O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eSteencons tr uc ties78 cement 2006 7prof. ir.-arch. D.R.W. Martens, Leerstoel Steenconstructies TU/e, Bureau Dirk Martens bvba, Zingem (B)De draagkracht van ongewapende metselwerkwandendie hoofdzakelijk in het verticale vlak worden belast,hangt in belangrijke mate af van de excentriciteit van debelasting. De bepaling van deze excentriciteit gebeurtdoorgaans met een lineair-elastische raamwerkbereke-ning uitgaande van starre wand-vloer-knoopverbindin-gen. Dit levert relatief grote theoretische buigendemomenten (Mcal) en derhalve aanzienlijke excentriciteitenop. In werkelijkheid zal er scheurvorming ontstaan terplaatse van de wand-vloeraansluiting en zal het buigendmoment dat door de vloer aan de wand effectief wordtovergedragen (Meff) kleiner zijn. Een wetenschappelijkonderbouwde methode voor de theoretische bepalingvan deze momentreductie is momenteel nog niet voor-handen.Het bepalen van de invloed van het niet-lineairgedrag van de wand-vloerinteractie is reeds meer daneen eeuw onderwerp van onderzoek. Een fundamen-tele aanpak van het probleem kwam er pas in 1959door het onderzoek van prof. Sahlin [1]. In zijn pro-motieonderzoek onderzocht hij de invloed van descheurvorming ter plaatse van de wand-vloeraanslui-ting op het draagvermogen van een ongewapendegemetselde wand. Hierbij ging hij uit van lineair-elas-tisch gedrag van het metselwerk en verwaarloosde hijde tweede-orde-effecten.T h e o r i e v a n S a h l i nDe theorie die Sahlin heeft ontwikkeld voor de bepalingvan de momentreductie door de wand-vloerinteractie isgeldig voor baksteen metselwerkwanden in combinatiemet ter plaatse gestorte betonnen vloerplaten (fig. 1). Ophet ogenblik dat de bekisting onder de vloerplaat wordtweggenomen zal de vloerplaat doorbuigen waardoor deuiteinden van de vloerplaat een rotatie ondergaan.Als de verbinding tussen de vloerplaat en de bovenzijdevan de wand een starre knoop vormen, moet de rotatievan het vloereinde gelijk zijn aan de rotatie van debovenzijde van de wand. In dit geval zal de wand derotatie van het vloereinde gedeeltelijk verhinderen,waardoor een inklemmingsmoment ontstaat. De groot-te van het inklemmingsmoment is afhankelijk van destijfheden van de vloer en de wand. Voor een correcteberekening van de rotatie moet rekening wordengehouden met de invloed van scheurvorming in vloer-plaat en metselwerkwand. Bij niet-starre knoopverbin-dingen zal de hoekverdraaiing van het vloereinde nietsteeds gelijk zijn aan de rotatie van de wand zoals infiguur 2 is voorgesteld.In zijn promotieonderzoek heeft Sahlin grafieken opge-nomen die een snelle controleberekening mogelijkmaken uitgaande van de differenti?le knooprotatie.Aangezien er geen theoretische modellen bestaan voorde berekening van de differenti?le knooprotatie, moetdeze volgens Sahlin worden bepaald met experimenteelonderzoek.H e n d r y ' s k n o o p s t i j f h e i d s f a c t o rIn Engeland heeft Hendry [2] onderzoek verricht opproefstukken op ware grootte. Op basis van de resul-taten van dit onderzoek heeft hij een momentreduc-tiefactor afgeleid die hij de `joint fixity factor' (knoop-stijfheidsfactor) noemt. Deze factor is gedefinieerdals de verhouding van het re?le inklemmingsmomenttot het theoretische inklemmingsmoment bij starreknoopverbinding:Ontwerpen en dimensioneren van steenconstructies (32)Momentreductie doorwand-vloerinteractie (1):State-of-the-art1 |Experimenteel onder-zoek op wand-vloeraan-sluiting door Sahlin [1]O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eSteencons tr uc tiescement 2006 7 79wallslabMv hv(1)MeffMcal=10 44 1 1,+,=hLEsIsEwIw=n1 E1 I1 h1n2 E2 I2 h2n3 E3 I3 l3n3 E4 I4 l4+ +w3 l324 n3 1?