IUTILITElTSBOUW I I_B_ERE__KE__N_IN_G~~~~~_WRINGSTIJFHEID VAN EENGEPERFOREERDE KERNir.G.P.C. van Oosterhout, TU Delft, faculteit Civiele Techn?ek, vakgroep Uti1?teitsbouwproEdr.irJ.Blaauwendraad, TU Delft, faculteit Civiele Techniek, vakgroep Mechan?ea & Construct?esAls een hoog gebouw op wringing wordt belast, is de wringstijfheid van destabiliteitsvoorziening een belangrijke paratneter in de beoordeling van het gedragvan zo'n gebouw. In de Nederlandse hoogbouw wordt de stabiliteit vaak verzorgddoor een betonnen kern. Kentnerkend zijn de sparingen .die op elke verdiepingaanwezig zijn voor de toegang naar liften en trappen en voor het doorvoeren vanleidingen. Voor het bieden van weerstand tegen wringing is een koker een idealevortn, tnaar door de aanwezigheid van de sparingen in de kern treedt verzwakkingop. In het kader van een afStudeeropdracht aan de TU Delft is een analytischetnethode ontwikkeld Otn zulke geperforeerde kernen te kunnen berekenen.Voor het berekenen van geperforeerde kerne.n is ge-bruik gemaakt van de zogenaamde membraan-ana-logie, gebaseerd op studies van De Saint-Venant enPrandtl.De methode is gebaseerd op deanalogie tussende dif-ferentiaalvergelijking voorwringing eneen gespannen mem-braan. Voor een aantal gevallen, waaronder dunwandige pro-fielen, kan zo op een eenvoudige man?er de wringstijfheidworden bepaald.Indit artikel zal aan de hand van eenvoorbeeld duidelijkwor-den gemaakt hoe de membraan-analogie in de praktijk kanworden gebruikt en hoe de invloed van de spar?ngen in de re-kenprocedure wordt verwerkt. Voor een verklaring van deachterliggende theorie wordtverwezen naar [1,2]. Details vande h?er gepresenteerde uitbreiding om geperforeerde kernente kunnen berekenen, zijn te vinden in [3].De methodeis gebruikt omde kernvaneenkantoortoren meteen hoogte van 70 m door te rekenen. Het gebouw heeft eendriehoekige vorm, waardoor de plattegrond op een smalletaartpunt lijkt. Ditwerkwas onderdeel van een stagebij inge-n?eursbureau Grabowsky & Poort. Met de aldaar besch?kbaresoft-ware zijn de resultaten gecontroleerd.Wringstijfheid van een gesloten kokerOm de membraan-analogie te demonstreren wordt een ko-ker beschouwd, in eerste instantie zonder sparingen, waarvaneen dwarsdoorsnede te z?en is in figuur 1. De buitenaf-metingen van de koker zijn ben d. De wanddikte t is constantover de omtrek van de koker.Terwille vande duidelijkheid zijn in figuur 1dewanden rela-tief dikgetekend , maar in de theor?e wordt een dunwandigprofiel verondersteld, dus t < < ben t < < d.De membraan-analogie gaat uitvan eengesloten doos, waar-bij in dit voorbeeld kan worden gedacht aan een schoenen-doos (fig. 2).Deverticalewandenvande doosvallensamenmethet buitenoppervlak van de koker. De bodem is gesloten. Hetdeksel van de doos bestaat uit twee verschillende del?n. Hetdeel boven de betonwanden met breedte t bestaat uit eenmembraan dat in twee richtingen onder spanning staat. Aande buitenkant is dit membraan bevestigd aan de verticalewanden van de doos, aan de binnenkant aan een horizontaleplaat.Deze plaat is het tweede deel van het deksel. De oppervlaktevan de plaat komt overeen met de oppervlakte binnen de ko-kerwanden. In dit gedachtenmodel wordt de plaat gewichts-loos beschouwd. Tevens