2
3 2018
42 Rekenen in de praktijk
Versnelling
voetgangersbrug
Betonnen voetgangersbruggen worden steeds slanker gerealiseerd, onder meer vanwege esthetische
eisen of door het toepassen van materialen met een hoge sterkte en duurzaamheid. Bij een slanke brug
neemt de eigenfrequentie af. Hierdoor kan de comforteis met betrekking tot de trillingen van het brugdek
maatgevend worden boven de sterkte-eis. Aan de hand van een case wordt uitgelegd hoe de trillingen in
de drie verschillende richtingen (longitudinaal, verticaal en lateraal) worden getoetst.
Uitgangspunten
Overspanning
L = 14,0 m
Breedte B = 2,0 m
Dikte H = 0,38 m
Oppervlakte A = 0,76 m
2
Traagheidsmoment I y = 0,009 m3 en I z = 0,253 m 3
Betonkwaliteit C55/67
Elasticiteitsmodulus E
ongescheurd = 38.000 N/mm 2
Soortelijke massa beton ? = 2500 kg/m 3
Voorspangraad 100% (géén betontrekspanning
aanwezig)
Oplegsysteem Scharnierend
Verkeersklasse klasse 3 (conform nationale
bijlage van Eurocode 0)
Verkeersintensiteit VI = 0,5 personen/m
2
(verkeersklasse TC3)
Comfortklasse 2
Max. toegestane versnelling 0,7 m/s
2 in verticale richting
0,2 m/s
2 in longitudinale en
laterale richting
Dempingsverhouding ? = 0,01 (voorgespannen beton)
Rubriek Rekenen in de praktijk
Dit is de tweede aflevering in de Cement-rubriek
'Rekenen in de praktijk'. Hierin staat telkens één
rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek
wordt samengesteld door een werkgroep,
bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingenieursbu-
reau Gemeente Rotterdam), Gökhan Dilsiz (Arup),
Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Jorrit van Ingen
(Bartels Ingenieurs voor Bouw & Infra), Jacques
Linssen (redactie Cement), Bart Vosslamber
(Heijmans) en Bas Wijnbeld (ABT ).
Case
Om de trillingen te beperken, wordt een eis gesteld
aan de versnelling. Om toe te lichten hoe, wordt een
voetgangersbrug beschouwd waarvan de versnelling
in longitudinale, laterale en verticale richting wordt
beoordeeld. De sterkte en bruikbaarheid worden
buiten beschouwing gelaten. Voor de brug worden
onderstaande gegevens aangehouden.
Cement_Cement 03 2018 42 09-05-18 16:22
Rekenen in de praktijk3 2018
43
Uitwerking longitudinale richting
De maximale versnelling hoeft alleen te worden bekeken als de
eigenfrequentie van het systeem zich in een bepaald kritisch
gebied bevindt. Dit gebied is: 1,25 ? f
e ? 4,6 Hz (fig. 2). Daarom
moet eerst de eigenfrequentie worden bepaald.
De eigenfrequentie van het brugdek in longitudinale richting kan
worden gevonden met behulp van de theoretische vergelijking:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
waarin:
f
lo;n is eigenfrequentie in longitudinale richting [Hz]
E is elasticiteitsmodulus beton [N/m
2]
? is soortelijke massa beton [kg/m
3]
L is lengte van de overspanning [m]
In figuur 2 wordt de reductiefactor ? voor de verticale en longi-
tudinale richting bij verschillende frequenties van de construc -
tie weergegeven. Bij 1,25 ? f
e ? 2,3 en 2,5 ? f e ? 4,6 Hz is ? = 0
en hoeft de versnelling niet te worden gecontroleerd.
Hieruit volgt een eigenfrequentie in longitudinale richting van:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f =
=
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
Deze frequentie valt dus buiten het kritische gebied. Er hoeft dus
geen toets op comfort te worden uitgevoerd in deze richting.
Uitwerking laterale richting
Ook voor de laterale richting geldt dat toetsing van de versnel-
ling alleen nodig is als de eigenfrequentie zich in een bepaald
gebied bevindt. Dit gebied is: 0,5 ? f
e ? 1,2 (fig. 3).
