46 Joggersbelasting in norm reëel? In de Eurocode wordt voorgeschreven om de te verwachten versnellingen van voetgangersbruggen, als gevolg van joggers, te berekenen door een harmoniserende puntlast te plaatsen halverwege de over - spanning. De vraag is of dit wel reëel is. Uitkomsten verkregen met de norm zijn vergeleken met zowel een alternatieve rekenmethode als met meetresultaten uit de praktijk. Dit leidt tot interessante inzichten. Onderzoek naar versnellingen betonnen voetgangersbrug met korte overspanning als gevolg van joggers 1 Toetsing Voetgangersbruggen moeten volgens de Eurocodes worden getoetst op comfort als de eigenfrequentie van het dek kleiner is dan 5 Hz [1]. Hierbij wordt gekeken naar versnellingen die optreden als gevolg van voetgangers en joggers, waarbij de optredende versnellingen de gegeven versnellingslimieten niet mogen overschrijden. Zowel de nationale bijlage van Eurocode 1990 [1] als de nationale bijlage van Eurocode 1991-2 [2] verwijst naar de richtlijn EUR 23984 EN 'Design of Lightweight Footbridges for Human Induced Vibrations' [3]. In deze richt- lijn staat de te hanteren rekenmethode om de te verwachten Er worden steeds slankere betonnen voetgangersbruggen ontworpen. Redenen hiervoor zijn esthetische waarde, duur - zaamheid en bouwkosten. Een mogelijke bijkomstigheid van het slanker ontwerpen is dat deze bruggen een eigenfrequentie krijgen die zodanig laag is, dat deze in het frequentiegebied terechtkomt waarin een persoon zich voortbeweegt. Hierdoor kunnen trillingen van het brugdek optreden. Als de stapfre- quentie van de persoon die zich over de brug voortbeweegt gelijk is aan de eigenfrequentie van de brug leidt dit tot reso- nantie, waarbij de optredende versnellingen van de brug de versnellingslimiet kunnen overschrijden. Afstudeerscriptie Een link naar de afstudeerscriptie 'Trillingen van betonnen voetgangersbruggen', waar - naar in dit artikel wordt verwezen, staat bij dit artikel op Cementonline. Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018 47 Richtlijn EUR 23984 EN EUR 23984 EN beschouwt twee rekenmethoden voor het bere- kenen van de responsie van het systeem. Dit zijn de methode waar het systeem wordt beschouwd als een systeem met één vrijheidsgraad (SDOFM, Single Degree of Freedom Method) en de responsiespectrummethode (RSM, Response Spectra Method). Het berekenen van de responsie van het systeem als gevolg van joggers met de RSM wordt niet behandeld in de EUR 23984 EN. In dit artikel wordt daarom alleen het resultaat met de SDOFM beschouwd. Rekenmethode SDOFM De joggers worden gemodelleerd als harmoniserende puntlas- ten, die gezamenlijk halverwege de overspanning van het brugdek worden geplaatst (F(t)). De massa van het brugdek is verondersteld een geconcentreerde massa te zijn, de modale massa ( m). Ditzelfde wordt gedaan voor de stijfheid (k) en de demping ( c). Op deze manier is het brugdek gemodelleerd als een systeem met één vrijheidsgraad (SDOFM). Het model is schematisch weergegeven in figuur 2. De te verwachten versnelling van het brugdek met de SDOFM is afkomstig uit de steady-state en wordt berekend met behulp van formule 2: Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ (2) waarin: a max is optredende versnelling van het brugdek [m/s 2] p* is modale belasting [N] m* is modale massa brugdek [kg] x is dempingscoëfficiënt [-] Y is reductiefactor ten behoeve van de optredende versnel - ling [-] (fig. 3) Joggers Het kritieke interval van stapfrequenties voor joggers is 1,9 Hz ? f e ? 