O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eW indtechnologiecement 2006 170respons berekend door het volgen van een aantalstappen (fig. 1):1. Uit de in de tijd vari?rende windsnelheid wordteen variantiespectrum van de fluctuerende wind-snelheid bepaald.2. Uit het variantiespectrum van de fluctuerendewindsnelheid wordt een variantiespectrum van dewindbelasting bepaald. Hierbij speelt de a?rody-namische admittantie een rol.3. Vervolgens wordt het variantiespectrum van derespons van de constructie ten gevolge van hetvariantiespectrum van de windbelasting op deconstructie bepaald. Hierbij speelt de frequentie-responsfunctie (mechanische admittantie) eenrol. De respons kan de verplaatsing, de snelheidof de versnelling van een punt zijn. Voor hetbepalen van trillingshinder van gebouwen zijn deoptredende versnellingen van belang.4. Uit het oppervlak van het variantiespectrum vande respons kan de standaardafwijking van de res-pons worden berekend. Als de kansverdeling vande respons bekend is, kan daarmee de kans opoverschrijding van een bepaalde waarde van derespons worden berekend.In een spectrale analyse met een eindige-elementen-pakket (bijv. ANSYS) kan de windlast tot ??n of meerfluctuerende krachten worden geschematiseerd. Eenschematisatie tot ??n kracht leidt tot een relatief een-voudige berekening, waarin ook de invloed van hoge-re eigenfrequenties van een gebouw op de verwachtetrillingshinder kan worden meegenomen, wat met deformules uit NEN 6702 niet mogelijk is. Het pro-bleem is dan een goede waarde voor de a?rodynami-sche admittantie te vinden. Een schematisatie totmeer krachten kan nauwkeuriger zijn, maar heeft alsnadelen dat de (invoer voor de) berekening veel inge-wikkelder wordt, en dat er ook informatie moet zijnover de relatie tussen de fluctuerende windsnelheidin de verschillende punten van de gevel van hetgebouw.In het vervolg wordt eerst uitgelegd wat een variantie-spectrum en een frequentieresponsfunctie zijn. Ver-volgens wordt besproken hoe de respons kan wordenbepaald van een constructie belast door slechts ??nfluctuerende belasting, en wat er aan de berekeningverandert als we met twee fluctuerende belastingen temaken hebben. Dit alles wordt ge?llustreerd met eenvoorbeeld van een twee-massa-veersysteem (fig. 2)belast door ??n respectievelijk twee fluctuerendekrachten. Ten slotte komt summier aan de orde hoeSpectrale analysesdr.ir. M.C.M. Bakker, TU Eindhoven, fac. BouwkundeMet behulp van spectrale analyses is het mogelijk de kansop trillingshinder van constructies ten gevolge vanfluctuerende windbelasting te berekenen. In dit artikelwordt geprobeerd een zo eenvoudig mogelijke uitleg tegeven van de basisprincipes van spectrale analyses.In de spectrale analyse wordt de kans op overschrij-ding van een bepaalde waarde van de constructieveugemugem Fgem xgemu F xFgem xgemuflucGuu;fluc GFF;fluc Gxx;fluc |Hx|Ffluc xflucu F xtf f f f ft twindsnelheid windkrachtvariantiespectrumwindsnelheid ufluckansdichtheidkansdichtheidkansdichtheidx aerodynamischeadmittantie= variantiespectrumwindkracht Fflucx mechanischeadmittantie= variantiespectrumrespons xflucrespons(ufluc)2(ufluc) (Ffluc) (xfluc)(ufluc) (Ffluc) (xfluc) (Ffluc) (xfluc)2 2 F1 |Schematische weergavespectrale analyseO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eW indtechnologiecement 2006 1 71het variantiespectrum van de windbelasting kan wor-den bepaald uit het variantiespectrum van de fluctue-rende windsnelheid.H a r m o n i s c h e t r i l l i n gEen willekeurige harmonische trilling met frequentief kan worden geschreven als:(1)xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=xf f( ) 0=xf2f( )2C2f( )=xf t( ) xf0 t f,( )df Cx f( ) ft x f( ))?cos fd0= =xf xf fd0 0= =xf2xf2 2fd0 Cx f( ) fd0= =Gxx f( ) limxff 02f( )fxf2f( ) Cx2f( )= = =Gxx f( ) fd0 xf2=2xf xf? 2p xf( ) xd? xf2xf= = ?