themaStaafwerkmodellen (3)7200994Staafwerk-modellen (3)Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (8)Rekenvoorbeeld 1 (EC2, par.6.5)In het eerste voorbeeld wordt een statisch bepaalde wandliggerbehandeld met een lengte van 22,5 m en een constante breedtevan 300 mm (fig. 1). De wandligger heeft een sprongsgewijsveranderende hoogte; 3,5 m over een lengte van 7 m nabij elkvan de opleggingen; 2 m in het midden van de overspanning.De ligger wordt belast door twee puntlasten (F = 1200 kN), 3 muit de opleggingen. Het eigen gewicht van de wandligger wordtverwaarloosd.MateriaaleigenschappenBetonsterkteklasse C30/37.Betonstaal B500.Rekenwaarde van de betondruksterkte (EC2; art. 3.1.6(1) vgl.(3.15)):fctd =acc fck_____?c=1 · 30_____1,5= 20,0 N/mm21) De artikelenserie is vertaalden bewerkt door dr.ir.drs.René Braam (TU Delft, fac.CiTG / Adviesbureau ir. J.G.Hageman BV) en afgestemdmet Voorschriftencommissie20.In de serie met rekenvoorbeelden, waarin de diverse onderdelen van deEurocode 2 1) worden toegelicht, worden net als in deel 6 en 7 staafwerk-modellen behandeld. Nu gaat het om een wandligger met variabelehoogte en een poer.Betonstaal (EC2; art. 3.2.7(2) en tabel 2.1N & NB):fyd =fyk___?s=500_____1,15= 435 N/mm2De constructie gaat worden gewapend op basis van een staafwerk-model. De sterkte van de knopen in zo'n model is afhankelijk vanhet type knoop. Van al deze typen wordt nu eerst de sterkte bere-kend.Rekenwaarde van de druksterkte van een knoop(EC2; art. 6.5.4(4) & NB):gedrukte knoop:s1Rd,max = k1?' fcd = k1 (1 fck____250)fcd = 1,0 (1 30____250)· 20,0 = 17,6 N/mm2druk-trekknoop met één verankerde trekstaaf:s2Rd,max = k2?' fcd = k2 (1 fck____250)fcd = 0,85 (1 30____250)· 20,0 = 15,0 N/mm2Staafwerkmodellen (3) 72009 95Ncu= Nsy= fcda b xu= 2093 · 103NIn het D-gebied wordt gewerkt met drukstaven waarin dekrachten geconcentreerd zijn en geen spanningsgradiëntenover de staafhoogte optreden. In het B-gebied is wel sprake vaneen drukzone met een spanningsgradiënt over de staafhoogte.De druknormaalkracht uit het B-gebied laten aansluiten op hetD-gebied kan plaatsvinden door de berekende drukzonehoogtein het B-gebied te vermenigvuldigen met a, de volheidsgraadvan de spanning-rekrelatie. Het resultaat is een staafhoogte inhet D-gebied van 0,75 · 465 mm, hetgeen circa 350 mm is.De betondrukkracht grijpt dan in het D-gebied 350/2 = 175 mmonder de bovenkant van de ligger aan; de staaltrekkracht 100 mmboven de onderkant. Bij de dan aanwezige inwendige hefbooms-arm van 2000 175 100 = 1725 mm volgt bij een momentMEd= 3600 kNm een normaalkracht groot 2087 kN. Deze druk-en trekkrachten worden aangebracht op het D-gebied.Krachten op het D-gebiedFiguur 4 toont hoe een D-gebied wordt belast door deze tweekrachten afkomstig uit een B-gebied.Belastingafdracht in D-gebiedFiguur 5 geeft schematisch aan hoe de belastingsafdrachtplaatsvindt. Voor het afdragen van de trekkracht uit hetB-gebied wordt in het D-gebied een `lus' gebruikt. Dit principeis ontleend aan een staafwerkmodel voor de ligger met sparing[1]. De lus wordt gesloten door een verticale trekkracht.De om het midden van de overspanning