ICONSTRUCTIEF ONTWERP IDETAILS ISTAAFWERKMODELLEN ALSBASIS VOOR HET DETAII,LERENVAN BETONCONSTRUCTIESprof.dr.irJ.C.Walraven*. Technische Hochschule Darmstadt (BRD)Detailleren van betonconstructies met behulp van staafwerkmodellen is een actueelthema, waarvoor internationaal belangstelling bestaat. In dit artikel worden debelangrijkste vorderingen in de ontwikkeling van zulke modellen besproken.Algemene beginselen worden voorgesteld waarmee constructiedelen en -details oprationele wijze kunnen worden gedimensioneerd. De ontwerpmethode wordtge?llustreerd met voorbeelden.Voor het berekenen en detailleren van betonconstruc-ties staat een aantal methoden ter beschikking. Dezemethoden berusten op diverse principes, doch wor-den niettemin vaak in combinatie met elkaar gebruikt. Zowordt de verdeling van buigende momenten in constructiesmeestal nog op grondvan de elasticiteitstheoriebepaald, maarwordt voor de bepaling van de wapening in de doorsnedenuitgegaan van de aanname, dat de materialen zich plastischkunnen vervormen.Bij de dimensionering van dezelfde constructies op afschui-ving wordt van de vakwerkanalogie uitgegaan. Deze analogieberust op het ondergrenstheoremavan de plasticiteitstheorie.Daarbij wordt, om de overeenkomst met proefresultaten teverbeteren, een van de betonsterkte afhankelijke, empirischeterm ingevoerd (tlbh). Hierdoor wordt de methode gedeelte-lijk empirisch. Vragen treden speciaal op bij de detaillering,waarbij men met de vraag geconfronteerd wordt ofde termLIbh te danken is aan boogwerking, ofsamenhangt met hetverschijnsel dat de drukdiagonalen, door scheurvertanding,onder een kleinere helling verlopen dan de scheuren en zo-doende een groter deel van de aanwezige schuifWapening ge-activeerd wordt. Meestal wordt deze vraag in het midden ge-laten en wordt de schuifWapening direct uit een berekende,nominale schuifspanningafgeleid. Opdezewijze komt de de-taillering tot stand zonder dat de constructeur precies hoeft teweten hoe de krachten verlopen.Naastmethoden die op een min ofmeer rationele basis berus-ten, bestaan voor veel voorkomende details zuiver empirischeformules. Eenvoorbeeld hiervan is de consoleberekeningvol-gens de VB, die gebaseerd is op een uitdrukking waarinwel debelangrijkste invloedsfactoren zijn opgenomen, doch waarinde krachtswerking niet meer herkenbaar is. Het aantal in depraktijk voorkomende details is vrijwel onbegrensd. De con-structeur wordt daarom steeds weer geconfronteerd met ge-vallen,waarbij inhetgeheel geenrekenregelsvoorhandenzijnen waarbij hij toch tot een wapening moet zien te komen. InCement 1984/1985 werd een serie artikelen aan het dimensio-neren van veel voorkomende constructiedetails gewijd [1]. Indeze artikelen kwamen bepaalde constructieve principessteedsweer terug. Zowerd hetverloop van de krachten meest-al vereenvoudigd weergegeven met een systeem van beton-drukdiagonalen, trekstaven uit staal en knooppunten. Eendergelijke schematisering van de krachtswerking werd tot nutoe met de term 'vakwerkmodel' aangeduid. Hierbij gaat hetmeestal om uit driehoeken opgebouwde statische systemen.Met betrekking tot het schematiseren van het krachtsverloop24Vakwerkanalogie als nitgangspnnt bij rationeel ont-werpenOmdat de kwaliteit van betonconstructies in hoge matewordt bepaald door een goede detaillering van de knooppun-ten, werd in dejaargangen 1984 en 1985 in Cement een reeksartikelen aan dit onderwerp besteed.Voor een goede detaillering is het noodzakelijk dat men eenjuist inzicht heeft in de krachtswerking. Een hulpmiddeldaarbij is de vakwerkanalogie, dat is het dimensioneren metbehulp van staafWerkmodellen. Deze methode staat op hetogenblik internationaal sterk in de belangstelling. Steedsmeer dringt het besefdoor dat de bouwwereld op den duurslechts is gebaat bij de ontwikkeling van ontwerpmethodenwaarbij rationaliteit voorop staat. De ervaring als uitgangs-punt voor ontwerp en dimensioneren zal plaats moeten ma-ken voor uitgangspunten die zijn