O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eWo n i n g b o u wcement 2002 1 79Debelangstellingonderbouwkun-digen voor drijvende gebouwen isde laatste jaren sterk toegenomen.De onlangs uitgevoerde spectacu-laire verplaatsing van een kan-toorgebouw van tien verdiepin-gen over het water heeft hierongetwijfeld aan bijgedragen. Hetontwerpen van een ponton ver-schilt van de doorgaans in debouw gebruikelijke funderings-constructies. Een bijzonder as-pect van deze funderingsmetho-deisbijvoorbeelddediepgangvande ponton, essentieel voor de ver-vorming en de stabiliteit. In prin-cipe verschilt de berekening vande stabiliteit van een drijvendgebouw niet van de berekeningvoor een schip [2]. Om aan tesluitenbijdeindebouwkundege-bruikelijke modellen, wordt eenmodelbeschrevenwaarinpontonswordenbeschouwdalseenfunde-ring op een zeer slappe, verendegrondslag.Ditmodelbiedtdemo-gelijkheid pontons te ontwerpenconform de huidige bouwvoor-schriften, hetgeen de communi-catie met bouwkundigen encontrolerende overheid zal be-vorderen en kan leiden tot nieuweontwikkelingen voor het funde-ren op een zeer slappe grondslag.In eerste instantie worden formu-les afgeleid voor de berekeningvan de diepgang, de bedding-constante, de hoekverdraaiing, deveerconstante en de stabiliteit.Ten slotte wordt een procedurebeschreven om pontons met hetbeschreven model te ontwerpen.D i e p g a n gEen belangrijk aspect voor hetontwerp van een ponton is dediepgang. Deze kan worden be-paaldmetdewetvanArchimedes.Voor een ponton, met een breedteb en een lengte l, belast door eencentrisch aangrijpende kracht Fvolgt de diepgang d uit (fig. 1):F? d = ___ (1)blIn deze vergelijking is gelijk aanhet volumieke gewicht van hetwater.Voorhetbinnenwatergeldt:=10kN/m3.Substitutievandezewaarde in formule (1) geeft:F? d = _____ (2)bl ? 10De waterdruk op de onderzijdevan een ponton is gelijk aan p = d. Met = 10 kN/m3 is de wa-terdruk op de vlakke bodem vaneen ponton gelijk aan:p = 10 d kN/m2 (3)De opdrijvende kracht grijpt aanin het zwaartepunt van het doorhet lichaam verplaatste watervo-lume, dit punt wordt het druk-kingspunt genoemd. Voor eenponton met rechthoekige door-snede, dat centrisch wordt belastdoor een verticale kracht (fig. 1),bevindt het drukkingspunt zichop een afstand gelijk aan 0,5 d vande kiel [2].B e d d i n g c o n s t a n t eDoor een toename van de belas-ting zal de diepgang toenemen.De toename van de diepgang udoor een toename van de belas-ting F is te berekenen met:Fu = ____ (4)bl ? 10Uit formule (4) blijkt dat de toe-name van de diepgang recht even-redig is met de toename van debelasting. Het verband tussen be-lasting en vervorming kan danworden beschreven met een con-stante, vergelijkbaar met de bed-dingconstante van een funderingop staal. De beddingconstantevoor een fundering op staal wordtgedefinieerd als verband tussenspanning en zetting:k = / u. Met = F / (bl)wordt gevonden:Ontwerpen van pontonsonder gebouwenir. M.W. Kamerling, TU Delft, faculteit BouwkundelijzijdeFRFDhkRvd(d?) cos (d+) cos hksin loefzijde1?2d1 | Wet van ArchimedesF = R = bld is volumiek gewichtwater = 10 kN/m3b is breedte pontonl is lengte pontond is diepgangv is vrijboord2 | Ponton roteert over eenhoek 3 | Ponton roteert door eenmoment over een hoek .De opdrijvende kracht Ris gelijk aan de verticalekracht F. Het oprichtendmoment op de kiel doorde opdrijvende kracht isgelijk aan M = F hksin .M is metacenterpuntD is drukkingspunt123In [1] werden de constructieveaspecten en problemen verkend vanpontonfunderingen. In dit artikelkomt het ontwerpen van pontonsaan de orde. Daartoe wordt een pro-cedure beschreven die is gebaseerdop een model waarbij de pontonsworden geschematiseerd als funde-ringen op een zeer slappe, verendegrondslag.MbbO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eWo n i n g b o u wcement 2002 180Fk = ______ (5)bl ? uDe grootte van de beddingcon-stante k voor een ponton is veelkleiner dan de beddingconstantevoor een fundering op staal. Nasubstitutie van u uit formule (4)wordt gevonden:F ? bl ? 