van de ligger symmetri-sche figuur 6 geeft aan hoe de `lus' voortkomend uit de trekstaafin het B-gebied wordt geschematiseerd in het D-gebied. De trek-kracht wordt opgenomen door twee schuine drukstaven C4en C5.De verticale trekstaaf T2zorgt ervoor dat de `lus' in verticale zingesloten is; deze staaf neemt de spatkracht op. De drukstaven C4en C5en de trekstaaf T2dragen de trekkracht uit staaf T1dus over1 Zijaanzicht en afmetingen (in mm) van de wandligger2 Het onderscheiden van B- en D-gebiedenAfkortingenEC2 = NEN-EN 1992-1-1NB = Nationale Bijlage300030006250 8500225006250750 750300350020001500FAFAFAFAD1 D2D3 D3D1D2B12druk-trekknoop met meer dan één verankerde trekstaaf:Opmerking (EC2; art. 6.5.3(4b) & NB):k2= 0,85 mits haarspelden ten behoeve van omsluiting in derichting loodrecht op het vlak van het staafwerk aanwezig zijn.StaafwerkmodelDe wandligger wordt opgedeeld in B- (`bekend') en D-(`denken') gebieden [1]. D-gebieden treden onder andere op bijeen verandering van de dwarsdoorsnede en bij het inleiden vangeconcentreerde krachten. In de wandligger is sprake van tweesprongsgewijze veranderingen in de hoogte en van vier gecon-centreerd aangrijpende krachten; twee als belasting en twee alsoplegreactie. De breedte en hoogte van de D-gebieden wordtgelijk gesteld aan de afstand tot de snede waarin bij benaderingweer sprake is van een lineaire rekverdeling (de Saint-Venantsestoringszones). Vanaf het einde van een D-gebied geldt weer deregel `vlakke doorsneden blijven vlak' en is sprake van eenB-gebied.Bij het vaststellen van de omvang van de storingszones door tespreiden onder 45°, blijkt dat slechts het middelste deel van deligger een B-gebied is; de andere zones zijn D-gebieden (fig. 2).Spanningen en krachten in het B-gebiedFiguur 3 geeft de dwarskrachten- en momentenlijn van degehele ligger. In het B-gebied, waar alleen een moment moetworden opgenomen, wordt de grootte van het koppel krachtenberekend dat door dit moment wordt veroorzaakt.Met de bi-lineaire spanning-rekrelatie voor beton volgt voorMRd= MEd:fcd0,75 a xub ( d ßxu) = MEdIn deze spanningrek-relatie is voor beton tot en met sterkte-klasse C50/60 de oppervlaktefactor a = 0,75; de zwaartepunts-factor ß = 0,39 (7/18).Aangenomen wordt dat d = h 100 mm = 1900 mm:20 · 0,75 xu· 300 · (1900 7xu/18 ) = 3,6 · 109xu= 465 mmDe betondruk- en staaltrekkracht zijn:s3Rd,max = k3?' fcd = k3 (1 fck____250)fcd = 0,75 (1 30____250)· 20,0 = 13,2 N/mm2Staafwerkmodellen (3)7200996Trekstaaf T2heeft in het staafwerkmodel een breedte van 1,5 m (fig.6). De benodigde wapening wordt aangebracht in de vorm vandubbelsnedige beugels met een staafdiameter van 12 mm. Deze 12beugels worden gelijkmatig verdeeld over de staafbreedte aange-bracht, bijvoorbeeld met een hart-op-hartafstand van 125 mm.KnopenBij het controleren van de knopen wordt aandacht besteed aan dielokaties waar geconcentreerde uitwendige belastingen / oplegreac-ties aangrijpen. In dit staafwerkmodel (fig. 6) is dat het geval bijknoop A (oplegreactie), knoop B (uitwendige belasting) en op deovergang tussen het D- en het B-gebied.Knoop A (linker oplegging)Het betreft een druk-trekknoop