I IMAn~N INAAR EEN EENVORMIGEAFNAMEKEURING VAN BETONdr.ir.Luc Taerwe.? Laboratorium Magnel voor Gewapend Beton, Rijksuniversiteit GentIn een vorige bijdrage (I] werd de spreiding in betonsterkte nader onderzocht omeen goed inzicht te krijgen in de sterktevariatie van beton. Een dergelijk inzicht isnodig bij het opstellen van een oordeelkundig keuringsschema, een onderwerpwaarvan in deze bijdrage de voornaamste aspecten .aan bod komen.Eerst worden enkele algemene begrippen omtrent keuringscriteria enkeuringskarakteristieken in herinnering gebracht. Vervolgens worden enige typischecriteria ontleed waaruit blijkt dat internationaal gezien helemaal geen eenvormigebenadering van het probleem beschikbaar is. Uitgaande van deze vaststellingenworden tenslotte praktische voorstellen geformuleerd.Bij het ontwerpen van betonconstructies wordt hetsterkteniveau van beton ingevoerd in de vorm van dekarakteristieke druksterkte.fck' zijnde de 5% fractie vande theoretischesterkteverdeling. Bij de uitvoering van eenbouwwerk wenst de ontwerper ofde bouwheer nate gaan ofhet verwerkte beton tot de voorgeschreven sterkteklasse be-hoort, In de praktijk heeft een dergelijke afnamekeuringsteeds betrekkingop eenvoorafafgebakend volume betondatpartij (oElot)wordtgenoemd. Deomvangvaneenpartij wordtmeestal gekozen op basis van geometrische criteria (bijv. eenbouwlaag), evenwel rekening houdend met redelijke fre-quenties van monsterneming. Fundamenteel is dat de partijenkel beton omvat met een bepaalde samenstelling en ver-vaardigd in dezelfde omstandigheden.Uit een partij wordt een beperkt aantal representatieve mon-sters genomen waarmee proefstukken worden vervaardigddie, na een bepaalde tijd, een numeriek gegeven opleveren,namelijk de druksterkte. Uit deze reeks numerieke gegevens(n in aantal) wordt een beperkt aantal statistische grootheden:rt:~e~eid zoals het.st~ekproefgemiddelde xn' de standaa~daf~king Sn' despreldmgsbreedte W n ~ Xmax - Xmin ofde klemstewaarde Xmin' naargelangde vorm vanhet toegepastekeurings-criterium.Is aan het keuringscriterium voldaan, dan wordt de partijmeestal zonder meer aanvaard. Is er niet aan voldaan, danwordt de partij afgekeurd. Afkeuring leidt slechts in extremegevallen tot volledige afbraak van.de bewuste betonelemen-ten. Meestal wordt in situ nader onderzoek uitgevoerd en kanalsnog worden beslist tot gedeeltelijkevervanging, tot toepas-sing van kortingsbepalingen of uiteindelijk tot aanvaardingindien dit vanuit constructiefoogpunt verantwoord blijkt.Wegens de mogelijke consequenties, is een gepaste keuze vankeuringscriteria uitermate belangrijk. Te strenge eisen heb-ben globaal gezien oneconomische constructies tot gevolg,aangezien het werkelijk gerealiseerde sterkteniveau onnodighoog zal liggen ten opzichte van de in het ontwerp aangeno-menwaarde. Te weinig strengeeisen kunnen uiteraard de vei-ligheid van de gebruikers envan de omgeving in gevaarbren-gen.Cement 1987 nr. 4Alhoewel hetprobleemogenschijnlijkvrij eenvoudigis te for-muleren, blijktbij naderinzien datingeenenkellandidentie-ke criteria aangewend worden, alhoewel de ontwerpregelsvoor betonconstructies meestal zeer goed vergelijkbaar zijn.De reden hiervan is dat afnamekeuring moet worden gezienin het ruimer kader van kwaliteitsbeheersing en dat bij deevolutie ervan een be?nvloeding