O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eNumer ieke a na l yse70 cement 2008 7Voor het ontwerpen van wandlig-gers kunnen de liggermethode, devakwerkmethode en de eindige-elementenmethode (EEM) wordengehanteerd. De liggermethode isgebaseerd op de NEN 6720 en devakwerkmethode op de Eurocode.EEM kan dankzij nieuwe compu-terprogramma's niet alleen wor-den gebruikt om constructies teanalyseren, maar ook om ze teontwerpen.L i g g e r m e t h o d eVolgens de liggermethode wordtde hoofdwapening van de wand-liggers berekend op basis van demomentenlijn. Enkele bepalingenvoor het ontwerp van de wandlig-gers worden in NEN 6720 gege-ven, onder andere in art. 8.1.4 enart. 9.11.3. Daarin worden formu-les gegeven voor het bepalen vande inwendige hefboomsarm (z),en wordt de detaillering van dewapening beschreven.Als voorbeeld wordt de construc-tie uit figuur 1 beschreven. Deinwendige hefboomsarm en hetmaximale moment in drie door-sneden (links, midden en rechts)worden gebruikt om de hoofdwa-pening van deze wandligger tebepalen. De trekwapening in deaansluitende delen moet wordenverankerd. Dit gebeurt meestalals aangegeven in figuur 1. Deverankeringslengte is gemetenvanaf het kruispunt van de sta-ven. Dit moet voldoende zijn omde trekkracht van de staaf aan debetonmassa over te dragen. Naasthet bepalen van de buigwapeningworden het dwarskrachtvermo-gen en de scheurvorming gecon-troleerd en wordt netwapeningaangebracht. Maar uit de nume-rieke analyse blijkt dat voor eengoed ontwerp rekening moetworden gehouden met andereaspecten. Hierover later meer.V a k w e r k a n a l o g i eDe vakwerkanalogie is een effec-tieve methode voor het ontwerpenvan betonnen constructies. Hetprincipe van de methode is een-voudig: voor het afdragen van debelastingen wordt een verborgenvakwerk binnen de betonmassaaangenomen. De trekspanningenzijn geconcentreerd in de treksta-ven en de drukspanningen zijngeconcentreerd in de drukstaven.Alle (pendel-)staven zijn recht enworden door knopen met elkaarverbonden. Het beton neemt dedrukspanningen op en de wape-ning de trekkrachten. Een ervarenRekenmodellen voorschijfvormige constructiesir. M.N. Mahmoud, Bouwdienst, RWS1)prof.dr.ir. J.C. Walraven, TU Delft, faculteit CiTGDankzij hun stijve gedrag worden in gebouwen vaak wandliggers of schijventoegepast. Een bekend probleem van deze liggers is dat zichtbare scheuren deduurzaamheid en het uiterlijk van de constructie nadelig be?nvloeden. Voorhet ontwerpen van wandliggers kunnen diverse ontwerpmethodes wordengebruikt. In een afstudeeronderzoek dat is verricht aan de TU Delft, zijn ver-schillende wandliggers met bijzondere vormen en asymmetrische belastingenmet de genoemde methodes ontworpen. Om de meest geschikte methode tevinden zijn de resultaten met numerieke modellen geanalyseerd. In dit artikelwordt speciale aandacht besteed aan de vakwerkanalogie (Strut-and-TieMethod, STM).1) ir. M.N. Mahmoud is op ditonderzoek afgestudeerd aan deTU Delft. De afstudeercommissiebestond uit prof.dr.ir. J.C. Walra-ven, dr.ir. P.C.J. Hoogenboom enir. W.J.M. Peperkamp.200022002?322?322?322?252?2522001600455kN15001500maximale moment in drie door- ning de trekkrachten. Een ervaren1 |Voorbeeld 1:Hoofdwapening bepaaldvolgens de ligger-methode2 |Verstoorde zones(D-gebieden) en de buig-zones (B-gebieden)O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eNumer ieke anal ysecement 2008 7 71ontwerper kan zowel vorm alsplaats van het vakwerk kiezen enoptimaliseren.Het ontwerpen met het vakwerkbegint met het bepalen van hetspanningverloop in het construc-tieonderdeel, rekening houdendmet vorm, dimensies, oplegsitua-tie en belasting. Elke veranderingin geometrie en/of belasting leidttot verandering (verstoring) in hetspanningsverloop. Enkele voor-beelden zijn in figuur 2 weergege-ven, voor rechthoekige doorsne-den en voor T-vormigedoorsneden. Het vastleggen vande verstoorde zone (D-gebied) ende buigzone (B-gebied) is nodigomdat de ontwerpmethode voordeze zones verschilt. De B-gebie-den kunnen worden ontworpenmet traditionele methoden. Devakwerkanalogie