C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gU t i l i tei t sb o u wcement 2002 1 65In de moderne bouw zijn bogenals constructievorm bijna verdwe-nen. De constructeur komt hoog-stens nog in restauratieprojectenmet bogen in aanraking (foto 1).Toch kan kennis van bogen vanpas komen bij het ontwerpen vanbeton- of staalconstructies, bij-voorbeeld bij drie-scharnierspan-ten. De principes om de idealevorm voor gemetselde bogen tevinden kunnen ook worden ge-bruikt voor constructies in anderematerialen, zoals schalen en ten-ten. Het frequenter toepassen vangemetselde bogen kan wordenbevorderddoordekennisvanhunmogelijkheden en hun gedragover te dragen.D e i d e a l e b o o g v o r mMetselwerk bestaat uit een stape-ling van stenen, aan elkaar ver-bonden met mortel. Met een sta-peltje(losse)stenenishetprincipevan steenconstructies te demon-streren.Drukkrachtenkunnenna-melijk goed worden opgenomen,ook al is de sterkte van de mortelgering. De treksterkte van hetmetselwerk is meestal gering enmoet volgens de voorschriftenworden genegeerd. Of buigingkan worden opgenomen hangtsterk af van de aanwezige druk-kracht en van de dikte van demuur. Dit wordt duidelijk als weeen stapeltje stenen omduwen(fig. 2). De kantelkracht is directafhankelijk van het gewicht en dedikte van het stapeltje.Constructies die alleen drukkunnen opnemen bestaan niet,maar constructies die alleen trekkunnen opnemen bestaan wel,denk aan een touw of een ketting.Daarom worden voor het bepalenvan de ideale vorm van een boogde krachten `omgedraaid', waar-door een drukkracht verandert ineentrekkracht.Deidealevormdieeen boog zou aannemen onderzijn eigen gewicht kan dan wor-dengevisualiseerdmeteenkettingdie tussen twee punten wordtopgehangen. De constructie volgtde treklijn. Door de belasting ende vorm weer om te draaien,worden trekkrachten in de con-structie weer drukkrachten enwordt de treklijn een druklijn.De druklijn is de lijn die het aan-grijpingspunt van de resultante vande krachten in elke snede volgt als deboog wordt doorlopen (vrij naar [1],pag. 247).Worden sneden gemaakt lood-recht op de staafas, dan is deafstand van de staafas tot de resul-tante gelijk aan de excentriciteit eOntwerpen en dimensioneren van steenconstructies (4)Ontwerp en analyse vangemetselde bogenir. A.T. Vermeltfoort, Technische Universiteit Eindhoven, faculteit BouwkundeGemetselde bogen als constructie-element komen alleen nog voor in histori-sche gebouwen. Los daarvan vormen bogen voor studenten een dankbaarstudieonderwerp, waar de druklijn als rode draad doorheen loopt. Bepalenvan het draagvermogen blijkt hoofdzakelijk een meetkundig probleem te zijn.Dit artikel behandelt de theorie van bogen, waarbij de uitkomsten wordengebruikt van de proefbogen die in een volgend artikel worden besproken.1 | Historisch gewelf,opgenomen in eennieuwbouwplan2 | Druk kan goed wordenopgenomen, trek niet enbuiging beperktC o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gU t i l i tei t sb o u wcement 2002 166van de normaalkracht N, ofwel:e = M/N (1)Ideaalishetalsdesysteemlijnvande constructie samenvalt met dedruklijn: dan zijn de buigendemomenten gering en is het draag-vermogen het grootst. De vormdie de ketting onder zijn eigengewicht aanneemt, wordt ketting-lijn genoemd (formule 2). Hetmaakt weinig uit of de vorm vande hangende ketting wordt bena-derd met een parabool of met eencirkelsegment, zeker als de boogflauw is (fig. 3). Bij de proeven diein een volgend artikel aan bodkomen, was de straal van de bin-nenboog 2,5 m, de dagmaat vande overspanning 3 m en de pijlvan de boog 0,5 m.De kettinglijn, de parabool en hetcirkelsegment van de beproefdebogen kunnen worden voorge-steld door:Deze functies hebben hun `steun-punten' op ?1500,0 en op 1500,0en hun top op 0,500 gemeen-schappelijk(fig.3).Beterebenade-ringen van de kettinglijn kunnenproberenderwijs worden gevon-den of met de kleinste-kwadra-tenmethode.B e r e k e n i n g v a n d ed r u k l i j nHet in een proef aanbrengen vaneen gelijkmatig verdeelde belas-ting is niet eenvoudig, maar eendergelijke belasting kan wordengeschematiseerd tot een aantalpuntlasten. Aangezien de plaatsvan de krachten bekend is, kanmet poolfiguur en stangenveel-hoek de ideale boogvorm wordenbepaald (fig. 4), onder meer doorde poolafstand te vari?ren.De druklijn van vier