InleidingHet streven naar hogere toelaatbare spanningenwordt, wat het normaal gebruikte staal QR 22 enQR 24 voor gewapend beton betreft, afgeremd,doordat de vereiste vloeigrenzen van deze staal -soorten resp. 2 200 en 2 400 kg/cm2zijn.De koud getordeerde staalsoorten hebben inwezen geen vloeigrens. Wel is een denkbeeldigevloeigrens in de voorschriften opgenomen nl.de spanning bij een blijvende verlenging van 0,2%.De toegelaten spanningen zijn echter niet alleenafhankelijk van de treksterkte en de 0,2%-grensvan het staal, maar ook van de wijdte van de teverwachten scheuren inhet beton,In art. 34 B 5 van de G.B.V. 1950 is toch bepaald,dat bij hogere staalspanningen dan I 700 kg/cm2(resp. I 800 kg/cm2) de wijdte van de scheuren inhet beton binnen redelijke grenzen moet blijven.Exacte maten voor de scheuren worden echterniet gegeven.Nu moeten dus de eigenschappen van beton in hetgeding worden gebrac ht en ontstaan de moeilijk-heden. ,,Wat is toch de waarheid bij gewapendbeton!" Indien men een gedegen studie van hetgewapend beton heeft gemaakt en de uitkomstendaarvan toetst aan de practijk, komt men dikwijlsvoor raadsels te staan. Toch moeten voor de koud-vervormde stalen de toelaatbare spanningen wor -den vastgesteld. Hiervoor is als grondslag de doorT.N.O. onderzochte serie rechthoekige balken,gewapend met Torstaai, genomen (zie Cement 5(1953) Nr 9-10. In het hiernavolgende worden deresultaten van deze proeven nader beschouwd entevens getracht hieruit het gedrag van flensbalkenvast te stellen.Hoewel door de Diensten van Bouw- en Woning -toezicht van Amsterdam en 's-Gravenhage, waar -mede overleg is gepleegd, wordt beseft, dat hethier een theoretische beschouwing betreft, gaande genoemde Diensten ermee accoord, de hiernate noemen wapeningspercentages en de daarbijbehorende spanningen voorlopig te aanvaarden.maar achten zij het dringend gewenst, dat aan dehand van proeven met flensbalken wordt aange-toond, dat de hierna volgende theorie overeen-stemt met de werklijkheid.De resultaten van de proef belastingen zijn doorT.N.O. vastgesteld in een graflek (fig. I, z.o.z.). Dezeheeftbetrekking op rechthoekige balken.gewapendmet Torstaai QRn 42 en een eenmalige belasting.Het gebied, waar de eerste scheur optreedt, wordtaangeduid met ,,gebied A", waar de max. scheur -wijdte 0,1 mm is met ,,gebied B" en waar de max.scheurwijdte 0,2 mm is met ,,gebied C".Het midden van gebied A voldoet aan de formuleM---- = 5,1 + !^; het midden van gebied B aanb.h*At---- = 5,1 -f- 6,5 p.; de bovenste grens van gebiedb.h'MB aan------ = 5,3 + 8,25 [^ en het midden van ge-b.h*Mbied C aan ------= 5,1 + 14,1 (J..b.h1Houdt men de midden van de gebieden aan voor dejuiste maat van de scheurwijdte, dan geeft debovenste grens van gebied B een scheurwijdte van:0 | + (5,3 + 8,25 W-(5,1 +6.5W , =(5,1 + 14,1 W --(5,1 +6,5|X)' '/, , 0,2+ l,75(A ,, ,= 11+ --- ?-- ---- 1 .0,1 mmV 7,6 [J. /? scheurwijdtein mm0,2 0,13620,4 0,12960,6 0,12740,8 0,12631,0 0,12571,2 0,12531,4 0,1249Cement 6 (1954) Nr 13-14Reeds is gezegd, dat de proeven zijn uitgevoerdmet een eenmalige belasting. Bij meerma?ige be-lasting worden de scheuren groter. Door T.N.O.is hiervoor een vermeerdering van maximum 27%gevonden. Andere onderzoekers hebben bij eenzeer groot aantal belastingwisselingen een vergro-ting van 100% gevonden. Houdt men voor eenmeerma?ige belasting een vermeerdering van 30%aan, dan bedraagt de te verwachten