C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n g B e r e k e n i n g 70 cement 2007 3 h 1 h1h2d a = 280 mm = 400 mm = 244 mm = 150 mm d a h 2 a A A doorsnede A-A kolom balk balk A Adoorsnede A-A kolom 2 3 2 3 0 0 6,3 13,8 1,4 gL gL= f ( h 2/ h1)g L= 6,3 h 2/ h1 prof.ir. C.S. Kleinman, TU Eindhoven, fac. Bouwkunde, Constructief Ont werpen Bij berekeningen van nokken en tanden zien we vaak dat deze op dezelfde manier worden behandeld, waarbij ver- wezen wordt naar NEN 6720. De grotere dwars- krachtslankheid voor tanden wordt niet meegenomen, omdat gesteld wordt dat de ophangwapening de functie van starre ondersteuning in het gehanteerde vakwerk- model kan vervullen. Dat dit onjuist is werd toegelicht in Cement 2006 nr. 7. Ter validatie werden begin dit jaar proeven op ware grootte uitgevoerd, waarvan in het vorige nummer van Cement verslag werd gedaan. In dit artikel wordt een rekenvoorbeeld gegeven, alsmede een voorstel tot wijziging van de voorschriften. In een kader aan het eind van het artikel reageert Voor- schriftencommissie 20 met een wijzigingstekst uit het najaar 2007 te publiceren wijzigingsblad A4. Een in de huidige constructiepraktijk veel voorko- mend detail is in figuur 1 afgebeeld. Dit detail wordt veelal gewapend als weergegeven in figuur 2, waarbij de tandoplegging als console wordt gedimensioneerd. De onderwapening in de balk wordt hierbij omhoog gevoerd en beschouwd als ophangwapening. In een aantal gevallen worden beugels toegepast en wordt het zwaartepunt van de ophangwapening gerelateerd aan de richting van de drukdiagonaal. In het hier volgende artikel wordt een rekenvoorbeeld nader uitgewerkt. Dit rekenvoorbeeld is ontleend aan het voorbeeld dat gehanteerd werd in Cement 2004 nr. 5 [1]. In de vorige artikelen [ 2] en [ 3] werd geconcludeerd dat bij de als figuur 2 gewapende tand sprake is van een krachtswerking die kon worden benaderd met een dwarskrachtslankheid van ? = 2,3 . De ver- h ouding balkhoogte / tandhoogte bedraagt hierbij h 2 / h 1 = 400 /280 = 1,43 . Voor maten en definities zie figuur 3. Conform art. 8.2.3.1 van de VBC is de hierbij pas- sende g ? = 1 + 2,3 2 = 6,3. De tand maakt veelal onderdeel uit van een slanke balk, waarvoor conform art. 8.2.3.1 de k ? = 1, en de dwarskrachttoets plaatsheeft met: ?? 1 = 0,4 · f b · k ? · k h · 3 ?  ___ ? 0 > 0,4 · f b Indien de balk over de gehele lengte de afmeting h 1 zou hebben, moet de ? 1 worden berekend met een k ? = 1, betrokken op de nuttige hoogte d. Deze d is in een orde van grootte van (0,85 - 0,90) · h 1 . In dit geval derhalve een d = 280 - 20 - Ø8 - 1/2 · Ø16 =244 mm, zijnde d = 0,87 · h 1 Dit betekent dat gerekend moet worden met een k ? = 0,87 indien we de ? 1 -toets betrekken op de volle- dige hoogte h 1 . Aangezien k ? = 12/ g ? indien A 0 /bd = 1 en g ? = 1 + ? v 2 vinden we g ? = 13,8 en ? v = 3,6. R esumerend : h 2 / h 1 = 1,43 ? v = 2,3 g ? = 6,3 h 2 / h 1 = 0,0 ? v = 3,6 g ? = 13,8 Nokken met die Tanden! (3) 1 | St a n d a a r d o p l e g d e t a i l 2 | G e b r u i ke l i j ke wa p e n i n g 3 | M a a t vo e r i n g t a n d o p l e g g i n g r e ke nvo o r b e e l d 4 | I nv l o e d d wa r s k r a c h t s l a n k h e i d C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gB e r e k e n i n g cement 2007 3 71 Voorgesteld wordt om voor tussenliggende waarden lineair te interpoleren, als weergegeven in figuur 4. We vinden dan: ?g ? = 13,8 (1 - 0,388 h 2 / h 1 ) Ö 6,3 ?k ? = 12 ___ g ? 