Platen en programma's2201080Platen enprogramma'sOm inzicht te verkrijgen in plaatgedrag hoeven constructief ontwerpersniet noodzakelijkerwijs over een grondige kennis van de eindige-elemen-tenmethode te beschikken. Voor hen zijn vooral de weetjes over platenessentieel. Over deze materie is recent het boek `Plates and FEM; Surprisesand Pitfalls' [1] verschenen. In dit artikel worden twee onderwerpen toege-licht, ??n over de theorie en ??n over de praktijk. Besproken wordt welkekeuze bij voorkeur moet worden gemaakt als er keuze is uit verschillendeplaattheorie?n. Daarna wordt getoond dat het beschikken over program-matuur nog niet tot hetzelfde resultaat leidt.Primair is kennis van plaatgedrag nodigPlaten van gewapend beton hebben een relatief laag wape-ningspercentage en kunnen zich goed plastisch gedragen. Inhet midden van de 20ste eeuw zijn we verrijkt met veel kennisover plastische ontwerpmethoden. Denk aan de vloeilijntheorievan Johansen (Denemarken) en de strippenmethode vanHillerborg (Zweden). Beide methoden maken optimaal gebruikvan herverdeling van momenten. Maar het ging uiteindelijktotaal anders. Met kleurenplaatjes opgeleukte lineair-elastischeEEM-programma's hebben de plastische aanpak helemaalverdrongen. Daaraan is niet vreemd dat plastische berekenin-gen relatief veel handrekenwerk en kennis van zaken vragen.Nu rekent een constructeur met een beetje lef belangrijke plaat-velden uit met de computer en hij/zij laat het programma ookde wapening bepalen. Van een plastische beschouwing wordtalleen nog gebruikgemaakt voor het vaststellen van de wape-Platen en programma's 22010 81ning uit de elastische momenten en dwarskrachten. Toegege-ven, de elastische berekening heeft ook een positieve zijde. Alshet voldoen aan doorbuigingseisen en scheurwijdtecriteria inhet gebruiksstadium minstens even belangrijk wordt als hetborgen van veiligheid in het bezwijkstadium, laat de plastischeaanpak ons in de steek. Dan heeft de elastische elementenme-thode een pr?, zeker als het programma ook rekening kanhouden met de stijfheid van gescheurde doorsneden.Ander accent in mechanicaonderwijsNaar onze overtuiging roept de brede beschikbaarheid vanprettig hanteerbare programmatuur om een ander type mechani-caonderwijs. Om werkelijk te begrijpen wat er in een plaatgebeurt en hoe deze zijn belasting afdraagt, is gedegen inzicht inplaatgedrag een vereiste. We hebben lang gemeend dat een gron-dige kennis van de eindige-elementenmethode het belangrijksteis. Maar daar moeten we een beetje op terugkomen. Wie eenelektrische klopboor aanschaft, hoeft ook niet te weten hoe debedrading loopt en welke tandwielen zijn toegepast. Die wilinstructies ontvangen hoe je het gereedschap vasthoudt en welkehulpstukken je meekrijgt en waarvoor die dienen. Voor ingeni-eurs in een onderzoekomgeving kan kennis van EEM niet diepgenoeg gaan, want die moeten de `bedrading' kunnen aanpassen,maar constructief ontwerpers hebben andere kennis nodig. Voorhen zijn vooral de weetjes over platen essentieel. Van de elemen-tenmethode hoeven ze niet veel meer te verstouwen dan wat eenelement ongeveer kan weergeven en in hoeverre het evenwichtklopt. Daarop hebben we aandacht willen vestigen in [1]. Wemenen dat kennis van de klassieke plaattheorie nog steedsbelangrijk is en ook op welke wijze we die kennis herkennen inde resultaten van computerprogramma's.Twee theorie?nGeneraties ingenieurs hebben in hun opleiding kennisgemaakt met de theorie van dunne