gebaseerd op de werkelijkoptredende krachtswerking.De eerder genoemde serie over berekenen en detaillerenkrijgt daarom een vervolg. Als uitgangspunt wordt gekozenvoor de vakwerkanalogie.Inhet artikelvanprofdr.irJC.Walravenworden de grondsla-gen en de toepassingervan behandeld.Eenenanderwordtaande hand van voorbeelden verduidelijkt.Aangezien de knooppunten een essentieel onderdeel vanstaafWerkmodellen zijn, wordt aan dit aspect een apart artikelgewijd: daarinvertaalt profdr.irA.S.G.Bruggelingde krachts-werking in het knooppunt naar de daarbij behorende wape-ningsdetaillering.In komende maanden zullen artikelen volgen waarin oplos-singen in de praktijkvanuit deze optiek nader worden bezien.Enkele van de te behandelen onderwerpen zijn: openingen inbalken, gedrongen liggers en statisch onbepaalde wandlig-gers.Redactie* prof.Walraven is inmiddels benoemd tot hoogleraar aan de Techni-sche UniversiteitDelft, Faculteitder CivieleTechniek- zie ookde mede-deling daarover in de rubriek Berichten uit de betonwereld.Cement 1988 nr. 11zijn meerverfyndevoorstellingswijzen mogelijk. In dit artikelzal algemeen de term 'staahverkmodel' worden gehanteerd.Het dimensioneren met staahverkmodellen heeft de laatstejaren internationaal meer aandacht gekregen. Allerwegendringt het besefdoor dat de bouwwereld op den duur slechtsbaat heeft bij de ontwikkeling van ontwerpmethodenwaarbijrationaliteit voorop staat. Een belangrijke opgave voor de ko-mendejarenzal dan ook zijn de empirie bij het ontwerpen endimensioneren verder terug te dringen.Belangrijkeimpulsenvoor het dimensioneren metstaahverk-modellen kwamen uit de Technische Universiteiten van Z?-rich [2, 3, 7, 8] enStuttgart [5, 6]. In 1986-1987 werd een CEB-ad hoc commissie geformeerd die de opdracht kreeg een ge-meenschappelijke grondslag voor het detailleren van beton-constructies te bereiken. Ook in STUVO-verband werd delaatste tijd aandacht aan dit onderwerp besteed.Uital deze discussies komtnaarvoren, daterverschillende be-naderingswijzen zijn, die deels met elkaar overeenkomen endeelsvan elkaaraoojken. In ditartikel wordt, op grond van dehuidige stand van zaken, het principe van het werken metstaahverkmodellen besproken en worden basisregels gefor-}~;z:==:::::=====t=s~ stalen ankerplaatc2 Enkelvoudige drukdiagonaalmet directe lastafdrachtvol-gens Th?rlimann [7, 8]3 Enkelvoudige drukdiagonaalmet directe lastafdrachtvol-gens Schlaich en Sch?fer [5,6]muleerd, waarmee de constructeur in de praktijk tot een sys- aanhechting,in dwarsrichtingeen trekspanning uitoefent. Detematische enrationele benadering kan komen. Uiteenaantal ??nassige druksterkte moet daarom met een reductiefactorvoorbeelden zal blijken, dat steeds weer dezelfde principes van ongeveer 0,85 worden vermenigvuldigd.kunnen worden gebruikt. Brengtmenbovendiennog eenfactor 0,85 in rekening, inver-,---______________________--, band met de langeduursterkte, dan is de toelaatbare ontwerp-1I, t~1lastinieidingwaaier-..,lastinleidingdrukspanning gelijk aanwaarin!ck de karakteristieke prismadruksterkte is.Erzijn ookmeerverfijnde berekeningsvormen mogelijk.Vec-chio en Collins [9] stellende toelaatbare drukspanningafhan-kelijkvan de rek in dwarsrichting. De berekening wordt hier-door echter gecompliceerder.Naast systemen van evenwijdige enwaaiervormig verlopendedrukdiagonalen zijn er gevallen waarbij enkelvoudige druk-diagonalen de belasting overdragen. Dit geval komt bijvoor-beeld bij gedrongen liggers voor. Figuur 2 toont een dergelijkevenwichtssysteem, waarbij de drukdiagonaal een prismati-schevorm heeft. Ditis een tamelijkverregaandevereenvoudi-gingvan dewerkelijkheid. Hetis bijvoorbeeld moeilijkvoortestellen dat het betonjuist naast de drukdiagonaal spannings-loos is. De gebreken van deze benadering komen ook aan het1----------------------------1 licht, wanneer de maximum draagkracht van dit draagsys-1 BasisCOlnponenten van een staafwerkmodel teem beschouwd wordt voor het geval dat het staal de vloei-a. Ligger met