heeftplaats gehad met facto-renzoalsveiligheid, economie en uitvoeringsmethoden.Dezelaatste factoren zijn plaatsgebonden en kunnen moeilijk opeen eenduidige manier wetenschappelijk worden geformu-leerd.enworden ingevoerd in een globaal probabilistisch mo-del. Nationale normalisatiecommissies baserenzichdaardoorhoofdzakelijk op een beperktaantal specifieke aspecten en la-ten deze doorwegen bij het opstellen van keuringscriteria.Alvorens het probleem nader toe te lichten, moeten we eersthet begrip keuringskarakteristiek invoeren. Er wordt nog opgewezen dat meer algeme informatie omtrent afnamekeu-ring te vinden is in I2] en meer gedetailleerde gegevens ver-meld zijn in [3] en [4].KeuringskarakteristiekenBegripsbepaling .We hebben in [1] reeds het begrip ondeugdelijkheidspercen-tageS ingevoerd alszijnde de fractie druksterkten lagerdandevereiste.fck in een aangeboden partij. Voor een bepaald keu-ringscriterium kan men de kans berekenen dat een partij, ge-kenmerkt door een zekere waardevan e,aanvaard wordt. De-ze kans wordt aanvaardingskans Pa genoemd en de functiePa(e) noemt men keuringskarakteristiek of-curve of ookaC-lijn naar het Engelse 'Operating Characteristic'. Voorgrote waarden van ezal Pa klein zijn terwijl voor zeer kleinee~waarden Pa de eenheid zal benaderen (dus altijd goedkeu-ring). Een aC-lijn heeft typisch de vorm van de curve AED infiguur 1. De ideale aC-lijn is de gebroken lijn ABCD, diebeantwoordt aan de vergelijkingenPa ~ 1 voor e < 0,05.................... (1)Pa ~ 0 voor e > 0,0523:=JMATERIALENPa A Blr-'_~0.51---1-- ~r--J---~- E? C 0el 0.05 e.2 e1 Algemeen verloop van een keuringskarakteristiek ofOC-lijn (Operating Characteristic)2Invloed van n en ? op de OC-lijn van een criteriumXn~fck+?SA: x6 ~ Jek + 1,53 (J B: x6 ~ fck + 1,64 (J C:x12 ~ Jek + 1,64 crDeze aC-lijn, overeenstemmend methet hypothetisch gevalvan een oneindig grote steekproef, heeft het grootste onder-scheidingsvermogen; met andere woorden het bijbehorendekeuringscriterium laat toe een perfect onderscheid te makentussen goede en slechte partijen. Praktische OC-lijnen zoalsABD vertonen geen kenmerkende variatie in hun verloop terplaatse van 8 ~ 0,05. We kunnen door een gepaste keuze vanbepaalde parameters er bijvoorbeeld wel voor zorgen dat dehelling van de kromme aldaar zo groot mogelijk is, rekeninghoudend metde omvangvande steekproef.Evenwel, eenpar-tij meteen 'fractie slechte' 82 > 0,05 heeftnog een beduiden-de kans om aanvaard te worden (consumentenrisico) en eenproducent die partijen aanbiedt met een 'fractie slechte'81 < 0,05 zal vaststellen dat deze partijen afen toe afgekeurdworden (producentenrisico).Aangezien we van iedere partij slechts overeen beperkte hoe-veelheid informatie beschikken, kunnen we er geen absoluutwaardeoordeel over uitspreken.VoorbeeldenIn figuur 2 is de keuringscurve van het criteriumx6 ~f?k +1,530 . (2)vindt men onder meer terug in de Voorschriften Beton VB19874/1984 en de Voorschriften Beton Technologie VBT1986 in de vormX12 ~fck + 1,53512 .' . . .