3,5 Hz. De grootte van de reductiefactor die in rekening moet worden gebracht voor de bepaling van de te verwachten optredende versnelling van het brugdek is afhanke- lijk van de stapfrequentie van de jogger (fig. 3). De jogger, die rent met een snelheid ? 3 m/s, heeft een verticale belastingscomponent van 1250 N [2, 3]. Er mag vanuit worden gegaan dat elke jogger is gepositioneerd, daar waar de verplaat- sing van het dek het grootst is en dat de jogger zich niet voort- beweegt. Daarnaast wordt verondersteld dat de stapfrequentie van de jogger gelijk is aan de eigenfrequentie van het systeem. Voor het bepalen van de optredende versnelling geldt formule 2. De grootte van de totale verticale belastingscomponent is afhankelijk van de lengte van de overspanning [2]. De hoeveel- ir. Frank Beers 1) Nobleo Bouw & Infra 1 Voetgangersbrug 'Zwaaikom' te Eindhoven 1) Speciale aandacht en dank gaat uit naar dr.ir. K.N. van Dalen van de TU Delft voor het overdragen van de kennis op het gebied van dynamisch gedrag van systemen. versnellingen van het brugdek te berekenen. Tevens zijn versnellingslimieten gegeven, die zijn ingedeeld in comfortklas- sen (onafhankelijk of de versnelling wordt opgewekt door voet- gangers of joggers). Volgens de Eurocode (NEN EN 1991-2 NB.A.3.3) wordt een harmoniserende puntlast, die de jogger representeert, halver - wege de overspanning gemodelleerd. Hierna wordt voor de toetsing de versnelling van het systeem in rekening gebracht, die optreedt na een oneindig lange tijdsperiode. Deze oneindig lange tijdsperiode wordt ook wel de 'steady-state' genoemd. De vraag is of dit een realistische benadering van de werkelijk- heid is. Het mag dan misschien een goede benadering zijn voor voetgangersbruggen met een lange(re) overspanning, maar als wordt gekeken naar voetgangersbruggen met een korte(re) overspanning, worden de werkelijk optredende versnellingen volgens deze rekenmethode overschat. De jogger beweegt zich immers voort over de brug (en staat niet stil). Bovendien is de jogger enkel voor een korte tijdsperiode op de brug aanwezig. Er is een alternatief model opgezet om de optredende versnel - lingen van een voetgangersbrug te berekenen. Dit model is opgesteld in een afstudeeronderzoek dat eerder aan de TU Delft is uitgevoerd [4]. In dit model is de jogger gemodelleerd als een harmoniserende puntlast die zich in verloop van tijd over de brug voortbeweegt. De berekende versnellingen volgens het alternatieve model zijn vergeleken met de versnellingen die optreden als de rekenme- thode uit richtlijn EUR 23984 EN wordt gebruikt. In beide geval- len zijn de versnellingen van een betonnen brugdek berekend in verticale richting op de locatie waar de verplaatsingen van het systeem het grootst zijn ten tijde dat het systeem beweegt in de fundamentele trilvorm (ofwel: halverwege de overspanning). De formule voor het bepalen van de eigenfrequentie die hoort bij de fundamentele trilvorm (in geval het systeem aan weerszijden scharnierend is opgelegd) is gegeven in formule 1: Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ (1) waarin: f e is fundamentele eigenfrequentie [Hz] E is elasticiteitsmodulus beton [N/m 2] I is oppervlaktetraagheidsmoment doorsnede [m 4] µ is gewicht brugdek [kg/m] L is lengte overspanning [m] Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018 48 overspannig ca. 20 mm k c verticale r eductiefac tor [-] frequentie [H z] 0 1,9 2,2 2,7 3,5 1 De linkerzijde van de differentiaalvergelijking omschrijft de eigenschappen van het brugdek en de rechterzijde is de belas- tingsterm die aangrijpt op het systeem. Als de belasting wordt aangebracht door