langs- en beugelwapening grens niet bereikt. De maximum kracht in de diagonaal is danb. grove modelvoorstellingc. verfijnde modelvoorstellingBasiscomponenten van een staafWerkmodelDe basiscomponenten van een staahverkmodelzijn de beton-drukstaven, de staaltrekstaven en de knooppunten.Figuur la toont het geval van een door een pundast in hetmidden belaste ligger, in figuur 1b is de krachtswerking grofgeschematiseerd. Figuur 1c toont een verfynde voorstellingvan de krachtswerking,waarin nietteminde rolvan elkecom-ponentdirect herkenbaar is. In de gebieden waar de lastwordtingeleid vertonen de drukdiagonalen eenwaaiervorm. Tussendeze gebieden lopen de drukdiagonalen parallel: men spreekthier van een constant spanningsveld. De maximale draag-krachtvan de trekstavenwordt bepaalddoor devloeispanningvan het staal. De maximale draagkracht van de drukdiagona-len ligt nietzo eenduidigvast. De breukstuikspanningis in elkgeval lager dan de ??nassige prismadruksterkte, omdat dedoor de drukdiagonalen lopende schuihvapening hierop, viaCement 1988 nr. 11waarin!cd de ontwerpdruksterkte en bde balkbreedte is.De verticale ontbondene van Du isDit zou betekenen, dat de bovengrens van de draagkracht on-afhankelijk is van e, en dus ook van alh, hetgeen niet metproefresultaten in overeenstemming is. De VB-uitdrukkingvoor de sterkte van consoles en gedrongen liggers, die opproeven is gebaseerd, bevat daarom juist de slankheidspara-meter ? ~ alh (art. H-504.2.2).SchlaichenSch?fer [5, 6] gaanvan eenandere modelleringvande drukdiagonaal uit, waarbij een relatie met het fysische ge-drag wordt gelegd. Zij stellen dat niet de druksterkte, maar de25ICONSTRUCTIEF ONTWERP IDETAILStreksterkte van het beton voor het bezwijken van de drukdia-gonaal maatgevend is; de drukdiagonaal is in werkelijkheidnamelijk een systeem van drukspannings- en trekspannings-trajectori?n (fig. 3). Wanneer in het inwendige van de diago-naal een twee-assige bezwijkspanningscombinatie wordt be-reikt treedt een splijtscheur in de diagonaal op, die, naarSchlaich en Sch?fer aannemen, tot bezwijkenleidt. Deze aan-name leidt tot de uitspraak dat een splijtwapening, aange-brachtdwars op de drukrichting, de draagkrachtvan de druk-diagonaal zal vergroten. Deze modelvoorstelling leidt echtertot een te zwakke afhankelijkheid van alhen is tamelijk con-servatief. Recente proeven aan de Technische HochschuleDarmstadt toonden aan dat, na het verschijnen van de splijt-scheur, vaak nog een verdubbeling van de last mogelijk isvoordat het element werkelijk bezwijkt, ook als in het geheelgeen splijtwapening aanwezig is.Het uiteindelijke bezwijken treedt op naast de inleidingszonevan de last. Niettemin kan het aanbrengenvaneensplijtwape-ningworden aanbevolen. Ineenanderartikelzalop hetdraag-vermogenvan dergelijke drukdiagonalen naderwordeninge-gaan.Verder zijn voor het koppelen van drukstaven en trekstavenknooppunten nodig. In veel modelleringen worden dezeknooppunten eenvoudig als scharnierenweergegeven (fig. 1b).De eenvoudigste manier om de knooppunten direct in de de-taillering te betrekkenwerd door Th?rlimann en zijn meder-werkers (TH Z?rich) voorgesteld [2, 3,7,8]. Zij beelden deknooppunten afals meerzijdig gedrukte volumina tussen destaven en de oplegvlakken (zie bijvoorbeeld figuur 2). Doorhetfeit datdezevolumina aan een meerassige drukspannings-toestand onderworpenworden, zijn zij sterker dan de aanslui-tende staven en zijn dus voor het bezwijken niet maatgevend.Bij de aansluiting tussen druk- en trekstaven wordt een ge-?dealiseerde voorstellingswijze gebruikt, waarbij de kracht inde wapening via een ankerplaat op het knooppunt wordtovergebracht. In werkelijkheid zal men de opsluitwerkingook met een geschikte wapeningsvorm (bijvoorbeeld lussen)tot stand kunnen brengen (fig. 4). De ideale voorstelling vanhet opgesloten knooppuntis in de praktijkniet altijd haalbaar.Schlaich [5,6] geeft dan ook aan dat oplossingen waarbij destavenachter de dagzijdevanhet