(1/21/21/2waarinCx( f ) is de amplitude van de trilling;x( f ) is de fasehoek, die bepaalt op welke tijdstip-pen xfgelijk is aan de amplitude (fig. 3).De gemiddelde waarde en de kwadratisch gemiddel-de waarde van dit signaal hangen af van de tijdsduurdat het signaal wordt beschouwd. Voor een oneindiglange tijdsduur worden het gemiddelde en kwadra-tisch gemiddelde van het signaal gelijk aan hetgemiddelde over ??n periode T = 1/f:(2)xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=xf f( ) 0=xf2f( )2C2f( )=t( ) xf0 t f,( )df Cx f( ) ft x f( ))?cos fd0= =xf xf fd0 0= =xf2xf2 2fd0 Cx f( ) fd0= =Gxx f( ) limxff 02f( )fxf2f( ) Cx2f( )= = =Gxx f( ) fd0 xf2=(1/21/21/2en(3)xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=xf f( ) 0=xf2f( )2C2f( )=xf t( ) xf0 t f,( )df Cx f( ) ft x f( ))?cos fd0= =xf xf fd0 0= =xf2xf2 2fd0 Cx f( ) fd0= =Gxx f( ) limxff 02f( )fxf2f( ) Cx2f( )= = =Gxx f( ) fd0 xf2=2xf xf? 2p xf( ) xd? xf2xf= = ?(1/21/21/2S p e c t r u mEen spectrum is niets anders dan een weergave vaneen variabele uit het tijdsdomein in het frequentiedo-mein. Neem aan dat we een niet-periodiek, met detijd vari?rend signaal xf(t) hebben. Dit signaal kansamengesteld worden gedacht uit een oneindigereeks harmonische trillingen xf(t) met continu vari?-rende frequenties:(4)xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=xf f( ) 0=xf2f( )2C2f( )=xf t( ) xf0 t f,( )df Cx f( ) ft x f( ))?cos fd0= =xf xf fd0 0= =xf2xf2 2fd0 Cx f( ) fd0= =Gxx f( ) limxff 02f( )fxf2f( ) Cx2f( )= = =Gxx f( ) fd0 xf2=(1/21/21/2Van dit signaal xf(t) kunnen we het gemiddelde xfen het kwadratisch gemiddelde x2fbepalen als:(5)xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=xf f( ) 0=xf2f( )2C2f( )=xf t( ) xf0 t f,( )df Cx f( ) ft x f( ))?cos fd0= =xf xf fd0 0= =xf2xf2 2fd0 Cx f( ) fd0= =Gxx f( ) limxff 02f( )fxf2f( ) Cx2f( )= = =Gxx f( ) fd0 xf2=(1/21/21/2en(6)xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=xf f( ) 0=xf2f( )2C2f( )=xf t( ) xf0 t f,( )df Cx f( ) ft x f( ))?cos fd0= =xf xf fd0 0= =xf2xf2 2fd0 Cx f( ) fd0= =Gxx f( ) limxff 02f( )fxf2f( ) Cx2f( )= = =Gxx f( ) fd0 xf2=(1/21/21/2Van een met de tijd vari?rend signaal xf(t) zoudenwe dus spectra kunnen maken van zowel de co?ffi-ci?nten Cx(f) als de fasehoeken x(f). In de spectraleanalyse wordt echter gebruikgemaakt van een andertype spectrum, het zogenoemde auto-correlatiespec-trum of variantiespectrum.A u t o - c o r r e l a t i e s p e c t r u mEen auto-correlatiespectrum kan op drie manierenworden berekend: met correlatiefuncties, met eindigeFouriertransformaties of met de operaties filteren-kwadrateren-middelen. Om de wiskunde te beperkenbespreken we hier de laatste methode. Om een auto-correlatiespectrum (of autospectrale dichtheidsfunc-tie) te bepalen van het signaal xf(t), filteren we hetsignaal door een smalle-bandbreedtefilter met band-breedte f en middenfrequentie f. Op die manier krij-gen we het signaal xf(t,f). Vervolgens kwadrateren wehet signaal en bepalen de gemiddelde waarde. Totslot delen we het zo bepaalde kwadratisch gemiddel-de x2f(f) door de bandbreedte f.Zouden we de bandbreedte f oneindig klein kunnenmaken, dan vinden we op die manier het auto-corre-latiespectrum:(7)xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=xf f( ) 0=xf2f( )2C2f( )=xf t( ) xf0 t f,( )df Cx f( ) ft x f( ))?cos fd0= =xf xf fd0 0= =xf2xf2 2fd0 Cx f( ) fd0= =Gxx f( ) limxff 02f( )fxf2f( ) Cx2f( )= = =Gxx f( ) fd0 xf2=2xf xf? 2p xf( ) xd? xf2xf= = ?(1/21/21/2Het auto-correlatiespectrum geeft dus per frequentiehet kwadratisch gemiddelde van het signaal. Hetkwadratisch gemiddelde van het totale signaal vindenwe door te integreren over alle frequenties, ofteweldoor het oppervlak van het auto-correlatiespectrum teberekenen:(8)xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=xf f( ) 0=xf2f( )2C2f( )=xf t( ) xf0 t f,( )df Cx f( ) ft x f( ))?cos fd0= =xf xf fd0 0= =xf2xf2 2fd0 Cx f( ) fd0= =Gxx f( ) limxff 02f( )fxf2f( ) Cx2f( )= = =Gxx f( ) fd0 xf2=2xf xf? 2p xf( ) xd xf2xf= = ?(1/21/21/22 |Twee-massa-veersysteemk1 k2m1 m2F1, x1 F2, x2m1= m2= 30000 (kg)k1= k2= 5,831 ? 