10k = __________ k = 10 kN/m3 (6)bl ? FVooreenfunderingopzandgrondvarieert de grootte van de bed-dingconstante k meestal van10 000 kN/m3 tot 50 000 kN/m3.De beddingconstante van eendrijflichaam is dus zeker duizendmaal kleiner dan de bedding-constante voor een fundering opstaal.R o t a t i eDe ponton roteert als een lastwordt verplaatst of als er eenmoment op aangrijpt door bij-voorbeeld de windbelasting (fig.2). Door het moment neemt dediepgang aan de loefzijde af enaan de lijzijde toe. Na rotatie overeen hoek is de diepgang voorrespectievelijk de loef- en lijzijde:dmin= (d ? ) cos endmax= (d + ) cos , met: =1/2 b tan (7)De minimale en de maximale wa-terdruk op de onderzijde van deponton kunnen vervolgens wor-den berekend met:pmin= 10 (d ? ) cos kN/m2 enpmax= 10 (d + ) cos kN/m2 (8)Door de rotatie zal het drukkings-punt verplaatsen naar de lijzijde.Het snijpunt van de werklijn vande opdrijvende kracht met de ver-ticalesymmetrieasvandeponton,als deze geroteerd is over een ini-ti?le hoek, wordt het metacenter-punt genoemd. De afstand hdvanhet metacenterpunt tot het druk-kingspunt kan voor een pontonmet verticale zijvlakken wordenberekend met de formule vanScribanti [2]:I 1hd= ___ (1 + _ tg2) (9)V2waarin:I is het kwadratisch oppervlakte-moment van het snijvlak van deponton met de waterspiegel v??rde rotatie;V is het volume van het door deponton verplaatste water, V = b d l.Vooreenrechthoekigpontongeldt:b2 b2 tg2 hd= ____ + ________ (10)12d 24dDe afstand van het metacenter-punt tot de kiel is dan voor eenponton met rechthoekige door-snede en een drukkingspunt opeen afstand 0,5 d van de kiel gelijkaan:b2 b2 tg2 1hk= ____ + ________ + _ d (11)12d 24d2Uit de formule voor de afstandvanhetmetacenterpunttotdekielblijkt dat deze toeneemt met dehoekverdraaiing. Ter wille van debruikbaarheid zal de rotatie vaneen ponton gelimiteerd worden,zodat ook de invloed van de hoek-verdraaiing op het metacenter-punt beperkt is. Uit tabel 1 blijktdat de waarde van hk/b nauwelijkstoeneemtalsdetangensvandero-tatiehoek ligt tussen tan = 0 entan = d/b, zodat voor pontons deinvloed van de hoekverdraaiingop de ligging van het metacenter-punt doorgaans kan worden ver-waarloosd.Tabel 1 | hk/b bij een minimale en een maxi-male rotatie voor verschillendeverhoudingen b/db/d tan = 0 tan = d/b2 0,417 0,4384 0,458 0,4696 0,583 0,5908 0,729 0,73410 0,883 0,888De afstand van het metacenter-punt tot de kiel kan dan wordenberekend met:b21hk= ____ + _ d (12)12d2Na de rotatie zijn de werklijnenvan de verticale kracht en de op-drijvende kracht ten opzichte vanelkaar verschoven. De afstand vande kiel tot de werklijn van deopdrijvende kracht is gelijk aanhksin .De opdrijvende kracht aangrij-pende op deze afstand van de kielkan nu een oprichtend momentleveren, ter grootte van:M = F hksin (13)V e e r c o n s t a n t eEvenals bij een fundering op staalkan voor een ponton het verbandtussen de verdraaiing en het mo-mentwordenbeschrevenmeteenveerconstante C:C = M / (14)In deze formule is de hoekver-draaiing in radialen. De veercon-stante voor de ponton wordt ge-vonden na substitutie van hetoprichtend moment uit formule(13) als de belasting aangrijpt inde kiel:C = F hksin / (15)Voor een kleine hoekverdraaiinggeldt bij benadering: tan sin , met in radialen.Met sin kan formule (15)vereenvoudigd worden tot:C = F hk(16)Met deze veerconstante kan derotatie van de ponton ten gevolgevan het moment vrij eenvoudigworden berekend met formule(14). Bij de berekening van derotatie moet rekening wordengehouden met het tweede-ordeeffect.B e p a l i n g v a n h e tt w e e d e - o r d e e f f e c tDe rotatie van de ponton zalworden vergroot door het tweede-orde effect, als de verticale belas-ting niet op de kiel, maar op eenafstand a boven de kiel, aangrijpt.De vervormingen van de pontonO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eWo n i n g b o u wcement 2002 1 81en de bovenbouw door horizonta-le krachten zijn veel kleiner dande vervorming door de rotatie vande ponton, zodat de pontons voorde bepaling van het tweede-ordeeffect kunnen worden geschema-tiseerd als een oneindig stijvestaaf die verend is ingeklemd inde fundering.Stel dat de verticale belasting Faangrijpt op een afstand a bovende kiel. Uit de leer van de mecha-nica is bekend dat de constructiekantelt als de belasting wordt ver-groot tot de kritieke waarde Fkrit.Deze waarde kan worden bere-kend uit (zie voor vergrotingsfac-toren [3, hoofdstuk 15]):Fkrit= C / a (17)Voor een ponton belast door eenverticale kracht F aangrijpend opeen afstand a van de kiel, kan dekritieke kracht Fkritwaarbij deconstructie kapseist, worden be-paald door de veerconstante C uitformule (16) te substitueren informule (17):Fkrit= F hk/ a (18)De constructie is stabiel als dezewordt belast door een kracht F