wordt aangenomen dat de plaat on-eindig stijf?s en dus alleen starre verplaatsingen kan onder-gaan.Indedooswordteenoverdrukpaangebracht,waardoordege-wichtsloze plaat naar boven verplaatst. Het membraan komtdan onder een helling te staan en oefent neerwaarts gerichtekrachten op de plaat uit. De evenwichtsstand en de volume-vergroting van de doos zijn te bepalen. De volumevergrotingis een maat voor de tors?estijfheid.Figuur 3 geeft een en ander aanschouwelijkweer. In figuur 3ais de spankracht Sper eenheid van membraanbreedte aange-bracht. Infiguur 3b is te z?en hoe de plaatonderoverdrukver-plaatst.1 KokerdoorsnedeI1 'Jd,r bJ 2 Kokersegrnent lllet gewichtslozeplaatCement 1993 nr. 5 51IUTILlTElTSBOUW IBEREKENlNG54 Evenwicht van de plaata1f f f f f fpf f t t t trb ;,lfb 1(4)(2)(3)q(2b + 2d) = pbdv == wbd, dus kan gesteld worden:2 Gb2d2tGIt = 2 V = 2 wbd==b+d3 Model ntet ntentbraan en gewichtsloze plaat in rust (a)en onder overdruk p (b)Met de theor?e van de membraan-analog?e kan voor p = 2 en I--~~~------~----~---~-------i$ = 1/Gwordenaangetoond, datdewr?ngstijfhe?d Gl,gelijk S?s aan tweemaal de volumeverander?ng Vonder het mem- wL/1..qbraan en de plaat ?n de opgespannen toestand.Omdat de beschouwde koker dunwand?g ?s (t < < d) geldt:J f ,rSubstitutie van (2) ?n (1) geeftw= ~...L2b+2d $In figuur 4 ?s een gedeelte van de plaat nogmaals getekend als -t-L+ -t---i-.ter de overdrukp op werkt. U?t de figuur kan worden afgele?d +---"r-I-e============p=la=a=t---"=lF==m=e=m=br=aa==n:>-_\+-rr-~dat voor de dwarskracht per lengte, q, geldt: swq =-$ (1)tDe dwarskracht qkan dus ?n de spankracht $ en de verplaat-s?ng w worden u?tgedrukt. U?t het vert?cale krachteneven-w?cht van de plaat kan worden afgeldd dat5 Rechthoekige kern, twee tegenover elkaar liggendesparingen per etageh~---LS--~gIrIJrt.r b ,r7 Schentatisering latei6 Wanddeel in vervorntde toestandWringstijfheid van een geperforeerde kokerDe d?chte koker komt ?n de dagelijkse praktijk we?n?g voor,wel de geperforeerde koker, zoals een kern ?n een hoog ge-bouw, waar op elkeverd?ep?ng toegangen naar de l?ften, trap-pen en ?nstallaties benod?gd zijn.Infiguur5 ?s een rechthoek?ge kernafgebeeld metop elkever-d?ep?ng twee toegangen naar de verticale transportm:?ddelen.De verd?ep?ngshoogte ?s hende afmet?ngenvan de late? ax hl'Ind?en de latden voldoende sterk zijn, kan er vanu?t wordengegaan dat zo'n kern z?ch zal gedragen als een d?chte koker endus ?ngevalvanwr?ng?ngmetdeh?ervoorgeschetste methodekan worden berekend. Ter plaatse van de late?en ?s de kokerechter slapper.De strook met afwisselend late?en en open?n-gen zal daarom worden vervangen door een homogene ?so-trope wand meteen andere, fictieve d?kte.Dezed?ktezal eerstworden afgele?d,waarnawordtgedemon- ts;lbUi9Puntstreerd hoe de ?nvloed van de latden ?n de membraan-analo- [---~- -----]-g?e wordt verwerkt.