De berekening van de eigenfrequentie berust op de theoreti-
sche vergelijking:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
1 Schematisering voetgangersbrug
2 Reductiefactor ? voor de verticale en longi-
tudinale richting bij verschillende frequen-
ties van de constructie
3 Reductiefactor ? voor de laterale richting bij
verschillende frequenties van de constructie
4 C-waarde voor drie natuurlijke frequenties
en drie verschillende opleggingen
1
2
waarin:
f
la is eigenfrequentie in laterale richting [Hz]
C is 9,87 (scharnierend opgelegd systeem en n = 1 [-] (fig. 4)
E is elasticiteitsmodulus beton [N/m
2]
I is oppervlaktetraagheidsmoment doorsnede in laterale
richting [m
4]
? is soortelijke massa beton [kg/m
3]
A is oppervlakte doorsnede [m
2]
L is lengte van de overspanning [m]
1. harmonic
2. harmonic
frequentie
1
0,25 00 1,25 1,7 2,1 2,3 2,5 3,4 \
4,2 4,6 EI
L
frequentie
0 0,5 0,7 1,0 1,2 1,7 2,1 \
2,4
1
0
n = 1
n = 3
n = 2
C = 121,0
C = 61,7
C = 121,0 C = 3,52
C = 9,87 C = 61,7
C = 22,4
C = 39,5 C = 88,9
0,500
0,500
0,3330,667
0,359 0,641
0,783
0,5040,868
reductiefactor
?
reductiefactor
?
3
4
Cement_Cement 03 2018 43 09-05-18 16:22
Rekenen in de praktijk
3 2018 43
Uitwerking longitudinale richting
De maximale versnelling hoeft alleen te worden bekeken als de
eigenfrequentie van het systeem zich in een bepaald kritisch
gebied bevindt. Dit gebied is: 1,25 ? f
e ? 4,6 Hz (fig. 2). Daarom
moet eerst de eigenfrequentie worden bepaald.
De eigenfrequentie van het brugdek in longitudinale richting kan
worden gevonden met behulp van de theoretische vergelijking:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
waarin:
f
lo;n is eigenfrequentie in longitudinale richting [Hz]
E is elasticiteitsmodulus beton [N/m
2]
? is soortelijke massa beton [kg/m
3]
L is lengte van de overspanning [m]
In figuur 2 wordt de reductiefactor ? voor de verticale en longi-
tudinale richting bij verschillende frequenties van de construc -
tie weergegeven. Bij 1,25 ? f
e ? 2,3 en 2,5 ? f e ? 4,6 Hz is ? = 0
en hoeft de versnelling niet te worden gecontroleerd.
Hieruit volgt een eigenfrequentie in longitudinale richting van:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f =
=
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
Deze frequentie valt dus buiten het kritische gebied. Er hoeft dus
geen toets op comfort te worden uitgevoerd in deze richting.
Uitwerking laterale richting
Ook voor de laterale richting geldt dat toetsing van de versnel-
ling alleen nodig is als de eigenfrequentie zich in een bepaald
gebied bevindt. Dit gebied is: 0,5 ? f
e ? 1,2 (fig. 3).
De berekening van de eigenfrequentie berust op de theoreti-
sche vergelijking:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
1 Schematisering voetgangersbrug
2 Reductiefactor ? voor de verticale en longi-
tudinale richting bij verschillende frequen-
ties van de constructie
3 Reductiefactor ? voor de laterale richting bij
verschillende frequenties van de constructie
4 C-waarde voor drie natuurlijke frequenties
en drie verschillende opleggingen
1
2
waarin:
f
la is eigenfrequentie in laterale richting [Hz]
C is 9,87 (scharnierend opgelegd systeem en n = 1 [-] (fig. 4)
E is elasticiteitsmodulus beton [N/m
2]
I is oppervlaktetraagheidsmoment doorsnede in laterale
richting [m
4]
? is soortelijke massa beton [kg/m
3]
A is oppervlakte doorsnede [m
2]
L is lengte van de overspanning [m]
1. harmonic
2. harmonic
frequentie
1
0,25 00 1,25 1,7 2,1 2,3 2,5 3,4 \
4,2 4,6 EI
L
frequentie
0 0,5 0,7 1,0 1,2 1,7 2,1 \
2,4
1
0
n = 1 n = 3
n = 2
C = 121,0
C = 61,7
C = 121,0 C = 3,52
C = 9,87 C = 61,7
C = 22,4
C = 39,5 C = 88,9
0,500
0,500
0,3330,667
0,359 0,641
0,783
0,5040,868
reductiefactor
?
reductiefactor
?