(6)Om de aC-lijn van een dergelijk criterium exact te bereke-nen dient menberoep te doen op de niet-centrale t-verdeling.DochaangezienSu. asymptotisch normaal verdeeld is, zijnvoorniet al te kleine n-waarden normale benaderingen voldoendenauwkeurig. Bij toepassing van (5) is 0 niet bekend, zodat weover minder informatie bes?hikken omtrentde volledige po-pulatie. Ditheeft totgevolg datde hellingvande aC-lijnvoorcriterium(5) geringeris dandezevoor criterium(3) bij dezelf-de Aen n. De verhouding van de hellingen is meer bepaald,j1 + A2/2. Omdezelfde hellingte bekomenmoetdus bij toe-passing van (5) een grotere steekproefgenomen worden.Voor A~ 1,53 betekent dit dat de steekproefongeveer dubbelzo groot moet zijn, wat maakt dat criteria (2) en (6) nagenoegdezelfde aC-lijn vertonen. Het streefdoel bij het opstellenvan (2) en (6)was bij 8 ~ 20% eenconsumentenrisico van 5% tebekomen en bij 8 ~ 1,4% een producentenrisico van eveneens5%.Een bijkomend probleem ontstaatwanneer 0 beduidend ver-schillend is van de door de producent gewaarborgde waarde.In de Belgische norm NBN B15-102 is in het geval van per-manente statistische controle (0 bekend) voor n - 5 hetvol-gende criterium van toepassing:OpmerkingenUitgaanvan het principe dat 0 bekend is, zoals bij toepassingvan (3), lijkt weinig realistisch, gezien het overzicht dat we inhet vor?ge artikel, zie lito 1, gegeven hebben. Uit figuur 1en 2van dat artikel blijkt namelijk dat 0 door de betonproducen-ten moeilijk binnen nauwe grenzen kan worden gehouden,zodat toepassing van (5) logischer toeschijnt.voorgesteld (zie Voorschriften Beton VB 1974/1984).We hebbende assenvanhetdiagramgetransformeerdvolgensde cumulatieve Gauss-verdeling. Dit heeft als voordeel dat deaC-lijn van een criterium van het typexn ~!ck + AO . . . (3)door een rechte wordt voorgesteld, waarbij we aannemen datde druksterkten onafhankelijk normaal verdeeld zijn. Bij toe-passing van criterium (2) of(3) veronderstelt men dat de stan-daardafwijking 0 van de populatie exact bekend is.Kiest men een grotere waarde voor A, bijv. 1,64 dan verschuiftde aC-lijn naar links (fig. 2). In dit geval wordt Pa ~ 50% voor8 - 5%. Dus een producent die partijenaflevert met hetmaxi-mum theoretisch toegelaten ondeugdelijkheidspercentage,stelt vast dat zijn leveringen in de helftvan het aantal gevallenworden afgekeurd. We behouden nu A - 1,64 en nemensteekproeven bestaande uit 12 monsters. De aC-lijn van hetcriteriumXs ~fck + 1,530 indien Wn ~ 2,330indien Wn ~ 2,330(7)X12 .~fck + 1,640 . . . (4)gaat nog steeds door het punt 8 ~ 5%, Pa ~ 50% doch de hel-ling ofhetonderscheidingsvermogen is toegenomen evenre-dig met ,jn. Het scharnierpunt wordt bepaald door A.Het criterium van het typeIndien bijvoorbeeld 0 ~ 5 N/mm2verondersteld wordt bijtoepassing van criterium (7), doch de aangeboden populatieeenstandaardafwijkingvan resp, 3, 4, 5 of6 N/mm2vertoont,dan vindt men zeer uiteenlopende keuringskarakter?stieken(fig. 3).24De eEB-voorschriften. . . (5) In de 'CEB-FIP Model Code for Concrete Structures'(1978),Cement 1987 nr. 4Vooropgesteld : cr ; 5?lf vah.de populatie 3./'~5en630 40 508(%)201005 1.0Ir-++-l-+ttttr---+~-++l-Hrtt~-t--t---+-+-r"'kcr--lo??