oplegvlakvolledigverankerdzijn eveneens aan de eisen kunnen voldoen.Hierbij moet worden opgemerkt dat door de werking van deribben, b~~het verankeren van een staaf ringtrekspanningenontstaan fjig. Sa). Inverticale richting worden deze 'overdrukt'door de oplegreactie. In horizontale zin is echter meestal geenopsluitende werking voorhanden, zodat verticale splijtscheu-ren kunnen optreden. Het omsluitenvan hetverankeringsge-deelte metbeugels is daarom aan tebevelen (fig. Sb). Dezebeu-gels komen pas in actie na hetontstaanvan splijtscheuren. Hetdetail volgens figuur 4 is dus beter.Waaiervormige drukdiagonaalsystemen en enkelvoudige, di-rectafdragende drukdiagonalenvindt menvooral in lastinlei-dingszones. Systemen van evenwijdige drukdiagonalen vindtmen in gebieden \yaar het krachtsverloop zich gestabiliseerdheeft. Het is belangrijk tussen deze gebieden onderscheid temaken, zoals ook in het volgende hoofdstuk zal blijken.Basisregels voor het dimensioneren met staafWerk-modellenOmdoelmatig met behulp van staafwerkmodellen te kunnenconstrueren, kan een aantal richtlijnen gegeven worden.A. Het te dimensioneren constructiedeel moet verdeeld wor-den in gebieden waarin het verloop van de krachten stabiel isen lastinleidingsgebieden, waar geen sprake is van een stabielverloop. Schlaich voert hier de termen B- en D-gebied in. Deletter B staat hier voor Bernouilli (ofwel 'vlakke doorsnedenblijven vlak') en de letter D voor Discontinue. In meer een-voudige bewoordingen kan men hier ook stellen:B ~ Bekend en D ~ Denken.Figuur 6 toont een voorbeeld waarin een opsplitsing in B- enD-gebieden te zien is. De ligging van de grenslijn tussen deB-en D-gebieden kan geschat worden met het principe van deSt.-Venant; volgens dit principe is de storingslengte ongeveergelijk aan de breedte waarover de krachten maximaal moetenworden gespreid. Zo is destoringslengtein figuur 7aongeveergelijk aan b, en in figuur 7b aan 1/3 b. In figuur 7c moet delengte 5 redelijkerwijze worden geschat, bijvoorbeelds~ o,6b - o,8b.B. Nadat de lengte van de storingszones (D-gebieden) is be-paald, worden de krachten aan de randen berekend: gedeelte-lijk liggen deze vast door de positie van de uitwendig aangrij-pende belasting, deels volgen deze uit de krachtsverdeling inde aangrenzende B-gebieden, die met behulp van de elastici-teitstheorie kan worden bepaald. Binnen de D-gebiedenori?nteren de drukdiagonalen zich aan het verloop van dedrukspanningstrajectori?n.C. Discrete richtingsveranderingen van de drukdiagonalentredenvooral daar opwaar geconcentreerde krachtenwordeningeleid.D. De overgang van de krachten tussen de B- en de D-gebie-den moet over de hele constructie compatibel zijn: detailzo-nes moeten altijd in directe samenhang met de aangrenzendegebieden worden gedimensioneerd.4 Ideale detaillering van een'hydrostatisch' knooppunt volgensTh?rlimannSa Ringtrekspanningen rondomeen verankerde staaf sb Detaillering met beperkingvan de ringtrekspanuingen26 Cement 1988 nr. 11Bd,6 Portaalconstructie, verdeeld in B-en D-gebieden, volgens Schlaich enSch?fer [5, 6]II1/II1./IIIb\\ ,\PI3 PI3 PI3\ ..Cl" JI\ lilbIIIIl1,\ ~\ I \ cq\ I \ 9\ I \ lO" \ ?\\ 11\ lilbE. De voorstellingswijze van de figuren 2 en 3, waarbij de 7drukdiagonaal als element met een bepaalde afmeting wordt I--__Vi_er_s_ch_ill_e_n_d_e_s_to_r_in_g-'-s_le_n_g:...t_e_n_b_y_.l_a_st_i_n_Ie_idi_?_n_g____-ivoorgesteld, is zinvol indien sprake is van een directe over-dracht tussen last en ondersteuning. In gevallen waarbij ditniet het geval is kunnen de drukdiagonalen vereenvoudigendals lijnstukken worden geschematiseerd.ToepassingenVoorbeeld 1bPl2 pf2b/2Als eerste voorbeeld wordt een bekend geval beschouwd. Hetbetreft een zone waarin een kracht centrisch wordt ingeleid(fig. Ba). Eerst wordt de grens van het storingsgebied vastge-legd. Deze ligt op een afstand bvan het lastinleidingsvlak. Despanningenop de grens tussenhetB- en het D-gebied zijn ge- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1lijkmatig