puntlasten,h.o.h. 600 mm zoals in de proef,geeft een acceptabele benaderingvan de kettinglijn. Het verschil ishooguit 26,5 mm (fig. 5).Wordt een ketting met gewichtjeseraan omhoog gehouden, danontstaat als vanzelf de vorm vande geknikte druklijn, maar hetblijft een uitdaging om de exactepositie van de knikpunten te bere-kenen.Ditwordtveroorzaaktdoor-datdeonbekendeco?rdinatenvande knikpunten aan elkaar zijngerelateerd via hun onderlinge af-standen volgens:(xi? xi-1)2+ (yi? yi-1)2= li2(5)Inhetstelselvergelijkingenkomende onbekenden kwadratisch voor.Een mogelijkheid om de positievan de knikpunten te vinden, isde iteratieprocedure volgens fi-guur 6. Schat V1en H en berekenvoor elke knoop van links naarrechts, voor i = 1 tot n: Si, xi, yi, enVi+1.Controleer of de co?rdinaten vanhet laatste punt samenvallen met-1500 -1000 -500 0 500 1000 15005004003002001000paraboolcirkelsegmentketting4 puntlassen2520151050-5-10-15-20-25-30boog-kettinglijnboog-paraboolboog-puntlassen0-1500 -1000 -500 100050015005 | Verschillen tussen druklijnen (mm)ten opzichte van de beproefdesegmentboog3 | Kettinglijn, benaderdmet parabool en cirkel600 600 600 600 600 poolafstandF50012345F F FFPFFF12345kettinglijn: y = [cosh (x/1500) ? 1] 921 (2)parabool: y = ax2a = 1/4500 (3)cirkelsegment: y = 2500 ? y(R2? x2) R = 2500 mm (4)4 | Poolfiguur en stangenveelhoek voor de proefboogC o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gU t i l i tei t sb o u wcement 2002 1 67die van het rechter steunpunt (xn xsen yn ys). Als dit niet zo is,dienen nieuwe waarden voor V1andHtewordengekozenendienthet proces te worden herhaald. Indit voorbeeld is H constant, wantalle krachten zijn verticaal. De ite-ratie kan worden uitgevoerd meteen spreadsheet-programma.Een andere manier om de vorm tevinden die de ketting aanneemt,is de kracht-dichtheidsmethodevolgens Schek, geciteerd in [2]. Dekern daarvan is dat de ontwerperde verhouding kiest tussen dekracht in elk deel van de kettingen de lengte daarvan: ki= (Si/li).Daarna kan eenvoudig een stelselvergelijkingen worden opgestelddie het evenwicht in alle knopenbeschrijven, met de co?rdinatenvan de punten als onbekenden.Deze methode wordt tevens voorruimtelijke constructies gebruikt.Het kunnen berekenen van devorm van een boogconstructieheeft voordelen omdat:? het nauwkeurg meten in eendrie-dimensionaal ketting-model niet eenvoudig is;? een alternatieve geometrievoor een ander belastingsgevalhet bouwen van een nieuwmodel betekent;? een numerieke oplossingtegelijk met de knooppositiesde kracht in de staven levert;? van een onbekende geometrieeen optimale krachtsverdelingmoet worden bepaald onderinvloed van een (enkele)gegeven belasting(en).De gangbare software is echterontwikkeld om bij gegeven geo-metrie en gegeven belastingen dekrachtsverdelingtebepalen,waar-bij door de relatief kleine vervor-mingen de constructievorm nietverandert. Bij het `kettingmodel'kan echter een kleine kracht totgrote vormveranderingen leiden.I n v l o e d v a n v e r a n d e r l i j k eb e l a s t i n gOp constructies werken verschil-lendebelastingenenelkebelastingheeft zijn eigen druklijn. Eerstwordt daarom de hartlijn van deboog vastgesteld in de vorm vaneen kettinglijn of benaderingdaarvan. Het eigen gewicht kandan optimaal worden gedragen.Daarna wordt voor elke belas-tingsvariant de druklijn bepaald.In de meeste, zo niet alle gevallen,domineert het eigen gewicht vande boog.Wanneer de veranderlijke belas-ting gelijkmatig is verdeeld, is deinvloed op het draagvermogengering; de vorm van de druklijn ishetzelfde als van het eigen ge-wicht van de boog. De vorm vandedruklijnverandertimmersnietalsallekrachtenmeteenbepaaldefactor worden vermenigvuldigd.Niet-symmetrische belastingen(wind, eenzijdige sneeuwbelas-ting, aslasten bij een brug) heb-ben een sterk afwijkende druklijnen zijn al snel aanleiding tot hetbezwijken van de boog.De druklijnen voor alle mogelijkebelastingen en combinaties daar-van moeten binnen de doorsnedevan de boog vallen. Voor elk gevalmoet de druklijn worden bepaald.Superpositie zoals we gewendzijn is niet mogelijk. De verschil-len van de positie van de druklijnvormen een indicatie voor de ver-eiste breedte van de boog [3].Voordat een boog bezwijkt, zaldeze eerst scheuren doordat dedruklijn zich naar de rand ver-plaatst. Er ontstaat een drie-schar-nierconstructie. Bij