~~~~~mO.It:::!0.13 Invloed van een werkelijke standaardafwijking dieverschillend is van de gegarandeerde waarde bijtoepassing van (7)4 Keuringscriteria volgens de eEB-PIP Model Codevoorn=3wordt een criterium vermeld voor het geval een partij wordtbeoordeeldop basisvan slechts drie sterkteresultaten.Er dientgelijktijdig voldaan te worden aan de volgende twee voor-waarden:x3 ~lek+k]. (8)Tabel 1Numerieke waarden van kt en kzeerste tWee partijen bij start van produktiederde en vierde partijvolle produktie54-3-1-2-3De numerieke waarden van k] en ~ zijnvermeld in tabel 1.DeOC-lijnen zijn getekend in figuur 4- voor cr ~ 5 N/mmz. Debedoeling van de verschillende waarden voor k] en ~ is eengrotere sterktevariatiein hetbeginvan de produktie inzekeremate te ondervangen. Een dergelijke werkwijze zal evenwelde producent stimuleren om na verloop van tijd het gemid-deld sterkteniveau te verlagen, Wat niet zonder risico's is. Bo-vendien werden de numerieke waarden, vermeld in tabel 1,vrij arbitrairvastgelegd. Dit aspectvan de CEB-voorschriftenlijkt ons dan ook moeilijk te verantwoorden. Een meer gede-tailleerde bespreking van criterium (8) is onder andere te vin-den in (5].Afhankelijkheid hij samengestelde criteriaInhetgevalvan samengesteldecriteriazoals (8),is Pa nietgelijkaanhetproduktvande aanvaardingskansenvanbeide deelcri-teria afzonderlijk, nl. Pa,] X Pa,z, Ditkomt doordat de gebeur-tenissen die door beide ongelijkheden worden beschreven,niet onafhankelijkzijn. Is bijvoorbeeld Xmin zeer klein, dan be-staat er veel kans dat .i3kleiner zal zijn danlek + k] en impli-ceert het feit dat niet is voldaan aan het tweede criterium, dataan het eerste evenmin is voldaan. Een dergelijke toestandmag slechts eenmaal in rekening gebracht worden en niettweemaal, zoals bij toepassing van de produktregel eigenlijkgebeurt. De berekeningvan de exacte aanvaardingskans is eenvrij ingewikkelde opgave; steeds moet een beroep wordenge-daan op numerieke integratie ofMonte-Carlo-simulatie. Inbepaaldegevallenis Pa meerdan 10%groterdanheteenvoudigprodukt Pa.! X Pa?z zodat het wel degelijk nodig is een exacteberekening uit te voeren om tot een betrouwbare OC-lijn tekomen.Het minimum waarde criteriumMinimum waarde criteria werden ingevoerd om een plotse-linge dalingVanhet sterkteniveau en uitzonderlijklage waar-den te ontdekken.We gaan even de efficientie van beide doelstellingen na.Eenalgemene dalingvanhet sterkteniveaukan meestal slechtsvastgesteld worden op een ogenblik dat bijsturing van hetproduktieproces toch te laat is voor het betrokken bouwwerkwegens de overmijdelijke tijdsspanne tussen het storten vanbetonende bepalingvande druksterkte. Uiteraardzouhetin-voeren van methodes voor eenvroege beoordelingvan de be-tonsterkte zeer nuttig zijn, doch de toepassing daarvan kentnog geen ruime verspreiding.Een systematische verlaging van het kwaliteitsniveau kanhoofdzakelijk worden voorkomen ofbeperkt door een regel-matige controle van de kenmerkende eigenschappen van degrondstoffen en van de doseerinrichting.Als tweede doelstelling werd vermeld het opsporen van uit-zonderlijk lage waarden die impliciet verondersteld wordenslechts eenmalig op te treden en niet gepaard te gaan met eensystematische daling van het algemeen gemiddelde. Uit eenvergelijking van de gebruikelijke frequenties van monsterne-mingin verschillendelanden.