( )w4 l424 n4 1?( )? 1k4?=kn3E3 I3l3n4E4 I4l4+n1E1 I1h1n2E2 I2h2+2=e12tNdbfd? =De knoopstijfheidsfactor kan volgens Hendry wordenbenaderd met de volgende formule (fig. 3):(2)MeffMcal=10 44 1 1,+,=hLEsIsEwIw=n1 E1 I1 h1I1 n2 E2 I2 h2n3 E3 I3 l3n3 E4 I4 l4+ + +w3 l324 n3 1?( )w4 l424 n4 1?( )? 1k4?=kn3E3 I3l3n4E4 I4l4+n1E1 I1h1n2E2 I2h2+2=e12tNdbfd? =met(3)MeffMcal=10 44 1 1,+,=hLEsIsEwIw=n1 E1 I1 h11 n2 E2 I2 h2n3 E3 I3 l3n3 E4 I4 l4+ + +w3 l324 n3 1?( )w4 l424 n4 1?( )? 1k4?=kn3E3 I3l3n4E4 I4l4+n1E1 I1h1n2E2 I2h2+2=e12tNdbfd? =waarin is de vloer-wand-stijfheidsverhouding;h is de hoogte van de wand;L is de lengte van de vloerplaat;EwIwis de stijfheid van de wand;EsIsis de stijfheid van de vloerplaat.E x p e r i m e n t e n v a n L e w i c k iIn Polen heeft prof. Lewicki [3] verschillende experi-menten uitgevoerd om een relatie te bepalen tussenhet inklemmingsmoment en de differenti?le knoop-rotatie bij verschillende waarden van de verticalebelasting op de wand. Op basis van de resultaten vanzijn onderzoek heeft hij een grafische methode ont-wikkeld voor de bepaling van het effectief inklem-mingsmoment (fig. 4). Tevens heeft hij vastgestelddat de momentreductie afhankelijk is van de groottevan de oplegging van de vloerplaat op de wand, vanhet type metselwerk en van de normaalkracht in dewand.E E M - b e r e k e n i n g e n d o o r B a i e rIn Duitsland heeft Baier [4] in zijn promotieonder-zoek een groot aantal eindige-elementenberekenin-gen doorgevoerd. Deze berekeningen werden met`full-scale' experimenten gevalideerd. Verder heeft hijeen theoretisch model ontwikkeld gebaseerd op hetstatisch schema dat in figuur 5 is voorgesteld. Met ditmodel kunnen de resultaten van de EEM-berekenin-gen goed worden benaderd. Voor praktische bereke-ningen is dit model vooralsnog niet toepasbaaromwille van het ontbreken van een eenvoudigemethode voor de bepaling van de rotatieveerconstan-ten. In zijn proefschrift heeft Baier dan ook tabellenopgenomen waarmee de excentriciteit van de belas-2 |Differenti?le knoop-rotatie0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,010,0vloer-wandstijfheid kknoopstijfheidsfactorEC6Hendry3 |Knoopstijfheidsfactor alsfunctie van de vloer-wandstijfheidsverhou-ding volgens Hendry enEC6MMoMeffM = MoM MM = 0pl= 0plpl= uplpluM (pl)4 |Grafische methode voorhet bepalen van heteffectief inklemmings-moment5 |Theoretisch model vanBaier voor de berekeningvan het effectief inklem-mingsmodelMwbenaderingwerkelijkgedragMsMI = cI EI2EI1EI4l4rotatieveerrotatieveerh2h1qMII = Ms +cII O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eSteencons tr uc ties80 cement 2006 7ting en dus ook het inklemmingsmoment aan debovenzijde van de gemetselde wand kunnen wordenafgeleid (fig. 6). Deze tabellen zijn gebaseerd op deeindige-elementenberekeningen.E i n d i g e d i f f e r e n t i e m e t h o d eEen alternatief voor de eindige-elementenberekeningis het toepassen van de eindige differentiemethode,waarbij wand en vloer worden opgedeeld in kleinemoten. Op basis van de berekende normaalkracht enhet buigend moment kan voor elke moot de corres-ponderende kromming worden bepaald uitgaandevan het corresponderende M-N--diagram. Integratievan de krommingen levert de hoekverdraaiing aan deuiteinden van wand en vloer. Door een iteratieveberekening kan het tweede-orde-effect in rekeningworden gebracht. Uit de gelijkstelling van de bere-kende knooprotaties volgt het inklemmingsmoment.Deze methode wordt momenteel verder uitgewerktaan de TU/e.N a t i o n a l e n o r m e nNederlandIn de Nederlandse norm voor steenconstructies [5] isbepaald dat de berekening van