verdeeld. Zij worden samengesteld tot twee krach- 8 Staafwerkmodel en wapening bij centrische lastinleidingten lh.P. Vervolgens wordt een staafwerkmodel getekend.De discrete richtingsverandering treedt daar op waar dekracht geconcentreerd wordt ingeleid. Op deze wijze vindtmen dat in dwarsrichting een trekkracht T optreedt. Uit degeometrie vindt men voor T eenvoudigT~ I;'P(b-s)/b .............. . ....... (1)De noodzakelijke wapening volgt dan uitAs ~ I;'P(b_s)!b? lIos ??????????????????? (2)waarin Os een begrensde staalspanning is. Vaak zijn hierwaar-den lager danf!y aan te bevelen. Figuur 9a toonthet trajecto-ri?nverloop en de maximaal optredende trekspanningen inhet centrum van het element, bepaald op grond van de elasti-citeitstheorie. Integreert men de trekspanningen in de sys-teemlijn (fig, 9b), dan vindt men de totale trekkracht die doorde splijtwapening opgenomen moet worden. In figuur 9c isdeze krachtvergeleken met de kracht die men uitvergelijking2 vindt. De overeenstemming blijkt zeer goed te zijn.b'lTil ' IIJ\ I I / T r e k\ j I I J,;Druka l!J b5TPfl asticitei tstheorie~Staafwerkmodel/,0.30.20.1~c,............'"?"fo-.. 50.2 0.4 06 0.8 10 ti9 Trajectori?nbeeld, optredende spanningen en totaletrekkracht, behorend bij figuur 8haar.po Idon) )aDe in figuur 6 weergegeven D-gebieden behoren tot eengroep van in de praktijkvaakvoorkomende details. In diversehandboeken en publikaties wordenvoordeze gevallendetail-leringsvormen gegeven, die echter vaak sterk van elkaar ver- I-t-O--T-w-ee-w-a-p-e-n-in-g-S-vo-r-m-e-n-b-y-'e-e-n-n-a-a-r-b-u-i-te-n-d-ra-a-ie-n-d-e-lschillen. Vooral de detaillering van de hoekverbindingen van hoek .portalen leidt nog steeds tot meningsverschillen. Zo hebben ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1op het eerste gezicht de in de figuren 10a en lOb weergegeven De schuine betondrukdiagonaal kan zich in de ombuigings-details weinig met elkaar gemeen. Toch volgen ze uit een en hoeken van de lusvormige staven uitstekend afzetten. De bij-dezelfde, consequent doorgevoerde, gedachtengang. Om tot gestoken haarspelden hebben een dubbele functie. Enerzijdseen modelvoorstelling te komenworden eerstweer de krach- overbruggen zij een mogelijke splijtscheur in de drukdiago-ten aan de grenzen van het D-gebied getekend. H,et eenvou- naaI (zie ook figuur 3), anderzijds zorgen zij ervoor dat de aandigst denkbare evenwichtmodel vindt men in figuur 11a. De de buitenzijde gelegen staven nietzijdelings door de drukdia-wapeningsvorm die in figuur lOa is weergeven berust op deze gonaal worden weggedrukt (loodrechtop hetvlakvan hetpa-modelvoorstelling. pier). Figuur 11b toont een verfyning van het krachtenspel,Cement 1988 nr. 11 27ICONSTRUCTIEF ONTWERP IDETAILSwaarbij de druk minder abrupt om de hoek wordt geleid, watbeter bij het trajectori?nbeeld in de ongescheurde fase past.Omdatinde inspringende hoekeen trekspanningsconcentra-tie optreedt, wordt een verdere verbetering verkregen doorhet afschuinen van deze hoek en het aanbrengen van eenschuin verlopende wapeningsstaaf. Wanneer daarnaast nogextra beugels aangebracht worden om de omleiding van dedrukkracht nog vloeiender te laten verlopen, dan ontstaat demodellering volgens figuur 11c [5,6]. Deze leidt tot de in fi-guur lOb weergegeven wapeningsvorm. Qua krachtsverde-ling is deze wapening de beste. Beschouwt men echter de ra-tionaliteit van het wapenen, dan verdient figuur Wa de voor-keur. Men zal vaak voor de keus tussen eenvoud en perfectieworden gesteld.11D--rEnige stappen in de ontwikkeling van eenstaafwerktnodelVoorbeeld 2In vele in de praktijk voorkomende gevallen zijn er echtergeen standaardoplossingen beschikbaar en is de constructeurvoor het bepalen van de wapening op eigen inzicht aangewe-zen.Vooral in zulke gevallen biedt het detailleren via staafwerk-modellen uitkomst. Dit wordt aan enkele gevallen gedemon-streerd. Figuur 12 toont het einde van een voorgespannen lig-ger, waarin via ankerplaten drie gelijke krachten