Wanden en EEM5201084Wanden en EEMSinds vele jaren worden wandschijvenmet eindige-elementenmethoden(EEM-software) berekend. Dit is eenaantrekkelijke methode, omdat hetrelatief weinig tijd kost en er veel minderwapening nodig is dan bij anderemethoden. Er is echter ook veelweerstand: de software biedt weiniginzicht en produceert somsongeloofwaardige resultaten. NuEurocode 2 deze methode expliciettoestaat, hebben toetsende instantiesweinig ruimte meer om aanvullendeeisen te stellen. Voldoende aanleidingdus voor een nadere analyse.Snel en goedkoop, maar... is het ook goed?Uit een korte rondvraag onder een aantal grote ingenieursbureausdie actief zijn binnen de utiliteits- en woningbouw en enkele toet-sende instanties, volgt dat EEM-software vandaag de dag op groteschaal wordt toegepast voor het bepalen van het spanningsverlooptijdens het ontwerp van wandschijven. De optie om op basis vande bepaalde vlakspanningen met behulp van EEM-software auto-matisch de vereiste wapening te bepalen, zoals is toegestaan sindsde introductie van de Eurocode, wordt momenteel nog slechts opbeperkte schaal toegepast. Wanneer men deze methode toepastvoor het ontwerp van wandschijven moet men echter in gedach-ten houden dat deze op een aantal punten afwijkt van de gangbareontwerpmethoden.Afwijking van gangbare methodenDe vereiste hoeveelheid orthogonale wapening in een wand-schijf wordt door EEM-software direct afgeleid uit de optre-dende vlakspanningen. Het ontwerp van wandschijven metEEM-software wijkt hierdoor op een aantal punten sterk af vangangbare ontwerpmethoden zoals de gedrongen liggertheorieof de vakwerkanalogie. Bij het bepalen van de krachtsafdrachtwordt bij deze gangbare methoden een evenwichtssysteem metdrukbogen of drukstaven en trekbanden in beschouwinggenomen. EEM-software wijkt hiervan af door tijdens hetbepalen van de vlakspanningen in een wandschijf uit te gaanvan lineair-elastisch isotroop materiaalgedrag. De wandschijfwordt hierbij verondersteld zowel op trek als druk eenzelfdestijfheid te bezitten. Dit leidt tot een belastingafdracht en eenWanden en EEM 52010 85Dergelijke doorsneden kunnen zo worden belast tot aan deopgegeven betondruksterkte fcd, voordat extra drukwapeningwordt vereist. Doordat EEM-software bij het ontwerp vanwandschijven alleen de invloed van in het vlak grijpende belas-tingen in rekening brengt, worden naast de genoemde excentri-citeiten ook eventuele tweede-orde-effecten niet in beschou-wing genomen.Nadere analyseNaar aanleiding van bovengenoemde afwijkingen van gangbareontwerpmethoden is het ontwerp van wandschijven met EEM-software nader geanalyseerd aan de hand van statisch bepaaldewandliggers. Ontwerpen van statisch bepaalde wandliggers metEEM-software wordt tijdens het bepalen van de vlakspannin-gen gekenmerkt door het ontstaan van zowel een trek- alsdrukboog, die de opgelegde belasting naar de opleggingen leidt,zoals te zien is in figuur 1. Dit is een direct gevolg van deaanname dat tijdens het bepalen van de vlakspanningen gewa-pend beton als een isotroop materiaal wordt beschouwd.Ondanks dat door het scheuren van beton en de daaruitvolgende herverdeling in de praktijk een trekboog niet zalontstaan, staat EC2 in ?5.1 (3) het expliciet toe om uit eendergelijke vlakspanningstoestand direct de vereiste wapening afte leiden. Doordat de vereiste wapening wordt bepaald op basisvan lokale trekspanningen, wordt het ontwerp van statischbepaalde liggers verder gekenmerkt door een concentratie vande vereiste buigtrekwapening