een jogger kan de belastingsterm worden uitgedrukt als gegeven in formule 4: Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ (4) Hierin is: f(t) de belasting geschreven als functie van tijd [N] Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L? ?? ? Formule 2: max *1 *2 p a m ? ? ? Formule 3: ( ;) ( ;) ( ;) ( ;) Aw xt cw xt EIw xt p xt ? ???? ?? ? Formule 4: ? ? ?? ? ??? ? ? ; pxt f t x vt Ht Ht Lv ? ? ? ? ? ?? ? ? Formule 6: (0; ) ( ; 0) 0 w t wx ? ? Formule 7: ?? ? ? b t t-? n 2 nn 0 n1 n () 2 ( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor 0 Yx w xt P Y v e t dt Lv AL ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? Formule 8: ?? ? ? b Lv t-? n 2 nn 0 n1 n / () 2 ( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor Lv Yx w xt P Y v e t d t AL ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? Formule 9: 62 22 e 44 11 64.000 10 1, 7269 10 2, 47 [Hz] 2 2 2142 21, 37 EI f L?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? Formule 10: het toepassen van de belasting f(t) in 0 < x < L in verloop van tijd, die wordt gekenmerkt door toepassing van de Dirac delta-functie, waarin v gelijk staat aan de snelheid van de voortbewegende functie f(t), en t de tijd [1/m] Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L? ?? ? Formule 2: max *1 *2 p a m ? ? ? Formule 3: ( ;) ( ;) ( ;) ( ;) Aw xt cw xt EIw xt p xt ? ???? ?? ? Formule 4: ? ? ?? ? ??? ? ? ; pxt f t x vt Ht Ht Lv ? ? ? ? ? ?? ? ? Formule 6: (0; ) ( ; 0) 0 w t wx ? ? Formule 7: ?? ? ? b t t-? n 2 nn 0 n1 n () 2 ( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor 0 Yx w xt P Y v e t dt Lv AL ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? Formule 8: ?? ? ? b Lv t-? n 2 nn 0 n1 n / () 2 ( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor Lv Yx w xt P Y v e t d t AL ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? Formule 9: 62 22 e 44 11 64.000 10 1, 7269 10 2, 47 [Hz] 2 2 2142 21, 37 EI f L?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? Formule 10: tijdsinterval dat in rekening moet worden gebracht die nodig is om over te steken, geschreven als een Heaviside- functie [-] De belasting f(t) is afhankelijk van de relatie tussen de stapfre- quentie van de jogger en de bijbehorende snelheid, evenals de relatie tussen de stapfrequentie van de jogger en de belasting die wordt uitgeoefend door de jogger (fig. 5). heid joggers die in rekening moet worden gebracht als de over - spanning ? 20 m, is 5. Als de overspanning > 20 m, moeten er 10 joggers in rekening worden gebracht. Alternatief model In geval van een betonnen brugdek met een korte overspan- ning, waarbij de eigenfrequentie van het systeem binnen het kritieke interval van de stapfrequenties voor joggers valt, over - schrijdt de berekende versnelling volgens de SDOFM in bijna alle gevallen de versnellingslimiet [4]. Om een beter beeld te krijgen van de werkelijk optredende versnellingen, is zoals eerder gesteld een alternatief model opgesteld. Dit model maakt gebruik van een belastingsfunctie ( f( t)) die zich in verloop van tijd over het brugdek voortbe- weegt. Deze belastingsfunctie bevat een harmoniserende puntlast die de jogger representeert. Verder is in het model het brugdek aan weerszijden scharnierend opgelegd. Op basis van dit model is een bewegingsvergelijking opgesteld, die vervolgens analytisch is opgelost. De oplossing is een functie die afhankelijk is van plaats en tijd. Met deze functie kunnen de optredende verplaatsingen van het brugdek worden bepaald. Het model is weergegeven in figuur 4. De gebruikte bewegingsvergelijking om het