit onderdeel van het onderzoek wordt de langeduurfactor van0,7, zoals aangehouden in NEN 6720, bevestigd.Uit dit deel van het onderzoek bleek verder, dat de CTOD(scheuropening in de top van de kerf) bij bezwijken na eenlangeduurbelasting kan worden uitgedrukt als relatie van deCTOD bij kortdurende belasting volgens:(6)3b1 h 0 b0,4 0,4f fk k = ct ctkctdcff =max,lang max,kort 001 ( , ). 1 exp 1tCTOD CTOD tt= + c0 001 ( , ). 1 exp 1c,maxtt(t)t= + ?? ??In het vervolg wordt ervan uitgegaan, dat voor de breukrek vanop trek belast beton, ter plaatse van de tip van de scheur,hetzelfde geldt, dus:geldt echter niet meer als deze sterkte wordt gebaseerd opboorkernen van decennia oude bruggen, want hiervoor is geensterktetoename door verdere hydratatie te verwachten.De cruciale vraag is dus: als bij het bepalen van het dwars-krachtdraagvermogen van gewapend betonnen elementenwordt gebruikgemaakt van de gevonden hoge betonsterkte,bepaald aan boorkernen, moet dan ook een langeduurfactor0,7-0,8 worden toegepast, of ligt dat voor afschuiving andersdan voor trek? Het is duidelijk dat deze kwestie van grootbelang is voor het antwoord op de vraag of hoge kosten moetenworden gemaakt voor het versterken van het grote aantalbetreffende bruggen, of dat volledig profijt kan worden getrok-ken van de gevonden hoge betonsterkten. Om deze reden werdhiernaar een gedegen onderzoek uitgevoerd.Onderzoek scheurontwikkelingHet bezwijken van een balk zonder schuifwapening op afschui-ving komt in het algemeen tot stand door het progressief door-groeien van een van de buigscheuren (fig. 1). Bij de in de figuurweergegeven beproeving ging het om een relatief snel opge-voerde belasting (in enkele uren tot breuk).Het is nu de vraag of de langeduurfactor bij beton op trek, vast-gesteld bij centrische trekproeven, en resulterend in een lange-duurfactor van 0,7?0,8, zich ook manifesteert ten aanzien vanhet doorgroeien van een afschuifscheur. Met andere woorden:zou men de balk uit figuur 1 belasten tot bijvoorbeeld 85% vanhet afschuifdraagvermogen en vervolgens deze belastingconstant houden, zouden dan de scheuren in de tijd door-groeien en op termijn tot afschuifbreuk leiden? De volgendelogische vraag zou daarop zijn vanaf welk belastingsniveau ditzou gelden.De eerste hypothese is daarom of buigscheuren doorgroeien bijeen constant gehouden belasting. Daarom is een onderzoekgestart naar dit fenomeen. Proeven werden uitgevoerd opongewapende betonnen balkjes als aangegeven in figuur 2. Debalkjes zijn voorzien van een kerf. De ontwikkeling van dewijdte van de kerf wordt zowel gemeten aan de onderkant(CMOD = Crack Mode Opening Displacement) als aan debovenkant (Crack Tip Opening Displacement) gedurende hetbelasten.Om referentieresultaten te verkrijgen, werden eerst enkelebalken aan een kortdurende opgelegde vervorming onderwor-pen. Door van een opgelegde vervorming (zakking ter plaatstevan het midden van de balk) in plaats van een krachtsgestuurdebelasting uit te gaan, kan `over de top' worden gemeten. Datbetekent dat de last-verplaatsingsrelatie niet stopt bij het berei-ken van de maximale belasting op de balk, maar dat het23Analyse van een verrassend fenomeen 32014 57PPFPZfictitious crack tip (w)P Pyxnotch free in xdirection4 Elementenconfiguratie voor een niet-lineaire numerieke berekening5 Scheurvoortplanting in beton: breukproceszone (a), fictieve scheur met hetvermogen trekspanningen over te dragen (b), modelleren via een fictievescheur door middel van krachtsoverdracht tussen de verbindingspunten tus-sen de elementen (c) (Hillerborg et al. 1976)de tijd (horizontale as). De lijnen gelden voor knooppuntentussen de elementen in het scheurvoortplantingsgebied (hetverlengde van de scheurtip). Deze knooppunten zijn genum-merd met de waarden 1 t.m. 15 waarbij 1 de knoop is juist voorhet eind van de kerf. Wanneer de rek de breukrek volgensvergelijking (7) bereikt, laat de knoop los. Dit bekent dat op datogenblik de rek in de volgende knoop sprongsgewijs toeneemt.Men ziet bijvoorbeeld in de figuur dat als knoop 4 loslaat, hetbeton ter plaatse van knoop 5 een extra rek ondergaat, waarbijde totale rek nog onder