met één verankerde trekstaaf, ziefiguur 7 voor een principeschets. De toelaatbare spanning is dans2Rd,max= 15,0 N/mm2.De minimumoppervlakte van het lastvlak is:A =Fc1______s2Rd,max=1200 · 103________15,0= 80 · 103mm2Met het oog op de breedte van de wand (300 mm) wordt gekozenvoor een oplegvlak met een breedte van 200 mm; de lengte ervan is400 mm.De wapening in trekstaaf T3wordt aangebracht in drie lagen (elk 3Ø20 mm; fig. 8), zodanig dat u = 2s0+ 3s = 2 · 60 + 2 · 75 = 270 mm.Opmerking:De afstand s0is als volgt geschat: Bij een betondekking op de ortho-gonale wapening in de wand (stel: Ø = 12 mm) van 35 mm, is deafstand van het hart van de hoofdwapening tot het zijvlak van dewand 35 + 12 + 20/2 = 57 mm. Gerekend wordt met, afgerond,60 mm. Deze afstand wordt ook aangehouden voor de maat s0infiguren 8.7 en 8.8.Voor de verticale hart-op-hartafstand van de 3 lagen Ø20 mmwordt 75 mm aangehouden.Controle van de aanname dat het hart van de trekstaaf T3zichbevindt 135 mm boven de onderkant van de wand: Deze blijktovereen te stemmen met de in werkelijkheid aanwezige 60 + 75 =135 mm.Met a1= 400 mm is de breedte van de drukstaaf (fig. 7 en 8):a2= 400 · sin(46,8°) + 270 · cos(46,8°) = 476 mmnaar de boven- en onderkant van het D-gebied. Aan de bovenkantwordt de trekkracht opgenomen in drukstaaf C3; aan de onderkantvormt zich een trekstaaf T3. Verondersteld wordt dat deze trekstaafzich 135 mm uit de onderkant van de ligger bevindt.StaafkrachtenDe hellingshoek van drukstaaf C2is:? = arctan (3500 135 175______________3000)= 46,8°Verondersteld wordt dat drukstaaf C5een hellingshoek van 45°heeft. Dan kan de ligging van knooppunt E worden berekend,waarna de hellingshoek van drukstaaf C4kan worden berekend:?1 = arctan (2000 100 175______________1465)= 49,7°Tabel 1 geeft een overzicht van de krachten in de staven.controle:T1= C4cos?1+ C5cos45° = 956 + 1126 = 2082 kN; akkoord.Dimensioneren trekstavenIn het staafwerkmodel zijn drie trekstaven aanwezig. In tabel 2 isvermeld hoeveel betonstaal moet worden aangebracht om,uitgaande van fyd= 435 N/mm2, deze krachten op te kunnen nemen.300030001200 kN150003600 kNmFAFAVEdMEd30006250 2000750200015001200 kN2087 kN2087 kN1200 kN175100staaf relatie voor berekenen staafkracht krachtC1 zie: berekening krachten in B-gebied 2087 kNT1T1= C1(zie: berekeningen krachten in B-gebied) 2087 kNC2C2= F / sin? = 1200 / sin(46,8°) (verticaal evenwichtknoop A)1646 kNT3T3= C2cos? = 1652 cos(46,8°) (horizontaal evenwichtknoop A)1127 kNT2T2= T3omdat C5een hellingshoek van 45° heeft 1127 kNC3C3= C2cos? = T3(horizontaal evenwicht knoop B) 1127 kNC5C5= T2v2 (verticaal evenwicht knoop C) 1593 kNC4C4= C5sin45° / sin?1= T2/ cos(90° ?1) 1478 kNTabel 1 Krachten in stavenstaaf betonstaal benodigd betonstaal gekozenT1As= 2087 · 103/ 435 = 4798 mm215 Ø20 = 5027 mm2T2As= 1127 · 103/ 435 = 2591 mm224 Ø12 = 2714 mm2T3As= 1127 · 103/ 435 = 2591 mm29 Ø20 = 2827 mm2Tabel 2 Trekstaven: benodigde en gekozen hoeveelheden betonstaal.3 4Staafwerkmodellen (3) 72009 973 Dwarskrachten- en momentenlijn4 Belastingen en (opleg)reacties op het D-gebied (dimensies mm)5 Schematische belastingafdracht