alternatieve model te benaderen, is gegeven in formule 3: Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ? Formule 4: ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ (3) Hierin is: ? dichtheid beton [kg/m 3] A oppervlakte doorsnede [m 2] Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L? ?? ? Formule 2: max *1 *2 p a m ? ? ? Formule 3: ( ;) ( ;) ( ;) ( ;) Aw xt cw xt EIw xt p xt ? ???? ?? ? Formule 4: ? ? ?? ? ??? ? ? ; pxt f t x vt Ht Ht Lv ? ? ? ? ? ?? ? ? Formule 6: (0; ) ( ; 0) 0 w t wx ? ? Formule 7: ?? ? ? b t t-? n 2 nn 0 n1 n () 2 ( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor 0 Yx w xt P Y v e t dt Lv AL ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? Formule 8: ?? ? ? b Lv t-? n 2 nn 0 n1 n / () 2 ( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor Lv Yx w xt P Y v e t d t AL ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? Formule 9: 62 22 e 44 11 64.000 10 1, 7269 10 2, 47 [Hz] 2 2 2142 21, 37 EI f L?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? Formule 10: (x; t) tweede afgeleide van de verplaatsing, die is geschre- ven als functie van plaats en tijd, naar tijd, oftewel de versnelling [m/s 2] c gelijkmatig verdeelde demping [(kg/s)/m] Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L? ?? ? Formule 2: max *1 *2 p a m ? ? ? Formule 3: ( ;) ( ;) ( ;) ( ;) Aw xt cw xt EIw xt p xt ? ???? ?? ? Formule 4: ? ? ?? ? ??? ? ? ; pxt f t x vt Ht Ht Lv ? ? ? ? ? ?? ? ? Formule 6: (0; ) ( ; 0) 0 w t wx ? ? Formule 7: ?? ? ? b t t-? n 2 nn 0 n1 n () 2 ( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor 0 Yx w xt P Y v e t dt Lv AL ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? Formule 8: ?? ? ? b Lv t-? n 2 nn 0 n1 n / () 2 ( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor Lv Yx w xt P Y v e t d t AL ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? Formule 9: 62 22 e 44 11 64.000 10 1, 7269 10 2, 47 [Hz] 2 2 2142 21, 37 EI f L?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? Formule 10: (x; t) eerste afgeleide van de verplaatsing, die is geschreven als functie van plaats en tijd, naar tijd, oftewel de snelheid [m/s] E elasticiteitsmodulus beton [N/m 2] I oppervlaktetraagheidsmoment doorsnede [m 4] w'''' (x ; t) vierde afgeleide van de functie van de verplaatsing, die is geschreven als functie van plaats en tijd, naar plaats [m -3] p (x; t) functie van de belasting afhankelijk van plaats en tijd [N/m] 2 3 4 x = 0 t = 0 x = L t = L/v L w x v x = vt w(x;t) f(t) Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018 49 stapfrequentie [stap/s] 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 staplengte [m] stapfrequentie [stap/s] piekbelasting/ statisch gewicht contact tijd [s] 3,0 2,0 1,0 0,6 0,4 0,2 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 2 Voetgangersbrug gemodelleerd als een gedempt één-massa-veersysteem 3 Reductiefactor voor de verticale versnelling door joggers, afhankelijk van de stapfre - quentie [3] 4 Alternatief model [4] 5 Relatie tussen stapfrequentie van jogger met de stapafstand (a), en piekbelasting en statisch gewicht (b) [4] b = Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ = vereenvoudiging van de notatie van de differentiaalvergelijking [1/s] c gelijkmatig verdeelde demping [(kg/s)/m] P grootte van de joggerbelasting [N] ? stapfrequentie van de jogger [rad/s] ? integratievariabele [s] Y n (v?) plaatsafhankelijke functie uitgedrukt in snelheid en integratievariabele [-] v snelheid van de jogger [m/s] t tijd [s] De versnellingen van het brugdek kunnen worden berekend door formule 7 en 8 tweemaal