[6] blijktdathetvolgens bepaal-de voorschriften mogelijk is dat aan slechts 1 op 100 mengselseen monster ontnomenwordt. De kans dateen uitzonderlijkelage sterktejuist gedetecteerd wordt, is dan ook dikwijls ver-waarloosbaar klein.Uit een nauwgezette analyse van de afhankelijkheid tussenverschillende deelcriteria volgt bovendien dat een minimumwaarde criterium vooral in het gebied met lage a-waardenvoor een onnodige verlaging van de aanvaardingskans zorgt.We zijn dan ook geen voorstander van het behoud van eendergelijk criterium en bijgevolg evenmin van samengesteldecriteria. E?n enkele gemiddelde waarde criterium is blijkbaarvoldoende.We zij echterwel van meningdatbij iedere steekproefdientteworden nagegaan ofer eventuele uitschieters voorkomen. Inhet bevestigend geval wordt met de uitschieter geen rekeningCement 1987 nr. 4- 25gehouden en wordt een criterium toegepast voor n' - n - 1. criterium hebben we tot nu toe reeds vastgesteld dat:Hetvolume betondatbetrekkingheeft oS de monsterneming - een minimum waarde criterium weinig effici?nt is, zodatwaaruit de uitschieter afkomstig is, wor t aan een nader on- het niet nodig is een samengesteld criterium te gebruiken;derzoek onderworpen doch be?nvloedt als zodanig de aan- - het voor een producent moeilijk is een waarde van 0 te ga-vaarding van het overige deel van de partij niet. randeren,zodat eencriteriumvanhettype (5) hetmeestaan-rwezenis;Invloed van reekscorrelatie -' et nodi~is reekscorrelatie in rekening te brengen om eenWe hebben in (I] aangetoond dat, in de praktijk, opeenvol- realistisc e OC-lijn te verkrijgen.gende sterkteresulaten in zekere mate afhankelijk zijn en Bovendien geven we er de voorkeur aan over een criterium temeer bepaald een significante reekscorrelatie vertonen. Dit beschikken dat bruikbaar is voor n, gaande van 3 tot bijvoor-heeft uiteraard een niet-verwaarloosbaar effect op de kans- beeld 20. Er is immers a priori geen reden om over een steek-verdeling van de steekproeEkarakteristiek'en .:\;, en Sn en bijge- proef te beschikken vanjuist 6 of 12 of 15 monsters.vOlf ook op hetverloop van de OC-lijnenvan de gebruikelij- Uitgaande van deze opties is de volgende stap nu een nume-ke euringscriteria. rieke waarde aan ? in (5) toe te kennen, doch hiertoe moetenwe een verantwoorde keuze maken omtrent de lokaliseringHet is bekend dat het gemiddelde :in van nonafhankelijke van de corresponderende OC-lijn.waarnemingen uit een populatie met standaardafwijking 0,In de 'CEB-FIP Model Code for Concrete Structures' (1978)eveneens normaal verdeeld is, doch met een geringere stan-daardafwijking namelijk 0/ Jn. Hoe groter n, hoe meer de wordt het onveilig gebied vermeld dat aangeduid is in fi-standaardafwijking gereduceerd wordt. guur 6. Ter illustratie is ook een oneconomisch gebied afge~bakend. Merkwaardi~ is nu dat, zoals blijkt uit figuur 4, deWe beschouwen nu een gecorreleerde reeks waarnemingen, keuringskarakteristie en van criterium (8) het onveilig ge-met reekscorrelaties 'I ~ 0,5 en '2 ~ 0,4 die door een tijd- bied doorsnijden, watuiteraard strijdigis methet principe er-reeksmodel van het volgend type kan worden voorgesteld: van. De oorsprong van het onveilig gebied voorgesteld doorhet CEB is vrij duister. Blijkbaar heeft men als grenslijn eenXi - 0,4 Xi_I + 0,2 Xi_2 + Ei (9) soort omhullende aanvaardvande OC-lijnenvan alle destijdsgeldende keuringscriteria in verschillende Europese landen.waarbij Ei onafhankelijk normaal verdeelde grootheden zijn. Tenslotte is het discontinue karakter van beide grenslijnenWanneer we een steekproef ter grootte n aan een dergelijke vrij onnatuurlijk, aangeziendeze lijnendeweerspiegelingvanreeks ontnemen en de kansverdeling van .in berekenen, dan