in het midden van de overspan-ning, terwijl slechts een beperkte hoeveelheid wapening moetdoorlopen tot aan de opleggingen. Opgemerkt moet wordendat de genoemde normvoorschriften met betrekking tot aan tehouden excentriciteiten niet van toepassing zijn op debeschouwde wandliggers.ir. Erik Middelkoop enir. Marc Romans1)Corsmit Raadgevend Ingenieurs BV1 Ontstaan van spanningstrajectori?n tijdensop buiging belaste statisch bepaaldewandligger. Belastingafdracht wordtgekenmerkt door ontstaan van zowel druk-(blauw) als trekboog (rood)1) Ir. Marc Romans is op dit onderzoek afgestudeerd aan de Technische UniversiteitDelft, Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen. De afstudeercommissiebestond uit prof.dr.ir. Joost Walraven, dr.ir. Pierre Hoogenboom,ir. Erik Middelkoop en ir. Joop den Uijl.daaruit volgend spanningsverloop dat sterk kan afwijken vangangbare mechanismen, waarbij wordt verondersteld dat debelasting alleen door beton onder druk en door trek in dewapening wordt afgedragen.Een tweede punt waarop het ontwerp van wandschijvenafwijkt, is dat bij het ontwerp van wandliggers de momenten-lijn niet langer in ongunstige zin wordt verschoven. De VBCschrijft bij het toepassen van de liggertheorie in ?8.1.1 hetverschuiven van de momentenlijn voor om bezwijken tengevolge van het optreden van mogelijke diagonale scheurentussen het belastingsvlak en de opleggingen in de grenstoe-stand te voorkomen. Wanneer het ontwerp van een wandliggermet EEM-software wordt vergeleken met de liggertheorie of devakwerkanalogie, moet slechts een beperkt aantal staven door-lopen tot aan de opleggingen, wat theoretisch gezien zoukunnen leiden tot een verhoogd risico op het bezwijken in degrenstoestand ter plaatse van de opleggingen.Bovendien wordt de vereiste wapening voor een wandschijfdirect afgeleid uit de optredende vlakspanningen, die hetgevolg zijn van in het vlak aangrijpende belastingen. Dit leidtbij het berekenen van op druk belaste doorsneden die centrischof nagenoeg centrisch zijn belast, tot een overschatting van hetdraagvermogen van de beschouwde doorsnede. EC2 schrijft in?6.1 (4) expliciet voor dat bij dergelijke doorsneden een excen-triciteit gelijk aan 1/30 h met een minimum van 20 mm inrekening moet worden gebracht. De VBC schrijft in ?8.1.1 zelfsvoor dat een excentriciteit gelijk aan 1/10 h in beschouwingmoet worden genomen. EEM-software doet dit echter niet.1Wanden en EEM5201086FI I200h hq100 100 100 1002 Globale geometrie en belastingen op beschouwde wandliggers3 Voorbeeld van vereiste orthogonale wapening in gedrongen wandligger(2,0 x 1,0 x 0,2 m) die wordt belast door geconcentreerde belasting van325 kNmethode die in ?5.7 van EC2 wordt voorgeschreven voor niet-lineaire analyses. Deze methode is gebaseerd op het toepassenvan zowel parti?le als globale veiligheidsfactoren.Numerieke simulatieUit de numerieke simulaties volgde dat stuik van beton in debetondrukzone, veroorzaakt door buiging ten gevolge van detoenemende opgelegde vervorming, het maatgevende bezwijk-mechanisme bleek te zijn in de beschouwde wandliggers. Bijgedrongen wandliggers werd een bezwijkdraagvermogengevonden dat de ontwerpbelasting ruimschoots overschreed.Bij een aantal voornamelijk slanke, lokaal zwaarbelaste wand-liggers, waarvan de betondoorsnede tijdens het ontwerpproceswerd belast tot aan de maximaal toelaatbare ontwerpspanningfcdof iets daarboven, zodanig dat drukwapening werd vereist,werd echter een bezwijkdraagvermogen gevonden dat lagerbleek te zijn dan de