themaReservecapaciteit ligger8200926themaReservecapaciteitligger Eurocode 2 beschrijft hoe een ligger moet worden getoetst in de bruikbaar-heids- en de uiterste grenstoestand. Maar hoe groot is de reservecapaciteit tenopzichte van de Eurocode? Een gewapende ligger is geanalyseerd die in delaboratoriumexperimenten bezwijkt op dwarskracht. Het experiment wordtnumeriek gesimuleerd door een niet-lineaire analyse uit te voeren met heteindige-elementenprogramma DIANA [2].Numerieke simulatie met DIANAToetsing op dwarskracht volgens Eurocode 2Voor het toetsen van de ligger op dwarskracht volgens Euro-code 2 wordt een balkelementenmodel met DIANA opgezet. Erwordt een lineaire analyse uitgevoerd met een eenheidspuntlastV gelijk aan 1 N. De verkregen dwarskrachtenlijn wordt verge-leken met de rekenwaarde van de dwarskrachtweerstand VRd,cuit de Eurocode.In DIANA is het mogelijk resultaten te defini?ren als functie vande krachten, momenten en dwarsdoorsnedegegevens van de balk.Deze functionaliteit is geschikt om formules uit de Eurocode 2toe te passen, zodat doorsneden eenvoudig kunnen wordengecontroleerd. In dit voorbeeld wordt de rekenwaarde van dedwarskrachtweerstand VRd,cbepaald onder de aanname dat dedoorsnede door buiging is gescheurd (EC2, ?6.2.2 vgl. 6.2.a).VRd,c = [CRd,c k (100 1 fck)1/3+ k1 cp ] bw dmet als minimum (EC2, ?6.2.2 vgl. 6.2.b)VRd,c = (min + k1 cp) bw dWe beschouwen een doorgaande ligger op twee steunpuntenmet een rechthoekige dwarsdoorsnede; bw= 169 mm, h = 500mm, nuttige hoogte d = 459 mm, l = 5 m (fig. 1).De ligger is voorzien van langswapening, geen dwarskracht-wapening. Er zijn zestien rechte wapeningsstaven ?16 mmaangebracht. Hiervan lopen acht staven over de volledigelengte. De andere acht staven zijn lokaal geplaatst en zijn 1 mlang. Figuur 1 toont de positie en dwarsdoorsnede van dewapeningsstaven.De ligger wordt belast door twee puntlasten, waarvan ??n punt-last tweemaal zo groot is als de andere (fig. 1). De belastings-platen en oplegblokken hebben een breedte van 100 mm en eenhoogte van 50 mm.De betonsterkteklasse is C45/55 en de maximale korrelgroottedmax= 10 mm.In een testopstelling zijn twee experimenten uitgevoerd, waarbijdit type ligger tot bezwijken is belast. De proefstukken SE50A-45en SE50A-45-R met resultaten zijn beschreven in [3] en [4].Reservecapaciteit ligger 82009 27ir. Chantal FrissenTNO DIANA1 Afmetingen ligger met wapening,belasting en opleggingen2 Dwarskrachtenlijn3 Dwarskrachtweerstandslijn4 Elementenverdeling+V +V-V+1.00e-000-1.00e+000+0.00e+000+55,6 kN +70,1 kN+7.01e+004+5.56e+004+6.53e+004+6.04e+0042320x25=500100272841695002 x 200 mm22 x 200 mm22 x 200 mm22 x 200 mm2V2V002051100320511002100010004 x 200 mm24 x 200 mm24 x 200 mm24 x 200 mm2In figuur 2 is de dwarskrachtenlijn weergegeven, in figuur 3voor elke doorsnede de dwarskrachtweerstand VRd,c. Dewaarden voor VRd,cvari?ren, omdat er lokaal extra wapenings-staven zijn aangebracht (zie fig. 1). De lengte waarover VRd,cdehoge waarden van 70,1 kN heeft, is kleiner dan de wapenings-lengte van 1000 mm, omdat er rekening is gehouden met deverankeringslengte lbden de nuttige hoogte d (EC2 ?6.2.2Figuur 6.3). Volgens de Eurocode moet de optredende dwars-kracht kleiner zijn dan VRd,cwanneer er geen dwarskrachtwape-ning is toegepast. De maximale dwarskracht V is dus gelijk aanVRd,c. Uit figuur 2 en 3 blijkt dat de maximaal toelaatbaredwarskracht volgens de Eurocode 2 gelijk is aan 55,6 kN.Modellering ligger niet-lineaire analyseBij bezwijken op dwarskracht ontstaan in het experimentdiagonaal lopende scheuren in de ligger. Een (niet)-lineaireanalyse met balkelementen kan dit fenomeen niet goedbeschrijven. Hiertoe wordt een niet-lineaire analyse uitgevoerdmet kwadratische membraanelementen (in DIANA CQ16Mgenaamd). De elementen hebben afmetingen van 25 x 25 mm.Vanwege de membraanformulering kan worden volstaan methet modelleren van acht wapeningsstaven en het oppervlak vande dwarsdoorsnede van de wapeningsstaven te verdubbelen. Infiguur 4 is de elementenverdeling te zien waarin de wapenings-staven als groene lijnen en de lokale staven als rode lijnen