te differentiëren naar tijd. Casestudy De berekende versnellingen volgens het alternatieve model en de berekende versnelling volgens de SDOFM zijn vergeleken met een praktijksituatie. Hiertoe is een recentelijk gebouwde betonnen voetgangersbrug te Eindhoven (2015), genaamd brug 'Zwaaikom' (foto 1 en 6), gebruikt als casestudy. Deze brug is aan weerszijden scharnierend opgelegd. In twee situaties zijn de optredende versnellingen van het brugdek halverwege de overspanning gemeten. In de eerste situatie wordt één jogger beschouwd die over het brugdek rent. In de andere situatie zijn er twee joggers die over het brugdek rennen. Voor het verkrijgen van de meetresultaten is de eigenfrequen- tie van het brugdek niet bepaald en ook zijn de stapfrequenties tijdens het rennen niet gemeten. De hoogst optredende versnellingen die zijn gemeten, zijn verkregen als gevolg van een proces van trial-and-error. De optredende versnellingen zijn gemeten met een versnellingsmeter die geplaatst is halverwege de overspanning. Beide testpersonen hebben een gewicht van ongeveer 80 kg (= 800 N, gelijkwaardig uitgangs- punt als [3]). Parameters De fundamentele eigenfrequentie van het systeem is berekend in formule 9: Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ (9) Ter plaatse van de opleggingen treden er geen verplaatsingen op, evenals dat er geen momenten optreden. Deze randvoor - waarden voor de bewegingsvergelijking in de gegeven situatie zijn gegeven in formule 5. Formule 10: = = = 2 2 1 1250 11 1 1 74 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max () p* a , m* , ( , ) , Formule 11: Vervanging formule (5): == == 00 00 \f ( ;t ) \f ( L;t ) \f \b\b ( ; t ) \f \b\b( L ; t ) Vervanging (6): ==? 0 00 \f(x; ) \f(x; ) = = = 2 2 2 1250 11 1 3 48 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max () p* a , m* , ( , ) , (5) In het model is ervan uitgegaan dat de brug volledig in rust is op het moment dat de jogger de brug betreedt. De beginvoor - waarden voor de bewegingsvergelijking zijn gegeven in formule 6: Formule 10: = = = 2 2 1 1250 11 1 1 74 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max () p* a , m* , ( , ) , Formule 11: Vervanging formule (5): == == 00 00 \f ( ;t ) \f ( L;t ) \f \b\b ( ; t ) \f \b\b( L ; t ) Vervanging (6): ==? 0 00 \f(x; ) \f(x; ) = = = 2 2 2 1250 11 1 3 48 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max () p* a , m* , ( , ) , (6) Het oplossen van de differentiaalvergelijking resulteert in formules voor het bepalen van de verplaatsingen van het brugdek in verloop van tijd. Er is onderscheid gemaakt tussen de situatie waarbij joggers aanwezig zijn op het brugdek en de situatie waarbij de joggers niet meer aanwezig zijn op het brugdek, zie formule27 en 8. In dit artikel wordt gekeken naar de verplaatsingen die optreden halverwege de overspanning. Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t ) P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ voor Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ (7) Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t ) P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ voor Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ (8) Hierin is: w(x;t) verplaatsing van de ligger als functie van plaats en tijd [m] ? dichtheid beton [kg/m 3] A oppervlakte doorsnede [m 2] L lengte van de ligger [m] plaatsafhankelijke functie [-] ?n eigenhoekfrequentie van de beschouwde eigentril - vorm [rad/s] ? = Formule 1: 2 e 4 1 2 EI f L = µ Formule 2: = 1 2 max p* a m* Formule 3: Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?   &
}
?
u
?