3 ?   ___ A 0 ___ bd ? ? ? ? We passen dit toe op het rekenvoorbeeld uit Cement 2004 nr. 5 blz. 68 e.v. In figuur 5 is een overzicht gegeven van de geometrie en de wapeningsconfiguratie. In genoemd artikel [1] wordt in het kader van de scheurvorming gesteld: "H et?verdient? daarom?aanbeveling? altijd?diagonale? wape- ning ? toe? te?passen? als?in?"figuur? 6"?is?aangegeven." Helaas wordt geconstateerd dat hieraan in de praktijk vaak geen gehoor wordt gegeven; er wordt overigens in de VBC ook niet gepreciseerd wat de afmetingen van deze wapening moeten zijn. In genoemd reken- voorbeeld heeft deze wapening overigens geen invloed op de bepaling van de ? 1 . D e c o n s o l e Gegevens (fig. 5): staalsoort: FeB 500 voor hoofdwapening beugels sterkteklasse beton: B 25 milieuklasse: 2 belastingsfactoren: ? G = 1,2 en ? Q = 1,5 belastingen: F vg rep = 100 kN F vq rep = 60 kN F h rep = 15 kN Bepaling ? hoofdwapening Volgens NEN 6720 art. 9.11.7.2. b = 220 mm a = 220 + 340 = 560 mm Rekenwaarden: V = 1,2 · 100 + 1,5 · 60 = 210,0 kN H = 1,5 · 15 = 22,5 kN Trekkracht staal: ?N s = 560 (a) _______ 310 (c) · 210 + 22,5 = 402 kN ?A s = 402 · 10 3 ________ 435 = 925 mm 2 Kies: 5 Ø16 = 1005 mm 2 NEN 6720 art. 8.7.2 Scheurvorming ?? s : = 319 N/ mm 2 Staafafstand s ? 100 mm, voldaan wordt aan voor- waarde b. Ophangwapening: Benodigd A s = 210 · 10 3 ________ 435 = 482 mm 2 Plaatsing: na overweging ? 1 . Toetsing? dwarskracht Gegeven: b = 400 mm; h = 430 mm ?V d = 210 kN ?? d = V d _____ b · h? ? = 210 · 10 3 _________ 340 · 400 = 1,54 N/ mm 2 Bepaling? uiterst ?opneembare? schuifspanning ?h 2 / h 1 = 360/340 = 1,059, derhalve ?g ? = 13,8 (1- 0,388 · 1,059) = 8,13 en ?k ? = 12 ___ g ? · 3 ?  ___ A 0 ___ bd ? ? = 12 ____ 8,13 · 200 · 3 ?  _________ 320 _________ 400 · 340 = 1,14 ?k h = 1,6 - 0,34 = 1,26. ?? 0 = 100 A s ___ bd ? ? = 100 · 1005 _________ 400 · 340 = 0,74% ?? 1 = 0,4 · f b · k ? · k h · 3 ?  ___ ? 0 = 0,4 · 1,15 · 1,14 · 1,26 · 3 ?  ____ 0,74 = 0,60 N/ mm 2 De oplegging verlaagt de k ? van 1,48 naar 1,14. Het ware aan te bevelen de breedte van de oplegging 400 mm te maken. Deze ? 1 moet conform art. 8.2.3.2. worden vermin- derd met ? n = 0,5 · H ? _____ b · h? ? zijnde 0,5 · 22,5 · 10 3 _________ 400 · 340 = 0,08 N/ mm 2 zodat ? 1 = 0,60 - 0,08 = 0,52 N/ mm 2 Dit staat in schril contrast met de waarde ? 1 = 2,3 N/ mm 2 die in [ 1] wordt gehanteerd en aan de hand waarvan werd geconcludeerd dat er geen dwarskrachtwapening noodzakelijk was. Aangezien ? d = 1,54 N/ mm 2 moeten er dus maatrege- len worden getroffen in het gebied als gearceerd aan- gegeven in de 'tandzone' van figuur 6. Het aandeel op te nemen door wapening bedraagt derhalve: ? ? = ? d - ? 