108(N/m)demping = c/ccr= 0,01Cx C2xx22tTharmonische trillinggekwadrateerde harmonische trillingkwadratisch gemiddelde3 |Harmonische trillingO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eW indtechnologiecement 2006 172Als xf(t) de eenheid (a) heeft, dan heeft de auto-cor-relatiefunctie Gxx( f ) de eenheid (a2/Hz). Merk op dathet auto-correlatiespectrum alleen informatie geeftover de amplitudes per frequentie van het signaal enniet over de fasehoeken.V a r i a n t i e s p e c t r u m e no v e r s c h r i j d i n g s k a n sWe kunnen het in de tijd vari?rende signaal xf(t) ookopvatten als een stochastische grootheid met kans-dichtheidsfunctie p(xf). Van deze stochastischegrootheid kunnen we de variantie berekenen als:(9)xf2f( )2C2f( )=xf t( ) xf0 t f,( )df Cx f( ) ft x f( ))?cos fd0= =xf xf fd0 0= =xf2xf2 2fd0 Cx f( ) fd0= =Gxx f( ) limxff 02f( )fxf2f( ) Cx2f( )= = =Gxx f( ) fd0 xf2=2xf xf? 2p xf( ) xd? xf2xf= = ?(1/21/21/2Voor een signaal waarvan de gemiddelde waardegelijk is aan nul, is de variantie dus gelijk aan hetkwadratisch gemiddelde. Het auto-correlatiespectrumvan een signaal met een gemiddelde van nul wordtdaarom ook wel een variantiespectrum genoemd.Kennen we het variantiespectrum en de kansverde-ling van een stochastische grootheid, dan kunnen weuitrekenen wat de kans is dat een bepaalde waardevan die grootheid niet wordt overschreden. Heeft devariabele een Gaussverdeling dan geldt bijvoorbeelddat er een kans is van 4,6% dat de variabele een waar-de heeft die groter is dan drie keer de standaardafwij-king .F r e q u e n t i e - r e s p o n s f u n c t i eDe spectrale analyse is gebaseerd op het principe dateen harmonisch vari?rende belasting (input) met fre-quentie f op de constructie:(10)Ff t f,( ) Cf f( ) 2ft( )cos=xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=Hx f( ) Hx f( ) ei f( )?Hx f( ) f( ) i f( )sin?cos( ) (12)= =Hx f( )Cx f( )CF f( )=V f( )Cx f( )xstat f( )kcon Hx f( )= =Hx.... f( )Cxf( )CF f( )2fCx f( )CF f( )2f Hx f( )= = =Hxf( )Cxf( )CF f( )2f( )2Cx f( )CF f( )2f( )2Hx f( )= = =Ff2f( ) CF f( ) en xf2f( ) Cx22f( )= =..1/21/2leidt tot een harmonisch vari?rende respons (output)met dezelfde frequentie f, maar met een verschillen-de amplitude Cx( f ) en een faseverschuiving x( f ):(11)Ff t f,( ) Cf f( ) 2ft( )cos=xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=Hx f( ) Hx f( ) ei f( )?Hx f( ) f( ) i f( )sin?cos( ) (12)= =Hx f( )Cx f( )CF f( )=V f( )Cx f( )xstat f( )kcon Hx f( )= =Hx.... f( )Cxf( )CF f( )2fCx f( )CF f( )2f Hx f( )= = =Hxf( )Cxf( )CF f( )2f( )2Cx f( )CF f( )2f( )2Hx f( )= = =Ff2f( ) CF f( ) en xf2f( ) Cx22f( )= =Cx f( ) Hx f( ) CF f( )=..1/21/2Hierbij worden instelverschijnselen buiten beschou-wing gelaten.Om de relatie tussen input- en outputsignaal te kun-nen bepalen (fig. 4) moeten we dus de verhoudingtussen input- en outputamplitude kennen en de fase-verschuiving. Door gebruik te maken van complexegetallen kunnen deze twee grootheden door ??nfunctie worden beschreven: de complexe frequentie-responsfunctie Hx(f):Ff t f,( ) Cf f( ) 2ft( )cos=xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=Hx f( ) Hx f( ) ei f( )?Hx f( ) f( ) i f( )sin?cos( ) (12)= =Hx f( )Cx f( )CF f( )=V f( )Cx f( )xstat f( )kcon Hx f( )= =Hx.... f( )Cxf( )CF f( )2fCx f( )CF f( )2f Hx f( )= = =Hxf( )Cxf( )CF f( )2f( )2Cx f( )CF f( )2f( )2Hx f( )= = =Ff2f( ) CF f( ) en xf2f( ) Cx22f( )= =..1/21/2Hierbij is Hx( f ) gelijk aan de verhouding tussenoutput- en inputamplitude:(13)Ff t f,( ) Cf f( ) 2ft( )cos=xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=Hx f( ) Hx f( ) ei f( )?Hx f( ) f( ) i f( )sin?cos( ) (12)= =Hx f( )Cx f( )CF f( )=V f( )Cx f( )xstat f( )kcon Hx f( )= =Hx.... f( )Cxf( )CF f( )2fCx f( )CF f( )2f Hx f( )= = =Hxf( )Cxf( )CF f( )2f( )2Cx f( )CF f( )2f( )2Hx f( )= = =Ff2f( ) CF f( ) en xf2f( ) Cx22f( )= =..1/21/2Deze verhouding wordt ook wel de `gainfactor' ofmechanische admittantie van het systeem genoemd.De gainfactor lijkt veel op de (dimensieloze) vergro-tingsfactor V( f ) van de constructie:(14)Ff t f,( ) Cf f( ) 2ft( )cos=xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=Hx f( ) Hx f( ) ei f( )?Hx f( ) f( ) i f( )sin?cos( ) (12)= =Hx f( )Cx f( )CF f( )=V f( )Cx f( )xstat f( )kcon Hx f( )= =Hx.... f( )Cxf( )CF f( )2fCx f( )CF f( )2f Hx f( )= = =Hxf( )Cxf( )CF f( )2f( )2Cx f( )CF f( )2f( )2Hx f( )= = =Ff2f( ) CF f( ) en xf2f( ) Cx22f( )= =..1/21/2waarbij xstat(f) de statische uitbuiging van de construc-tie ten gevolge van de kracht CF(f) is. Deze statischeuitbuiging kan worden geschreven als functie vaneen stijfheid kconvan de constructie:CF( f )xstat( f ) = _____ (14a)kconFiguur 5 laat de gainfactor van het twee-massa-veer-systeem uit figuur 2 zien, die de relatie geeft tussenFf(t,f ) Hx( f ) xf(t,f )4 |E?n input-/??n output-model0frequentie (Hz)eerste eigenfrequentie 14 Hztweede eigenfrequentie36 Hz10 / kcon1/ kcon0,1 / kcon10 20 30 40 50Hx f( )Cx2 f( )CF2 f( )=kcon=1/2? 