algemene principes zouden moeten zijn, met als grondslag devindenwe dat ('1 niet zo sterk gereduceerd wordtals in het ge- begrippen veiligheid enerzijds en economie anderzijds.val van onafhankelijke waarnemingen. Noteren we de stan-daardafwijking van:inals On' dan vinden we de in tabel 2 ver-melde verhoudingen tot ('1, de standaardafwijking van de po- Tabel 2pulatie. In het geval van onafhankelijke waarnemingen vin- Verhouding tuss?n standaardafwijking van de steekproef(oJden we voor n ~ 5: 0n/('1 ~ 0,447. Dezelfde waarde vindenwe en standaardafwijking van de populatie (0)terugin de kolomvoorde gecorreleerdewaarnemingen, doch('1/0pas bij ngelijk aan 20. Dit betekent dat een steekproefvan 20gecorreleerde waarnemingen nagenoeg gelijkwaardig is met n onafhankelijke gecorrel~erde??n bestaande uit slechts 5 onafhankelijke waarnemingen. waarnemmgen waarnemmgenPassenwe eenkeuringscriterium toe vanhettype (3) danzalin volgens (9). het geval van gecorreleerde waarnemingen volgens (9), de3 0,577(*) 0,803helling van de OC-lijnbeduidendgereduceerd worden; dit isin figuur 5 ge?llustreerd. Door reekscorrelatie wordt het on- 5 0,447 0,716derscheidingsvermogen van een keuringscriterium dus dui~7 0,378 0,652delijk negatiefbe?nvloed. 10 0,316 0,58115 0,258 0,499Veiligheid en economie 20 0,224 0,443Met betrekking tot de keuze van een bepaald type keurings- * 0,577 ~ 1IJ399.9~~,Pa{-'?}r.,(%) ,"- 99. ..... CEB99.5 99 f-99 Voorstel I-95 95I-... I90"-.. "- 90BI"...... I"'.. ............ ONVEILIG80..........70 70......"-6050 I~ 501".:"30 r...... 401"- r..... 30'\'-20.10'" ONE NOMISCH 1\ t-- r-r-'" r-......5 1051 .........0.5 1"-........... 10.1 0-0.1 0.5 1 3 5 10 20 30 40 50 0,e (%) 0,1 0,5 1.0 5 10 20 30 40 50e('/,15 OC-lijnen voor het criterium xlO ;;. Jek + 1,64 06 Grenslijnen voor een onveilig en een oneconomischA: onafhankelijke resultaten gebied volgens de CEB-FIP Model Code en volgens [7]B: gecorreleerde resultaten volgens (9), IMATERIALEN26 Cement 1987 nr. 47Voorbeelden van Oe-lijnen voor 99.9criteria van het type .in ~ fck + ?Sn~ (%) ...........99.S ........met ? volgens tabel 3 99 ......... In=lS9S ..... ......~... .............. \90~ ..........1'.... \.......,.........r-.. ........ \70 "'-. "7..... ......l"-SO ,"- n=S -...... """-, ........ ::--..30 [". ........\ ~ ~.10"~~ ~.- .\ "- I'--..S ......1 "-O.S0.10.1 O.S 1 3 S 10 20 30 40 SO8 (%)In [7] hebben we, op basis van enkele eenvoudige principes, Tabel 3continue grenslijnen voorgesteld met als vergelijkingen Waarden van ? in het criterium .in ~ Jek + ?Sne Pa ~ 0,05 (10) n ? n ? n ?voor het onveilig gebied, en 3 2,67 9 1,67 15 1,484 2,20 10 1,62 16 1,47e/(1 - Pa) ~ 0,05 (11) 5 1,99 11 1,58 17 1,466 1,87 12 1,55 18 1,45voor het oneconomischgebied, waarbij we ons er wel van be- 7 1,77 13 1,52 19 1,45wustzijn datvoor ditlaatste gebied geen absolute grenzenvast 8 1,72 14 1,50 20 1,44te leggen zijn. De vergelijkingen (10) en (11) zijn eveneensvoorgesteldinfiguur 6.Vergelijking(10)druktuitdatoplangetermijn de fractie resultaten lager dan.!ck in de sterkteverde-lingvan alle geleverdepartijen ten hoogste gelijkis aan 5%.Op nagestreefd, teneinde de beperkte informatie die beschikbaardie wijze wordt dus rechtstreeks rekening gehouden met de is zo optimaal mogelijk te benutten.definitie van de karakteristieke sterkteId