3
4
Cement_Cement 03 2018 43 09-05-18 16:22
Rekenen in de praktijk
44 3
2018
Hieruit volgt een eigenfrequentie in laterale richting van:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 87 18, 04 Hz
2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
In laterale richting blijkt ook dat het maken van een comfort-
berekening buiten beschouwing kan worden gelaten, want de
berekende eigenfrequenties vallen buiten het kritische gebied
(0,5 ? f
e ? 1,2 Hz).
Overigens is het niet noodzakelijk het verschijnsel van lock-in
te toetsen, aangezien de eigenfrequentie ? 2,5 Hz.
In figuur 3 wordt de reductiefactor ? gegeven voor de laterale
richting bij verschillende frequenties van de constructie. Bij
0,5 ? f
e ? 1,2 Hz is ? = 0 en hoeft de versnelling niet te worden
gecontroleerd.
Uitwerking in verticale richting
Ook voor de verticale richting geldt dat eerst de eigenfrequen -
tie van het systeem moet worden bepaald. Alleen als deze in
het kritische gebied 1,25 ? f
e ? 2,3 en 2,5 ? f e ? 4,6 Hz bevindt,
is toetsing van de versnelling nodig. De eigenfrequentie wordt
berekend met behulp van onderstaande vergelijking. Deze
vergelijking is gebaseerd op een één-massa-veersysteem 'single-
degree-of-freedom-system' (SDOF).
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2
EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
In deze formule staat ?A voor de permanent aanwezige massa.
Hieruit volgt een eigenfrequentie in verticale richting van:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 87 3, 43 Hz
2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
Deze waarde ligt in het kritische gebied (1,25 ? f e ? 4,6), dus de
maximale versnelling moet worden berekend en getoetst aan
de maximaal toelaatbare brugdekversnelling in verticale rich-
ting (a ? 0,7 m/s
2).
Toetsing versnelling
De toetsing van de verticale versnelling kan worden berekend
aan de hand van de formule:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P a m
waarin:
a
max
is optredende versnelling van het brugdek [m/s 2]
P* is gegeneraliseerde modale belasting [N]
m* is gegeneraliseerde modale massa [kg]
? is dempingsverhouding [-] ?
is reductiefactor voor de kans dat de stapfrequentie van
de voetganger het kritische gebied van de eigenfrequen-
tie nadert [-]
Om de versnelling te berekenen, moeten dus eerst de modale
massa (gegeneraliseerde massa) en de modale belasting (gege-
neraliseerde belasting) worden bepaald.
Gegeneraliseerde modale belasting
De generaliseerde modale belasting kan worden berekend met
behulp van de belasting van één voetganger, vermenigvuldigd
met het equivalent aantal voetgangers. Hier moet dus het equi-
valent aantal voetgangers worden bepaald.
Equivalent aantal voetgangers (n') voor VK 1 t/m 3 (VI < 1,0
personen/m
2) is:
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14
0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
26
6
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
waarin:
n' is equivalent aantal voetgangers op het belaste opper -
vlakte S [1/m
2]
? is dempingsverhouding [-]
n is aantal voetgangers op het belaste oppervlak (= S × VI)
[-]
VI is verkeersintensiteit [personen/m
2]
S is oppervlakte van het brugdek dat wordt belast (= L × b)
[m
2]
L is overspanning [m]
b is breedte van het brugdek [m]
Hieruit volgt een equivalent aantal voetgangers:
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14 0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
26
6
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
Ofwel n = n' × S = 4,04 personen over het totale oppervlak.
Ook hierbij geldt dat de modale belasting een bepaald percen-
tage is van de belasting, net zoals bij de modale massa, afhan-
kelijk van de eigentrilvorm. Voor de modale belasting wordt
factor
modbel :
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14
0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
2
[Formule 9C]
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
toegepast. Voor één voetganger moet een
puntlast van 280 N in rekening worden gebracht.