zijnweergegeven en de opleg- en belastingplaten in het blauw.Niet-lineaire materiaaleigenschappenHet `Total strain rotating crack model' wordt gebruikt voor hetbeton. De spanningen onder trek worden beschreven volgenstheorie van Hordijk [5], voor druk door Thorenfeldt [6]. Beidespanning-rekdiagrammen zijn in figuur 5 afgebeeld.Voor dit materiaalmodel worden de sterkte-eigenschappen vanbetonsterkteklasse C45/55 volgens de Eurocode 2, tabel 3.1bepaald (tabel 1).1themaReservecapaciteit ligger82009285 Niet-lineair spanning-rekdiagram beton6 Last-verplaatsingsdiagram7 Scheurrekkena: bruikbaarheidsgrenstoestand V = 38,7 kN(maximale scheurrek = 6,7 ? 10-5 wk= 0,8 ? 10-3mm)b: optreden van eerste dwarskracht scheuren V = 52,6 kN(maximale scheurrek = 1,6 ? 10-3 wk= 0,02 mm)c: maximale belasting V = 65,2 kN(maximale scheurrek = 6,6 ? 10-3 wk= 0,08 mm)d: bezwijken V = 56,9 kN(maximale scheurrek = 3,7 ? 10-2 wk= 0,46 mm)De karakteristieke waarde voor de scheurenergie wordthiermee 0,060 Nmm/mm2.In een numerieke analyse worden de rekken en spanningenberekend in zogenoemde integratiepunten binnen het element.Hier is gekozen voor het default integratieschema met vierintegratiepunten per element, twee over de lengte en twee overde hoogte. De scheurbandbreedte h is met dit integratieschemagelijk aan de halve elementslengte, dus 12,5 mm.In tabel 3 worden de materiaaleigenschappen van het beton voorde twee niet-lineaire analyses samengevat. Voor de wapenings-staven wordt een lineair elastisch materiaalmodel gebruikt metE-modulus = 210,0 GPa en dwarscontractieco?ffi?nt = 0,15.Resultaten en evaluatieDe puntlasten worden stapsgewijs vergroot totdat de liggerbezwijkt. In figuur 6 is het last-verplaatsingsdiagram weergevenvoor de knoop ter plaatse van de knoopkracht 2V. Om dit resul-taat te verkrijgen wordt booglengtesturing als rekenmethodiektoegepast. Met deze methodiek is het mogelijk een eventueleterugval in belasting te kunnen overwinnen opdat het rekenpro-ces kan worden vervolgd. Met de gemiddelde waarde voor detoelaatbare treksterkte wordt een gemiddelde voor de maximalebelasting berekend. Deze is gelijk aan 78,9 kN. De karakteristiekeondergrenswaarde voor de treksterkste zorgt voor de ondergrensvan de maximale belasting van 65,2 kN. De bovengrens voor demaximale belasting zal worden gevonden wanneer wordt gere-kend met de karakteristieke bovengrenswaarde voor de treks-terkte fctk;0,95. In het eerste experiment was de maximale belasting68,6 kN, in een tweede experiment werd 80,5 kN gevonden. Demaximale belastingen verkregen met de numerieke niet-lineaireanalyses komen goed overeen met de experimenten. Tevens is infiguur 6 de maximale dwarskracht volgens Eurocode 2 van 55,6kN weergegeven. Uitgaande van 68,6 kN uit het eerste experi-ment, heeft de ligger een reservecapaciteit van 1,2 x de maximaledwarskracht volgens de Eurocode 2.drukGf/htrekfctfcEr wordt een niet-lineaire analyse uitgevoerd met de gemiddeldewaarde voor de treksterkte van het beton en een analyse metkarakteristieke waarde. De scheurenergie Gfis niet gedefinieerdin de Eurocode. Hiertoe wordt de scheurenergie bepaald aan dehand van de CEB-FIB Model Code 19901)[7]:Gf = Gf0 (fcm___fcm0)0,7met fcm0 = 10 MPaDe waarde van Gf0is gerelateerd aan de maximale korrelgroottedmax(= 10 mm) volgens tabel 2.Na toepassing van deze formules volgt dat Gf= 0,084 Nmm/mm2. De scheurenergie is gebaseerd op de gemiddelde waardevan de toelaatbare treksterkte. Voor de niet-lineaire analysemet een karakteristieke waarde voor de treksterkte wordt descheurenergie dusdanig geschaald dat deze in dezelfde verhou-ding blijft tot de beide toelaatbare treksterktes (ratio 2,7 / 3,8).50102030405060708090-1,8-1,6-1,4-1,2-1-0,8-0,6-0,4-0,20belasting[kN]gemiddelde treksterktekarakteristieke treksterktebezwijkbelasting experiment (1e test)bezwijkbelasting experiment (2e test)maximale dwarskracht Eurocode 2(uiterste grenstoestand)bruikbaarheidsgrenstoestand(B)(C) (D)(A)verticale verplaatsing ter plaatse van puntlast [mm]61) Mochten de eerder vastgelegde materiaaleigenschappen ook worden bepaald metde CEB-FIB Model Code 