o
?W ( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ?  ??? Formule 6: ==? 0 00 w( x; ) w( x; ) Formule 7: () () \b t- t n 2 nn 0 n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL = = < ? ? Formule 8: () () \b t- Lv n 2 nn 0 n1 n 2 voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL = = \f ? ? 2 2 1 4 n \b = = \f A = Formule 9: 62 22 e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37 EI. , f , L, = = = µ factor voor de bepaling van de gedempte eigenhoekfrequentie [-] 5b 5a Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018 50 6 Gemeten versnellingen halverwege de overspanning door één jogger 7 Berekende versnellingen halverwege de overspanning volgens het alterna- tieve model door één jogger 8 Gemeten versnellingen halverwege de overspanning door twee joggers 9 Berekende versnellingen halverwege de overspanning volgens het alter - natieve model door twee joggers Resultaten Resultaten van beide situaties laten zien dat het alternatieve model de werkelijk optredende versnellingen van een betonnen brug met een korte overspanning beter benadert, in tegenstel- ling tot het berekende resultaat volgens de SDOFM die wordt voorgeschreven door de EUR 23984 EN. Conclusies De werkelijk optredende versnellingen van een brugdek dat aan weerszijden scharnierend is opgelegd, als gevolg van joggers die over het brugdek heen rennen, worden aanzienlijk overschat als de SDOFM uit de EUR 23984 EN wordt gebruikt. In deze methode wordt de te verwachten versnelling van het systeem berekend ten tijde van de steady-state. Het alternatieve model dat is voorgesteld in dit artikel, waarin een jogger is gemodel- leerd als een harmoniserende puntlast die zich voortbeweegt in verloop van tijd, benadert de werkelijk optredende versnellin- gen van het brugdek beter. Discussiepunten Uit het eerdergenoemde afstudeeronderzoek [4] is een aantal aandachtspunten naar voren gekomen. In geval van de case- study moet aandacht worden besteed aan het (gelijktijdig) voortbewegen over het brugdek in een stapfrequentie die gelijk is aan de eigenfrequentie van de brug. Als hier ook maar iets van wordt afgeweken, zal resonantie niet optreden. Dit samen met het feit dat joggers die over een brug met een korte over - spanning rennen enkel voor een korte tijdsperiode hierop aanwezig zijn, kan worden gesteld dat grote versnellingen in geen geval zullen optreden. Overigens is het zeer onwaarschijnlijk dat joggers onderling een stapfrequentie hebben die gelijk aan elkaar is, omdat personen onderling veelal een ander gewicht en een andere heuphoogte hebben. Hierdoor kan al een klein verschil in stapfrequentie tussen de joggers optreden, wat als gevolg heeft dat resonantie van het brugdek niet zal optreden. In geval van een brugdek met een korte overspanning kan de steady-state niet worden bereikt, omdat de joggers enkel voor een korte tijdsperiode op het brugdek aanwezig zijn. De richtlijn EUR 23984 EN schrijft voor om de versnelling uit de steady-state toe te passen, waarbij joggers zijn gepositio- neerd halverwege het brugdek, wat een zeer conservatieve benadering is. Als in een ontwerp van een voetgangersbrug wordt gekeken naar de optredende versnellingen, moet er een duidelijk verschil worden gemaakt tussen comfort en vandalisme De berekende eigenfrequentie is kleiner dan 5 Hz. Om deze reden is comfort beschouwd. Gemeten versnellingen door één jogger De optredende versnellingen die zijn gemeten als gevolg van één jogger zijn gegeven in figuur 7. Alternatief model bij één jogger De berekende versnellingen van het brugdek volgens het alter - natieve model zijn gegeven in figuur 8. De berekende versnel- lingen zijn opgesplitst in twee delen. Hierin is het eerste deel de tijdsperiode waarin de jogger aanwezig is op de brug (blauwe lijn) en het tweede deel de tijdsperiode