1 = 1,54 - 0,52 = 1,02 N/ mm 2 5 | Wa p e n i n g s c o n f i g u r a t i e a a = 220 + 340 = 560 mm b = 220 mm c = 310 mm breedte balk = 400 mm c 340 360 b H V C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n g B e r e k e n i n g 72 cement 2007 3 tandzone balkzone A discrete scheur detail A detail A B C D E beugels Ø10-60 discrete scheur B C D E beugels Ø10-60 A discrete scheur B C D E A De hiervoor benodigde beugelwapening bedraagt: N b = ? ? · 400 · 340 = 1,02 · 400 · 340 · 10 3 = 138,7 kN per z. ?A bgl = 138,7 · 10 3 __________ 435 = 319 mm 2 per z (240 mm) Toepassen beugels Ø8 - 75 (321 mm 2 per 240 mm = 1337 mm 2 /m) of Ø10 - 120 (314 mm 2 per 240 mm = 1308 mm 2 /m) D e B a l k De balk moet eveneens worden gecontroleerd op dwarskracht. ?? d = ~ 210 · 10 3 _________ 400 · 660 = 0,80 N/ mm 2 ?? v = 1,0 ?k ? = 1,0 ?k h = 1,6 - 0,7 = 0,9 < 1,0 derhalve = 1,0 ?? 0 = 0,6% (5 Ø20), zodat ?? 1 = 0,4 ·1,15 · 1,0 · 1,0 · 3 ?  ___ 0,6 = 0,39 N/ mm 2 < 1,4 f b = 0,46 N/ mm 2 ?? n = 0,5 · 22,5 · 10 3 /400 · 660 = 0,04 N/ mm 2 ?? 1 is derhalve 0,42 N/ mm 2 ? ? = 0,80 - 0,42 = 0,38 N/ mm 2 Op te nemen door beugelwapening ? ? · 400 · 660 · 10 -3 = 89,76 kN ?A bgl = 89,76 · 10 3 __________ 435 = 206 mm 2 per z (z =~ 0,88h) zijnde z = 580 mm Toepassen beugels Ø8 - 280 = 207 mm 2 (per z = 580 mm = 357 mm 2 /m) De? ophangwapening In [ 1] wordt de ophangwapening bepaald groot 482 m m 2 en wordt deze geplaatst in het gebied h cotg ? = 402 mm, te plaatsen voorbij de buigstraal h.o.h. 150 mm. Dit betekent dat de eerste beugel zich bevindt op circa 30 + 20 + 2,5 · 20 = 120 mm uit de keeldoorsnede (bij hoofdwapening Ø 20). Gezien de bezwijkpatronen van de proeven als gerapporteerd in [ 3] is dit te ver van de keeldoorsnede en werkt deze niet effectief. In dit kader is de plaatsing van beugels onderzocht in de onderhavige doorsnede. Verondersteld wordt een volledig intact zijnde tand die goed is afgewapend. De verticale oplegreactie bedraagt V d = 210 kN. Plaat- sen we de beugels vanaf 110 mm h.o.h 60 mm als in figuur 7a weergegeven, dan zal de eerste beugel belast worden met een trekspanning van 508 N/ mm 2 en een schuifspanning van 215 N/ mm 2 . Dat deze beugel zal vloeien is evident. Plaatsing conform fig. 7b levert het volgende beeld: beugel A levert een trekkracht N a = 74 kN ? y = 471 N/ mm 2 ? = 196 N/ mm 2 (bezweken) beugel B N b = 41 kN beugel C N c = 20 kN beugel D N d = 8 kN beugel E N e = 4 kN De som van de door de beugels opgenomen verticale belasting bedraagt derhalve 146 kN. De rest zit als buiging met afschuiving in de boven- balk. We zien dus dat rekenend met vijf beugels Ø10 de gemiddelde spanning rekenkundig bedraagt: 6 | B e d r e i g d e zo n e 7 | I nv l o e d p l a a t s i n g b e u g e l s C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gB e r e k e n i n g cement 2007 3 73 tandwapening balkwapening 4 bgls Ø10 5 bgls Ø10 60 c dekking c a,b 60 60 60 280 280 bgl Ø8-280 5 Ø20 (a,b,c,d,e) 5 Ø16 ? ? ?V d ____ 175 = 210 · 10 3 ________ 785 = 268 N/ mm 2 . De conclusie die hieraan wordt verbonden, dat de beugels niet vloeien is derhalve onjuist. Plaatsing conform fig. 7c ( beugel b toegevoegd aan beugel a ) levert: beugel A+B ? y = 352 N/ mm 2 ? = 161 