De modale belasting is P* = factor
modbel × n × P voetganger
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14
0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
26
6
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
Cement_Cement 03 2018 44 09-05-18 16:22
Rekenen in de praktijk 44 3
2018
Hieruit volgt een eigenfrequentie in laterale richting van:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 87 18, 04 Hz
2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
In laterale richting blijkt ook dat het maken van een comfort-
berekening buiten beschouwing kan worden gelaten, want de
berekende eigenfrequenties vallen buiten het kritische gebied
(0,5 ? f
e ? 1,2 Hz).
Overigens is het niet noodzakelijk het verschijnsel van lock-in
te toetsen, aangezien de eigenfrequentie ? 2,5 Hz.
In figuur 3 wordt de reductiefactor ? gegeven voor de laterale
richting bij verschillende frequenties van de constructie. Bij
0,5 ? f
e ? 1,2 Hz is ? = 0 en hoeft de versnelling niet te worden
gecontroleerd.
Uitwerking in verticale richting
Ook voor de verticale richting geldt dat eerst de eigenfrequen -
tie van het systeem moet worden bepaald. Alleen als deze in
het kritische gebied 1,25 ? f
e ? 2,3 en 2,5 ? f e ? 4,6 Hz bevindt,
is toetsing van de versnelling nodig. De eigenfrequentie wordt
berekend met behulp van onderstaande vergelijking. Deze
vergelijking is gebaseerd op een één-massa-veersysteem 'single-
degree-of-freedom-system' (SDOF).
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2
EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
In deze formule staat ?A voor de permanent aanwezige massa.
Hieruit volgt een eigenfrequentie in verticale richting van:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 87 3, 43 Hz
2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P
a m
Deze waarde ligt in het kritische gebied (1,25 ? f e ? 4,6), dus de
maximale versnelling moet worden berekend en getoetst aan
de maximaal toelaatbare brugdekversnelling in verticale rich-
ting (a ? 0,7 m/s
2).
Toetsing versnelling
De toetsing van de verticale versnelling kan worden berekend
aan de hand van de formule:
[Formule 1]
= lo;n 1
2
E
f L
[Formule 2]
= 6
lo;n 38000 10
1 2500
139, 24 Hz 2 14 f
[Formule 3]
=la 4 1
2 EI fC AL
[Formule 4]
=
=
6
la 4 1 38000 10 0, 253 9, 8718, 04 Hz 2 2500 0, 76 14
f
[Formule 5]
=\f 4 1
2 EI fC AL
[Formule 6]
= =
6
\f 4 1 38000 10 0, 009 9, 873, 43 Hz2 2500 0, 76 14
f
[Formule 7]
=
*
ma\b *1
2
P a m
waarin:
a
max
is optredende versnelling van het brugdek [m/s 2]
P* is gegeneraliseerde modale belasting [N]
m* is gegeneraliseerde modale massa [kg]
? is dempingsverhouding [-]
? is reductiefactor voor de kans dat de stapfrequentie van
de voetganger het kritische gebied van de eigenfrequen-
tie nadert [-]
Om de versnelling te berekenen, moeten dus eerst de modale
massa (gegeneraliseerde massa) en de modale belasting (gege-
neraliseerde belasting) worden bepaald.
Gegeneraliseerde modale belasting
De generaliseerde modale belasting kan worden berekend met
behulp van de belasting van één voetganger, vermenigvuldigd
met het equivalent aantal voetgangers. Hier moet dus het equi-
valent aantal voetgangers worden bepaald.
Equivalent aantal voetgangers (n') voor VK 1 t/m 3 (VI < 1,0
personen/m
2) is:
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14
0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
26
6
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
waarin:
n' is equivalent aantal voetgangers op het belaste opper -
vlakte S [1/m
2]
? is dempingsverhouding [-]
n is aantal voetgangers op het belaste oppervlak (= S × VI)
[-]
VI is verkeersintensiteit [personen/m
2]
S is oppervlakte van het brugdek dat wordt belast (= L × b)
[m
2]
L is overspanning [m]
b is breedte van het brugdek [m]
Hieruit volgt een equivalent aantal voetgangers:
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14 0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
26
6
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
Ofwel n = n' × S = 4,04 personen over het totale oppervlak.
