Scheurwijdte 22010 93ScheurwijdteEurocode 2 biedt de mogelijkheid scheurwijdte te toetsenzonder en met een directe berekening. Dit wordt aan de handvan een rekenvoorbeeld toegelicht. Dit artikel is een onderdeelvan een serie met rekenvoorbeelden1), waarin de diverse onder-delen van de Eurocode 2 worden toegelicht.Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (11)Het verschil tussen de gemiddelde staal- en betonrekken magworden berekend uit (EC2; vgl. (7.9)):sm ? cm =s ? ktfct,eff____p,eff(1 + ep,eff)__________________Es 0,6s__EsDe maximale scheurafstand (EC2; vgl. (7.11)):sr,max = k3c + k1k2k4____p,effOpmerking:De scheurwijdte wordt berekend door in een element een`verborgen trekband' te onderscheiden. Dit is een met betrekkingtot het scheurgedrag effectieve trekband rond het wapenings- en/of voorspanstaal. Hiernaar wordt verwezen met het subscript `eff'.De uitdrukkingen voor staal- en betonrekken en voor descheurafstand zijn afgeleid voor een trekstaaf belast op centri-sche trek. Ook de belastinggevallen `zuivere buiging' en`buiging met normaalkracht' kunnen met de betreffendeuitdrukkingen worden beschreven. Hiertoe wordt in de buig-ligger een effectief trekspanningsgebied (de verborgen trek-band) gedefinieerd. De factor k2maakt het mogelijk te interpo-leren tussen de uiterste toestanden `centrische trek' en `zuiverebuiging' (zie EC2 vgl. (7.13)).De wapeningsverhouding p,effwordt berekend uit de hoeveel-heden betonstaal en voorspanstaal die in de verborgen trek-band aanwezig zijn. Vanwege een verschil in staafdiameter en/of aanhechteigenschappen van het voorspanstaal ten opzichtevan het betonstaal, hebben beide materialen een verschillendeinvloed bij de scheurwijdtebeheersing. Deze verschillenworden in rekening gebracht met de factor 1(EC2 vgl. 7.10 &De toetsing zonder directe berekening (EC2 art. 7.3.3) heeftbetrekking op het toetsen van de staafafstand en/of de staafdia-meter. Minstens ??n van beide moet voldoen aan een grens-waarde. De te hanteren grenswaarden worden ontleend aantabellen (EC2 tabel 7.2N ? staafdiameter; tabel 7.3N ? staafaf-stand). De in de tabellen vermelde grenswaarden zijn afhanke-lijk van de limietwaarde voor de scheurwijdte (EC2 tabel 7.1N)en de staalspanning in de bruikbaarheidsgrenstoestand. Om detabelwaarden te kunnen berekenen zijn aannames gedaan metbetrekking tot de betondekking op de langswapening, debetontreksterkte op het moment van scheuren, de aanhechtei-genschappen van het betonstaal, de belastingsituatie en deverhouding tussen de nuttige en de totale hoogte van de beton-doorsnede. Als praktijkwaarden afwijken van deze aangeno-men waarden moet de staafdiameter afgelezen uit tabel 7.2Nworden gecorrigeerd. Hiertoe geeft EC2 uitdrukkingen voor debelastingsituaties zuivere buiging (vgl. (7.6N)) en centrischetrek (vgl. (7.7N)).Afgezien van de indirecte toetsing met de twee tabellen, is hetook mogelijk de scheurwijdte te berekenen (EC2 art. 7.3.4). Descheurwijdte wk(een bovengrenswaarde) wordt dan berekenduit de maximale scheurafstand sr,maxen het verschil tussen degemiddelde staalrek en de gemiddelde betonrek tussen descheuren (EC2; art. 7.3.4.