de respons moetgebeuren volgens de niet-lineaire, de quasi-lineaire ofde lineaire elasticiteitstheorie. In de norm zijn geenbepalingen opgenomen voor een momentreductiedoor vloer-wandinteractie. In de Nederlandse prak-tijkrichtlijn NPR 6791 [6] zijn vereenvoudigdeontwerpregels opgenomen, waarbij eisen wordenopgelegd aan de vloerslankheid. Tevens wordt deopneembare belasting van een wand beperkt in func-tie van de vloerslankheid in combinatie met de rota-tiecapaciteit van de gemetselde wand bij fysisch engeometrisch niet-lineair gedrag. Hierbij is aangeno-men dat de rotatie van het vloereinde niet groter magzijn dan de rotatie van de bovenzijde van de wand.Bij deze methode is derhalve impliciet rekeninggehouden met momentreductie door scheurvormingvan het metselwerk.Belgi?In de Belgische metselwerknorm NBN B 24-301 [7] ishet fenomeen van scheurvorming en differenti?leknooprotatie grafisch ge?llustreerd (fig. 7) doch er isgeen methode gegeven voor de berekening van demomentreductie. De excentriciteiten mogen wordenbepaald door de arbitraire aannames die in figuur 8zijn weergegeven.DuitslandIn de Duitse DIN 1053-1 [8] is wel expliciet vermelddat ter plaatse van de wand-vloerknoop een moment-reductie optreedt door scheurvorming. Deze momen-treductie is arbitrair vastgesteld op 2/3 onafhankelijkvan de stijfheden van vloeren en wanden.ZwitserlandDe Zwitserse SIA 77 metselwerknorm [9] is een vrijrecente norm. De aanpak voor de berekening van demomentreductie door wand-vloerinteractie verschiltgrondig van de andere Europese normen. Op basisvan niet-lineaire berekeningen in het promotieonder-zoek van Schwarz zijn ontwerpgrafieken (fig. 9) opge-nomen, waaruit de factor kNkan worden afgeleid.Deze factor is de reductiefactor voor de draagkrachtvan de wand, rekeninghoudend met de opgelegderotatie aan de wandeinden en het tweede-orde-effect.Hierbij is aangenomen dat in elke situatie de rotatievan het vloereinde gelijk is aan de rotatie van dewand. Aangezien een differenti?le knooprotatie vanvloer en wand niet in rekening is gebracht, neemt dedraagkracht van de wand sterk af bij wandslankhedenkleiner dan 20.6 |Ontwerptabellen vanBaier voor de bepalingvan de excentriciteiten inde metselwerkwandenpotenti?lescheurvormingmuurmuurknoopvloervloer MMpImv =vvhvm7 |Scheurvorming in wand-vloeraansluiting (a) enDifferenti?le knooprota-tie volgens NBN B-24-301(b)a ba/3 of a/2a e1g1+ q1g2+ q2e2en'd8 |Opgelegde excentricitei-ten in NBN B24-301(1980)O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eSteencons tr uc tiescement 2006 7 81E C 6 - m e t h o d eVolgens Eurocode 6 [10] mag een reductie van hetinklemmingsmoment worden toegepast. In de infor-matieve annex C is hiervoor een vereenvoudigdemethode opgenomen. Het buigend moment in dewand onder de vloerplaat kan als volgt worden bere-kend (fig. 10):hLEsIsEwIw=M1n1 E1 I1 h1n1 E1 I1 h1n2 E2 I2 h2n3 E3 I3 l3n3 E4 I4 l4+ + +w3 l324 n3 1?( )w4 l424 n4 1?( )?= 1k4?=kn3E3 I3l3n4E4 I4l4+n1E1 I1h1n2E2 I2h2+2=e12tNdbfd? =(4)10 44 1 1,+,=hLEsIsEwIw=M1n1 E1 I1 h1n1 E1 I1 h1n2 E2 I2 h2n3 E3 I3 l3n3 E4 I4 l4+ + +w3 l324 n3 1?( )w4 l424 n4 1?( )?= 1k4?=kn3E3 I3l3n4E4 I4l4+n1E1 I1h1n2E2 I2h2+2=e12tNdbfd? =waarinniis de stijfheidsfactor van de vloeren en wanden(gelijk aan 4 bij inklemming aan de uiteindenen 3 bij scharnierende uiteinden);hiis de hoogte van wand i;liis de overspanning van vloerplaat i;EiIiis de buigstijfheid van vloer of wand i;wiis de verdeelde belasting op vloer i.De knoopstijfheidsfactor kan worden bepaald met devolgende formule (fig. 3):(5)MeffMcal=10 44 1 1,+,=hLEsIsEwIw=M1n1 E1 I1 h1n1 E1 I1 h1n2 E2 I2 h2n3 E3 I3 l3n3 E4 I4 l4+ + +w3 l324 n3 1?