5,831 ? 108(N/m)5 |Gainfactor |Hx(f)| van hettwee-massa-veersys-teem, die de relatie geefttussen F2(t) en x2(t)xtverplaatsingsnelheidversnellingttxxCx2(2fCxf )2Cx6 |Verplaatsing, snelheid enversnelling van harmo-nische trillingO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eW indtechnologiecement 2006 1 73de fluctuerende kracht F2(t) en de verplaatsing x2(t).Hierin is te zien dat voor lage frequenties (f 0) ergeen vergroting optreedt. Als de frequentie van destoorbelasting gelijk wordt aan een van de tweeeigenfrequenties van het systeem, treedt resonantieop, leidend tot een sterke mate van vergroting van deoutputamplitude. Als er geen demping in hetsysteem zou zitten, zou de outputamplitude zelfsoneindig groot worden.De frequentie-responsfunctie kan betrekking hebbenop de verplaatsingen, de snelheid of de versnellingvan een punt. Omdat snelheid en versnelling wordenberekend door het differenti?ren van de verplaatsingnaar de tijd, is er een eenvoudige relatie tussen gain-factoren voor verplaatsing x, snelheid x = dx/dt enversnelling x? = dx /dt (fig. 6):(15)Ff t f,( ) Cf f( ) 2ft( )cos=xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=Hx f( ) Hx f( ) ei f( )?Hx f( ) f( ) i f( )sin?cos( ) (12)= =Hx f( )Cx f( )CF f( )=V f( )Cx f( )xstat f( )kcon Hx f( )= =Hx.... f( )Cxf( )CF f( )2fCx f( )CF f( )2f Hx f( )= = =Hxf( )Cxf( )CF f( )2f( )2Cx f( )CF f( )2f( )2Hx f( )= = =Ff2f( ) CF f( ) en xf2f( ) Cx22f( )= =Cx f( ) Hx f( ) CF f( )=..1/21/2(16)Ff t f,( ) Cf f( ) 2ft( )cos=xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=Hx f( ) Hx f( ) ei f( )?Hx f( ) f( ) i f( )sin?cos( ) (12)= =Hx f( )Cx f( )CF f( )=V f( )Cx f( )xstat f( )kcon Hx f( )= =Hx.... f( )Cxf( )CF f( )2fCx f( )CF f( )2f Hx f( )= = =Hxf( )Cxf( )CF f( )2f( )2Cx f( )CF f( )2f( )2Hx f( )= = =Ff2f( ) CF f( ) en xf2f( ) Cx22f( )= =Cx f( ) Hx f( ) CF f( )=..1/21/2R e s p o n s v a n c o n s t r u c t i e b e l a s t d o o r? ? n f l u c t u e r e n d e k r a c h tWanneer er maar ??n fluctuerende belasting op deconstructie werkt, hebben we alleen de gainfactornodig om uit het input auto-correlatiespectrum hetoutput auto-correlatiespectrum te kunnen berekenen.Voor het kwadratisch gemiddelde van de belasting enrespons geldt namelijk voor elke frequentie:(17)Ff t f,( ) Cf f( ) 2ft( )cos=xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=Hx f( ) Hx f( ) ei f( )?Hx f( ) f( ) i f( )sin?cos( ) (12)= =Hx f( )Cx f( )CF f( )=V f( )Cx f( )xstat f( )kcon Hx f( )= =Hx.... f( )Cxf( )CF f( )2fCx f( )CF f( )2f Hx f( )= = =Hxf( )Cxf( )CF f( )2f( )2Cx f( )CF f( )2f( )2Hx f( )= = =Ff2f( ) CF f( ) en xf2f( ) Cx22f( )= =Cx f( ) Hx f( ) CF f( )=..1/21/2Volgens de definitie van de gainfactor (zie (13)) geldt:(18)Ff t f,( ) Cf f( ) 2ft( )cos=xf t f,( ) Cx f( ) 2ft x f( )?( )cos=Hx f( ) Hx f( ) ei f( )?Hx f( ) f( ) i f( )sin?cos( ) (12)= =Hx f( )Cx f( )CF f( )=V f( )Cx f( )xstat f( )kcon Hx f( )= =Hx.... f( )Cxf( )CF f( )2fCx f( )CF f( )2f Hx f( )= = =Hxf( )Cxf( )CF f( )2f( )2Cx f( )CF f( )2f( )2Hx f( )= = =Ff2f( ) CF f( ) en xf2f( ) Cx22f( )= =Cx f( ) Hx f( ) CF f( )=..1/21/2Substitutie van (18) in (17) geeft:(19)xf2f Hx f2CF2Hx f2Ff2f= =Gxx f Hx f2GFF f=( )( )( ) ( )( )( )( ) f( )1/2en dus geldt voor het auto-correlatiespectrum (zieook vgl. 7):(20)xf2f Hx f2CF2Hx f2Ff2f= =Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f H f H*f GFF=H f H f ei f( )?H f f i fsin?cos= == =H*f H f ei f( )+H f f i fsin+cosGxx H1H1*G11 H1*H2G12 H1H2*G21 H2H2*G (25)22+++=Gxx H1H1*G11 H2H2*G22+ H12G11 H22G (26)22+= =( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ) (23)( ( )( )) (24)( ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) f( )1/2Figuur 7 laat zien wat het output variantiespectrumvan het twee-massa-veersysteem is, wanneer we hetbelasten door ??n fluctuerende kracht, waarvan hetvariantiespectrum over alle beschouwde frequentieshetzelfde kwadratisch