Wringing4200982600 20020014501200150015015050WringingRekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (5)Rekenvoorbeelden EC2Het vakblad Cement publiceert een serie met rekenvoorbeeldenwaarin de diverse onderdelen van de Eurocode 2 1) worden toege-licht. De voorbeelden gaan dit keer over wringing. Één over wapenenop wringing en één over het uitnutten van betondrukdiagionalen bijde combinatie van dwarskracht en wringing.Sterktereductiefactor voor beton gescheurd door dwarskracht(EC2; art. 6.3.2(4) en 6.2.2(6) & NB; vgl. (6.6N)):? = 0,6 (1 ­fck____250)= 0,6 (1 ­30____250)= 0,528Betonstaal: fyd= 435 N/mm2.Grootheden volgend uit de geometrie van de doorsnedeDe meewerkende wanddikte (EC2; art. 6.3.2(1) en fig. 6.11) ishet quotiënt van de totale oppervlakte van de dwarsdoorsnedebinnen de buitenomtrek, inclusief de ingesloten holle delen (A)en de buitenomtrek van de doorsnede (u):tef,i=A__u=bh_______2(b + h)=1000 . 1500______________2 . (1000 + 1500)= 300 mmDe meewerkende wanddikte mag niet kleiner zijn dan twee-maal de afstand tussen de rand en de as van de langswapening.Voor een holle doorsnede is de werkelijke dikte de bovengrens.Voor zowel de verticale lijven als de horizontale vlakken geldtRekenvoorbeeld 1 (EC2, par.6.2)In het eerste voorbeeld worden de benodigde hoeveelhedenschuif- en langswapening in een op wringing belaste balk meteen holle, rechthoekige dwarsdoorsnede berekend.UitgangspuntenAfmetingen balk (fig. 1):h = 1500 mm;b = 1000 mm;d = 1450 mm;breedte verticale lijven 200 mm;breedte horizontale lijven 150 mm.Materialen:betonsterkteklasse C30/37;betonstaal B500.Rekenwaarden van de belastingen:dwarskracht VEd= 1300 kN (werkingsrichting evenwijdig metde as van de verticale lijven);wringend moment TEd= 700 kNm.Betonsterkteklasse C30/37:fck= 30 N/mm2; fcd= fck/ 1,5 = 20 N/mm2.1) De artikelenserie is vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. René Braam (TU Delft, fac.CiTG) en afgestemd met Voorschriftencommissie 20.182_87_19_EC2 82 11-06-2009 17:57:09Wringing 42009 83dat de werkelijke dikte (200 mm respectievelijk 150 mm)kleiner is dan de meewerkende wanddikte. Als wordt veronder-steld dat de as van de langswapening in het hart van de verti-cale lijven en horizontale vlakken valt, mag voor de meewer-kende wanddikte de werkelijke dikte van lijven en vlakkenworden aangehouden.Oppervlakte van het gebied omsloten door de hartlijnen van deverbonden wanden, inclusief de ingesloten holle delen:Ak= 1350 · 800 = 1080 · 103mmDe omtrek van het gebied Ak:uk= 2 · (1500 ­ 150) + 2 · (1000 ­ 200) = 4300 mmVerticale lijvenDe grootste equivalente schuifkracht uit gecombineerde dwars-kracht en wringing treedt op in de verticale lijven (EC2; vgl.(6.26) en (6.27)):V *Ed=VEd___2+ tt,itef,izi=VEd___2+TEdzi____2Ak=1300 . 103________2+700 . 106. 1350_____________2 . 1080 . 103= 1087 . 103NOpmerking:De lengte zivan een wand i is gedefinieerd als de afstand tussende snijpunten met de aangrenzende wanden. Hierbij wordtuitgegaan van hartlijnen voor de wanden gebaseerd op demeewerkende wanddikte tef,i, niet op de werkelijke wanddikte.Controleer de weerstand van de betondrukdiagonalen voor degrootste (dus uit oogpunt van de drukspanning in de betondia-gonalen meest gunstige) hoek van de drukdiagonalen, cot? = 1(EC2; art. 6.2.3((3) vgl. (6.9)):VRd,max=acwbwzv1fcd__________cot? + tan?