verder belas-ten ontstaat een mechanisme metvier scharnieren en zal de boogbezwijken (foto 7). Meestal nietdoordat het materiaal te zwak is,maar doordat de druklijn te veelverschuiftenbuitendedoorsnedevalt.Ook de horizontale componentenvan de reactiekrachten, de spat-krachten, moeten kunnen wor-den opgenomen door een onder-steunende constructie zoals defundering.Wanneerechtermurenof kolommen de boog ondersteu-nen, moet de spatkracht wordenopgenomen door een (stalen)trekstaaf, zoals in de proeven.De invloed van het wijken van deopleggingen door een te slappetrekstang of onvoldoende stijf-heid van de fundering verdientaandacht.A n a l y s e v a n d e p r o e f b o o gDe ketting en de grafische metho-den veronderstellen scharnieren-6 | Berekening van de vormdie een ketting metgewichten aanneemt7 | Een bijna bezwekenproefboogfoto: Ben ElfrinkP2P3HP1Hnl1n1132302l nV0VnSSi= 4 H2+ Vi-12xi= xi-1+ H/Six LiYi= Yi-1+ Vi/Six LiVi= Vi-1? PiC o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gU t i l i tei t sb o u wcement 2002 168de verbindingen en buigslappeelementen. Het principe ervan isgemakkelijk te begrijpen en incombinatie met moderne soft-ware zijn deze methoden goedbruikbaar [4]. Analytisch en metraamwerk-software kan de buig-stijfheidwordenmeegenomenenkunnen de buigende momentenworden bepaald, wat vooral vanbelang is in de ongescheurde toe-stand van de boog.Analytisch kan de boog die metvier vijzels werd belast, wordenvoorgesteld als een krommestatisch onbepaalde constructie(fig. 8). Door vormveranderings-voorwaarden op te stellen kan dekrachtsverdeling worden bepaald[5].De krachtsverdeling in de proef-boog werd met het raamwerkpro-gramma PCFrame bepaald voorheteigengewichtvandeboogmetvier gelijke krachten van 5 kN enmet krachten van respectievelijk5, 15, 5 en 5 kN. Verder was A =1200 cm2, W=2880cm3,I=17280cm4 en E = 3000 N/mm2.Aangezien de software de bereke-ningsresultaten als krachten enmomenten(N,V, M)ineenaantalpunten presenteert, werden deuitkomsten in een spreadsheetingevoerd, waarna de M/N-ver-houding voor elke knoop werdbepaald en loodrecht op de hart-lijn van de boog werd uitgezet(fig. 9). De gevonden punten wer-den door rechte lijnen verbondenen vormen aldus de druklijn.Als e > 1/6h kan worden aangeno-men dat de doorsnede gescheurdis, want N staat buiten de kern. Inhet eindige-elementenprogram-ma kan op die plaats een schar-nier worden gesimuleerd, metdien verstande dat de systeemlijnnaar de rand mag worden ver-plaatst.De druklijnen voor de onge-scheurde situatie tonen aan datalleen de situatie kritiek is waarbij??nvandepuntlastengroterisdande andere drie. De druklijn raaktde binnenrand van de boog overeen behoorlijke lengte en de bui-tenrand bij het rechtersteunpunt.C o n c l u s i e s? Bij bogen is vooral de relatietussen druklijn en N-, V- enM-lijnen belangrijk.? De dikte van de boog is eenmaat voor de mogelijkhedenom veranderlijke belasting opte nemen.? Wisselende belastingenhebben elk hun eigen druk-lijn, die voldoende binnen deranden van de boog moetblijven.? De uitkomsten van raamwerk-programma's moeten andersworden gepresenteerd, wantde excentricteit van de normaal-kracht wordt als toets gebruikt.? Numerieke ondersteuning isnodig om optimale vormen tevinden. Spread sheet program-ma's vervangen de vanouds-her bekende grafische metho-den.In ??n van de volgende artikelenkomen de experimenten aan deorde.Hetonderzoekwerdfinancieelgesteund door de Stichting Stapel-bouw.De bijdrage van de studenten T.Bertrand en H. Kok werd zeergewaardeerd. L i t e r a t u u r1. Hendry, A.W., Structuralmasonry. Macmillan Educa-tion LTD, ISBN 0-333-49748-1, 1990.2. Huisman, W.J.J., Vorm-bepaling van de ALCO dome.Syllabus BKO-ResearchdagTUE 1994, pp. 135-147.3. O'Connor, C., Romanbridges. CambridgeUniversity Press, 1993.4. Harvey, B., Thrust lineanalysis of complex masonrystructures using spreads-heets. 3rdInt. Sem. structuralanalysis of historicalconstructions, 2001.5. Shrive, N.G., Reda, M.M.,and Huizer, A., Simpledesign procedures formasonry arches, 12th Int.Brick/Block Mas. Conf.,Madrid, 2000, pp. 1687 ?1696.706050403020100-20 20 60 100 140 180 220 260 3005, 5, 5, 5 kN + E.G.5, 15, 5, 5 kN + E.G.8 | Boog als kromme staaf9 | Excentriciteiten (ofweldruklijnen) in de proef-boog600 600 600 600 600F1F2F3F4HMVZXWx= 0Wz= 0x= 0