(1); vgl. (7.8)):wk = sr,max(sm ? cm)AfkortingenEC2 = NEN-EN 1992-1-1NB = Nationale Bijlagefoto: PDK Foto1) De artikelenserie is uit het Engels vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. Ren? Braam(TU Delft, fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV) en afgestemd metVoorschriftencommissie 20.Scheurwijdte22010947.5). EC2 tabel 6.2 geeft de verhouding van de aanhechtsterktetussen voorspanelementen en betonstaal; EC2 art. 6.8.2 (2)geeft aan hoe voor bundels of strengen voorspanstaal eengelijkwaardige diameter wordt berekend.Als sprake is van een gewapend element is geen voorspanstaalaanwezig en is dus Ap= 0. Dan is de wapeningsverhoudingbetrokken op het effectieve trekspanningsgebied (EC2; fig. 7.1)):p,eff = s,eff =As____Ac,eff=As_____bhc,effDe hoogte van het effectieve trekspanningsgebied (EC2;7.3.2(3)):hc,eff = 2,5(h ? d)met als grenswaarden:? gehele doorsnede onder trek:hc,eff 0,5 h? doorsnede gedeeltelijk onder druk:hc,eff h ? x_____3De uitdrukking voor de maximale scheurafstand kan vereen-voudigd worden weergegeven door het introduceren van sr, destaalspanning in een scheur onmiddellijk na het optreden vanscheurvorming. Deze staalspanning is ontleend aan de scheur-kracht van een `verborgen trekstaaf'. Dit is in de uitdrukking tezien aan het gebruik van p,eff, de wapeningsverhouding van deverborgen trekband. De scheurkracht die in deze trekstaafaanwezig is juist voor het ontstaan van een scheur moet na hetoptreden van scheurvorming worden opgenomen door het inde scheur aanwezige beton- en voorspanstaal:fct,eff (1 + e p,eff) = sr p,effDe staalspanning direct na scheuren:sr =fct,eff____p,eff(1 + e p,eff)De uitdrukking voor de scheurwijdte kan nu worden geschre-ven als:wk = (s ? ktsr_______Es)(k3c + k1k2k4____p,eff)Voor een rechthoekige gewapend-betondoorsnede kan dewapeningsverhouding betrokken op het effectieve trekspan-ningsgebied worden geschreven als:s,eff =s__als =heff___hen de wapeningsverhouding sdie, anders dan veelal gebruike-lijk, wordt betrokken op de totale hoogte van de doorsnede (h)en niet op de nuttige hoogte (d): s= As/ (bh).De uitdrukking voor de scheurwijdte is dan:wk =s___Es(1 ? ktsr__s)(k3c + k1k2k4__s)Deze uitdrukking zal verder vereenvoudigd worden voor derechthoekige betondoorsnede, zodanig dat in enkele stappenkan worden berekend hoeveel betonstaal bij benadering beno-digd is om aan een zekere grenswaarde van de scheurwijdte tevoldoen.Verondersteld wordt dat de inwendige hefboomsarm z = 0,9d.De nuttige hoogte wordt uitgedrukt in de totale hoogte:d = hDe staalspanning in het gebruiksstadium ten gevolge van eenbuigend moment M:s =M_______As0,9hDeze uitdrukking kan ook worden gebruikt voor het berekenenvan de staalspanning direct na scheuren. Hiertoe wordt gebruikgemaakt van een hulpvariabele v = M / Mcr.Tabellen of berekeningScheurvorming volgens Eurocode 2 is eerder aan bod gekomenin Cement 2009/3. In het betreffende artikel zijn de achtergron-den gegeven van de zogenoemde`scheurbeheersing zonderdirecte berekening'(art. 7.3.3). Dit houdt in scheurwijdtetoetsingop basis van staafdiameter en/of staafafstand. Om de benodigdetabellen te kunnen opstellen, moest de uitdrukking voor descheurwijdte worden omgeschreven en moesten aannamesworden gedaan met betrekking tot de grootte van variabelen. Indit artikel staat de`berekening van scheurwijdtes'(art. 7.3.4)centraal. Eigenlijk dus`scheurbeheersing met directe berekening'.Het blijkt mogelijk, onder zekere randvoorwaarden, de bereke-ning te vereenvoudigen, zodat een snelle toets mogelijk wordt.Scheurwijdte 22010 951 Dwarsdoorsnede van de liggeren is:__s= (1 ?