is effectief voorhet ontwerpen van de D-gebieden.Indien het vinden van het span-ningsverloop ingewikkeld is, kaneen elastische EE-analyse eengoed idee geven over het verloopvan de spanningstrajectori?n inhet ongescheurde element.In principe kunnen verschillendevakwerkmodellen worden aange-nomen voor een bepaalde belas-tingsituatie. Sommige modellenzijn effectiever en duidelijker danandere. Omdat de stijfheid van detrekstaven kleiner is dan die vande betonnen drukstaven is hetmodel met de kortste trekstavenhet beste. De drukstaven volgenhierbij de richting van de druktra-jectori?n. Deze regel kan als volgtworden geformuleerd:1__2Filiei = min.waarin:Fi = kracht in de druk- of trekstaaf`i'li = lengte van de staaf `i'ei = rek van staaf `i'Verschillende modellen kunnenworden gecombineerd om extre-me spanningen in staven te ver-minderen.O n t w e r p s t a p p e n v a k -w e r k m e t h o d eEurocode 2 deel 1-1 wordt alsbasis gebruikt voor het ontwerpenvan de wandliggers. Er worden vijfontwerpstappen onderscheiden.Stap 1In deze stap worden alle gegevensdie nodig zijn voor het ontwerpbepaald, o.a. de toelaatbare span-ningen in de knopen en in dedrukstaven. De drukspanning opde knopen moet beperkt blijven,zoals aangegeven in art. 6.5.2 vande Eurocode 2. De beperking isgerelateerd aan het type knoop.? DriedrukstavenIndien een knoop drie druksta-ven met elkaar verbindt (fig. 3), isde toelaatbare drukspanningv'?f'bwaarbij voor v' geldt:v' = 1 ? (f'bk / 250). Hierin is f'bkde karakteristieke cilinderdruk-sterkte, gelijk aan 0,85 maal dekarakteristieke kubusdruksterkte.? TweedrukstaveneneentrekstaafIndien in een knoop twee druk-staven en een trekstaaf samen-komen, is de toelaatbare druk-spanning 0,85 v?f'bk (fig. 4).? TweeofmeertrekstavenIndien twee of meer trekstavendoor een knoop met elkaar wor-den verbonden is de toelaatbaredrukspanning 0,75 v'?f'bk (fig. 5)Stap 2In deze stap wordt zowel de mini-male als de maximale netwape-ning in de wandligger (As;min) en(As;max) bepaald, volgens art. 9.6 enart. 9.7 van Eurocode 2. De bere-kende netwapening geldt per rich-ting en per kant van de wandlig-ger en is gelijk aan:As;min = 0,1% ? AbAs;max = 2,0% ? Abwaarin:Ab = de oppervlakte van de beton-doorsnedeDe werkelijke oppervlakken vande opleggingen en van de belas-tingen worden bepaald. Hiertoewordt de maximale toelaatbaredrukspanning in de knopen enstaven gehanteerd, zoals in stap 1is aangegeven.Stap 3In deze stap wordt het vakwerkgekozen. Voor een statischbepaalde wandligger zonder ope-ningen is het kiezen van het vak-werkmodel vrij duidelijk en een-voudig. Elke verandering in de3 |Knoop met drie druksta-ven4 |Knoop met twee druksta-ven en een trekstaaf5 |Knoop met een drukstaafen twee trekstavenO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eNumer ieke a na l yse72 cement 2008 7vorm van de ligger leidt tot eentoename van het aantal staven.Dat maakt het vinden van hetoptimale vakwerk moeilijker enhet doorrekenen van alle stavenen knopen vergt meer tijd. In datgeval is het aan te raden een pro-gramma te gebruiken voor hetverbeteren van het vakwerkmodelen om de krachten in de staven tevinden. Met de staafkrachtenkunnen de benodigde staaf- enknoopafmetingen worden gecon-troleerd. De afstand tussen deknopen van het vakwerk en derand van het betonlichaam wordt,indien nodig, aangepast.Stap 4In deze stap worden de stavenontworpen.? Trekstaven:Er zijn geen bijzondere aan-dachtspunten bij het bepalen vande wapening voor de trekstaven.De hartlijn van de wapeningmoet op de as van de trekstaafliggen, en de wapening moetgoed worden verankerd.? Drukstaven:Hier wordt niet alleen de druk-spanning gecontroleerd, maarook de splijttrekkracht (T) lood-recht op de richting van de druk-staaf (fig. 6). Deze splijtspannin-gen zijn het gevolg van hetgekromde drukspanningsverloopin het beton. De benodigdewapening voor het ontwerpenvan deze spanningen moet vol-gens art. 6.5.3 van Eurocode 2worden gecontroleerd.In de bestudeerde gevallen wordtuitgegaan van netwapening. Door-dat de trekkracht (T) op eenbepaalde plaats langs de druksta-ven is gedefinieerd, wordt alleenhet deel van de netwapening terplaatse van T gemobiliseerd. Desplijttrekkracht (T) is afhankelijkvan de vorm van het spanningver-loop, die afhankelijk is van debreedte van het element (b) of vande beschikbare ruimte rondom dedrukstaaf. De effectieve breedte(bef), waarbinnen het spanningver-loop zich kan ontwikkelen, is alsvolgt gedefinieerd:als b > H/2:bef = H/2 + 0,65 awaarin:a = breedte van de belaste opper-vlakanders:bef = bDe trekkracht (T) is:als b > H/2:T = Fh ? 