N/ mm 2 De vergelijkspanning blijft onder de 450 N/ mm 2 . Het is derhalve aan te bevelen de 'ophangwape- ning' zo dicht mogelijk bij de keeldoorsnede te plaatsen. De wapeningsconfiguratie zal er derhalve kunnen uitzien als in figuur 8 weergegeven. R e s u m e r e n d Plaatsing van beugels in het gebied als aangegeven in figuur 7c laat zien dat er een kracht van 2 · 157 · 353 · 10 -3 = 110 kN door de dubbele beugels direct in de keel geplaatst wordt opgenomen. Dit is circa 50% van de oplegreactie. Ook al zouden we de doorsnede verdubbelen, dan nog blijft de kracht in dezelfde orde van grootte. De dwarskracht blijft der- halve 100 kN in de 'tand' en neemt 120 mm verder af met 20 kN (beugel); vervolgens 60 mm verder af met 8 kN (beugel) en nog eens 60 mm verder af met 1 kN (beugel). Vervolgens blijkt de volgende doorsnede ongescheurd te zijn. Er gaat dus in dit model '139 kN' naar de 'onderbalk'. De ? in de tand bedraagt na de ophangwapening nog 0 ,73 N/ mm 2 , na de volgende beugel nog 0,59 N/ mm 2 , wat opneembaar is met de gekozen wapeningsconfigu- ratie. V e r v o l g In bovenstaand model wordt horizontale scheurvor- ming aangenomen. In werkelijkheid zal dit niet optreden. In een volgend artikel zal de daadwerke- lijke scheurvorming worden gevolgd en de daarbij behorende krachten in de beugels. Inmiddels is er aan de TU/e onderzoek gestart ten- einde een eenduidige berekeningsgrondslag te ont- wikkelen voor de tand- en nokverbinding. Dit betreft zowel analytisch als experimenteel onder- zoek, waarbij uitgebreid aandacht zal worden besteed aan de plaatsing van de zogeheten ophang- wapening. n L i t e r a t u u r 1. Middeldorp, A., en P. Lagendijk, Berekenen en detailleren van betonconstructies (3); Korte console en tandoplegging. Cement 2004 nr. 5. 2. Kleinman, C.S., Nokken met die Tanden! Cement 2006 nr. 7. 3. Kleinman, C.S., Nokken met die Tanden! (2) Cement 2007 nr. 2. 8 | A a n b evo l e n wa p e n i n g s - c o n f i g u r a t i e C o m m e n t a a r v a n V C 2 0 De?commissie?VC20, ?onder?wiens?beheer?en?competen- tie ?de?VBC?valt,?heeft?kennis?genomen?van?de?proeven - serie, ?de?analyse?en?de?voorstellen?van?prof?Kleinman. Ze?heeft?in?het?nog?te?publiceren?wijzigingsblad?A 4, ? (najaar? 2007) ?de?volgende?toevoegingen?opgenomen: Art.? 8.1.4: V oeg?na?de?beschrijving?van??A? s? ?en?z?de?volgende?norm- tekst ?in: "In?die?gevallen?dat?horizontale?krachten?kunnen? optreden?die?de?trekspanning?in?de?trekband?verhogen,? moeten?deze?in?rekening?worden?gebracht." Voeg?aan?de?beschrijving?van?a?de?volgende?tekst?toe: "bij?een?tandoplegging?is?dit?de?afstand?tussen?de?resul - tante ?van?de?belasting?en?de?resultante?van?de?kracht? in?de? ophangwapening;" Het?is?van?groot?belang?dat?iedere?constructeur?zich? nog?eens?goed?rekenschap?geeft?van?de?voorwaarde?in? artikel? 8.2.3.1. ?waaronder??k? ?? ?mag?worden?verhoogd?en? wat?in?artikel? 9.11.7.2. ?van?de?VBC?ten?aanzien?van? detaillering?wordt?gesteld.?De?ophangwapening?moet? volledig?zijn?verankerd.?Dit?kan?bijvoorbeeld?door?het? toepassen?van?gesloten?beugels?en/of?schuine?staven. ir. G.L.H.M. Henkens, voorzitter VC20