gemiddelde heeft; zogenoemdewitte ruis.R e s p o n s v a n c o n s t r u c t i e b e l a s t d o o rt w e e f l u c t u e r e n d e k r a c h t e nWanneer er twee belastingen op de constructie wer-ken, zullen de amplitude en fase van de responsafhangen van de faseverschillen tussen de twee belas-tingen en de faseverschuiving tussen input- en out-putsignaal (fig. 8). Om deze invloed in rekening tebrengen moeten ook de zogenoemde kruis-correlatie-spectra van de twee belastingen worden meegeno-men (zie volgende paragraaf), en de fasefactoren vande frequentie-responsfuncties.We hadden reeds afgeleid (zie (20)) dat als de con-structie door ??n fluctuerende kracht wordt belast, derespons kan worden berekend als:(21)xf2f Hx f2CF2Hx f2Ff2f= =Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f H f H*f GFF=i f( )?( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) f( )1/2We mogen dit ook schrijven als:(22)xf2f Hx f2CF2Hx f2Ff2f= =Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f H f H*f GFF=H f H f ei f( )?H f f i fsin?cos= =( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ) (23)( ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) f( )1/2waarbij:xf2f Hx f2CF2Hx f2Ff2f= =Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f H f H*f GFF=H f H f ei f( )?H f f i fsin?cos= == =H*f H f ei f( )+H f f i fsin+cos( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ) (23)( ( )( )) (24)( ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) f( )1/225,5 ?1016input variantiespectrumfrequentie (Hz) frequentie (Hz) frequentie (Hz)x gainfactor 2= output variantiespectrum100 / k2con1 / k2con0,01 / k2con0,0010,1310000 0 010 10 1020 20 2030 30 3040 40 4050 50 50Hx f( )m2N2GF2F2( f )(N2/ Hz) Gx2x2( f )(m2/ Hz)/ Hz)2(F1f(t,f ) H1( f ) xF1f(t,f ) xf(t,f )F2f(t,f ) H2( f ) xF2f(t,f )7 |Spectrale analyse vantwee-massa-veersys-teem, belast door ??nfluctuerende kracht8 |Twee-input-/??n-output-modelO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eW indtechnologiecement 2006 174xf2f Hx f2CF2Hx f2Ff2f= =Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f H f H*f GFF=H f H f ei f( )?H f f i fsin?cos= == =H*f H f ei f( )+H f f i fsin+cosGxx H1H1*G11 H1*H2G12 H1H2*G21 H2H2*G (25)22+++=Gxx H1H1*G11 H2H2*G22+ H12G11 H22G (26)22+= =( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ) (23)( ( )( )) (24)( ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) f( )1/2Als de constructie door twee fluctuerende krachtenwordt belast, kan het outputspectrum worden bere-kend als:xf2f Hx f2CF2Hx f2Ff2f= =Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f Hx f2GFF f=Gxx f H f H*f GFF=H f H f ei f( )?H f f i fsin?cos= == =H*f H f ei f( )+H f f i fsin+cosGxx H1H1*G11 H1*H2G12 H1H2*G21 H2H2*G (25)22+++=Gxx H1H1*G11 H2H2*G22+ H12G11 H22G (26)22+= =( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ) (23)( ( )( )) (24)( ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) f( )1/2waarbij H1en H2de frequentie-responsfuncties beho-rende bij F1respectievelijk F2zijn, G11en G22de auto-correlatiespectra van F1respectievelijk F2, en G12enG21de kruis-correlatiespectra van F1en F2(zie volgen-de paragraaf).In het bijzondere geval dat de auto-correlatiespectravan F1en F2geen bijdrage in dezelfde frequentie heb-ben (volledig ongecorreleerd zijn), hebben fasever-schillen en faseverschuivingen geen invloed en kanhet output-variantiespectrum worden berekend als:= =H f H f e H f f i fsin+cosGxx H1H1*G11 H1*H2G12 H1H2*G21 H2H2*G (25)22+++=Gxx H1H1*G11 H2H2*G22+ H12G11 H22G (26)22+= =Gxy f GxyCiGxyQ?=( ) ( )( ) ) (24)( ( )( )( )Figuur 9 laat zien wat het output-variantiespectrumvan de verplaatsing x2(t) van het twee-massa-veersys-teem is, wanneer we het belasten door twee fluctue-rende krachten F1(t) en F2(t). Dit voor het geval dat detwee krachten voor elke frequentie een gelijke fasehebben, het geval dat de twee krachten een tegenge-stelde fase hebben, en het geval dat wordt aangeno-men dat de twee auto-correlatiespectra van F1(t) enF2(t) volledig ongecorreleerd zijn.K r u i s - c o r r e l a t i e s p e c t r aWanneer we twee signalen xf(t) en yf(t) hebben,kunnen we voor die signalen twee kruis-correlatie-spectra bepalen: Gxy( f ) en Gyx( f ). In het algemeen iseen kruis-correlatiespectrum een complexe functie:(27)H f H f ei f( )?H f f i fsin?cos= == =H*f H f ei f( )+H f f i fsin+cosGxx H1H1*G11 H1*H2G12 H1H2*G21 H2H2*G (25)22+++=Gxx H1H1*G11 H2H2*G22+ H12G11 H22G (26)22+= =Gxy f GxyCiGxyQ?