platen. Dat is een theoriedie w?l rekening houdt met de vervorming door momenten,maar niet door dwarskrachten. Als we tabellen gebruiken, zijndie gebaseerd op deze theorie, maar ook klassieke werken als`Plates and Shells' van Timoshenko en Woinowsky-Krieger en`Fl?chentragwerke' van Girkmann gaan daarvan uit. In de lite-ratuur wordt naar de theorie van dunne platen verwezenonder de naam van Kirchhoff, maar hij heeft eigenlijk rond1850 de sluitsteen van de theorie aangebracht, nadat de Fransedame Sophie Germain en heren als Lagrange en Poissoneerder in de 19de eeuw de grondslagen hadden gelegd.Met de hedendaagse computerprogramma's is ook de veelmoeilijkere theorie voor dikke platen binnen bereik gekomen,een theorie die zowel rekening houdt met de vervorming doormomenten als de vervorming door dwarskrachten. Dezetheorie is honderd jaar jonger, want is voor het eerst in hetmidden van de 20ste eeuw geformuleerd. Twee mechanicabe-oefenaars in de Verenigde Staten hebben de theorie langsverschillende paden onafhankelijk van elkaar ontwikkeld, Reis-sner in 1941 en Mindlin in 1950. Omdat de formulering vanMindlin zich gemakkelijker laat inpassen in de elementenme-thode, noemen handleidingen de theorie altijd naar hem.We moeten kiezenNu doet zich een probleem voor. Menig EEM-pakket biedtbeide theorie?n (`Kirchhoff' en `Mindlin') aan en de gebruikermoet een keuze maken. Overigens beseft de gebruiker dat nietaltijd. Vaak is in het programma default ??n theorie aangezeten hoeft de gebruiker niets te doen. Die zal zich er vaak nieteens van bewust zijn dat er een keuzemogelijkheid is. Door-gaans staat `Mindlin' default aan. De gedachte daarbij is, dat jedan altijd veilig bent. Als de plaat werkelijk dik is, neem jeterecht dwarskrachtvervorming mee. En als de plaat dun is, doeje het mooier dan nodig is, maar het resultaat zal hetzelfde zijnals met de dunne theorie. Maar is dit ook zo?prof.dr.ir. Johan BlaauwendraadTU Delft, fac. CiTG,Constructiemechanica1 Op torsie belaste staaf met stripvormige doorsnede2 Rondgaande schuifstroom volgens de elasticiteitstheoriemtatllyzmtx12Platen en programma's2201082`smokkelt' dan een afstand t /10, maar omdat een plaat algauw een breedte a heeft van 25 keer de dikte t, is de verschui-ving ongeveer a/80, in de orde van 1% van de overspanning. Inde ogen van een praktisch mens betekent dat niets. Het is alleenvervelend dat programma's niet attenderen op het bestaan vandeze geconcentreerde dwarskracht. Als je kiest voor `Kirchhoff'en het programma een evenwichtscontrole in een snede laatuitvoeren, zou je willen dat de geconcentreerde randkrachtwordt meegenomen, maar dat gebeurt niet. Dus klopt het even-wicht niet. Wie met `Mindlin' rekent heeft een voordeel, wantde verdeelde dwarskracht vxwordt dan wel netjes meegeno-men. Graag vragen we softwareleveranciers om de omissie bijde keuze voor `Kirchhoff' te corrigeren.Verschil in de praktijkTot zover lijkt het betoog een pleidooi voor de keuze van`Mindlin'. Maar dat gaat te snel, want er is een serieus probleem.De grote vraag is of de elementenmethode het verschijnsel inde randzone wel kan beschrijven. In veel programma's is een(min of meer) lineair verloop van het wringend moment overde breedte van een element ingebouwd, terwijl het verloop inde randzone exponentieel is met een zeer grote gradi?nt. Overeen korte breedte in de orde van grootte van de dikte moet heelwat gebeuren. Wie dat met eenvoudige elementen wil beschrij-ven heeft er een