de breukrek blijft. Het scheurproces ishier dus nog stabiel. Als knoop 6 loslaat, springt de rek bijknoop 7 naar een waarde die nog juist onder de breukrek blijft,waaruit blijkt dat het beton op het punt staat progressief doorte scheuren. Te zien is dat dit gebeurt bij het loslaten van knoop7. Elke volgende knoop laat los en de balk scheurt door. Metdeze numerieke benadering wordt het gedrag van de experi-menten inzichtelijk gesimuleerd.Van buiging naar afschuivingOm de lijn door te trekken naar het gedrag van elementenbelast op afschuiving is een uitgebreide serie proeven uitge-voerd naar het gedrag van dit soort elementen onder een lang-durige constant gehouden belasting. De balken hadden eenoverspanning van 2400 mm en een doorsnedehoogte van450 mm, met een nuttige hoogte van 410 mm (fig. 8). Debetondruksterkte in de diverse series varieerde tussen 32 en75 N/mm2. Het langswapeningspercentage was steeds 0,9%waarmee werd bereikt dat, zoals gepland, bezwijken op afschui-ving maatgevend was. Om referentiewaarden voor de lange-(7)ctdcf =max,lang max,kort 001 ( , ). 1 exp 1tCTOD CTOD tt= + c0 001 ( , ). 1 exp 1c,maxtt(t)t= + ?? ??Numeriek modelleren scheurvoortplantingsgedragOm de invloed van het langduurgedrag beter te begrijpen,wordt een numerieke simulatie uitgevoerd. Hiertoe wordt debalk in elementen verdeeld (fig. 4).Als inputparameters is een aantal zaken nodig, zoals de algenoemde breukrek van beton onder trek c,maxinclusief dekruipfactor voor beton onder trek (, t0) (verg. 7). Verder ishet nascheurgedrag van beton onder trek van belang. Dit houdtin dat bij het optreden van een scheur de trekspanning in hetvlak niet onmiddellijk terugvalt naar 0, maar dat de scheureerst nog trekspanningen kan overdragen die bij toenemendescheurwijdte afneemt naar 0. Dit verschijnsel wordt verklaarduit het scheurvormingsproces van beton, waarbij de scheurontstaat als een bundel microscheuren die geleidelijk aan elkaargroeien tot een macroscheur (fig. 5).Figuur 5a toont deze bundel microscheuren. Figuur 5b toontde fictieve scheur die nog in staat is trekspanningen over tedragen. Figuur 5c laat een elementennet zien waarbij hetscheurgedrag wordt gesimuleerd door het loslaten van decontactpunten tussen de elementen in het verlengde van descheur. Zoals eerder aangegeven worden door deze contact-punten nog tot een zekere scheuropening trekkrachten overge-dragen. Een juiste formulering van dit nascheurgedrag is vanbelang voor het goed simuleren van het scheurproces. Infiguur 6 is het `voorscheur-' en `nascheur'-gedrag weergegeven.Figuur 6a geeft het voorscheurgedrag weer: aanvankelijkgedraagt het beton zich elastisch, maar bij een trekspanningvan 0,9fcttreedt door microscheurvorming een afwijking vandit lineair-elastische gedrag op. In figuur 6b is de microscheur-vorming zo ver ontwikkeld, dat men beter van een scheur-wijdte dan van een rek kan spreken. De scheur is in staattrekspanningen over te dragen tot het bereiken van een scheur-wijdte wc. Voor het verband tussen spanning en scheurwijdte iseen bilineaire relatie aangehouden. In figuur 6c is dit verband,als alternatief voor figuur 6b, met een exponentieel dalendefunctie uitgedrukt.Door deze wijze van formuleren, kan het scheurvoortplantings-gedrag zowel voor kortdurende als voor langdurige belastingworden gesimuleerd. Hierbij kan `langdurig' zowel betekenendat de belasting langzaam aangroeit als dat deze snel wordtopgebracht en vervolgens langdurig constant blijft. Het scheur-proces start immers als de rek bij de scheurtip de grenswaardec,max(t) bereikt, waarin volgens vergelijking (7) de kruip van hetbeton is meegenomen. Het scheurvoortplantingsgedrag kan opdeze wijze uitstekend worden gesimuleerd. Figuur 7 geefthiervan een resultaat. De figuur toont het verband tussen derek in het gebied voor de scheurtip (verticale as) als functie van45a 5b 5cthemaAnalyse van een verrassend fenomeen3201458fctfctmfctmfm(1-w/wc')fct' (1-w/wc)w' wc' wcwcw wEc1cfct'0,9fct 0(t)0,0001cracking strain limitfailure1234 5 67891011121314150,00005-0,000050t - t0[sec]1 ? 10+42 ? 10+43 ? 10+44 ? 10+45 ? 10+46 ? 10+47 ? 