0,7a_______4handers:T = Fb ? a_____4bDe equivalente oppervlakte van denetwapening in de richting van detrekkracht (T) wordt als volgt bere-kend:As;F = As;netwapening?[sin(F) + cos(F)]waarin:As;F = oppervlakte van de netwape-ning in de richting van (T)F = de hoek tussen de drukstaafen de netwapeningIndien de netwapening onvol-doende is om de trekspanningente kunnen opnemen, moet extrawapening worden bijgeplaatst.Stap 5In deze stap wordt de scheurvor-ming gecontroleerd. VolgensEurocode 2 mag de ontwerper kie-zen tussen twee methodes om tevoldoen aan de eisen betreffendede scheurvorming:1. het gebruiken van de staalspan-ning om de toelaatbare staafdia-meter en/of de staafafstand tevinden;2. het berekenen van de optreden-de scheurwijdte.Het principe van de eerstemethode is gelijk aan die is6 |Splijtspanning in druk-stavenXY-3.900E+01-2.500E+00-2.000E+00-1.500E+00-1.000E+00-5.000E-010.000E+005.000E-011.000E+001.500E+002.000E+003.077E+00200010022002001600 220010011611615001500455kN757 |Geval a: splijtspanningendoor de drukspanning inde staven en ingetekendvakwerkmodelO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eNumer ieke anal ysecement 2008 7 73beschreven in NEN 6720. Bij detweede methode is de effectievedoorsnede van de trekstaaf nodigvoor het berekenen van descheurwijdte. De effectieve hoog-te in Eurocode 2 is gerelateerdaan de betondekking (c) of aande afstand tot de neutrale lijnvan de staafdoorsnede. Voor trek-staven, die niet langs de rand vande wandligger liggen, wordt deeffectieve breedte geschat.E i n d i g e - e l e m e n t e n -m e t h o d e ( E E M )Programma's gebaseerd op delineaire eindige-elementenmetho-de (L-EEM) worden vooralgebruikt voor het analyseren vanconstructies. Door de grote ont-wikkeling van de computersnel-heid en capaciteit wordt het aan-trekkelijker deze programma's uitte breiden met ontwerpmogelijk-heden. Een van deze programma'sis ESA-PT, ontwikkeld door SCIAInternational. Dit programma kanniet alleen de spanningen bereke-nen maar ook de benodigde wape-ning (aantal staven en hun diame-ter) bepalen volgens de gekozennorm. In de uitvoer van bereke-ning wordt de benodigde wape-ningoppervlakte per eindig ele-ment weergegeven (fig. 8).V o o r b e e l d e n v a n d eb e s t u d e e r d e g e v a l l e nHieronder worden enkele gevallenbeschreven, waarbij specifiekeaspecten worden verduidelijkt enaandachtspunten genoemd. Het isvan belang te vermelden, dat deonderstaande ontwerpen, ondanksalle gebreken, voldoen aan de vei-ligheidseisen van de norm.Geval aHet eerste geval betreft de eerderbesproken wandligger die volgensde liggermethode is ontworpen(fig. 1). Uit de numerieke analyse,uitgevoerd met het programmaATENA gebaseerd op niet-lineaireeindige-elementenmethode (NL-EEM), blijkt dat aanzienlijkescheurvorming achter de veranke-ring optreedt. Om de oorzaak vandeze scheurvorming te achterha-len wordt een vakwerkmodel op degrafische uitvoer van de NL-EEM-analyse geschetst (fig. 7). De vak-werkanalogie geeft meer duidelijk-heid over het spanningsverloop inde ligger. Er ontstaat een hogedrukspanning in de staven tussenbelasting- en steunpunt. Ter plaat-se van de verankering zorgt dehoge drukspanning voor hogesplijtspanningen in het beton, dieleiden tot scheurvorming. Uitgaan-de van het vakwerkmodel moet deverankeringlengte van de hoofdwa-pening pas achter deze drukstavenbeginnen (punten A en E).Geval bHet tweede geval is een asymme-trische wandligger. Netwapeningwordt ingevoerd en ESA-PT heeftde extra hoeveelheid wapening pernetelement bepaald (fig 