beschouwde ontwerpbelasting. Bezwijk-draagvermogens van slanke, hoogbelaste wandliggers dievolgden uit de numerieke simulaties, lagen tot 25% lager dande aangehouden ontwerpbelasting. Dit is opvallend, aangezientijdens de numerieke simulatie juist een hoger bezwijkdraag-vermogen zou worden verwacht. In de niet-lineaire analyseswordt immers, in tegenstelling tot het ontwerpproces, de volle-dige treksterkte van beton in rekening gebracht. Daarnaastneemt ATENA het effect van twee-assig omsloten beton in debetondrukzone in beschouwing, waardoor het beton in staat ishogere spanningen te weerstaan dan de opgegeven ??n-assigebetondruksterkte fc. Ook is de hoeveelheid wapening dievolgens de toegepaste EEM-software is vereist, naar bovenafgerond en zijn alle staven verlengd met de vereiste veranke-ringslengte volgens EC2 ?8.4.De verklaring voor de relatief lage bezwijkdraagvermogens bijslanke, hoogbelaste wandliggers kan worden gevonden in hetverschil tussen de toegepaste spanning-rekrelaties tijdens hetontwerpproces en de niet-lineaire analyses. Ontwerp vanwandliggers met EEM-software is gebaseerd op lineair-elastischmateriaalgedrag. Ondanks dat optredende drukspanningenworden getoetst, wordt de gerelateerde breukstuik niet geverifi-In totaal is voor 25 statisch bepaalde wandliggers de vereistewapening bepaald met behulp van het EEM-programma Nemet-schek Scia Engineer 2009. Hierbij zijn de geometrie van debeschouwde wandliggers en de ontwerpbelasting gevarieerd. Deeindige-elementenmodellen zijn zodanig geoptimaliseerd datverstoringen ten gevolge van singulariteiten konden worden uitge-sloten. Naast een toegepast basisnet ?5-150 zijn alle individuelewapeningsstaven zo nauwkeurig mogelijk in overeenstemmingmet de uitvoer van de EEM-software gepositioneerd, waarbij allerelevante voorschriften uit de Eurocodes met betrekking tot duur-zaamheid en detaillering in beschouwing zijn genomen.Het bezwijkgedrag van de gewapende wandliggers is vervol-gens numeriek gesimuleerd door middel van een niet-lineaireanalyse in het eindige-elementenprogramma ATENA 2D(versie 4.2.2.0). Door middel van een verplaatsingsgestuurdebelasting zijn de wandliggers tot bezwijken gebracht om zoinzicht te krijgen in het bezwijkdraagvermogen en het maatge-vende bezwijkmechanisme. Voor het bepalen van de bezwijk-belasting is op basis van de ontwerpbelasting eenzelfdebetrouwbaarheidsindex in beschouwing genomen tijdens denumerieke simulaties. Hiervoor is gebruikgemaakt van de23Wanden en EEM 52010 87fc fcfcdcccu3c3 4 Globale ??n-assige spanning-rekrelatie volgens labaratoriumproeven (links) entoegepaste relaties tijdens ontwerpproces (midden) en niet-lineaire analyses(rechts)verklaring hiervoor ligt in de constructieve bijdrage van hetaanwezige wapeningsnet, flankwapening en afschuifwapening.Waar in de liggertheorie wordt aangenomen dat alleen de buig-trekwapening bijdraagt aan het bezwijkdraagvermogen, neemtATENA de invloed van alle wapeningsstaven mee die eenmogelijke diagonale scheur kruisen. Dit is ge?llustreerd infiguur 5. De staven die een diagonale scheur kruisen, zorgen ergezamenlijk voor dat scheurwijdte beperkt blijft. Ten gevolgevan vertanding (aggregate interlock) kan hierdoor nog steedsbelasting worden afgedragen, ondanks de scheurontwikkeling.Hieruit moet echter niet worden geconcludeerd dat de momen-tenlijn in algemene zin niet meer verschoven hoeft te worden;dit moet per constructie worden bekeken.GebruikssituatieDe vereiste buigtrekwapening wordt bij het toepassen