aantal nodig, zeg vijf. Dat leidt tot een onrea-listisch fijn net. Met `Kirchhoff' is dat niet nodig. Die theorieheeft helemaal niet de pretentie het randverschijnsel tebeschrijven en vraagt geen netverfijning in die zone. In eenpraktisch net hoeven elementen dan nooit kleiner te zijn dande plaatdikte. Figuur 5 demonstreert het verschil voor de plaatvan figuur 1 met een verhouding 10 tussen breedte en dikte.Het wringend moment is zo gekozen dat de `Kirchhoff'-bereke-Een strip op twee manieren bekekenOm dat te beoordelen nemen we een staaf in gedachten meteen stripvormige doorsnede als is getoond in figuur 1. Dehoogte van de strip is t en de breedte is a. In de doorsnedewekken we een wringend moment op. Volgens de elasticiteits-theorie ontstaan in de doorsnede rondgaande schuifspannin-gen als aangegeven in figuur 2. In het middendeel van de strip-doorsnede lopen de schuifspanningen horizontaal en is deverdeling lineair over de hoogte t. Aan beide einden van destripdoorsnede lopen de schuifspanningen overwegend verti-caal en de grootste waarde treedt op aan het eind. Op eenafstand van de eindvlakken ongeveer gelijk aan de striphoogte tzijn de verticale schuifspanningen praktisch verdwenen. Makenwe de strip breder dan a, dan blijft dit gelden. De verticaleschuifspanningen blijven beperkt tot een randzone met eenbreedte in de orde van de hoogte t.We kunnen dezelfde staaf ook opvatten als een dikke plaat meteen dikte t en breedte a. De horizontale schuifspanningen inte-greren we tot wringende momenten mxyper eenheid vanbreedte (eenheid Nm/m) en de verticale schuifspanningen totdwarskrachten vxper eenheid van breedte (eenheid N/m). Dewringende momenten hebben over een groot gebied van deplaat een constante waarde, maar nemen af in de randzone enworden nul aan het eind. In figuur 3 is dit getekend in de linkerrandzone. Omgekeerd is de dwarskracht nul over een grootdeel van de plaat, maar in de randzone groeit die van nul naareen maximale waarde aan het eind. Dit is getekend in derechter zone van figuur 3. We moeten nog op een interessantaspect wijzen. Als je de verdeelde dwarskrachten sommeertover de randzone, blijkt hun resultante Vxprecies gelijk te zijnaan het constante wringend moment mxyen de resultante ligtop een afstand = t /10 van de rand, ongeveer t/3.Theoretisch verschil tussen`Mindlin'en`Kirchhoff'We hebben nu genoeg voorbereid om het verschil tussen`Mindlin' en `Kirchhoff' aan te geven. Het lukt `Mindlin' om hetexacte verloop van het wringend moment en de dwarskrachtweer te geven. Met zijn theorie gaat het moment netjes naar nulaan het eind en groeit de dwarskracht aan in de randzone, zoalsfiguur 4 weergeeft. Met `Kirchhoff' kan dit niet. De figuur laatzien dat in die theorie het wringend moment constant blijft totaan het eind en de resultante Vxals geconcentreerde dwars-kracht wordt over de afstand verschoven naar het eind. Jemxy vxaMindlinKirchhoff VxmxymxyvxVx34Platen en programma's 22010 833 Spanningsverdeling in termen van een dikke plaat4 Verschil tussen`Mindlin'en`Kirchhoff'5 Kirchhoff-berekening met praktisch net; Mindlin-berekeningmet fijn net6 `Mindlin'met praktisch net; geen vlees en geen visning een constant wringend moment mxy= 1,000 geeft. In dieberekening zijn alle elementen gelijk aan de plaatdikte. Hetwringend moment in de `Mindlin'-berekening tendeert aan derand wel naar nul, maar het lukt nog niet helemaal. In hetmiddendeel van de plaat wordt het moment mxy= 1,068 en dedwarskracht