= acwbwzv1fcdsin? cos?Met acw= 1, ?1= ?, ? = 45° en bw= t (de breedte van het verti-cale lijf) volgt:VRd,max= 1 . 200 . 1350 . 0,528 . 20 .1__23__2 .1__23__2 = 1426 . 103NVRd,max> V *Ed, dus de drukdiagonalen zijn in staat de schuif-kracht op te nemen.Bereken uitgaande van verticale beugels voor welke hellings-hoek van de drukdiagonalen de weerstand van deze diagonalenprecies gelijk is aan de rekenwaarde van de equivalente schuif-kracht.VRd,s= VRd,maxofwel V *Ed= VRd,maxvoor een hellingshoek:? =1__2arcsin[ 2V *Ed_________acwv1fcdbwz]waarin voor de hellingshoek ? geldt (EC2; art. 6.2.3 vgl.(6.7N)):2,5 > cot? > 1,0 dus 21,8° < ? < 45°(Opmerking: acw= 1 voor niet-voorgespannen constructies(NB))? =1__2arcsin ( 2 . 1087 . 103____________________1 . 0,528 . 20 . 200 . 1350)= 24,8°Dan is cot? = 2,16.De in de verticale lijven benodigde schuifwapening is (EC2;art. 6.2.3(3) vgl. (6.8)):Asw___s=VEd_______zfywdcot?=1087 . 103_____________1350 . 435 . 2,16= 0,86 mm2/ mmDe vereiste wapening kan worden aangebracht in de vorm vandubbelsnedige beugels Ø 12 mm, beugelafstand 200 mm. Dehart-op-hartafstand van deze beugels voldoet aan de detaille-ringseisen (s < u/8 en s < 0,75d; EC2; art. 9.2.3(3)).Horizontale delen van de doorsnedeDe horizontale delen worden alleen belast door het wringendmoment. De benodigde schuifwapening volgt uit de schuif-kracht die door een constructiedeel moet worden opgenomen(EC2; art. 6.3.2(1) vgl. (6.27) en (6.26)):VEd= tt,itef,izi=TEdzi____2AkDe meewerkende wanddikte is gelijk aan de werkelijke diktevan de horizontale delen.De benodigde schuifwapening is (EC2; art. 6.2.3(3) vgl. (6.8)):Asw___s=VEd_______zfydcot?1 Dwarsdoorsnede van de holle rechthoekigebalk uit rekenvoorbeeld 1, belast door eencombinatie van dwarskracht en wringing(afmetingen in mm)AfkortingenEC2 = NEN-EN 1992-1-1NB = Nationale Bijlage82_87_19_EC2 83 11-06-2009 17:57:09Wringing4200984Opmerking:Een alternatief voor het rekenen met de `bijkomende trek-kracht' ?Ftdis het in ongunstige zin verschuiven van demomentenlijn. Deze verschuivingsregel wordt nader besprokenin EC2 art. 9.2.1.3(2). Bij verticale dwarskrachtwapening moetworden verschoven over:al=1__2z cot?waarin ? is de hellingshoek van de betondrukdiagonalen.Het is toegestaan uit te gaan van al= d; een benadering die ookkan worden gevonden in EC2 art. 6.2.2(5) waar het verschuivenvan de momentenlijn in het door buiging gescheurde deel vaneen ligger wordt besproken.Rekenvoorbeeld 2 (EC2, par.6.3)Het tweede voorbeeld gaat in op de combinatie van wringingen dwarskracht, met een focus op de betondrukdiagonalen;hoeveel en hoe kun je dwarskracht en wringing combinerenom die drukdiagonalen geheel uit te nutten? De rekenmetho-diek wordt toegelicht aan de hand van een balk met een recht-hoekige dwarsdoorsnede.UitgangspuntenAfmetingen balk (fig. 2):h = 500 mm;b = 300 mm;d = 455 mm.Materialen:betonsterkteklasse C30/37;betonstaal B500.Betonsterkteklasse C30/37:fck= 30 N/mm2; fcd= fck/ 1,5 = 20 N/mm2.Dan volgt:Asw___s=TEd_________2Akfydcot?=700 . 106____________________2 . 1080 . 103. 435 . 2,16= 0,345 mm2/ mmHier volstaan dubbelsnedige beugels Ø 8 mm, beugelafstand200 mm.De vereiste langswapening voor wringing (EC2; art. 6.3.2(3)vgl. (6.28)):Asl=TEdukcot?