10+46 Spanning-rekrelatie voor scheuren (a), bilineaire formulering van het gedrag nascheuren (c), en exponenti?le formulering van het gedrag na scheuren (c)7 Loslaten van knooppunten in het gebied voor de kerf (belastingsniveau 75%)Analyse resultaten bij afschuivingOm de verrassende resultaten te verklaren, wordt eerst nogeens figuur 1 beschouwd. Te zien is dat hier de voor het bezwij-ken op afschuiving maatgevende scheur links een krom verloopheeft. De scheur is ontstaan via buiging en buigt af in de rich-ting van de plaats waar de puntlast op de balk aangrijpt (linker-deel balk). Ook aan de rechterzijde van de balk heeft zich eendergelijke scheur gevormd, die echter niet tot bezwijken heeftgeleid omdat de linkerzijde eerder bezweek. Figuur 9 geeft eenschematische voorstelling van het gedrag van een dergelijkekromme scheur. De top van de scheur (fig. 9a) bevindt zich bijpunt O. Bij het openen van de scheur zullen de delen aan beidezijden van de scheur roteren om het punt O. Dat betekent datbij punt A, nabij de scheurtip, de scheur zich opent zonder dateen schuifverplaatsing optreedt. Bij het verder weg gelegenpunt B is dit niet meer het geval. Hier zullen de scheurvlakkeneen tegengestelde parallelverplaatsing ondergaan. Deze paral-lelverplaatsing leidt tot schuifspanningen in de scheur. Ditwordt verklaard in figuur 9b. Hier wordt de directe omgevingvan punt B in de scheur sterk vergroot en schematisch weerge-geven [6,7]. De figuur toont dat de scheur zich ontwikkeltrondom de sterke toeslagkorrels, die zodoende barri?res tegenparallelverplaatsing van de scheurvlakken vormen. Tussen dekorrels en de zachtere cementmatrix ontstaan bij parallelver-schuiving contactvlakken, waarover schuifkrachten wordenovergedragen die zodoende de verdere scheuropening tegen-werken. Deze situatie is daardoor aanzienlijk gunstiger dan dievan de zich zonder schuifverplaatsingen openende scheur,waarvan de resultaten in figuur 7 zijn weergegeven. De spron-gen in de rek ter plaatse van de loslatende knopen zijn in hetgeval van een gekromde afschuifbuigscheur kleiner dan vooreen buigscheur, door de compenserende werking van de opge-bouwde wrijving in de zich openende scheur. Hierdoor kan descheur zich pas bij grotere lengte progressief ontwikkelen.duurproeven te krijgen, werden van elke stort steeds enkelebalken binnen enkele minuten tot breuk belast. Voor elke seriewerd het gemiddelde afschuifdraagvermogen en de variatieco?f-fici?nt bepaald. De variatieco?ffici?nt varieerde hierbij tussen 2,7en 6,1%, wat relatief laag is. Dit is gunstig indien langeduurproe-ven met een hoog belastingsniveau worden uitgevoerd. Als devariatieco?ffici?nt hoog is, betekent dit dat het langeduurbelas-tingsniveau in het gebied komt te liggen waar de balk al bij snelopgebrachte belasting zou bezwijken, wat het onderzoek aanmer-kelijk zou bemoeilijken. Bij een variatieco?ffici?nt van 2,7% hoorteen karakteristieke 5% ondergrenswaarde van (1 ? 1,64 0,027) 100% = 95,5%. Bij een variatieco?ffici?nt van 6,1% komt men zoop een 5% ondergrens van 90%. Dat betekent dat een belasting tot90% van de kortdurende belasting in het algemeen zonderprobleem kan worden opgebracht om het langeduureffect teonderzoeken. In totaal werden veertien balken aan een lange-duurbelasting onderworpen. Hierbij varieerde het niveau vanbelasten van 88% tot 98% van het korteduurafschuifdraagvermo-gen. Figuur 8 toont als voorbeeld balk S6B4, die langdurig werdbelast op een niveau van 92% van het korteduurdraagvermogen.De scheurontwikkeling werd hierbij gemeten.De resultaten van het onderzoek waren opmerkelijk. Van deveertien balken bezweken er slechts twee op langeduurbelas-ting. Bij de ene balk was dit bij een belastingsniveau van 98%,na 2,5 uur. Bij de andere balk was dit na 44 uur, bij een belas-tingsniveau van 91%. In beide gevallen lag de langeduurbelas-ting boven de 5% ondergrens van het korteduurdraagvermo-gen. De balken die niet bezweken, werden aan het eind van hetonderzoeksproject tot breuk belast, waarbij vaak hogerewaarden werden gevonden dan het draagvermogen onderkorteduurbelasting. De in figuur 8 getoonde balk droegbijvoorbeeld de belasting ( = 0,92) gedurende 