1990, dan worden nagenoeg dezelfde waarden als metde Eurocode gevonden: fck= 45 MPa; fcm= 53 MPa; fctk,m= 3,8 MPa; fctk,min= 2,6MPa; Ec= 37,5 GPaReservecapaciteit ligger 82009 29In figuur 7 zijn de scheurrekken te zien voor vier belastingsitu-aties. Allereerst wordt gekeken naar de bruikbaarheidsgrens-toestand (A). Dit belastingsgeval wordt verkregen door demaximale dwarskracht volgens Eurocode 2 van 55,6 (uiterstegrenstoestand) te delen door de belastingsfactor 1,5. In dezebruikbaarheidsgrenstoestand moet de scheurwijdte wordengecontroleerd, die niet groter mag zijn dan 0,2 mm. In de niet-lineaire analyse is de scheurwijdte gelijk aan de scheurrekvermenigvuldigd met de scheurbandbreedte h (= 12,5 mm). Delegenda is dusdanig geschaald dat scheurwijdtes kleiner dan 0,1mm in de figuur met `groen' worden weergegeven, tot 0,2 mmmet `blauw' en groter dan 0,2 mm met `rood'. De scheurwijdtedmax[mm] Gf0[Nmm/mm2]8 0,02516 0,03032 0,058parameter omschrijving gemiddelde karakteristieke eenheidE elasticiteitsmodulus Ecm= 36 Ecm= 36 GPadwarscontractieco-effici?nt0,15 0,15 -fcttreksterkte fctm= 3,8 fctk;0,05= 2,7 MPaGfscheurenergie 0,084 0,060 Nmm/mm2H scheurbandbreedte 12,5 12,5 mmfcdruksterkte fcm= 53 fcm= 53 MPa literatuur1 NEN-EN 1992-1-1, Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies -Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen. NEN, december 2007.2 DIANA Users Manual, Version 9.4, www.tnodiana.com.3 Kuchma, D. et al, The Influence of Concrete Strength, Distribution ofLongitudinal Reinforcement, and Member Size, on the Shear Strength ofReinforced Concrete Beams. CEB Bulletin d'Information No 237.4 Collins, M.P. & D. Kuchma, How Safe Are Our Large, Lightly Reinforced ConcreteBeams, Slabs and Footings? ACI Structural Journal July-August 1999 (No: 96-S54).5 Hordijk, D.A., Local Approach to Fatigue of Concrete. PhD thesis, Delft Universityof Technology, 1991.6 Thorenfeldt, E., A. Tomaszewicz & J.J. Jenssen, Mechanical properties of High-strength concrete and applications in design. In Proc. Symp. Utilization of High-Strength Concrete (Stavanger, Norway), Trondheim, 1987, Tapir.7 CEB-FIB Model Code 1990, Design Code. Comit? Euro-International du B?ton,1993, ISBN: 0 7277 1696 4.Tabel 2 Relatie Gf0met maximale korrelgrootte dmaxTabel 3 Samenvatting van de materiaaleigenschappen van het beton voor detwee niet-lineaire analyses7dvan 0,2 mm wordt nergens overschreden.In figuur 7 zijn tevens de scheurrekken te zien voor situatie(B), net na de terugval in belasting. Deze terugval wordtverkregen door het ontstaan van de eerste dwarskrachtscheu-ren ter plaatse van de uiteinden van de lokale wapening.Vervolgens wordt gekeken naar de scheurrekken bij de maxi-male belasting (C) en aan het einde van de berekening (D).Uit figuur 7 blijkt dat er eerst kleine buigscheuren ontstaan.Pas in een later stadium ontstaan de diagonaal lopendedwarskrachtscheuren.Het scheurenpatroon verkregen uit de niet-lineaire analyse komtgoed overeen met de verkregen scheuren in het experiment.ConclusiesDe maximale belasting en het scheurpatroon van het bezwij-ken op dwarskracht van een gewapende ligger kunnen effici-ent en nauwkeurig worden bepaald door een niet-lineaireberekening met toepassing van geavanceerde materiaalmo-dellen. Door te rekenen met een karakteristieke waarde voorde treksterkte van het beton, wordt de ondergrens van demaximale belasting gevonden. De numerieke maximalebelasting komt goed overeen met die verkregen uit experi-menten. Experimenten en numerieke analyse tonen aan datde ligger een reservecapaciteit heeft van 1,2 x de maximaledwarskracht volgens de Eurocode 2. parameter omschrijving waardefckkarakteristieke cilinderdruksterkte van beton na 28dagen45 MPafcmgemiddelde waarde van de cilinderdruksterkte vanbeton53 MPafctmgemiddelde waarde van de axiale treksterkte vanbeton3,8 MPafctk;0,05karakteristieke waarde van de axiale treksterkte vanbeton met 5% fractiel2,7 MPaEcmsecans-elasticiteitsmodulus van beton 36 GPaTabel 1 Sterkte-eigenschappen van de betonsterkteklasse C45/55 volgens deEurocode 2+4.00e-002+1.60e-002+8.00e-003+2.00e-0067a7b7c