=( )( ) ( )( )( ) ( ) ) (23)( ( )( )) (24)( ( )( )( )waarbij GCxyhet co-spectrum wordt genoemd en GQxyhet quad-spectrum. Het bepalen van het kruis-corre-latiespectrum lijkt veel op het bepalen van het auto-correlatiespectrum. Bij het bepalen van het auto-cor-relatiespectrum wordt het signaal na filterengekwadrateerd, dat wil zeggen, vermenigvuldigd metzichzelf. Bij het bepalen van het kruis-correlatiespec-trum worden de twee signalen na filtering met elkaarvermenigvuldigd, waarna de gemiddelde waarde vanhet signaal wordt bepaald. Om het co-spectrum tebepalen doen we dat zonder faseverschuiving:GxyCf( ) GyxCf( ) limxf fft f,( )yft f,( )ffxf t f,( )yf t f,( )= = =GxyQf( ) G? yxQf( ) limx t f,( )y90t f,( )xf t f,( )yf90t f,( )= = =xf t f,( ) Cx f( ) 2ft( ) en yf t f,( )cos Cy f( ) 2ft f( )?( )cos= =yf90t f,( ) Cy f( ) 2ft f( ) ?? cos=C Cff001/21(28)GxyCf( ) GyxCf( ) limxf fft f,( )yft f,( )ffxf t f,( )yf t f,( )= = =GxyQf( ) G? yxQf( ) limx t f,( )y90t f,( )xf t f,( )yf90t f,( )= = =xf t f,( ) Cx f( ) 2ft( ) en yf t f,( )cos Cy f( ) 2ft f( )?( )cos= =yf90t f,( ) Cy f( ) 2ft f( ) ?? cos=ff001/2om het quad-spectrum te bepalen met een fasever-schuiving van 90?:GxyCf( ) GyxCf( ) limxf fft f,( )yft f,( )ffxf t f,( )yf t f,( )= = =GxyQf( ) G? yxQf( ) limx t f,( )y90t f,( )xf t f,( )yf90t f,( )= = =xf t f,( ) Cx f( ) 2ft( ) en yf t f,( )cos Cy f( ) 2ft f( )?( )cos= =yf90t f,( ) Cy f( ) 2ft f( ) ?? cos=ff001/2(29)GxyCf( ) GyxCf( ) limxf fft f,( )yft f,( )ffxf t f,( )yf t f,( )= = =GxyQf( ) G? yxQf( ) limx t f,( )y90t f,( )xf t f,( )yf90t f,( )= = =xf t f,( ) Cx f( ) 2ft( ) en yf t f,( )cos Cy f( ) 2ft f( )?( )cos= =yf90t f,( ) Cy f( ) 2ft f( ) ?? cos=ff001/2waarbij y90f(t,f) het signaal yf(t,f) met een faseverschui-ving van 90? is (fig. 10).Het kruis-correlatiespectrum geeft zowel informatieover de amplitudes als de faseverschillen van tweesignalen. Als:GxyCf( ) GyxCf( ) limxf fft f,( )yft f,( )ffxf t f,( )yf t f,( )= = =GxyQf( ) G? yxQf( ) limx t f,( )y90t f,( )xf t f,( )yf90t f,( )= = =xf t f,( ) Cx f( ) 2ft( ) en yf t f,( )cos Cy f( ) 2ft f( )?( )cos= =90 ff001/(30)GxyCf( ) GyxCf( ) limxf fft f,( )yft f,( )ffxf t f,( )yf t f,( )= = =GxyQf( ) G? yxQf( ) limx t f,( )y90t f,( )xf t f,( )yf90t f,( )= = =xf t f,( ) Cx f( ) 2ft( ) en yf t f,( )cos Cy f( ) 2ft f( )?( )cos= =ff0001001010,10,10,0111001000011010010001000000101010202020303030404040505050frequentie (Hz)frequentie (Hz)frequentie (Hz)2x2 = 3122x2 = 60392x2 = 11766F1 (t) en F2 (t)tegengestelde faseF1 (t) en F2 (t)ongecorreleerdF1 (t) en F2 (t)gelijke faseCF1( f ) = 11,662 ? 108(N)GF1F1( f ) = 68 ? 1016(N2/ Hz)CF2( f ) = 7,141 ? 108(N)GF2F2( f ) = 25,5 ? 1016(N2/ Hz)Gx2x2(m2/ Hz)GCF1F2( f ) = -41,641 ? 1016(N2/ Hz)GQF1F2( f ) = 0 (N2/ Hz)GCF1F2( f ) = 0 (N2/ Hz)GQF1F2( f ) = 0 (N2/ Hz)GCF1F2( f ) = 41,641 ? 1016(N2/ Hz)GQF1F2( f ) = 0 (N2/ Hz)9 |Verschillende respons-variantiespectra vantwee-massa-veersysteembelast door tweefluctuerende krachtenGx2x2(m2/ Hz)Gx2x2(m2/ Hz)O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eW indtechnologiecement 2006 1 75dan is:(31)xf t f,( ) Cx f( ) 2ft( ) en yf t f,( )cos Cy f( ) 2ft f( )?( )cos= =yf90t f,( ) Cy f( ) 2ft f( ) ?? cos=GxyCf( ) GyxCf( ) Cx f( )Cy f( ) f( )( )cos= =GxyQf( ) GyxQf( ) ?? Cx f( )Cy f( ) f( )( )sin= =cohxy f( )Gxy2f( )2Gxx f( )Gyy f( )GxyCf( )( )2GxyQf( )( )2+Gxx f( )Gyy f( )= =F f( )Gxx f( ) veel invoerspectra, partieel gecorreleerd,Gxx f( ) veel invoerspectra, volledig gecorreleerd,=1/21/21/2en kan worden afgeleid dat geldt:(32)f x f yyf90t f,( ) Cy f( ) 2ft f( ) ?? cos=GxyCf( ) GyxCf( ) Cx f( )Cy f( ) f( )( )cos= =GxyQf( ) GyxQf( ) ?? Cx f( )Cy f( ) f( )( )sin= =cohxy f( )Gxy2f( )2Gxx f( )Gyy f( )GxyCf( )( )2GxyQf( )( )2+Gxx f( )Gyy f( )= =F f( )Gxx f( ) veel invoerspectra, partieel gecorreleerd,Gxx f( ) veel invoerspectra, volledig gecorreleerd,=1/21/21/2en(33)yf90t f,( ) Cy f( ) 2ft f( ) ?? cos=GxyCf( ) GyxCf( ) Cx f( )Cy