vanEEM-software verdeeld over de hoogte van de wandligger,overeenkomstig met de berekende verdeling van optredendetrekspanningen. De exacte vereiste hoeveelheid wordt perknoop van het eindige-elementennet bepaald door de resul-tante van optredende trekspanningen in lengte en dwarsrich-ting te delen door de vloeisterkte fyd van het wapeningsstaal.Hierbij wordt aangenomen dat overal waar in de beschouwdeconstructie trekspanningen optreden, de rek zodanig is dat devloeirek van het wapeningsstaal wordt bereikt. In die gebiedenwaar in de bruikbaarheidsgrenstoestand (BGT) slechts eenbeperkte rek optreedt, zoals in de omgeving van een neutralelijn, resulteert deze methode in spanningen die veel lager zijndan de waarde die volgt uit fyd/, waarin de toegepaste belas-tingfactor is. Ten gevolge hiervan treden in staven ter hoogtevan de uiterste vezel juist spanningen op die hoger zijn danfyd/. Het gevolg van deze aanpak is dat een significant aantalbeschouwde wandliggers niet voldoet aan eisen die in EC2 ?7.3worden gesteld met betrekking tot toelaatbare scheurwijdten.De vereiste hoeveelheid buigtrekwapening blijkt onvoldoendete zijn om de spanningen binnen de grenswaarden te houdendie in tabel 7.2N van EC2 worden voorgeschreven. In de BGTtreden spanningen op in de buigtrekwapening die oplopen toteen waarde van 400 N/mm2. Uit de niet-lineaire analyses blijkteerd. Wanneer de piekspanning fcdis bereikt, wordt uitgegaanvan een oneindig vloeitraject, waarbij door het vereisen vandrukwapening de drukcapaciteit van de doorsnede wordtvergroot. Waar volgens de Eurocode tijdens het ontwerpprocesvan wandliggers mag worden verondersteld dat beton zijnvolledige druksterkte blijft behouden tot aan het moment datde grenswaarde van de betonstuik cuis bereikt, neemt in detoegepaste spanning-rekrelatie in ATENA bovendien de sterktelineair af vanaf het moment dat de piekspanning fcis bereikt.Deze benadering sluit goed aan op de algemene ??n-assigespanning-rekrelatie die volgt uit laboratoriumproeven die geenhorizontaal vloeitraject laten zien vanaf het moment dat depiekspanning is bereikt. Bovendien hebben verschillendeonderzoeken uit het verleden aangetoond dat ATENA verge-lijkbare resultaten geeft met daadwerkelijke laboratoriumproe-ven. Hoewel deze benadering dus goed aansluit op de alge-mene ??n-assige spanning-rekrelatie, bezwijkt beton in debetondrukzone van een zwaarbelaste wandligger bij toene-mende betonstuik na enige herverdeling, voor het bereikenvan de grenswaarde van betonstuik die mag worden aange-houden tijdens het ontwerpproces. Dit verklaart tevenswaarom hoogbelaste wandliggers, waarin drukwapening in debetondrukzone werd vereist, bezweken voordat de drukwape-ning vloeide. Gesteld kan worden dat bij inachtneming vaneen gelijke betrouwbaarheidsindex, de in de niet-lineaireanalyses toegepaste spanning-rekrelatie leidt tot een conser-vatieve benadering van de capaciteit van de betondrukzone,terwijl de in EC2 voorgeschreven relatie juist leidt tot eenbovengrensbenadering.Verschuiven momentenlijnOndanks dat volgens de uitvoer van EEM-software in eengroot aantal beschouwde wandliggers slechts een beperktaantal staven vanuit de buigtrekzone in langsrichting moestdoorlopen tot aan de opleggingen, had dit geen directe invloedop het maatgevende bezwijkmechanisme. De invloed van hetniet verschuiven van de momentenlijn, zoals gebruikelijk iswanneer de liggertheorie wordt toegepast, kan voor debeschouwde wandliggers daarom worden verwaarloosd. De4Wanden en EEM52010885 