( )w4 l424 n4 1?( )?= 1k4?=kn3E3 I3l3n4E4 I4l4+n1E1 I1h1n2E2 I2h2+2=e12tNdbfd? =met(6)MeffMcal=10 44 1 1,+,=hLEsIsEwIw=M1n1 E1 I1 h1n1 E1 I1 h1n2 E2 I2 h2n3 E3 I3 l3n3 E4 I4 l4+ + +w3 l324 n3 1?( )w4 l424 n4 1?( )?= 1k4?=kn3E3 I3l3n4E4 I4l4+n1E1 I1h1n2E2 I2h2+2=e12tNdbfd? =9 |Ontwerpgrafiek vooropneembare normaal-kracht bij opgelegderotatie volgens Swisscode SIA 266w3l3h1hw4M2moment M1is found from frame aand moment M2is found from frame bM1l4h22 1a1b2a2bframe aframe b3a3b4a4b13 410 | Vereenvoudigde raam-werkberekening vol-gens EC6O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eSteencons tr uc ties82 cement 2006 7Indien de aldus berekende excentriciteit groter is dan0,45 keer de wanddikte, mag de excentriciteit in dewand worden bepaald overeenkomstig figuur 11:(7)hLEsIsEwIw=M1n1 E1 I1 h1n1 E1 I1 h1n2 E2 I2 h2n3 E3 I3 l3n3 E4 I4 l4+ + +w3 l324 n3 1?( )w4 l424 n4 1?( )?= 1k4?=kn3E3 I3l3n4E4 I4l4+n1E1 I1h1n2E2 I2h2+2=e12tNdbfd? =Voor de controle van de draagkracht van de wand moetdan nog rekening worden gehouden met het tweede-orde-effect.De ontwerpmethode in EC6 is tot op heden onvol-doende wetenschappelijk onderbouwd. Op verschil-lende plaatsen in Europa wordt momenteel onder-zoek verricht om de geldigheid van de formules teverifi?ren.C o n c l u s i e sAlhoewel de momentreductie door scheurvormingen differenti?le knooprotatie aan de wand-vloeraan-sluiting meer dan een eeuw onderwerp is vanonderzoek, is er tot op heden nog geen algemeenaanvaard rekenmodel ontwikkeld. De bestaandeontwerpmethoden zijn bovendien enkel van toepas-sing voor vloerplaten in ter plaatse gestort gewa-pend beton op traditionele metselwerkwanden. Inde hedendaagse bouwpraktijk komen andere wand-vloercombinaties frequenter voor, zoals kanaalpla-ten opgelegd op lijmwerk met geperforeerdebaksteenblokken. Voor dergelijke wand-vloercombi-naties zijn nauwelijks proeven uitgevoerd. Meerexperimenteel onderzoek is daarom noodzakelijkom wetenschappelijk onderbouwde ontwerpmetho-den te ontwikkelen. Om het aantal proeven tebeperken is het aangewezen een classificatie op testellen van verschillende wand-vloercombinaties.Dit aspect zal in een volgend artikel uitgebreid aanbod komen. nL i t e r a t u u r1. Sahlin, S., Structural Interaction of Walls andFloor Slabs. Inst. f?r Byggnadsstatik KTH, Med-delande Nr. 33, Stockholm, 1959.2. Hendry, A.W., The calculation of eccentricities inload bearing walls. The Brick Development Asso-ciation, Engineering File Note, No 3.3. Lewicki, B., R. Jarmontowicz en J. Kubica, Pod-stawy Projektowania Niezbrojonych KonstrukcjiMurowych (Basis of Design of UnreinforcedMasonry Structures). Wydawnictwa InstytutuBudowlanej, Warszawa, 2001.4. Jager, W. en G. Baier, Der Wand-Decken-Knotenim Mauerwerksbau, Teil 2: Vorschlag f?r ein rea-listischer Berechnungsmodell auf Basis neuerErkenntnisse. Das Mauerwerk 9 Heft 2, 2005.5. NEN 6790, Technische grondslagen voor bouw-constructies ? TGB 1990 ? Steenconstructies ?Basiseisen en bepalingsmethoden. NEN, Delft,april 2005.6. NPR 6791, Steenconstructies, eenvoudige ontwerp-regels gebaseerd op NEN 6790. NEN, Delft, 1991.7. BIN, NBN B24-301, Ontwerp en Berekening vanMetselwerk. Brussel, 1980.8. DIN 1053-1, Mauerwerk Teil 1: Berechnung undAusf?hrung. Deutsches Institut f?r Normung e.V.Berlin, 1996.9. SIA 266, Masonry, Swiss Standard. Swiss Societyof Engineers and Architects (SIA), Zurich, 2003.10. NEN-EN 1996-1-1, Eurocode 6, Ontwerp en bere-kening van steenconstructies. Deel 1-1: Algemeneregels voor gebouwen. Regels voor gewapende enongewapende steenconstructies. CEN, 2006.11 | Excentriciteit volgenshet rechthoekig span-ningsblok in EC6 0,45 tfdNdtbearing depth 0,1 t