__*)p__ktDe uitdrukking voor de scheurwijdte wkwordt nu verder uitge-werkt zodanig dat een vergelijking met p als enige onbekenderesteert:wk =pfctm____Es(__*? kte__p )(3,4c + 0,17 (1 ?__*) )Met de hulpvariabelen:u1 =c__enu2 =wkEs____fctmis:u2 = (__*p ? kte )(3,4u1 + 0,17(1 ?__*) )In deze uitdrukking is p de enige onbekende. Immers, reedseerder waren gedefinieerd: =M___Mcr* =__________1 ? kt5,4_____waarin: =d__h =hc,eff____hRekenvoorbeeld (EC2, par.7.3.4)In een rekenvoorbeeld wordt scheurwijdte berekend tengevolge van een kortdurende belasting in een ligger met recht-hoekige dwarsdoorsnede belast op zuivere buiging. Onderzochtwordt de doorsnede zoals weergegeven in figuur 1.Gegevens:? totale hoogte betondoorsnede h = 500 mm? breedte betondoorsnede b = 1000 mm? betondekking op de langswapening c = 50 mm? staafdiameter ? = 25 mm? afstand van onderzijde doorsnede tot hart langswapening (bij??n laag wapening) h ? d = 50 + ? / 2 = 63 mmBij zuivere buiging is:Mcr = fctm1__6bh2Met s= As/ (bh) is:s =M__s1_______0,9bh2=fctm_____5,4sOpnieuw wordt een hulpvariabele ingevoerd, namelijk:p = fctm/ s. Dan is:s =_____5,4pEerder was besproken de staalspanning direct na scheuren, dievoor een doorsnede waarin alleen betonstaal aanwezig is, kanworden geschreven als:sr =fct,eff____s,eff(1 + e s,eff)Met fct,eff= fctm; = s/ s,effen p = fctm/ skan deze uitdrukkingworden omgeschreven tot:sr__s=___ps(1 +e s____)Deze verhouding tussen de staalspanning direct na scheuren ende staalspanning in het gebruiksstadium kan worden ingevuldin de uitdrukking voor de scheurwijdte wk. Ook wordt aange-nomen dat wordt gerekend met:k1= 0,8 (EC2; art. 7.3.4(3); staven met hoge aanhechting);k2= 0,5 (EC2; art. 7.3.4(3); zuivere buiging);k3= 3,4 en k4= 0,425 (EC2; art. 7.3.4(3) & NB)Uitwerken levert voor de scheurwijdte:wk =s___Es(1 ? kt___ps(1 +e s____) )(3,4c + 0,17__s)Stel:* =_________1 ? kt5,4_____Dan is:1 ? kt___ps=__*bhd1p__ktp__ktScheurwijdte2201096zigd. In tabel 1 zijn de resultaten samengevat zoals die voor dedrie scheurwijdten worden gevonden.Bij wk= 0,1 mm is de vereiste hoeveelheid betonstaal niet meerin ??n laag in de doorsnede aan te brengen als de staafdiametergelijk is aan 25 mm. Overwogen kan worden de staafdiameterte vergroten tot 32 mm. Dan nemen u1en u2af:u1 =c__=50___32= 1,56u2 =wkEs____fctm=wk . 2 . 105_________3,2 . 32= 1953 wkDe andere variabelen die veranderen zijn: =hc,eff____h=2,5 . (50 + 32/2)_____________500= 0,33 =d__h=500 ? 66________500= 0,87* =__________1 ? kt5,4_____=4,5___________________1 ? 0,6 .5,4 . 0.87 . 0,33____________4,5=4,5_______1 ? 