Bijdrage van wapening volgensliggertheorie (links) en inpraktijk (rechts)leiden tot toenemende betondrukspanningen in een wand.Tijdens het ontwerp van een wandschijf moet men bedacht zijnop de invloed van deze effecten op het spanningsverloop in eenwandschijf. EEM-software zou standaard een gereduceerdebetondruksterkte in rekening moeten brengen en geen drukwa-pening moeten toepassen. Daarnaast moet de invloed vantweede-orde-effecten separaat worden berekend.Ook zit er een grote uitdaging in het kritisch vertalen van deuitvoer van de EEM-software naar een daadwerkelijk ontwerpwaarin alle staven op een correcte manier worden gepositio-neerd. Hoewel de uitvoer van EEM-software hiervoor weinigaanknopingspunten biedt, moet in het bijzonder aandachtworden geschonken aan beheersing van de scheurvorming. Het??n op ??n toepassen van de wapening die volgens de uitvoervan EEM-software wordt vereist, blijkt voor de beschouwdewandliggers ontoereikend te zijn om te voldoen aan de eisendie in EC2 aan scheurwijdten worden gesteld. In veel gevallenzal het nodig zijn om de berekende wapening over te dimensio-neren om aan deze eisen te kunnen voldoen. Nader onderzoeknaar het toepassen van een correcte hoeveelheid wapeningvoor de BGT bij het gebruik van EEM-software, zodanig datwordt voldaan aan alle eisen die in EC2 worden gesteld metbetrekking tot toelaatbare scheurwijdten, verdient daaromaanbeveling. bovendien dat zich in de BGT aanzienlijke scheuren kunnenontwikkelen in die gebieden waarin volgens de EEM-softwaregeen of slechts een beperkte hoeveelheid wapening is vereist,zoals in drukdiagonalen die zich ontwikkelen tussen het belas-tingsvlak en de opleggingen en ter hoogte van de opleggingen.Een grote beperking van deze methode is bovendien dat hetniet mogelijk is om in de BGT adequaat de spanning in dewapeningsstaven te bepalen, aangezien er geen lineair verbandoptreedt tussen de opgelegde belasting en de optredende span-ning in de wapening. Bij gangbare methoden daarentegen,zoals de vakwerkanalogie en de gedrongen liggertheorie,kunnen scheurwijdten wel worden berekend, aangezien debuigtrekwapening tijdens het ontwerp wordt geconcentreerd ineen trekband. Daarnaast zijn deze methoden conservatiever,omdat de spanningen als gevolg van het niet in rekeninggebrachte wapeningsnet lager zullen zijn.ConclusiesHet gebruik van EEM-software voor het ontwerp van wand-schijven heeft een aantal grote voordelen ten opzichte vangangbare ontwerpmethoden. De methode is snel en in overeen-stemming met de in EC2 ?5.1 (3) en bijlage F van EC2genoemde normvoorschriften. Daarnaast is de methode vanuiteconomisch oogpunt interessant. In vergelijking met de zeerconservatieve vakwerkanalogie moet slechts een relatiefbeperkte hoeveelheid wapening worden toegepast en wordt dedaadwerkelijk toegepaste wapening tijdens het ontwerpprocesvolledig benut.Toch kent ook deze methode haar beperkingen. Vooral voorhet ontwerp van zwaarbelaste wandschijven waarin drukspan-ningen optreden die gelijk zijn aan de betondruksterkte fcdisdeze methode niet geschikt. Dit wordt onder meer veroorzaaktdoor het feit dat de methode de optredende betonstuik niettoetst aan de maximale breukstuik. Daarnaast neemt demethode excentriciteiten in de doorsnede en tweede-orde-effecten niet in beschouwing, hoewel deze effecten zullen litERatuuR1 Romans, M., Design of walls withlinear elastic finite element methods.Afstudeerverslag, TU-Delft, mei 2010.www.mechanics.citg.tudelft.nl/~pierre/MSc_projects/reportRomans.pdf.5