in het D-gebied6 Staafwerkmodel voor het D-gebied. Dimensies [mm]leren van de drukspanningen die op de grensvlakken staaf -knoop optreden, is aangetoond dat de toelaatbare spanningenniet worden overschreden. Het tussen de knopen `uitwaaieren'van de drukstaven leidt tot een toename van de staafbreedte endus tot een afname van de optredende drukspanningen. Hetspreiden leidt er echter ook toe dat trekkrachten loodrecht op delengteas van de drukstaaf ontstaan (zie EC2; fig. 6.25). Dezekrachten moeten door wapening worden opgenomen. In eenvolledig discontinue gebied (dat wil zeggen: de spreiding wordtniet beperkt door de afmetingen van de constructie loodrecht opde lengteas van de drukstaaf) is T = 0,25C een bovengrens-waarde voor deze trekkracht (EC2; vgl. (6.59)).Afgezien van staaf C1is drukstaaf C2de zwaarst belaste staaf.De bovengrenswaarde van de in dwarsrichting optredendetrekkracht is:T = 0,25 · 1646 · 103= 412 · 103NOm deze kracht op te kunnen nemen is benodigd:As =412 · 103________435= 947 mm2Deze hoeveelheid wapening is benodigd zowel bij de oplegging(knoop A) als daar waar de belasting aangrijpt (knoop B).Beide wapeningshoeveelheden mogen worden gespreid overeen afstand H/2 waarin H is de afstand tussen de beide knopen(zie EC2 fig. 6.25b).Gekozen is voor een net Ø10-250 per zijde (As= 314 mm2/m).De wapening ontbinden in een component evenwijdig aan eneen component loodrecht op de lengte-as van de drukstaafgeeft wapeningshoeveelheden:De spanning op het aansluitvlak van drukstaaf C2is:sc2 =1646 · 103________300 · 476= 11,5 N/mm2= 15,0 N/mm2Knoop BHier is sprake van een drukknoop; een knoop waarop alleendrukstaven aangrijpen (fig. 9). De toelaatbare spanning iss1Rd,max= 17,6 N/mm2.Opgemerkt wordt dat de in deze figuur vermelde drukstaaf-hoogte a2niet overeenstemt met die in figuur 7; het zijn opzichzelf staande figuren.De hoogte van de knoop is eerder gelijk gesteld aan 350 mm.De spanning op het aansluitingsvlak met drukstaaf C3die hieraangrijpt is:sc2 =1127 · 103________300 · 350= 10,7 N/mm2= s1Rd,max = 17,6 N/mm2De lengte van het oplegvlak van de puntlast moet minimaalgelijk zijn aan:a* =1200 · 103________300 · 17,6= 227 mmEen lastvlak met lengte en breedte 300 mm wordt gekozen.Orthogonale wapeningAls het geanalyseerde D-gebied wordt beschouwd als zijndeeen gedrongen ligger (EC2; art. 5.3.1(3)) dan moet aan iederezijde een orthogonaal wapeningsnet worden aangebracht (EC2;art. 9.7(1) & NB). De minimumwapening per zijde is As,dbmin=0,1% aan elke zijde en in elke richting, met een minimum van150 mm2/m.De afstand tussen twee aangrenzende staven in het net mag nietgroter zijn dan tweemaal de dikte van de gedrongen ligger of300 mm (EC2; art. 9.7(2)). In dit voorbeeld is 300 mm maatge-vend. De minimumwapening is 0,1 · 10-2· 300 · 1000= 300 mm2/m > 150 mm2/m.Gekozen wordt voor een net Ø10 met staafafstand 250 mm(As= 314 mm2/m).Bij het bespreken van de drukstaven wordt nog nader op dezewapening ingegaan.DrukstavenDe druktrajectoriën van de drukstaven kunnen spreiden tussende beide knopen waartussen de betreffende drukstaven zichbevinden. Dit is alleen voor drukstaaf C1niet mogelijk. De span-ningen in deze staaf zijn gecontroleerd bij het analyseren vangebied B. Voor de andere staven heeft dit spreiden tot gevolg datde grootste drukspanningen in de staven ter plaatse van deaansluitingen met de knopen zullen optreden. Door het contro-lustrekstaafC1C3C2C4C5T1T21T31751001351465 75045°ACDBE1200 kN??56Staafwerkmodellen (3)7200998a2 = 1 0,15 ·cd ?