in de randzone groeit naar vx= 3,343. Het momentis precies gelijk aan de theoretisch verwachte waarde 1,068 ende dwarskracht praktisch gelijk aan de verwachte 3,377; nietslecht dus. Over elke randzone zijn vijf elementen gekozen, dekleinste aan de buitenkant met een breedte van een tiende vande plaatdikte. In totaal zijn er twintig elementen over debreedte van de plaat.Geen vlees en geen visWie van twee wallen wil eten en `Mindlin' kiest in combinatiemet het praktische net van tien gelijke elementen, krijgt geenvlees en geen vis, zoals figuur 6 laat zien. Het wringendmoment neemt wel af nabij de rand, maar wordt lang niet nulen de lokale dwarskracht in de randzone blijft te klein. Hetwringend moment in het middendeel van de plaat doet het nogwel goed met de waarde mxy= 1,061, maar de dwarskracht ismet vx= 2,455 slechts 73% van de exacte waarde. Ons adviesaan betonconstructeurs is om altijd `Kirchhoff' te kiezen.Massieve betonplaten in woningbouw, utiliteitsbouw en brug-genbouw zijn altijd dun. Zelfs als de plaat voor ons begrip dikoogt, bijvoorbeeld met een breedte van acht keer de dikte, is hijvoor de berekening nog steeds dun. De geconcentreerde rand-dwarskracht Vxligt dan op een afstand van ongeveer a/25 vande rand, 4% van de plaatbreedte. Dat is voor praktische mensennog steeds een dunne plaat.Wie brengt haarspelden aan?We begonnen onze uiteenzetting met de op wringing belastestaaf van figuur 1. Voor zo'n constructie leren constructeurs omde rondgaande schuifstroom te concentreren in de buitensteschil van de doorsnede en ze weten dat zowel wapeningstavenin lengterichting nodig zijn als gesloten beugels in omtreksrich-ting. In de doorsnede van de staaf komt dus verticale wapeningvoor in beide randzones. Maken we de doorsnede van de staafnog meer stripvormig door de breedte a te vergroten, dan blijftdat gelden. Maar hoe zit het als we de breedte zo ver latentoenemen dat de staaf overgaat in een plaat? Er blijft sprake vaneen rondgaande schuifstroom aan de rand, de hierbovengenoemde geconcentreerde dwarskracht Vx. En denk niet datde getordeerde plaat een academisch geval is. Wringendemomenten en geconcentreerde dwarskrachten treden altijd opbij vrije en vrij opgelegde randen. Ze zijn ook aanwezig inbreedplaatvloeren.1,201,000,800,600,400,20Kirchhoff -mxy1,201,000,800,600,400,20Mindlin -mxy4,003,002,001,00-1,00-2,00-3,00-4,00Mindlin -vxMindlin -mxyMindlin -vx1,201,000,800,600,400,203,002,502,001,501,000,50-0,50-1,00-1,50-2,00-2,50-3,0065Platen en programma's2201084lijk gelijk te richten maakten we afspraken over de te gebruikenplaattheorie, de betonsterkteklasse, de dwarscontractieco?ffici-ent, de staalvloeigrens en de dekking. Iedereen zou knipverlie-zen negeren en haarspelden buiten beschouwing laten. Wehebben geen enkele wens ten aanzien van de netfijnheidmeegegeven. Die is steeds de keuze van de constructeurgeweest.Vergelijking van momentenVan de cursisten hebben 18 deelnemers zowel de momenten alsde wapeningmassa berekend. Ze gebruikten in totaal zesverschillende programma's of programmaversies, waarbij deeerlijkheid gebied te zeggen dat het grootste deel van de bere-keningen met twee programma's is uitgevoerd. Figuur 8 laatvoor de verschillende deelnemers het negatieve moment zien inpositie A op de ingeklemde rand van figuur 7. De rand is eenrustig gebied, wel met een groot negatief moment, maar meteen geringe gradi?nt in de richting van de rand. Je verwachtdan grote eenstemmigheid. Toch