&p,/ingfi'tiffi>dikte 1-._-----I '.ot"De fictieve d?kte kan worden bepaald door het gedrag van de ~Idatek?tebesch~uwena5Is,~ekernd~aa~wr~ngen.lnfigduur6?svand- - - , j ' a ~ ---- ~e ern van Llguur een ver lepmg m vervorm e toestan I----~~~----_~~----~--__~weergegeven. Doorwr?ng?ng van de kern zullen schu?fkrach-ten ?n de wanden worden ge?ntroduceerd.De vervorm?ngvan de staaf-as van de late? ?s weergegevenmet I---------------~~-~--~--------ieenstippellijn.Delate?d?entde schu?fkrachtend?e op??nver- I'f------------fPwd?ep?ng van de kernwand werken, over te brengen. U?t het /, . _vervorm?ngsbeeld van figuur 6 volgt, dat de late? kan wordengeschemat?seerd tot een ?ngeklemde l?gger met een lengte1= 1/2a + 1/2hj ? Met de bijdrage 1/2hj ?s de ?nklemm?ng van delate? ?n reken?ng gebracht, I ~Vanwege het bu?gpunt op 1/2a wordt de l?gger alleen belast +--~-_..:...-_-----:door een puntlast Pop het vrije e?nd. De verplaats?ng wvolgtdan u?t de schemat?ser?ng volgens figuur 7. Voor de ?nge-Tot nu toe ?s er bij de bereken?ng vanu?t gegaan, dat de koker ~-----~~------~----~~-----Jeen constante d?kte bez?t. D?t ?s echter geen voorwaarde voorde toepass?ng van de membraan-analog?e voor het berekenenvan de wr?ngstijfhe?d. H?ervan zal m het h?ernavolgendedankbaar gebru?k worden gemaakt.52 Cement 1993 nr. 5Voor rechthoekige doorsneden is 1'] = 1,2 en voor beton is deverhouding G/E ongeveer 0,4, zodat (6) ook kan worden ge-schreven als:I1 '= liJ,~ ZE J l,," b 7 It* = t J!.Lh1,2+0,4(1 +~?hj(7)Met deze formule voor de fictieve dikte kan de membtaan-analogie ook voor geperforeerde betonnen kernen wordentoegepast.~ 'w~ W8 KokerdoorsnedeEvenwicht van deplaatNu een uitdrukking voor de fictieve dikte als functie van deafmetingen van de latei bekend is, kan de procedure die bij dedichte koker is gebruikt, worden gevolgd. De lateien wordenvervangen door een homogene wand met een dikte die volgtuit formule (7).Dit levert een fictieve doorsnede op zoals in figuur 8 is weer-9 Doorsneden voor bepaling dwarskracht ql gegeven. Voor de wanden met dikte tgeldt een dwarskracht 111----'-----'-----'----------'-----------\ in het membraan:64~~~~::3JJ 13 -~'~~mmetrie-as L>I(8)De helling van het membraan ter plaatse van de sparingenloopt steiler (fig. 9) en voor de dwarskracht 12 over de lengte 1geldt:w1012 =7 S (9)Kern BeatrixkwartierI------------------------,..j Uit het verticale evenwicht van de plaat volgt dus::tWLL._._.-._.-.-.-.-~--.-.-?.--..__~w:t 1j[2d + 2(b - 21)] + 12 . 41 = bdp (10)(11)Uiteindelijk wordt door substitutie vanp = 2 en S = liG entoepassing van de 'volumeregel' gevonden:2 Gb2d2tGI. - 2 1('/,. - 1) + b+ d (12)Vergelijking met uitdrukking (4) laat zien dat in (12) het ver-zwakkende effectvan de sparingen is verwerkt door een extraterm 21('/,.- 1) in de noemer. Een lange (lis groot) enlofslanke('/,. isgroot) latei is dus erg ongunstig voor de wringstijfheid.Meercellige kernAls een kern uit verschillende kokers met sparingen bestaat,kan de membraan-analogie ook worden toegepast. Als voor-beeld de kern uit het voorontwerp van het project Bea-trixkwartier nabij de Utrechtsebaan in Den Haag. De kern isdriehoekig, spiegelsymmetrisch, waarvan ??n helft in figuur10 is afgebeeld. In beide cellen bevinden zich twee sparingenvan 2,4 x 2,4 m2per verdieping. De dikte t van de wand be-draagt 0,3 men de verdiepingshoogte is 3,6 m.De kern bestaat uit twee cellen, dus zijn er ook twee platen inde membraan-analogie. In figuur 11 is een dwarsdoorsnedeover de symmetrie-as getekend, waarin te zien is dat de platenin principe verschillende verplaatsingen hebben.(6)Doorsnede van membraan oversynunetrie-as-,J