______?= 1 0,15 ·45 20______20= 0,81Met (EC2 tabel 8.2) a1= a3= a4= 1,0 is a2a3a5= 0,81 · 1,0 · 0,73 =0,59. Maatgevend is nu de voorwaarde a2a3a5> 0,7 (EC2 vgl.(8.5)). Daarmee is de rekenwaarde van de verankeringslengte(EC2 vgl. 8.4):lbd = 0,7 lb,rqd = 0,7 ·?__4·As,required_______As,appliedfyd__fbdDe rekenwaarde van de aanhechtspanning is voor staven met`goede' aanhechting (EC2 fig. 8.2), een staafdiameter < 32 mmen betonsterkteklasse C30/37 gelijk aan 2,25fctd= 2,25 · 2,0/1,5= 3,0 N/mm2. Dan is:lbd = 0,7 ·?__4·As,required_______As,appliedfyd__fbd= 0,7 ·20___4·2591_____2827·435____3,0= 465 mmBeschikbaar aan verankeringslengte (fig. 8.8):lbd = 135 cos 46,8° + 400 + 120 = 612 mmConclusie: In de knoop is voldoende verankeringslengte beschikbaar.Opmerking:Uit oogpunt van scheurwijdtebeheersing verdient het aanbeve-ling in de keel van de doorsnede schuine staven aan te brengendie de scheur die daar zal ontspringen, bij benadering lood-recht zullen kruisen. Deze wapening zal een bijdrage leverenaan de draagkracht van de ligger. In het hiervoor besprokenas = 2 · (314 · sin 46,8° + 314 · cos 46,8°) = 2 · 314 · 1,41 = 886 mm2/mDe afstand tussen knopen A en B is (fig. 4):H = 3_____________________________(3500 135 175)2+ (3000 750)2= 3904 mmOmdat H/2 ongeveer gelijk is aan 2 m, is achter een knoop aanwapening in dwarsrichting op de drukstaaf circa 2 m · 886 mm2/m? 1700 mm2aanwezig. Deze wapening is ruimschoots in staat detrekkracht in dwarsrichting op te nemen (benodigd is:As> 947 mm2).Oplegging A verankeringslengteDe benodigde verankeringslengte van de staven van trekstaaf T3wordt beïnvloed door de oplegdruk; EC2 tabel 8.2 geeft aan hoedeze wordt verwerkt:a5 = 1 0,04 p = 0,7waarin: p is de dwarsdruk in N/mm2.Drukstaaf C2heeft een verticale krachtcomponent van1200 kN. Op basis van de afmetingen vermeld in figuur 8 heeftdeze staaf een horizontale breedte:400 + 270 cos 46,8° = 585 mmMet de wanddikte van 300 mm volgt dan de gelijkmatige verti-cale druk op de wapeningsstaven:sverticaal = p =1200 · 103_________585 · 300= 6,8 N/mm2Dan is a5= 1 0,27 = 0,73.Bij een betondekking op de orthogonale wapening (Ø10 mm)van 35 mm is de betondekking op de buitenste trekstaafwape-ning cd= 35 + 10 = 45 mm. Als wordt verondersteld dat de staafrecht is, dan is (EC2 tabel 8.2):Fc1Fc2Ft= 2s0s0s0sulbda1a2c1c2sseT3C246,8°a1 = 400 [ mm ]1200 kNs0 = 60s = 75s = 75s0 = 602s0lbdFdFc3Fc2a*c1c2 2?c3a3a2sss789Staafwerkmodellen (3) 72009 997 Principeschets van knoop A (EC2; fig. 6.27)8 Afmetingen van knoop A (EC2; fig. 6.27)9 Detaillering van knoop B10 Alternatief staafwerkmodel waarin een trekstaat in de keel van debetondoorsnede de daar te vormen scheur loodrecht kruist11 Bovenaanzicht en dwarsdoorsneden poer (afmetingen [mm])staafwerkmodel komt die