8).2036183216291425122210188146114072040As[mm2/m]1,000300100A BDEC700780kN62,5400400100112,5112,5112,5112,5F8 |Geval b: benodigde extrahorizontale wapening(boven) en verticalewapening (onder)26222409219719851773156113491136924712500As[mm2/m]9 |Geval b: vakwerkmodelO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eNumer ieke a na l yse74 cement 2008 7Het rekenprogramma geeft echtergeen duidelijkheid over de detail-lering van de wapening. Bijvoor-beeld waar de staven moeten wor-den be?indigd, omgebogen enverankerd. Bij de ontwerper ligteen grote verantwoordelijkheidom de resultaten van het pro-gramma, op een juiste, kritische,wijze te vertalen in constructiefgoede en duidelijke wapenings-schetsen. De vakwerkanalogie iseen goed gereedschap om hetspanningverloop in de constructieduidelijk te maken en de wape-ningsdetaillering aan te geven.Figuur 9 geeft een vakwerkmodelvoor dit geval weer, waarmee dewapeningsdetaillering van de con-structie kan worden ingevuld.Geval cHet derde geval is een wandliggermet een opening. Hiervoor is eenvakwerkmodel gekozen zoals weer-gegeven in figuur 10. Dit vakwerkvoldoet aan de sterkte-eisen van deEurocode, maar het resultaat vande numerieke analyse (NL-EEM)laat zien dat scheuren optredenwaar geen hoofdwapening aanwe-zig is (fig. 11). Deze scheurvormingis het gevolg van het ontstaan vande plastische momenten tussen debetondelen, tussen het verticalerechterdeel en de delen boven enonder de opening. Het vakwerkmo-del moet worden aangepast doorhet toevoegen van trekstaven(wapening) om de trekkrachten inhet beton te kunnen opnemen, tervoorkoming van wijde scheuren,.Hiermee wordt ge?llustreerd datmet de vakwerkanalogie wel voorvoldoende draagvermogen wordtgezorgd, maar dat de constructieniettemin kan worden beschadigdindien het vakwerk te veel afwijktvan het krachtsverloop in de onge-scheurde fase.C o n c l u s i e s e n a a n b e v e -l i n g e nUit de niet-lineaire analyse blijktdat de onderzochte wandliggersover het vereiste draagvermogenbeschikken. Dit ondanks de nietoptimale simulatie van vakwerkenen de bovengenoemde aandachts-punten. In de gebruikstoestandontstaan in sommige gevallen gro-tere scheuren dan de normeisentoestaan. Het gaat om de gevallenwaarbij geen rekening wordtgehouden met het feit dat in deconstructie een herverdeling vankrachten kan optreden.Het gebruiken van het programmaESA-PT (gebaseerd op EEM) voorhet ontwerpen van wandliggersheeft zijn voordelen. De berekeningkan onder meer snel worden uitge-voerd, de resultaten voldoen aan denormeisen en het ontwerp is ge-zien de hoeveelheid wapening eco-nomisch. Maar het vertalen van deresultaten naar wapeningschetsenvereist speciale aandacht en inzicht.De detaillering van de wapening isessentieel voor het ontwerp enmoet, met betrekking tot het span-ningsverloop in de constructie,worden uitgevoerd met een goedconstructeursgevoel. Hiertoe is ge-degen kennis van het principe vande vakwerkanalogie nuttig.Het werken volgens de vakwerk-analogie is een uitstekende wijzevoor het ontwerpen, analyseren enbegrijpen van het gedrag van deconstructie. Die volgt duidelijkestappen, maar is tijdrovend en ver-eist meestal meer wapening danESA-PT. Inspanning kan nuttig zijnom de vakwerkanalogie in de Euro-code enigszins concurrerend te ma-ken. Dat kan zijn door het vereen-voudigen van de controles en doorhet effici?nter gebruiken en effec-tiever plaatsen van de netwapening.Het logisch beredeneren van hetspanningsverloop, alsmede het des-kundig oordeel van de ervaren ont-werper/constructeur zijn hoofdele-menten voor een goed ontwerp.Het gebruik van een goed program-ma dan wel het toepassen van eengeschikte rekenmethode is geengarantie voor een foutloos ontwerp.Kritisch evalueren van de resultatenblijft een eerste vereiste. nL i t e r a t u u r1. Mahmoud, M.N., Design andnumerical analysis of reinfor-ced concrete deep beams.Afstudeerverslag TU Delft,oktober 2007.300011227002200650kN1001000150010001800100SJDUIHCBGFAELTPORNQM K10011310011310 | Geval c: vakwerkmodel11 | Geval c: verticale span-ningen en scheurvorming