_________2Akfyd=700 . 106. 4300 . 2,16_________________2 . 1080 . 103. 435= 6920 mm2Deze langswapening moet worden verdeeld over de doorsnedemet speciale aandacht voor de hoekstaven.Vanwege de dwarskracht moet een additionele hoeveelheidlangswapening worden aangebracht (EC2; art. 6.2.3(7) vgl.(6.18)):De bijkomende trekkracht in de langswapening ten gevolge vande dwarskracht is (EC2; art. 6.2.3(7)):?Ftd= 0,5VEd(cot? - cota)Met Asl= ?Ftd/ fyden a = 90° volgt:Asl=VEdcot?_______2fyd=1300 . 103. 2,16_____________2 . 435= 3228 mm2Deze langswapening moet onderin de doorsnede wordenaangebracht.De totale trekkracht waarop wordt gewapend is dan:MEd____z+ ?FtdDeze kracht mag niet groter worden genomen danMEd,max______zwaarin MEd,maxhet maximale moment in de ligger is.300500949494282_87_19_EC2 84 11-06-2009 17:57:10Wringing 42009 852 Dwarsdoorsnede van de massieve rechthoekigebalk uit rekenvoorbeeld 2, met gemarkeerd demeewerkende doorsnede (afmetingen in mm)3 Interactie dwarskracht ­ wringing voor balk metmassieve rechthoekige dwarsdoorsnede.Weerstand van de betondrukdiagonalen is maat-gevend verondersteld; beugel- en langswapeningzijn overeenkomstig aanwezig verondersteldUiteraard moet de balk worden voorzien van beugelwapening; debenodigde hoeveelheid volgt uit EC2 vgl. (6.8) met VRd,s= VRd,max.De hoeveelheid wapening (zowel beugelwapening als langswape-ning), wordt hier niet berekend; de berekening betreft het draag-vermogen van de betondrukdiagonalen.Als alleen sprake is van wringing, is de weerstand van de drukdia-gonalen (EC2; art. 6.3.2(4) vgl. (6.30)):TRd,max= 2?acwfcdAktef,isin? cos?Met acw= 1, ?1= ?, ? = 26,6° , Ak= 83,6 · 103mm2entef= 94 mm (de meewerkende wanddikte) volgt:TRd,max= 2 . 0,528 . 1 . 20 . 83,6 . 103. 94 . 0,448 . 0,894 = 66,5 . 106NmmIn figuur 3 zijn de resultaten getoond. Punten gelegen onder derechte lijn voldoen aan de dwarskracht-wringingweerstand. Uit defiguur kan worden afgelezen dat bij een rekenwaarde van de dwars-kracht van, bijvoorbeeld, VEd= 350 kN nog een rekenwaarde vaneen wringend moment TEd= 20 kNm mag optreden.In de figuur zijn ook de resultaten weergegeven die worden verkre-gen voor cot? = 1,0 ­ 1,5 ­ 2,5. Er wordt nogmaals op gewezen datde figuur is gebaseerd op de weerstand van de drukdiagonalen;schuif- en langswapening zijn niet beschouwd.Wringing en dwarskracht met minimale wapeningEen bij benadering rechthoekige massieve doorsnede behoeftslechts te worden voorzien van een minimale wapening (conformEC2 art. 9.2.1.1) als deze onderworpen is aan een relatief geringebelasting (EC2; art. 6.3.2(5)). Hiervan is sprake als wordt voldaanaan de voorwaarde (EC2; art. 6.3.2(5) vgl. (6.31)):TEd____TRd,c+VEd____VRd,c= 1,0waarin TRd,cis het scheurmoment door wringing, te bepalen door testellen tt= fctd.Sterktereductiefactor voor beton gescheurd door dwarskracht(EC2; art. 6.3.2(4) en 6.2.2(6) & NB; vgl. (6.6N)):? = 0,6 (1 -fck____250)= 0,6 (1 -30____250)= 0,528Betonstaal: fyd= 435 N/mm2.Grootheden volgend uit de geometrie van de doorsnedeDe meewerkende wanddikte (EC2; art. 6.3.2(1)) is:tef=A__u=bh______2(b + h)=300 . 