biidrage niet tot uitdrukking. Daaromis in figuur 10 een voorbeeld getoond van een staafwerkmodeldat hiertoe kan worden gebruikt. Door een gedeelte van de belas-ting te laten afdragen door dit model, wordt een combinatiegemaakt van de modellen uit figuur 6 en 8.10, bijvoorbeeld 2/3deel van de belasting volgens het model in figuur 6; het reste-rende 1/3 deel volgens het model in figuur 10.Rekenvoorbeeld 2 (EC2, par.6.5)Het tweede voorbeeld is een vier-paals poer (grondvlak4500 mm bij 4500 mm; hoogte 1500 mm), gefundeerd op palenØ800 mm (fig. 11). De poer wordt belast door een kolom(2000 mm lang; 700 mm breed) met een normaalkracht NEd=2000 kN en een moment MEd= 5000 kNm.MateriaaleigenschappenBetonsterkteklasse C25/30.Betonstaal B500.Rekenwaarde van de betondruksterkte (EC2; art. 3.1.6(1) vgl.(3.15)):fctd =acc fck_____?c=1 · 25_____1,5= 16,7 N/mm2Betonstaal (EC2; art. 3.2.7(2) en tabel 2.1N & NB):fyd =fyk___?s=500_____1,15= 435 N/mm2Rekenwaarde van de druksterkte van een knoop (EC2; art.6.5.4(4) & NB):gedrukte knoop:druk-trekknoop met één verankerde trekstaaf:druk-trekknoop met meer dan één verankerde trekstaaf:StaafwerkmodelDe krachten door de kolom uitgeoefend op de poer wordenberekend uit het moment en de normaalkracht in de kolom.Gegeven is dat de kolom aan de trekzijde is gewapend met 9staven Ø25 mm (As= 4418 mm2). Het zwaartepunt van dezestaven bevindt zich 100 mm uit het zijvlak van de kolom.-++-0 0 00+ + +0+- - -45002200800 800 35035045002200800 800 3503504500200012501250200012501250700 19001900220080080035035021ppp3300013000p1110De krachten die de kolom uitoefent op de poer worden bere-kend uit het inwendig evenwicht in de kolom. Gerekend wordtmet de rekenwaarde van de vloeikracht van het aanwezigebetonstaal.Rekenwaarde trekkracht betonstaal:Fs= fydAs= 435 · 4418 = 1922 · 103NDe kracht in de betondrukzone is de som van de uitwendigedrukkracht en de trekkracht in het betonstaal:abxu fcd = 0,75 · 700 xu · 16,7 = 2000 · 103+ 1922 · 103xu= 447 mmDe betondrukkracht grijpt aan ßxu= 0,389 · 447 = 174 mmvanaf het zijvlak van de kolom. Het inwendig moment in dekolom is: (2000 100 174) · 2922 · 103= 5043 · 106Nmm ?5000 kNm, dus akkoord. Net als bij het vorige voorbeeld van deligger wordt de dwarskracht geconcentreerd gedacht in eendrukstaaf zonder rekgradiënt over de breedte. Dan is de breedtevan deze drukstaaf 0,75 · 447 = 335 mm. De resultante bevindtzich dan 335/2 = 168 mm uit de zijkant van de kolom.De krachten door de kolom op de poer uitgeoefend zijn weer-gegeven in figuur 12: een (staal)trekkracht groot 1922 kNaangrijpend 100 mm vanuit het zijvlak van de kolom en een(beton)drukkracht van 3922 kN aangrijpend 168 mm uit hettegenover liggende zijvlak.s1Rd,max = k1?' fcd = k1 (1 fck____250)fcd = 1,0 (1 25____250)· 20,0 = 18,0 N/mm2s2Rd,max = k2?' fcd = k2 (1 fck____250)fcd = 0,85 (1 25____250)· 16,7 = 12,8 N/mm2s3Rd,max = k3?' fcd = k3 (1 fck____250)fcd = 0,75 (1 25____250)· 16,7 = 11,3 N/mm2Staafwerkmodellen (3)7200910012 Aangrijpingspunten van krachten uit de kolom op de poeruitgeoefend (afmetingen [mm])13 Ruimtelijke weergave staafwerkmodel14 Zijaanzicht staafwerkmodel (afmetingen [mm])15 Aanzichten vanaf de kop van de poer; vlakken p2 (links) enp3 (rechts) uit figuur 11Boven palen B1en B2hebben de twee schuine drukstaven D31enD32een horizontale component tussen de palen in (trekstaaf T3).De horizontale trekstaven T51en T52zorgen voor het krachtene-venwicht in de richting hier loodrecht op (deze werking is over-eenkomstig die van trekstaven T61en T62).Door de trekkracht Fsnaar de onderzijde van de poer te leiden, iseen staafwerkmodel ontstaan dat voor beide helften van de poerin principe hetzelfde is, maar gespiegeld om een horizontaal vlakongeveer halverwege de hoogte van de poer is gelegen.In figuur 14 is een zijaanzicht van het staafwerkmodel gegeven.De vermelde hoeken zijn de hoeken tussen de op dit vlak (zievlak p1in fig. 11) geprojecteerde staven.Figuur 15 geeft de kopaanzichten met de oplegreacties uit de palen(projecties op vlakken p2en p3uit figuur 11). Ook hier is sprake vanhoeken op basis van een projectie van de staven. De trekkrachten ineen aantal staven kunnen direct worden afgeleid uit het evenwichtvan de knopen die deze opleggingen weergeven:T2 =RA1_____tan?3T3 =RB1_____tan?3T41 = T42 = RB1 = RB2In deze berekening is het eigen gewicht van de poer verwaarloosd.Als ervan wordt uitgegaan dat, over de hoogte van de poergezien, de afstand van het hart van zowel trek- als drukstaven totde buitenzijde van het beton gelijk is aan 100 mm, dan is dehoogte van het staafwerkmodel h = 1300 mm.Dan is:De reacties ter plaatse van de vier palen worden gevonden uithet momenten- en verticale krachtenevenwicht van de poer alsgeheel (fig. 12):RA= -2642 kN (druk; voor 2 palen)RB= 642 kN (trek; voor 2 palen)In figuur 13 is schematisch aangegeven hoe deze krachten in depoer worden gespreid.Een gedeelte van de drukkracht Fcwordt door twee schuinedrukstaven D11en D12direct afgeleid naar de twee palen links (A1en A2). De verticale componenten van de krachten uit dezeschuine drukstaven nemen bij het knooppunt met kracht Fcnietdeze gehele verticale kracht op. Daarom wordt een drukstaaf D2toegevoegd. Deze schuine drukstaaf heeft een aanzienlijke hori-zontale krachtcomponent. Om horizontaal evenwicht in deknoop te realiseren wordt een horizontale trekstaaf T5toevoegd.Bij palen A1en A2hebben de twee schuine drukstaven D11enD12een horizontale component tussen de palen in (trekstaafT2). De horizontale trekstaven T61en T62verzorgen hetkrachtenevenwicht in de richting hier loodrecht op.De trekkracht Fswordt door trekstaaf T1naar de onderzijde vande poer geleid. Hier kan de verticale kracht onder andere doorde twee schuine drukstaven D31en D32naar bovenin de poerwordt geleid naar knopen recht boven de twee palen rechts (B1en B2). Net als bij het knooppunt met kracht Fcnemen de beideschuine drukstaven niet de volledige kracht Fsop. Drukstaaf D2verzorgt hier het verticale evenwicht.200020001732 1001682200800 800 350350RAFc FsRBRA2RA1RB1RB2FsFcT52T42D32D31D11D12 D2T3T1T51T41T2T62T61131312I LITERATUUR1 Schlaich, J., K. Schäfer en M. Jennewein. Toward aconsistent design of structural concrete. PCI Journal,vol. 32, no. 3, mei/juni 1987, p. 74-150.Staafwerkmodellen (3) 