Ook hierbij geldt dat de modale belasting een bepaald percen-
tage is van de belasting, net zoals bij de modale massa, afhan-
kelijk van de eigentrilvorm. Voor de modale belasting wordt
factor
modbel :
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14
0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
2
[Formule 9C]
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
toegepast. Voor één voetganger moet een
puntlast van 280 N in rekening worden gebracht.
De modale belasting is P* = factor
modbel × n × P voetganger
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14
0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
26
6
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
Cement_Cement 03 2018 44 09-05-18 16:22
Rekenen in de praktijk2013
45
Modale massa
De modale massa bestaat uit de massa van het brugdek en de
massa van de personen op de brug.
Belasting brugdek q = 0,76 m
2 × 25 kN/m 3 = 19,0 kN/m
Voetgangersbelasting:
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14
0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
26
6
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
Met een gemiddelde massa van het lichaam van 74,4 kg (Duitse
volkstelling van 2004) [1] wordt dit:
Voetgangersbelasting:
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14
0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
26
6
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P
a
m
Omdat het aandeel van de voetgangers kleiner is dan 5% van de
massa van het brugdek (namelijk 3,9%), voegt de massa van de
voetgangers niet veel toe ten opzichte van de massa van de
constructie. Daarom kan de massa van de voetgangers worden
verwaarloosd.
De modale massa is een bepaald percentage van de totale
massa. Dit percentage hangt af van de eigentrilvorm van de
constructie. De eigentrilvorm bij een scharnierend opgelegd
systeem is factor
modmas = 0,5 (50%).
Dit geeft een modale massa (m*) van:
m* = 0,5 × 19 kN/m
1 × 14 m = 140 kN = 13.300 kg
Reductiefactor voor de brugdekversnelling
De versnelling moet nog worden gereduceerd met een factor ?
voor de brugdekversnelling. Deze factor is afhankelijk van de
eigenfrequentie van het systeem. Deze factor kan ook in reke-
ning worden gebracht bij het bepalen van de belasting, maar
dat komt op hetzelfde neer.
? = 0,25 (25%) bij f
e = 3,428 Hz (conform figuur 2)
Optredende versnelling
Met de berekende modale massa, modale belasting, de
dempingsverhouding en de reductiefactor kan de optredende
versnelling van het brugdek worden bepaald, volgens:
[Formule 8]
=
10, 8 n n S
[Formule 9]
==
2 10, 8 0, 01 14
0,144 personen/ m 28 n
[Formule 9B]
26
6
=
2 4, 04 280 720, 32 \f
[Formule 10]
= voetg\bnger q m VI S
L
[Formule 11]
= =
0, 744 0, 5 280, 744 k\f/m 14 q
[Formule 12]
= = =
* 2 m\bx* 1 720,32 1 0, 25 0, 677 m/s 2 13300 2 0, 01
P a m
De optredende versnelling van a
max = 0,677 m/s 2 ? 0,7 m/s 2, dus
voldoet.
Conclusie
De eigenfrequentie in longitudinale en laterale richting vallen
beide buiten het kritische gebied en voldoen dus. De eigenfre-
quentie in verticale richting valt wel binnen het kritische
gebied, waardoor de maximale versnelling moet worden
getoetst. Ook die blijkt te voldoen.
?
? LITERATUUR
1
EUR 23984 EN: Design of lightweight footbridges for human induced
vibrations.
2 NEN-EN 1990+A1+A1/C2:2011/NB:2011, artikel A.2.4.3.2. h.
Vervolgartikelen
In twee toekomstige afleveringen in deze rubriek
worden de volgende onderwerpen behandeld:
? Joggersbelasting
? Vandalismebelasting
Theorie
Meer achtergrondinformatie over het berekenen
van comfort van voetgangersbruggen
staat in het artikel 'Comfort van voetgangersbrug-
gen', elders in dit nummer. Daarin worden de
belangrijkste eisen, belastingen en formules, die
ook in dit artikel terugkomen, uitgelegd.
Cement_Cement 03 2018 45 09-05-18 16:22
Reacties
Detlev Ossendorp - Wijma Kampen 11 november 2020 16:10
Kan ik dit artikel bestellen als ik geen lid ben?