'-- ~~_~I CONSTRUCTIEF ONTWERP IBEREKENING INIET-LINEAIRE ONTWERP-BEREKENING VAN BETONNENRAAMWERKENdr.ir.B.Verhegghe, Laboratorium voor Modelonderzoek, Faculteit Toegepaste Wetenschappen, Rijksuniversiteit GentBij het berekenen van constructies in gewapend beton worden steeds vaker integraleniet-lineaire berekeningsmethoden aangewend. De laatste jaren is in een aantalonderzoekscentra veel .aandacht besteed aan het ontwikkelen van niet-lineairerekenprogramma's en van speciale elementen voor het modelleren van hetgewapend beton (I]. Vooralsnog zijn deze iteratieve berekeningen beperkt gebleventot controleberekeningen van constructies (ofonderdelen ervan) waarvan degeometrie en de wapening reeds bekend zijn. Maar ze kunnen ook worden gebruiktinde ontwerpfase. In dit artikel wordt een niet-lineaire rekenmethode beschrevenvoor het bepalen van de vereiste wapening in een raamwerk van gewapend beton (2].Tevens worden enkele rekenvoorbeelden gegeven.AannamenWe nemen aan dat vlakke doorsnedenna vervorming vlak blijven en dat ergeen slip is tussen het beton en het wa-peningsstaal. Voor beton wordt een pa-rabolisch-rechtlioekig spanning-rek~diagram gebruiktenvoorstaaleenbi-li-neaire spanning-rekdiagrammende in-wendige spanningsresultanten bepaald.De hiermee overeenstemmende se-cans-stijfheden worden dan gebruikt ineen nieuwe raimwetkberekening. Bijconvergentie is dan zowel aan de even-wichts- .als aan de comp.atibiliteitsvoor-waarden voldaan.Hoewel de beschreven methode bruik-baar is om de stabiliteit te controlerenvan een raamwerk waarvan de wape-ning bekend is, blijkt ze met meer toe-pasbaarvoor ontwerpdoeleinden,waar-bij de constructie zelf(i.c. de wapemng)kanveranderenbij elkeiteratie.Daaromwerd een gewijzigde procedure uitge-werkt waarbij de evenwichts- en decompatibiliteitsvoorwaarden in een an-derevolgorde worden gebruikt [4]. In-herent aan deze methode is de neigingtotoscilleren.Doorze opde gepastewij-ze kunstmatig te dempen wordt zeevenwel tot convergentiegedwongenenlevert ze een zuinig ontwerp af. We be-schrijven hierna in het kort de belang-rijkste kenmerken van de methode.Het verband tussen de vervor-?? . mingen en de spanningsresul-tanten in een doorsnede vangewapend betonis niet lineair. Devoor-naamste redenen hiervoor zijn de klei-ne, vaak verwaarloosbare treksterktevan beton, het niet-linea?re gedrag vanbetononderdrukenhet mogelijkvloei-en van het wapeningsstaal.Bovendienworden de constructies doorgebruik van hoogwaardige materialensteeds slanker uitgevoerd, zodat in on-geschoorde raamwerken niet te onder-schatten tweede-orde effecten optre-den.De CEB-FIP richtlijnen stellen dat eencontrole naar de algemene instabiliteitvan het raamwerk moet worden uitge-voerd door aan te tonen dat, onder demeest ongunstige combinatie van deontwerpbelastingen, evenwicht moge-lijkis tussende uitwendigeende inwen-d?ge spanningsresultanten. Het even-wicht moet worden geschreven in devervormde toestand van het raamwerk.De stijilieden en de weerstandbiedendekrachten moetenworden afgeleid uit deniet-lineaire spanning-rekdiagrammenvan het beton en het staal [3].De stabiliteitscontrole gebeurt dan ge-woonlijk aan de hand van de volgendeiteratieve werkwijze. Eerst wordt eentweede-orde raamwerkberekening uit-gevoerd met gekozen waarden voor destijilieden, bijvoorbeeld die van de on-gescheurdedoorsnede. Uitdeverkregenvervormingen worden met de niet-li-62NIET-LINEAIREMETHODEONTWERP-neair diagram. Andere rekendiagram-menzoudenevengoed gebruikt kunnenworden. Een doorsnede bezwijkt wan-neer de maximale betonstuik(0,0035 bijbuigingen0,002 bij zuiveredruk) wordtbereikt of wanneer in een wapenings-staaf de maximale rek (0,01) wordt be-reikt. De treksterkte van het betonwordt verwaarloosd bij sterktebereke-ningen, maar kan indien gewenst in re-kening worden gebracht bij het bereke-nen van vervormingen [2].StaafelementOm een goede weergave te krijgen vanhet verloop van de (buig)stijilieid vaneenbalkofkolom,wordtdiegewoonlijkverdeeld ineen aantal elementen metconstante stijilieid. Wij hebben echtereen element gebruikt met een over zijnlengte veranderlijke stijilieid. Dit be-moeilijkt de raamwerkberekening nietomdat de spanningsresultanten aan deuiteinden van zo'n staaf nog steeds alseen lineaire functie van de knoopver-plaats?ngen geschreven kunnen wor-den. De stijilieidsco?ffici?nten zijn nuniet meer ailiankelijk van een enkelewaarde, maar van het verloop van destijilieid over het gehele element. Zeworden berekend door een numeriekeintegratie [3]. Daartoe worden de span-n?ngsresultanten en de stijilieden bere-kend in een aantal (bijv. 9) punten vanelk staafelement. Het gebruik van ditelement vermindert het aantal even-wichtsvergelijkingen in de raamwerk-berekeningenlaatbovendieneenbetereCement 1988 nt. 5c.a./l'" r.'r r.b." n lJ~8+8'fV :tv ~~ ~V .