waarin de jogger niet meer aanwezig is op de brug en de brug uitdempt (rode lijn). SDOFM bij één jogger De optredende versnelling berekend volgens de SDOFM in de steady-state is gegeven in formule 10. Een reductiefactor van ? = 1,0 is toegepast volgens figuur 3. Ter indicatie is in figuur 8 ook de ontwikkeling van de optredende versnellingen gegeven in verloop van tijd, als de SDOFM als rekenmethode wordt gebruikt (oranje lijn). Formule 10: = = = 2 2 1 1250 11 1 1 74 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max () p* a , m* , ( , ) , Formule 11: Vervanging formule (5): == == 00 00 \f ( ;t ) \f ( L;t ) \f \b\b ( ; t ) \f \b\b( L ; t ) Vervanging (6): ==? 0 00 \f(x; ) \f(x; ) = = = 2 2 2 1250 11 1 3 48 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max () p* a , m* , ( , ) , (10) Gemeten versnellingen door twee joggers De optredende versnellingen die zijn gemeten als gevolg van twee joggers zijn gegeven in figuur 9. Alternatief model bij twee joggers Net als in het geval er één jogger over de brug rent, laat figuur 10 de berekende versnellingen van het brugdek zien volgens het alternatieve model als er twee joggers over het brugdek rennen. De berekende versnellingen zijn weer opge- splitst in twee delen, waarin het eerste deel de tijdsperiode is waarin de joggers aanwezig zijn op de brug (blauwe lijn) en het tweede deel de tijdsperiode is waarin de joggers niet meer aanwezig zijn op de brug en de brug uitdempt (rode lijn). SDOFM bij twee joggers De optredende versnelling berekend volgens de SDOFM in de steady-state is gegeven in formule 11. Een reductiefactor van ? = 1,0 is toegepast volgens figuur 3. Ter indicatie is in figuur 10 ook de ontwikkeling van de optredende versnellingen gegeven in verloop van tijd als de SDOFM als rekenmethode wordt gebruikt (oranje lijn). Formule 10: = = = 2 2 1 1250 11 1 1 74 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max () p* a , m* , ( , ) , Formule 11: Vervanging formule (5): == == 00 00 \f ( ;t ) \f ( L;t ) \f \b\b ( ; t ) \f \b\b( L ; t ) Vervanging (6): ==? 0 00 \f(x; ) \f(x; ) = = = 2 2 2 1250 11 1 3 48 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max () p* a , m* , ( , ) , (11) Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018 51 ? LITERATUUR 1 Nationale Bijlage bij Eurocode 1990 Grondslagen van het construc- tief ontwerp (2011). Delft: Nederlands Normalisatie-instituut. 2 Nationale Bijlage bij Eurocode 1991-2 Verkeersbelasting op bruggen (2011). Delft: Nederlands Normalisatie-instituut. 3 EUR 23984 EN, Design of Lightweight Footbridges for Human Induced Vibrations (mei 2009). JRC European Commission. 4 Beers, F.N. (april 2014). Trillingen van betonnen voetgangersbruggen. Afstudeerscriptie, Technische Universiteit Delft. (gerelateerd aan UGT). In geval van vandalisme is het misschien mogelijk de optredende versnelling in de steady- state als gevolg van de SDOFM te gebruiken. In geval van comfort wordt aanbevolen het voorgestelde alternatieve model te gebruiken. ? versnellingen [m/s 2] tijd [s] 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0 -0,20 -0,40 -0,60 -0,80 -1,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 \ 5 6 7 8 9 10 \ 11 12 13 14 15 versnellingen [m/s 2] tijd [s] 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0 -0,20 -0,40 -0,60 -0,80 -1,00 6 7 SDOFM volgens EUR 23984 EN jogger op brug geen jogger op brug 1,601,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0 -0,20 -0,40 -0,60 -0,80 -1,00 -1,20 -1,40 -1,60 1 2 3 4 \ 5 6 7 8 9 10 \ 11 12 13 14 15 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0 -0,20 -0,40 -0,60 -0,80 -1,00 -1,20 -1,40 -1,60 8 9 versnellingen [m/s 2] tijd [s] versnellingen [m/s 2] tijd [s] SDOFM volgens EUR 23984 EN jogger op brug geen jogger op brug Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018