500____________2 . (300 + 500)= 94 mmVoorwaarde:De meewerkende wanddikte mag niet kleiner zijn dan twee-maal de afstand tussen de rand en de as van de langswapening.Omdat h = 500 mm en d = 455 mm wordt laatstgenoemdegelijk gesteld aan 45 mm. Dan is de eis: tef> 2 . 45 = 90 mm;hieraan wordt voldaan.De oppervlakte van de dwarsdoorsnede van het gebied omslo-ten door de hartlijnen van de wanden is:Ak= (h ­ tef ) (b ­ tef ) = (500 ­ 94) . (300 ­ 94) = 83,6 . 103mm2DrukdiagonalenVerondersteld wordt dat cot? = 2,0 (? = 26,6°).Als alleen een dwarskracht optreedt, is de dwarskrachtweer-stand volgend uit de weerstand van de betondrukdiagonalen(EC2; art. 6.2.3((3) vgl. (6.9)):VRd,max=acwbwz?1fcd__________cot? + tan?Met acw= 1, ?1= ?, ? = 26,6° en bw= b (de breedte van de balk)volgt:VRd,max=1 . 300 . 400 . 0,528 . 20___________________2,0 + 0,5= 507 . 103N00 100 200 300 400 500 600 700102030405060708090cot? = 1cot? = 1,5cot? = 2cot? = 2,5dwarskrachtweerstand (kN)wringend-momentweerstand(kNm)382_87_19_EC2 85 11-06-2009 17:57:10Wringing42009864 Interactie dwarskracht ­ wringing voor balkmet massieve rechthoekige dwarsdoorsne-de; combinaties waarvoor slechts een mini-male wapening nodig isHet resultaat is:VRd,c,min= [0,035 . (1,66)3/2. (30)1/2 ] . 300 . 455 = 56,0 . 103NDe dwarskracht ­ wringend moment combinaties dievoldoen aan het criterium (EC2; vgl. (6.31)) zijn weergegevenin figuur 4.De minimale wapening moet in overeenstemming zijn metEC2 art. 9.2.2(5) en art. 9.2.2(6). De minimum dwarskrachtwa-peningsverhouding is (EC2; vgl. (9.5N) & NB):?w,min=0,08 3___fck_______fykVoor fck= 30 N/mm2en fyk= 500 N/mm2is:?w,min=0,083___30_______500= 0,88 . 10-3De benodigde dwarskrachtwapening is (EC2; vgl. (9.4)),uitgaande van een hoek a = 90° tussen de dwarskrachtwape-ning en de lengteas van de balk:Asw___s= bw?w,minMet bw= 300 mm is minimaal vereist:Asw___s= 300 . 0,88 . 10-3= 0,264 mm2/ mmOmdat sprake is van wringing, moeten de beugels gesloten zijn(EC2; art. 9.2.3(1)). De maximale hart-op-hartafstand van debeugels is de kleinste waarde van:sl,max= 0,75d voor a = 90° (EC2; art. 9.2.2(6); `dwarskracht');sl,max= u/8 (EC2; art. 9.2.3(3) `wringing');de kleinste afmeting van de balkdwarsdoorsnede (EC2; art.9.2.3(3) `wringing').Met d = 455 mm en u = 2(b + h) = 2 · (300 + 500) = 1600 mm(de buitenomtrek van de doorsnede; EC2; art. 6.3.2) is sl,max=200 mm. Toegepast kunnen worden dubbelsnedige beugels meteen staafdiameter Ø = 6 mm en s = 200 mm(Asw/ s = 2·28/200 = 0,28·10-3). )tt= fctd= fctk/ ?c= 2,0 / 1,5 = 1,3 N/mm2(voor fctkzie EC2 Tabel 3.1)Het scheurmoment door wringing (EC2; vgl. (6.26)):TRd,c= tttef2AkTRd,c= 1,3 . 94 . 2 . 83,6 . 103= 20,4 . 106NmmDe rekenwaarde van de dwarskrachtweerstand VRd,cis (EC2;art. 6.2.2(1) vgl. (6.2.a)):VRd,c= [CRd,c (100?lfck ) 1/3]bwdVerondersteld wordt dat de trekwapeningsverhouding ?l= 0,01.In de uitdrukking is CRd,c= 0,18/?c= 0,18/1,5 = 0,12 (EC2; art.6.2.1 & NB).k = 1 +3____200____d= 2,0Voor d = 455 mm is k = 1,66.Met fck= 30 N/mm2is (100 ?lfck)1/3= (100 · 0,01 · 30)1/3= (30)1/3.Hiermee volgt:VRd,c= [0,12 . 1,66 . (30)1/3 ] . 300 . 450 = 83,6 . 103NDe minimumwaarde is (EC2; art. 6.2.1 vgl. (6.2b)):VRd,c= ?minbwdwaarin (EC2; art. 6.2.1 vgl. (6.3N) & NB):?min= 0,035k3/2fck1/200 10 20 30 40 50 60 70 80 90510152025dwarskrachtweerstandwringend-momentweerstand(kNm)482_87_19_EC2 86 11-06-2009 17:57:10