0,21= 5,7Uiteraard heeft het kiezen van een grotere staafdiameter eenongunstige invloed op het scheurgedrag; de maximale scheuraf-stand neemt toe. Dit blijkt ook als de vierkantsvergelijking weerwordt opgelost: p = 37,5. De toelaatbare spanning in het beton-staal is dus afgenomen tot s= 37,5fctm= 37,5 ? 3,2 = 120 N/mm2.Het gevolg hiervan is dat s= 2,55 ? 10-2en As= 12 750 mm2.Bij het opstellen en uitwerken van de vierkantsvergelijking metp is ervan uitgegaan dat de hoogte van het effectieve trekspan-ningsgebied niet wordt begrensd door de voorwaarde die isontleend aan de drukzonehoogte (EC2; art. 7.3.2(3) & fig. 7.1):hc,eff h ? x_____3In de hiervoor besproken ligger was sprake van een relatiefhoge wapeningsverhouding; de drukzonehoogte in hetgebruiksstadium is dan relatief groot. Het is dus goed mogelijkdat hc,eff= 2,5 (h - d) een te ongunstige benadering was omdatvoorgaande beperking aan de hoogte van de verborgen trek-? betonsterkteklasse C35/45:karakteristieke betondruksterkte fck= 35 N/mm2In het gebruiksstadium is M = 600 ? 106Nmm.Berekend wordt de hoeveelheid betonstaal Asbenodigd om descheurwijdte wkte beperken tot, respectievelijk, wk= 0,30 mm;0,20 mm en 0,10 mm.De gemiddelde betontreksterkte (EC2; Tabel 3.1):fctm = 0,3 fck2/3= 0,3 . (35)2/3= 3,2 N/mm2Scheurmoment van de doorsnede:Mcr = 1/6 fctmbh2= 1/6 . 3,2 . 1000 . 5002= 133 . 106Nmmv = M / Mcr= 600 ? 106/ (133 ? 106) = 4,5 =hc,eff____h=2,5 . 63______500= 0,32 =d__h=500 ? 63________500= 0,87Bij een kortdurende belasting is kt= 0,6. Dan is:* =__________1 ? kt5,4_____=4,5___________________1 ? 0,6 .5,4 . 0.87 . 0,32____________4,5=4,5_______1 ? 0,20= 5,6u1 =c__=50___25= 2u2 =wkEs____fctm=wk . 2 . 105_________3,2 . 25= 2500 wkVerhouding tussen de elasticiteitsmoduli van beton en betonstaal:e= Es / Ec= 2,0 ? 105/ 34 ? 103= 5,9 (EC2; Tabel 3.1)De uitdrukking met p als onbekende gaat nu over in:2500 wk = (4,5___5,6p ? 0,6 . 5,9)(3,4 . 2 + 0,17 (1 ?4,5___5,6) )Voor wk= 0,3 mm is p = 85,3.De staalspanning in het gebruiksstadium:s= p fctm= 85,3 ? 3,2 = 273 N/mm2.De wapeningsverhouding:s =_____5,4p=4,5_____________5,4 . 85,3 . 0,87= 11,2 . 10-3De oppervlakte van de dwarsdoorsnede van het betonstaal:As= s bh = 11,2 ? 10-3? 1000 ? 500 = 5600 mm2Voor wk= 0,2 mm en wk= 0,1 mm verandert relatief weinig inde uitdrukkingen; alleen de variabele u2moet worden gewij-Tabel 1 Tussenresultaten in de berekeningen en hoeveelheid betonstaal beno-digd voor het beperken van de berekende scheurwijdte wkbij een kort-durende belastingwkp ssAs[mm] [-] [N/mm2] [10-2] [mm2]0,3 85,3 273 1,12 56000,2 64,3 206 1,49 74500,1 39,1 125 2,45 12 250p___0,6Scheurwijdte 22010 97Het resultaat is nagenoeg exact gelijk aan hetgeen verkregenmet de benaderende methode.Voor wk= 0,10 mm geeft de benaderingsformuleAs= 12 250 mm2. Als ervan wordt uitgegaan dat deze wapeningdoor staven met een diameter ? = 25 mm kan worden aange-bracht, is de wapeningsverhouding = 12 250 / (1000 ? 437) =2,80 ? 10-2. Met e= 5,9 is de drukzonehoogte x = 0,43 d = 188mm. De hoogte van het effectieve trekspanningsgebied is hc,eff=2,5 (h ? d) = 2,5 ? (50 + 25 / 2) = 156 mm. De beperking aandeze hoogte geeft:hc,eff h ? x_____3=500 ? 188________3= 104 mmVoor hc,eff= 104 mm is:s,eff =As_____bhc,eff=12 250________1000 . 