f( ) f( )( )cos= =GxyQf( ) GyxQf( ) ?? Cx f( )Cy f( ) f( )( )sin= =cohxy f( )Gxy2f( )2Gxx f( )Gyy f( )GxyCf( )( )2GxyQf( )( )2+Gxx f( )Gyy f( )= =F f( )Gxx f( ) veel invoerspectra, partieel gecorreleerd,Gxx f( ) veel invoerspectra, volledig gecorreleerd,=1/21/21/2Hieruit volgt dat wanneer twee signalen eenzelfdefase (( f ) = 0?) of tegengestelde fase (( f ) = 180?)hebben, het quad-spectrum gelijk is aan nul.B e p a l e n v a n h e t a u t o - e nk r u i s - c o r r e l a t i e s p e c t r u m v a n d ef l u c t u e r e n d e w i n d b e l a s t i n gDe windsnelheid is een met de tijd vari?rende groot-heid die we kunnen schrijven als:u(t) = ugem+ ufluc(t) (34)waarbij ugemde gemiddelde windsnelheid is en ufluc(t)het door windvlagen fluctuerende deel van de wind-snelheid. Dit leidt tot een windkracht die, net als dewindsnelheid, uit een constant deel en een fluctue-rend deel bestaat:F(t) = Fgem+ Ffluc(t) (35)Als de windsnelheid op alle punten van de gevel vaneen gebouw hetzelfde is, kan het fluctuerende deelvan de windkracht op het gebouw bij benaderingworden berekend als:Ffluc(t) CtAugemufluc(t) (36)waarin:A is het oppervlak van de aangeblazen gevel; is de dichtheid van de lucht;Ctis de som van de windvormfactoren voor druken zuiging.Omdat F2fluc(t) (CtAugem)2u2fluc(t) (37)geldt ook GF;fluc (CtAugem)2Gu;fluc(38)Het auto-correlatiespectrum van de fluctuerendewindkracht kan dus worden bepaald uit het auto-cor-relatiespectrum van het fluctuerende deel van dewindsnelheid.In de literatuur worden verschillende empirischeuitdrukkingen gegeven voor het auto-correlatiespec-trum van het fluctuerende deel van de windsnel-heid, bijvoorbeeld het spectrum van Davenport.Door de vlagerigheid van de wind is de (fluctuerende)windsnelheid nooit gelijk in alle punten van eenoppervlak. Wanneer we de fluctuerende windbelas-ting schematiseren tot ??n puntlast, kan de invloedvan de over het oppervlak vari?rende windsnelhedenin rekening worden gebracht door de a?rodynami-sche admittantie F. Het auto-correlatiespectrum vande fluctuerende windkracht wordt dan berekend als:GF;fluc= 2F(CtAugem)2Gu;fluc(39)De a?rodynamische admittantie Fhangt af van degrootte van het oppervlak in verhouding tot de lengtevan de turbulentie-golflengte. Als het oppervlak vol-doende klein is, geldt: F= 1.Wanneer we de fluctuerende windbelasting schemati-seren tot een zodanig groot aantal krachten dat voorelk van de krachten geldt: F= 1, dan kan de invloedvan de over het oppervlak vari?rende fluctuerendewindsnelheden worden verrekend in de kruis-correla-tiespectra. Men zou kunnen zeggen dat de rekenme-thode uit NEN 6702 gebaseerd is op een spectraleanalyse met een oneindig groot aantal puntlasten.Voor het berekenen van de frequentie-responsfunc-ties is daarbij gebruikgemaakt van de mode superpo-sitiemethode, waarbij alleen de bijdrage van de laag-ste eigenfrequentie is meegenomen.voor vervolg zie blz. 79xf ( t , f ) yf ( t , f ) xf ( t , f ) yf ( t , f )y90f ( t , f ) xf ( t , f ) y90f ( t , f )Cx CyCy22tTtTCxCyG Cxy =G Qxy = 0CxCybepalingco-spectrumbepalingquad-spectrum1/210 | Bepalen kruis-correla-tiespectrumO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eW indtechnologiecement 2006 1 79In Nederland is weinig ervaring met het toepassenvan deze modellen voor gebouwen. De dynamischerespons van hoge gebouwen die in Nederland wor-den gebouwd, blijkt tot nu toe niet kritisch te zijn inhet ontwerp, waardoor kan worden volstaan met destandaardmethode uit de voorschriften. Echter, bijtoenemende slankheid en afnemende demping inde constructie, wordt het trillingsgedrag zodanigbelangrijk dat het te overwegen is een detailleerdeanalyse uit te voeren, op basis waarvan kan wordenbesloten of aanvullende maatregelen, zoals het aan-brengen van extra dempende systemen, noodzake-lijk zijn.N e d e r l a n d s e p r a k t i j kDe hoge gebouwen die in Nederland tot nu toe zijngebouwd, zijn voor wat betreft de dynamische res-pons niet aan de hand van windtunnelmetingen ont-worpen. Als er windtunnelmetingen zijn uitgevoerd,hebben deze metingen doorgaans alleen betrekkinggehad op de bepaling van de vormfactoren. De dyna-mische respons is doorgaans aan de hand van deberekeningen in