worden in-geleid. Gaat men er van uit dat de lengte van de storingszonegelijk is aan de grootste breedte waarover de lasten moetenworden gespreid, dan ligt de grens tussen het D-gebied en hetB-gebiedvast. Hetspanningsverloop in hetB-gebied is recht-1ijnig en kan eenvoudig worden bepaald. Wordt ook dit span-ningsvlak in drie gelijke delen verdeeld, dan is het trajecto-ri?nverloop gemakkelijk te schatten. Op grond hiervanwordthet staafwerkmodel getekend. De ligging en de grootte van detrekkracht liggenhiermee vast. In dit geval moet de wapeningdus aan het kopvlak liggen.o 8... Q ..op de console (fig. 13a).Eerstwordt de korte console uit figuur13b beschouwd. Aan de grenzen van het D-gebied wordt hetspanningsverloop berekend. Hier blijkt dat in het gedeelteonder de console trekspanningenoptreden, zodathieraan ??nzijde een trekwapening noodzakelijk is. Met deze uitgangs-punten is het staafwerkmodel eenvoudig in te vullen. Dekracht in de console-wapening is P/tanf3 waarbij f3 uit de geo-metrie volgt. De wapeningsdoorsnede Asl is dan direct te be-palen. Over de hoogte van de console wordt verder een lichtewapening ("" 0,25 Asl ) verdeeld aangebracht, in verband metsplijtwerking in de drukdiagonaal.aD13 Console aan koloma. statisch systeemI._~_.lIf-===I=~-+I AS2b. detaillering van een console met gebruikelijke afmetingenc. detaillering van een zeer hoge consoleVoorbeeld 4In een hoge console is de krachtswerking echterwezenlijkan-ders. Inhet nabije verleden dook in ditverband steeds weer devraag op ofmenbij hogere consoles eengroterewaardevoor f3mag aannemen, zodat de noodzakelijke trekwapening in deconsole steedsverder afneemtmettoenemendeconsolehoog-1--------------------------1 te. Om dit te onderzoeken is in figuur 13c een hoge console12 Inleiding van enige excentrisch aangrijpende getekend. Daar waar aan de bovenzijde de kolom zich tot eenI-___v_o_o_r....:sp:....a_n_kr_ac_h_t_e_n_____________---' console verbreedt, treedt een storing in hetkrachtsverloop op.Voorbeeld 3 De lengte van de storingszone (grens tussenB-en D-gebied) isIn het volgende voorbeeld wordt de wapening in een console ongeveer gelijk aan de grootste afstand tussen de in te leidenbeschouwd, waarbij de geometrie van dit constructiedeel lasten. Op de grens geldt weer het principe 'vlakke doorsne-sterk wordt gevarieerd. Uitgegaan wordt van een centrisch den blijven vlak', zodat het spanningsverloop getekend kanaangrijpende normaalkracht 2Pin de kolom, en een kracht P worden. Wanneer deze spanningen tot drie krachten Pwor-28 Cement 1988 nr. 11den samengesteld is het staafwerkmodel eenvoudig te teke-nen. De noodzakelijke trekwapening AI aan de bovenzijdevan de console volgt hieruit direct. In het middelste deel vande console is hetverloop van de krachten gestabiliseerd, zodatvan een B-gebied sprake is. Aan de onderzijde van de consolemoeten de krachten weer worden omgeleid, zodat hier weereen D-gebied ontstaat. Op analoge wijze als voorgaand be-sproken kan het staafwerkmodel worden getekend. Verras-senderwijze moet worden vastgesteld dat ook onder in deconsole een horizontale trekwapening (As2) nodig is. Bij hogeconsoles zijn dus twee trekbanden nodig.Voorbeeld 5Als laatse voorbeeld wordt een constructie met aanzienlijkgrotere afmetingen genomen. Het betreft een systeem vandrie in H-vorm gekoppelde wandliggers, die aan de vier bui-tenste punten zijn ondersteund. De afmetingen van de wan-den zijn in figuur 14a aangegeven. De bezwijkbelasting op hetsysteem bestaat uit een in het centrum aangrijpende puntlastvan 5250 kN en een gelijkmatig verdeelde belasting van150 kN/m over de gehele bovenzijde (bezwijklasten).Een eerste grove schematisering van de lastafdracht wordt infiguur 14b gegeven.Bij eendimensioneringop grondvan dezemodelvoorstelling zouden echter moeilijkheden ontstaan,omdatde krachten die onder in dewanden samenkomenzeergroot zijn en een geschikte detaillering bemoeilijken. Verderzal zich onder de puntlast een waaiervormig