72009 101Voor de hoeken in het staafwerkmodel geldt:?1 = arctan (1300_____1732)= 36,9°?2 = arctan (1300_____600)= 65,2°Tabel 3 bevat de krachten die in de trekstaven optreden.Het betonstaal benodigd voor trekstaven T2en T3wordt gecon-centreerd aangebracht in wapeningsbanen die twee palen verbin-den (T2: palen A1en A2; T3: palen B1en B2). De wapening voortrekstaaf T6moet worden gesplitst over twee wapeningsbanenomdat deze staaf twee afzonderlijke trekstaven weergeeft. Dezewapeningsbanen verbinden in theorie geen palen, maar hetaangrijpingspunt van de staalkracht Fshelemaal onderin de poermet palen A1en A2. Het plaatsen van twee scheve wapeningsba-nen is onpraktisch. Het wordt dan ook aanbevolen deze wapeningals wapeningsnet onderin de poer aan te brengen. Omdat welvoldoende wapening lokaal aanwezig moet zijn, vraagt dit wape-ningsnet extra wapening, maar is het plaatsen ervan wel eenvou-diger. Een gedeelte van deze wapening zal toch al vereist zijn alsminimumwapening of praktische wapening omdat anders gedeel-ten onderin de poer ongewapend zouden blijven.De wapening voor trekstaven T1en T4is geconcentreerd in depoer aanwezig; voor T1verticaal op één plaats in de doorsnede(in het verlengde van de wapening uit de kolom); voor T4geconcentreerd boven palen B1en B2.Voor trekkracht T5geldt hetzelfde als voor trekstaaf T6: Detrekstaaf geeft twee afzonderlijke trekstaven weer. De tweewapeningsbanen verbinden het aangrijpingspunt van de beton-drukkracht Fchelemaal bovenin de poer met knooppunteneveneens bovenin de poer, direct boven palen B1en B2. Hetplaatsen van twee scheve wapeningsbanen is ook hier onprak-tisch. Deze wapening als wapeningsnet bovenin de poeraanbrengen is een mogelijkheid temeer daar (net als bij T5) eengedeelte van deze wapening toch al vereist zal zijn als mini-mumwapening of praktische wapening omdat anders ookgedeelten bovenin de poer ongewapend zouden blijven. )?3 = arctan (1300_____1500)= 40,9°De krachten in de overige staven kunnen worden afgeleid uithet krachtenevenwicht in het staafwerkmodel uit figuur 14 meth = 1300 mm.Horizontaal evenwicht in de knoop bij palen A1en A2:T6 =RA_____tan?1Uit verticaal evenwicht in de knoop die het aangrijpingspuntvan Fcweergeeft volgt dat de verticale component van druk-kracht D2gelijk is aan Fc RA.Horizontaal evenwicht in de knoop bij palen B1en B2:T5 =RB_____tan?2omdat verticaal evenwicht hier geeft:D6 =RB_____sin?2Verticaal evenwicht in de knoop waar trekstaaf T1= Fsaangrijptgeeft aan dat de verticale component van drukkracht D2gelijkis aan FS RB.Uit het evenwicht van de knoop waar betondrukkracht Fcwasgevonden dat deze verticale component gelijk is aan Fc RA.Beide uitdrukkingen leiden tot hetzelfde resultaat. Immers, uithet verticale evenwicht van het gehele staafwerkmodel volgt:Fc Fs = RA RB1715 600685FcRA RBFsT5T6D2 D321? ?hRA2 RA1hFcD12 D113 31500 1500RB1 RB2FsD31T3T41 T42T1D323 31500 1500? ?? ?staaf relatie voor berekenen staafkracht krachtT1T1= Fs1922 kNT2T2= RA1/ tan?31525 kNT3T3= RB1/ tan?3371 kNT41T41= RB1321 kNT42T42= RB2321 kNT5T5= RB/ tan?2297 kNT6T6= RA/ tan?13519 kNTabel 3 Krachten in trekstaven14 15
Reacties