springen drie van de 18waarden er behoorlijk uit. We zullen maar aannemen dat deallergrootste waarde een afleesfout is. De tweede positie in deplaat is boven de kolom gekozen, B in figuur 7. Dit is eengemene plek, want hier treedt een grote momentenpiek op. Dekolomreactie is immers een puntlast op de plaat. In figuur 9 isvoor deze positie het moment in y-richting uitgezet. De deelne-mers staan in dezelfde volgorde als in figuur 8. Nu treden welover de hele lijn van de inzendingen grote verschillen op,tussen de hoogste en laagste waarde een factor van niet minderdan 2,7. De verschillen treden niet alleen op tussen deprogramma's. Ook constructeurs die hetzelfde programmagebruiken krijgen zeer verschillende antwoorden door eenanders gekozen netfijnheid. Er is een grote afhankelijkheid vande gebruiker!Vergelijking van wapeningDe wapeningmassa waarop de deelnemers uitkwamen is infiguur 10 uitgezet, weer in dezelfde volgorde. De verschillenzijn nog groter dan voor de momentpiek boven de kolom.Tussen de grootste en kleinste hoeveelheid wapening treedt eenfactor vier op. Bij het uitgangspunt dat alleen op sterkte hoeft teworden gewapend voldoet een totale wapening in de orde van8000 kg. De laagste waarde ligt hier ongeveer een factor 1,6onder en de grootste een factor 2,5 erboven. In figuur 10 is elkestaaf uit vier delen opgebouwd, van onder naar boven zijn diede bovenwapening in x- en y-richting en de onderwapening inx- en y-richting. Zoals we hadden verwacht vertoont de boven-wapening in grote lijnen het verloop van het moment boven dekolom. Bij berekeningen die daar een groot moment voorspel-Wie wapent op de geconcentreerde dwarskracht en steektvoldoende haarspelden in de plaatrand voor verticale wape-ning? De grootte van de kracht kennen we; die heeft dezelfdewaarde als het wringend moment mxyop de rand bij `Kirchhoff'of net naast de randzone bij `Mindlin'. En hij is niet verwaar-loosbaar. Elastisch gezien is de maximale schuifspanning in dezone ongeveer 80% van de schuifspanning door het wringendmoment op die plaats. En daarop wapenen we wel.E?n constructie, 18 berekeningenWe gaan nu over op ons tweede onderwerp. Het is een vastonderdeel in de PAO-cursus `Schijven en Platen. Verrassing enValkuil' dat de cursisten een plaat berekenen met de softwaredie in de eigen organisatie wordt gebruikt. Die cursus heeft nuvijf keer plaatsgehad, drie keer in Nederland en twee keer inBelgi?. Van een van die vijf cursussen laten we hier de uitkomstzien. De antwoorden zijn volledig anoniem en niet te herleidentot enig persoon of onderneming. We nodigden de cursisten uitom de plaat van figuur 7 te berekenen. De plaatafmetingen zijn20 x 12 m, ??n rand is ingeklemd, twee randen zijn vrijzwevend en ??n rand is voor het grootste deel vrij opgelegd.De plaatdikte is 400 mm. Daarnaast komen er twee kolommenvoor. De kolomdoorsnede is 400 x 400 mm en de kolommenzijn momentvast verbonden met de plaat. Een kolom kan zichin twee richtingen gedragen als rotatieveer met een veercon-stante 0,64 ? 