scheurpatroonvormen. Wanneer de krachten in de drukdiagonalen tussendeze scheuren niet worden opgehangen zou de langswape-ning kunnen worden losgedrukt (pouss?e au vide). Een beterevorm van krachtsoverdracht wordt verkregen wanneer vaneen model, zoals geschetst in figuur 14c, wordt uitgegaan. Inde last-inleidingszones wordt van een waaiervormig staaf-werkmodel uitgegaan, in de gebieden daartussen van een sys-teem met evenwijdige drukdiagonalen. Dit model vankrachtsoverdracht is ook toepasbaar op wanden die een hoekmet elkaar maken, op voorwaarde dat de horizontale compo-nent van de drukdiagonalen in de middenwand, ter plaatsevan het snijvlak, door wapening wordt opgenomen (krachtenPI en F2 in figuur 14c). De inwendige hefboomsarm van hetvakwerksysteem wordt op 2 m geschat. Het gedeelteABCD isin figuur 14d getekend. Als diagonaalhelling is 45? gekozen.De gelijkmatig verdeelde last op de bovenrand wordt opge-splitstin een aantal, in de vakwerkknooppunten aangrijpendepuntlasten. De laatste diagonaal in de waaier, vlak bij de randAB, die een verticale kracht van 75 kN naar het steunpuntbrengt, is niet aan een verticale trekstaafgekoppeld.Bij een zosteile diagonaalhelling mag nietverwachtworden dat de trek-staafnog zal gaan vloeien. Neemt men aan dat de beide verti-cale trekstaven in de waaier een gelijke doorsnede hebben enbeide vloeien, dan ligt de bijbehorende trekkracht vast(863 kN). Via het knooppuntevenwicht kunnen alle andereabcdBeB-A_c2 (/) 16-200 ~~9~~~Dt;: .~~I~/j I10 (/) 28 ~D,.2 (/) 16-250 1,21/>16-150.,Gf\ ,~ J'\"I\. '\ 1"":\~ '\1'\ !'\~1'\ '\""~H112 (/) 28 '161/> 2814 Drie in H-vorm gekoppelde wandliggers a. wandliggersysteem met belasting b. eerste schematisering van dekrachtsafdracht c. verbeterde schematisering van de krachtsafdracht d. staafWerkmodel voor gedeelte ABCDe. staafWerkmodel voor aansluitende gedeelte CDGH f. wapening van deel ABCD g. wapening van deel CDGHCement 1988 nr. 11 29ICONSTRUCTIEF ONTWERP IDETAILSstaafkrachten worden berekend. Op de grenslijn CD komende wanden ABCD en CDEF te zamen. De krachten metgrootte 863 en 713 kN (tweemaal) moeten door de wandCDGH worden opgenomen. Hierdoor zijn alle uitwendigwerkende krachten op het triiddendeel CDGH bekend(fig. 14e).Om de krachten 1725 kNen 1525 kNinhetgrensvlakCD op dewand over te dragenis gekozenvooreenschuin naarbeneden lopende wapening in plaats van voor horizontaletrekbanden, die dan een lengte van 7 m zouden moeten heb-ben. Uit het evenwicht van knooppunten zijn ook hier allekrachten te berekenen.De maximale kracht in een drukdiagonaal is 2015 kN. Bij eenbetonkwaliteitB 30 zou debezwijkspanningvolgens (1) gelijkzijn aan0,8' 0,7' 30 ~ 17 N/mm2,waarbij de factor 0,8 voor de omwerking van kubus- naar cy-linderdruksterkte staat. Bij een wanddikte van 350 mm is debetonspanning gelijk aan2015000/350 . 707 ~ 8,1 N/mm2< 17 N/mm2?De uit de krachtsverdeling voortvloeiende wapening is in defiguren 14fen 14g aangegeven.Men zou zich hier de vraag kunnen stellen waarom geen 'be-tonterm' inrekening is gebracht. Inderdaadzalde constructie,door de wijze waarop gedimensioneerd is, mogelijk een extraveiligheid bezitten. De grootte van deze veiligheid is echterniet bekend, omdat 'tI empirisch op grond van balkproeven isafgeleid en het niet bekend is in hoeverre zij ook voor wand-liggers geldt. Om een mogelijke reserve in rekening te bren-gen, zonder direct weer in empirie te vervallen, kan voor eendrukdiagonaalhelling kleiner dan 45? worden gekozen. Alge-meen wordt aangenomen dat een ondergrens van 30? nog totveilige resultaten leidt. Hierbij moet wel bedacht worden datde hierdoor mogelijke winst aan afschuifwapening weer ge-deeltelijk teniet wordt gedaan door het feit dat de noodzake-lijke doorsnede van de langswapening wordt vergroot, zoalsdirect uit het staafwerkmodel volgt. De spanning in de druk-diagonalen zal groter zijn bij een kleinere helling, zodat hetgrensdraagvermogen eerder wordt bereikt.SlotbeschouwingHet hanteren van staafwerkmodellen