NEN 6702 uitgevoerd. Aanvullendemaatregelen om het dynamisch gedrag van gebou-wen te be?nvloeden zijn tot op heden in Nederlandniet toegepast. In het ontwerp van de Coolsingeltorente Rotterdam, die een slankheid van 1:7 kende, isdaarmee wel rekening gehouden. De ontwikkelingvan deze toren is weliswaar gestopt, maar het ligtvoor de hand, met de typische slanke hoogbouw inNederland, op locaties met beperkte afmetingen, datgebouwen met grote slankheid in de Nederlandsepraktijk vaker zullen worden ontworpen. Daarmeekomen geavanceerde technieken om de dynamicavan deze gebouwen in de hand te krijgen, vaker bin-nen bereik. nL i t e r a t u u r1. CUR-Aanbeveling 103, Windtunnelonderzoek.Redactionele bijlage bij Cement 2005 nr. 5.2. Woudenberg, I.A.R. & C.P.W. Geurts, Windtun-nelonderzoek. Cement 2005 nr. 5.3. Vrouwenvelder, A.C.W.M. & C.P.W. Geurts, Dyna-mica, Windbelasting en Voorschriften. Cement2006 nr. 1.4. BLWTL, Windtunnel testing: a general outline.Mei 1999.vervolg van blz. 75In de literatuur worden geen empirische uitdrukkin-gen voor de cross-correlatiespectra gegeven, maar welvoor de coherentiefunctie:(40)GxyCf( ) GyxCf( ) limxf fft f,( )yft f,( )ffxf t f,( )yf t f,( )= = =GxyQf( ) G? yxQf( ) limx t f,( )y90t f,( )xf t f,( )yf90t f,( )= = =xf t f,( ) Cx f( ) 2ft( ) en yf t f,( )cos Cy f( ) 2ft f( )?( )cos= =yf90t f,( ) Cy f( ) 2ft f( ) ?? cos=GxyCf( ) GyxCf( ) Cx f( )Cy f( ) f( )( )cos= =GxyQf( ) GyxQf( ) ?? Cx f( )Cy f( ) f( )( )sin= =cohxy f( )Gxy2f( )2Gxx f( )Gyy f( )GxyCf( )( )2GxyQf( )( )2+Gxx f( )Gyy f( )= =F f( )Gxx f( ) veel invoerspectra, partieel gecorreleerd,Gxx f( ) veel invoerspectra, volledig gecorreleerd,=ff001/21/21/2Als de coherentiefunctie gelijk is aan 1 zijn de signa-len xf(t) en yf(t) volledig gecorreleerd; als de cohe-rentie gelijk is aan 0 zijn de signalen volledig onge-correleerd. Wanneer we de coherentiefunctie cohxy(f)bepalen aan de hand van slechts ??n meting van xf(t)en yf(t) dan kan deze alleen maar waarden van 0 (vol-ledig ongecorreleerd) of 1 hebben (volledig gecorre-leerd). Wanneer de coherentie wordt bepaald alsgemiddelde van een groot aantal metingen, dan zaldeze waarden tussen 0 en 1 hebben (partieel gecorre-leerd). Door aan te nemen dat het imaginaire deelvan het kruis-correlatiespectrum (quad-spectrum)gelijk is aan 0, kan uit de coherentiefunctie het re?ledeel van het kruis-correlatiespectrum (co-spectrum)worden berekend.Door voor een gegeven constructie de spectrale ana-lyse eenmaal uit te voeren met partieel gecorreleer-de invoerspectra en eenmaal met volledig gecorre-leerde invoerspectra, kan de a?rodynamischeadmittantie voor een gegeven constructie wordenberekend als:In een toekomstig artikel zal de spectrale analysevoor een concreet gebouw worden besproken. nL i t e r a t u u r1. Simiu, E. & H. Scanlan, Wind effects on structu-res. Fundamentals and applications to design.Third edition. John Wiley & Sons, 1996.2. Bendat, S. & A.G. Piersol, Random data, analysisand measurement procedures. Third edition.John Wiley & Sons, 2000.3. Bendat, S. & A.G. Piersol, Engineering applicati-ons of correlation and spectral analysis. Secondedition. John Wiley & Sons, 1993.4. Staalduinen, P.C. van, Achtergronden van dewindbelastingen volgens NEN 6702:1991. TNO-rapport B90-0483, Delft, TNO-Bouw, 1995.5. Rao, S., Mechanical vibrations. Pearson PrenticeHall, 2004.6. Kerstens, J.G.M., Wind induced vibrations onhigh rise buildings. Dictaat TU/e, faculteit Bouw-kunde, 2002.7. Tholhuijsen, J.J.M., Het gedrag van de wind ophoogbouw. De invloed van de correlatie van dewind op de respons van hoogbouw. Afstudeerver-slag TU/e, faculteit Bouwkunde, 2005.8. Poppelaars, W., Dynamica en hoogbouw. Vergelij-king van twee constructieprincipes. Afstudeerver-slag TU/e, faculteit Bouwkunde, 2005.xf t f,( ) Cx f( ) 2ft( ) en yf t f,( )cos Cy f( ) 2ft f( )?( )cos= =yf90t f,( ) Cy f( ) 2ft f( ) ?? cos=GxyCf( ) GyxCf( ) Cx f( )Cy f( ) f( )( )cos= =GxyQf( ) GyxQf( ) ?? Cx f( )Cy f( ) f( )( )sin= =cohxy f( )Gxy2f( )2Gxx f( )Gyy f( )GxyCf( )( )2GxyQf( )( )2+Gxx f( )Gyy f( )= =F f( )Gxx f( ) veel invoerspectra, partieel gecorreleerd,Gxx f( ) veel invoerspectra, volledig gecorreleerd,=1/21/21/2(41)
Reacties