105kNm/rad. We spraken af dat voor dezeoefening alleen sterkte belangrijk is, dus alleen de uiterstegrenstoestand in acht hoefde te worden genomen. Op scheur-wijdten of doorbuigingen in de gebruikstoestand hoefdeniemand te letten. Ook controle op ponsgevaar mocht achter-wege blijven. Verder was de totale ontwerpbelasting gegeven,bestaande uit het eigen gewicht maal de belastingfactor 1,2 ende variabele belasting maal 1,5. De totale belasting is 18 kN/m2.We vroegen om voor een paar posities van de plaat het bere-kende plaatmoment te geven en voor de hele constructie dehoeveelheid benodigde wapening. Om de neuzen zoveel moge-20 m12 myxBA7Platen en programma's 22010 857 Door verschillende constructeurs berekende vloer8 Inklemmingsmoment van 18 deelnemers9 Moment boven kolom van 18 deelnemers10 Wapeningsmassa uit berekening van 18 deelnemersaanzienlijk kleiner dan in de momentpiek. Pieken biedeneigenlijk non-informatie. Voor andere constructies hebben wewel gezien dat twee verschillende programma's beide een piekopleveren, maar dat het programma met het fijnste net delaagste piek geeft. Weten wij veel wat een programmeur in zijnelement heeft ingebouwd? Een reden te meer voor goedeafspraken over hoe we omgaan met uitvoer.ConclusiesWe hebben twee onderwerpen behandeld over het berekenenvan betonplaten met computerprogramma's. Bij het eersteonderwerp hebben we een pleidooi gehouden voor de eenvou-dige plaattheorie voor dunne platen. De softwarehuizenmoeten nog wel even hun programma uitbreiden en de gecon-centreerde randdwarskracht meenemen in evenwichtscontrolesover een doorsnede. We laten ons niet gek maken door hetaanbod van de dikke plaat in programma's. Die theorie zalgoede diensten bewijzen in de wereld van werktuig- en vlieg-tuigbouwers voor sandwichplaten, maar zet betonconstructeursniet op het goede been.Het tweede onderwerp met de vergelijking van berekeningsre-sultaten maakt duidelijk dat de uitkomst van een berekeningsterk afhankelijk is van de gebruiker van het programma. Nietde elementenmethode zelf is het struikelblok, maar we moetenelkaar bijpraten hoe we verstandig omgaan met berekeningsre-sultaten. Met ons boek hebben we ook aan de betonsector eenbijdrage willen leveren. len is de wapening meestal ook groot. Verrassend genoeg blijktdezelfde trend ook min of meer voor de twee ondernetten.Speelt de schrik voor de momentenpiek in alle wapeninglagendoor? Voor een deel verklaren we het grote verschil tussen deoplossingen door een andere keuze van de basiswapening dieover de hele plaat wordt gelegd, maar een zeker even grootaandeel komt voort uit een verschil in interpretatie en verwer-king van de momentenpiek boven de kolommen.Omgaan met piekenWe zijn gestuit op een aspect waarover kennelijk veel onzeker-heid bestaat. Daarom wijden we in ons boek grote aandachtaan het omgaan met pieken. We hebben hier niet de ruimte omdiepgaande antwoorden te geven en de uitgever en cursusorga-nisatie moeten ook wat verdienen. De essentie is dat we bestregels kunnen geven voor het begrenzen van piekmomenten endat eigenlijk niet de piek belangrijk is, maar het oppervlak vaneen momentendiagram over een snede. Verschillen daarin zijnkilogrammendeelnemers1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18250002000015000100005000 literatuur1 Blaauwendraad, J., Plates and FEM, Surprises and Pitfalls. SpringerScience+Business Media, B.V., 2010.Flinke korting op`Plates and FEM'Plaattheorie?n en -gedrag. Dat zijn de ingre-di?nten van het boek`Plates and FEM'vanJohan Blaauwendraad. Speciaal voor lezersvan Cement heeft Uitgeverij Aeneas nu eenaanbieding: koop het boek voor slechts 69,95 in plaats van 79,95. Bestel viawww.cementonline.nl o.v.v. LezerssactieCement en krijg nu 10,- korting!10500myydeelnemers1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 184003002001000myydeelnemers1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 181000800600400200089