als basis voor het di-mensioneren van elementen biedt goede mogelijkheden omtot rationele ontwerpen te komen. De methode is gebaseerdop het ondergrenstheorema van de plasticiteitstheoriewaarinwordt gesteld dat een draagsysteem, waarin in geen enkel on-derdeel de bezwijkspanning wordt overschreden, een onder-grens vormt voor het werkelijke draagvermogen van de con-structie. Als zodanig leidt een dimensionering op grond vanstaafwerkmodellen per definitie tot veilige resultaten.Het valt daarbij aan te bevelen de herverdeling van krachtenzoveel mogelijk te beperken, immers: herverdeling vankrachten gaat gepaard met vergroting van de scheurwijdten.Een ori?ntatie aan het spanningsverloop in de ongescheurdefase geeft hiertoe een goede aanwijzing. Wanneer er meermogelijkheden ter beschikking staan, kiest men bij voorkeurhet model waarbij de geringste vervortriing optreedt. Meestalis dithetmodelwaarbij de totale lengtevan de gebruikte trek-staven het kleinst is.De staafwerkmethode is vooral van belang omdat zij reeds inde ontwerpfase wordt toegepast. Andere methoden, zoals devloeilijnentheorie en de niet-lineaire elementenmethodehebben een meer analytisch karakter: zij kunnen een reedsontworpen constructie ofconstructiedeel op zijn merites tes-ten. In hetlichtvan een CAD-benadering zou een combinatievan de staafwerkmethode en de niet-lineaire elementenme-thode een toekomstperspectiefkunnen bieden.Het ori?nteren van de staafwerkmodellen aan het spannings-30verloop in de ongescheurde fase moet als mogelijk hulptriid-del, niet als voorschrift worden opgevat. In gevallen waarinmeer ervaring bestaat (proeven), is het gerechtvaardigd vandeze ori?ntering af te wijken: zo is bijvoorbeeld bekend dateen verticale schuifwapening in een balk uitstekend functio-neert, hoewel de hoofdtrekspanningsrichting in de neutralelijn onder 45? verloopt. Een ander voorbeeld is de statisch on-bepaalde wandligger, waarvan we weten dat een geringe zet-tingvan eensteunpunt toteenvolledige herori?nteringvandespanningen in de ongescheurde fase kan leiden, zelfs in diemate dat drukspanningen in trekspanningen veranderen enomgekeerd. In zo'n geval is de spanningsverdeling in de onge-scheurde fase weinig significant. Het is dan beter eenvakwerkmet een goede herverdelingscapaciteit te ontwerpen [4, 10].Wat de herverdelingscapaciteit van staafwerkmodellen be-treft kan een gerichtverder onderzoek zinvol zijn. Een anderevraag die tot nu toe onbeantwoord bleefis die naar het draag-vermogen van drukdiagonalen met directe lastafdracht. Aande Technische Hogeschool te Darmstadt werd een experi-menteel onderzoek in deze richting uitgevoerd. Over de re-sultatenvan dit onderzoekzal in een ander artikelworden be-richt.Literatuur1. Bruggeling, A.S.G. en anderen, Het detailleren van beton-constructies, Cement 1984 nrs. 3-6, 8-10, 12 en 1985 nrs. 1,3,5,7,112. Marti, P., Basic tools of reinforeed concrete beam design,ACI-journal,jan.-feb. 1985, blz 46-563. Marti, P., Truss Models in Detailling, Concrete International,dec. 1985, blz. 66-734. Rogowski, D.M., MacGregor, JG., Design of reinforeedconcrete deep beams, Concrete International, aug. 1986, blz. 49-585. Schlaich, J, Sch?fer, K., Konstruieren im Stahlbetonbau,Betonkalender 1984, blz. 787-10016. Schlaich,J, Sch?fer, K.,Jennewein, M., Toward a consistentdesign ofstructural concrete,journal ofthe Prestressed ConcreteInstitute, mei-juni 1987, blz. 74-1487. Th?rlimann, B., plastic analysis ofreinforeed concrete be-ams, IntroductoryReport, IABSE Colloquium onPlasticityinReinforeed Concrete, Kopenhagen 19798. Th?rlimann, B., Marti, P., Pralong,J, Ritz, P., Zimmerli, B.,Anwendung der Plastizit?tstheorie aufStahlbeton, ETH Z?-rich, 1983,252 blz.9. Vecchio, FJ,Collins, M.P., The modified compression fieldtheory for reinforced concrete elements subjected to shear,ACI-journal, maart-april 1986, blz. 219-23110.Walraven,Jc., Reijgersberg, E, Statischonbepaaldewand-liggers, STUVO-Rapport 11Cement 1988 nr. 11