3 jaar zonder tebezwijken. Bij aansluitende belasting tot breuk, werd eenafschuifdraagvermogen van 1,16 maal het draagvermogen bijkorte duur belasten gevonden.De conclusie kan dus slechts zijn dat het gedrag op afschuivingniet overeenkomt met de resultaten van de scheurontwikke-lingstheorie voor buigscheuren, die hierv??r werd ontwikkeld,en waar langeduurfactoren tot 0,7 werden gevonden.6a 6b 6c7Analyse van een verrassend fenomeen 32014 59-900S6B412345678910111213141516-750 -600 -450 -300 -150 0 150 300 450 600 750 900-900 -750 -600 -450 -300 -150 0 150 300 450 600 750 900tttnB0A8 Scheurpatroon van een balk die werd belasttot 92% van het draagvermogen verkregenbij kortdurende belasting, waarna de belas-ting constant werd gehouden9 Opbouw scheurwrijving in een gekromdescheur: verplaatsingscomponenten in depunten A en B bij scheuropening door rota-tie om punt O (a); vorming contactvlakkendoor parallelverplaatsing scheurvlakken (b)basis om te komen tot een algemene theorie voor het afschuif-draagvermogen van betonconstructies zonder schuifwapeningonder verschillende randvoorwaarden [5]. Hierop zal in eenlatere editie van Cement worden ingegaan.ConclusiesEen belangrijke vraag voor het beoordelen van bestaandebetonnen plaatbruggen zonder schuifwapening is of het lange-duureffect, bekend voor beton belast op trek of druk, ook vantoepassing is op constructies belast op afschuiving. Het voort-ontwikkelen van een buigscheur is met een eindige-elementen-model goed te simuleren. Hierbij blijkt dat het langeduureffectvan dezelfde orde van grootte is als bij beton dat op trek ofdruk wordt belast.Proeven uitgevoerd naar het bepalen van het langeduureffectop afschuiving laten echter zien dat hier geen significanteinvloed kan worden vastgesteld. Dit kan worden verklaard uithet effect van scheurwrijving dat optreedt in afschuifscheurendie een gekromd verloop hebben. literatuur1 Themanummer`Dwarskrachtsterkte bestaande kunstwerken',Cement 2012/4.2 Sarkhosh, R., Dwarskracht-draagvermogen van gewapend betonnenbalken zonder dwarskrachtwapening. Dissertatie, TU Delft, 17 April2014.3 Vervuurt, A., Courage, W., Steenbergen, R., Betonsterkte bestaandeconstructies. Cement 2012/4, pp. 36-39.4 Walraven, J.C., The influence of depth on the shear strength of light-weight concrete beams without shear reinforcement. Stevin Report5-78-4.5 Hillerborg, A., Modeer, M., Petersson, P.E., Analysis of crack formationand crack growth in concrete by means of fracture mechanics andfinite elements. Cement and Concrete Research, Vol. 6, No. 6,pp. 773-782.6 Walraven, J.C. Aggregate interlock: an experimental and theoreticalanalysis. Dissertatie TU Delft, 1980.7 Walraven, J.C., Scheurvertanding. Cement 1981/6, pp. 407-413.8 Yang, Y., Shear behaviour of reinforced concrete members withoutshear reinforcement: a new look at an old problem. Dissertatie TUDelft, 30 mei 2014.Verder geldt dat bij kruip in het beton de rek bij de scheurtipgroter wordt en zodoende dichter bij de breukrek kan komen.Tegelijkertijd worden echter door kruip de contactvlakkentussen de korrels groter, waardoor de potenti?le scheurwrijvingtoeneemt. Het ene effect compenseert het andere.Met gangbare niet-lineaire elementenprogramma's is het nietgemakkelijk dit effect te simuleren. De meeste programma'sgaan uit van uitgesmeerde scheurvorming en niet van eendiscrete scheur. Verder wordt het scheurwrijvingseffect op eente eenvoudige manier in rekening gebracht, en wel door eenzogeheten `shear-retention'-factor die de schuifmodulus G vanhet beschouwde gebied, op grond van scheurvorming, met eenfactor tussen 0 en 1,0 reduceert.In de beschouwde studie [2] is daarom uitgegaan van eenanalytisch model met een discrete afschuifscheur, waarin descheurkromming is meegenomen door de scheur te vervangendoor een bilineaire vereenvoudiging. In de bilineaire scheur isde scheurwrijvingsrelatie volgens [4] ingebouwd. Met ditmodel kon het effect van een tijdsafhankelijke belasting op hetafschuifdraagvermogen goed worden verklaard.Het model met de bilineaire afschuifscheur is inmiddels in eenander onderzoeksproject verder uitgewerkt en vormt een goede9a 9b8