~ 8+8N1 Regehnatige (a) en onregehnatige(h, c)raamwerken 2 Deel van het raamwerkbeschouwd iu het translatie-evenwichtmodellering toe van het werkelijke ver-loop van de stijfheden.RaamwerkberekeningDe lineaire verplaatsingsmethode,waarbij de hoekverdraa?ng en de hori-zontale en verticale verplaatsing van el-ke knoop als onbekenden genomenworden, kan worden uitgebreid om re-kening te houden met het tweede-ordeeffect. Men hoeft daartoe alleen deevenwichtsvergelijkingenteschrijveninde vervormde toestand van het raam-werk.In ons rekenprogramma hebben wetwee varianten opgenomen. Voor regel-matige raamwerken zoals in figuur 1agebruiken we de methode van Gehler.Hiermee kan men het tweede-orde ef-fect nauwkeurig in rekening brengenzonder iteratie [5]. We verwaarlozen denorrnaalkrachtvervorming zodatde on-bekende verplaatsingen beperkt blijventot een hoekverdraaiing per knoop eneen gemeenschappelijke koordever-draaiing van de kolommen per verdie-ping.Vooreenraamwerkmet nbouwlagenenm-l beuken zijn er danm' n+ n~ (m+l)' nvrijheidsgraden tegenover3? m' nbij een algemene verplaatsingenmetho-de. Het rotatie-evenwicht van elkeknoop levert m' n vergelijkingen. Deoverige n vergelijkingen worden ge-vormd door het translatie-evenwicht inde vervormde toestand van delen van deconstructie boven een snede dwars doorelke bouwlaag (fig. 2). Alleen in dezevergelijkingen komt het tweede-ordeeffect tot uiting. We kunnen het even-wicht, in de richting loodrecht op dekoorde van de doorgesneden kolom-men, algemeen schrijven alsCement 1988 nr. 5waarin:- i slaat op alle kolommen van de door-gesneden bouwlaag;- Vi is de dwarskracht in de kolom i terplaatse van de doorsnijding (Vi kanworden uitgedrukt in functie van deonbekende knoopmomenten en dedwarsbelasting op de kolom);- 8 is de onbekende koordeverdraaiingvan al de kolommen van de doorge-sneden bouwlaag;- ? is de aanvankelijke scheefstand vanhet bouwwerk;- ~ Qen~Hdesomvoorstellenvanallebovende doorsnijding opde construc~cie aangrijpende verticale resp. hori-zontale krachten.Het stelsel vergelijkingen kan zo ge-schreven worden dat een symmetrischestijfheidsmatrix ontstaat. De normaal-krachten in de staven worden berekenddoor het horizontale en verticale even-wicht van de knopen uit te drukken.Voor onregelmatige raamwerken(fig. 1b, c) is een meer algemene bereke-ningsmethode voorzien, eveneens metverwaarlozing van de normaalkracht-vervorming [2].Iteratieve procedureDe staalkwaliteit en de ligging van dewapening in de betondoorsnede wor-den vooraf vastgelegd. Alleen de staal-doorsnede wordt veranderlijk gehou-den. De ontwerpprocedure is schema-tischvoorgesteld in figuur 3. De bereke-ning wordt gestart met gekozen waar-den voor de stijfheden.Een eerste raam-werkberekening levert de verplaatsin-gen ven de spann?ngsresultanten Na enMa in alle beschouwde doorsneden vanalle elementen. Voor elke doorsnedewordt de hoeveelheid wapening Ws be-rekend die vereist is opdat de doorsnedenet niet zou bezwijken. Indien nodigwordt deze wapening volgens uitwen-dige (dit is niet uit de berekening vol-gende) wapeningsregels verhoogd omrekening te houden met:- voorschriften betreffende de minima-le wapening;- regels betreffendedepraktischeschik-king van de wapening;- de wapening dievereist is voor het op-nemen van andere belastingscombi-naties;-en elke andere reden om meer wape-ning te plaatsen dan de strikt vereiste(bijvoorbeeld beperkenvan de vervor-mingen).De maximale waarde volgend uit dezeuitwendige voorschriften is in figuur 3aangeduid als We' De te plaatsen wape-ning in de iteratie i wordt dan w}.3 F1ow-chart van de automatischeontwerpprocedure63~~_~~~~~_~_I CONSTRUCTIEF ONTWERP IBEREKENINGEo