104= 11,8 . 10-2De staalspanning direct na scheuren is:Bij een moment M = 600 ? 106Nmm is de staalspanning in hetgebruiksstadium s= 131 N/mm2.De optredende scheurwijdte is:wk =s__Es(1 ? ktsr__s)(3,4c + 0,17____s,eff)Het resultaat is ook nu weer nagenoeg gelijk aan degene verkre-gen met de benaderende methode.Ondanks dat met een kleiner effectief trekspanningsgebied, endus met een hogere wapeningsverhouding in de verborgen trek-band, wordt gerekend, is de berekende scheurwijdte gelijk aan destreefwaarde van de scheurwijdte van 0,10 mm. Dit lijkt strijdig.Echter, in de benaderende uitwerking die leidde tot As= 12 250 mm2was ervan uitgegaan dat de inwendige hefboomsarmz = 0,9 d. Bij de hier gevonden relatief hoge langswapeningsver-houding is echter z = d ? x / 3 = (500 - 50 ? 25 / 2) ? 188 / 3 =375 mm = 0,86 d; een iets ongunstiger verhouding. Ook moetworden bedacht dat een hogere langswapeningsverhoudingenerzijds een gunstige invloed heeft op de maximale scheuraf-stand sr,max(immers: s,effneemt toe) maar anderzijds een ongun-stige uitwerking heeft op de gemiddelde rek (immers: srneemtaf, waardoor de verstijvende werking van het beton tussen descheuren (de `tension stiffening') naar verhouding afneemt). band mogelijk beperkend is voor deze hoogte. Daarom wordt descheurwijdteberekening nu geheel volgens EC2 uitgevoerd.Als het scheurmoment is overschreden, volgt de drukzonehoogtex uit de vierkantsvergelijking:In deze uitdrukking is de wapeningsverhouding betrokken opde nuttige hoogte d van de doorsnede.De spanning in het betonstaal in een gescheurde doorsnede volgtuit het momentenevenwicht in de gescheurde doorsnede:s =M__________As(d ? 1/3x)Voor wk= 0,30 mm is met de benaderingsformule gevonden As=5600 mm2. Dan is = 5600 / (1000 ? 437) = 1,28 ? 10-2. Bij dezewapeningsverhouding is met de verhouding tussen de elasticiteits-moduli e= 5,9 de drukzonehoogte x = 0,32 d = 139 mm.De hoogte van het effectieve trekspanningsgebied (de verborgentrekband) is hc,eff= 2,5 (h ? d) = 2,5 ? (50 + 25 / 2) = 156 mm alsgeen rekening wordt gehouden met de beperkende voorwaardedie een bovengrens geeft. Deze voorwaarde blijkt maatgevend tezijn:hc,eff h ? x_____3=500 ? 139________3= 120 mmDeze waarde wordt nu aangehouden: hc,eff= 120 mm. Dan is:s,eff =As_____bhc,eff=5600________1000 . 120= 4,67 . 10-2De staalspanning direct na scheuren is:Het is ook mogelijk deze staalspanning (bij benadering) te bere-kenen uit het scheurmoment Mcr= 133 ? 106Nmm. Dan is:sr =Mcr__________As(d ? 1/3x)=133 . 106__________________________5600 . (500 ? 50 ? 25/2 ? 139/3)= 61 N/mm2Ten gevolge van een moment in het gebruiksstadiumM = 600 ? 106Nmm is de staalspanning s= 275 N/mm2.De optredende scheurwijdte is:wk =s__Es(1 ? ktsr__s)(3,4c + 0,17____s,eff)wk =275_______2,0 . 105 (1 ? 0,6 .87____275)(3,4 . 50 + 0,1725________4,67 . 10-2 )= 0,29 mmsr =fct,eff____s,eff(1 + e s,eff) =3,2________11,8 . 10-2(1 + 5,9 . 11,8 . 10-2) = 46 N/mm2wk =131_______2,0 . 105 (1 ? 0,6 .46____131)(3,4 . 50 + 0,1725________11,8 . 10-2 )= 0,10 mmsr =fct,eff____s,eff(1 + e s,eff) =3,2________4,67 . 10-2(1 + 5,9 . 4,67 . 10-2) = 87 N/mm2x = (-e + ____________(e )2+ 2e )d