scheurbreedtebij de bovenste grens van gebied B:? scheurwijdtein mm0,2 0,1770 4 0,1680,6 0,1660,8 0,1641,0 0,1631,2 0,1631,4 0,162In h?t voorgaande is alleen de scheurwijdte doorbuiging (ten gevolge van de belasting) in beschou-wing genomen. In een bouwwerk komen echternog meer krachten en wel tengevolge van krimpvan het gehele bouwwerk (geen inwendige krimp-spanningen), ongelijke temperatuur en kleinezettingen van een gedeelte van het gebouw. Hier -door kunnen normaalkrachten in de liggers ont-staan, welke vooral hun invloed op de zwaksteplaatsen van de ligger zullen doen gelden; de reedsaanwezige scheuren zullen dus vergroten, vooralbij kleine wapeningspercentages.Daarom is voor het bepalen van de maximumwapeningspercentages en de staalspanningen bijrechthoekige balken uitgegaan van de bovenstegrens van gebied B, waarbij de max. staalspanningis aangehouden op 2 J00 kg/cm2en de min. staal -spanning op I 700 kg/cm2(zie lijn I van fig.I).In de G.B.V. 1950 art. 34 B 5 staat, dat alleen op descheurvorming moet worden gelet, als de staal -spanning groter is dan I 700 kg/cm2. Volgens fig. Ikan bij die spanning het wapeningspercentage nietongelimiteerd zijn.MB\\ mits de aanhechting tussen staal en betonniet verbroken is.FlensbalkenDe bij T.N.O. beproefde balken hadden een recht -hoekige doorsnede, waarbij nu de lijn A is vast-gelegd met de formule M= (5,1 +jx).b.h 2-k.b.h3.Bij flensbalken mee een flensbreedte B, een nuttigehoogte h en een ribbreedte b zal het product vankt . b .h 2groter zijn dan bij een rechthoekige balkmet dezelfde h en b. Het gedeelte tot de lijn A kandan worden vergroot en wel in de verhouding vank1 : k. Wil men nagenoeg dezelfde scheuren toe -laten als bij rechthoekige balken, dan moet devertikale afstand tussen de lijn A en de bovenstegrens van gebied B gehandhaafd worden, daar ditgedeelte de scheurbreedte bepaalt.Met de vermenigvuldiging -_!_ van de waarden vanlijn A wordt dan ook de kr impspanning hiermeevermenigvuldigd. Laat men echter bij eenzelfdewapc -ningspercentage een hogere staalspanningtoe. dan zullen de scheuren wat groter worden.Voor het groter worden van de scheuren wordt.ter compensatie, de grotere krimpspanning aan -gehouden.Voor het berekenen van k1 en k of van k 1 . b . h2enk . b, h 2wordt de wapening verwaarloosd, daar dek.waarde van wordt gezocht.kIn fig. 6 is Eb d = 1 ,5 ? 6t , ? = a.b . d = e . Hx = c. H en o( = I .Druk door rib is:0, = i b . ( H- x).ad = 0.75.(1"c)-\ b.HDruk door flens is:D, = (B-b).d.aid= |,5.e^-|)-('"c--t?.?.HTrek door rib is:T = ?b.x.c cwaaruit:c = 3 T[l 4-o.e-e-- | (I 4 -i . e- e)* -i)(l + e . (0 - l ) . ( 2 - e ) ; |.= ?.1,5 B.(H-x)'-^,l,S (B-b).(H-x-d)1+ %b.x' == ) o . 5 o . ( l -ce-O.Ste-D.II -c-et^c^.b.H1W =1= \0.5 o.(l-c)'-0.5 (a-() ? (l-c-e)'' x I c+ 4?*|.*.H* --Je, .b.H'Voor een rechthoekige balk is 0=1, c = 0,550 5en W t = 0,183 8 b.H' = k.b.H'.Bb1 2 3 4 5 6e ==dHk1k0.06 1,000 1,088 1.157 1.214 1.260 1,2990.08 1,000 1 108 1.186 1,246 1.294 1,3320,10 1,000 1,120 1,206 1,267 1,315 1,3520.12 1,000 1,131 1.220 1,281 1.328 1,3620,16 1,000 1,146 1.235 1,293 1,335 1,3680,20 1,000 1,153 1.239 1.295 1,333 1,3650,24 1.000 1,155 1.238 1.290 1,329 1.360Voor flensbalken heeft het midden van gebied AAl *,de formule: - - = -- .(5,1 + W.b.h' kVoor de bovenste grens van gebied B moet hierbijnog (5.3 + 8.25 |J.) -(5.I 4 - W = 0,2 4- 7,25 ^wor-den gevoegd, zodat voor die grens dan is:-4L - 1 .(5,1 +|X) + 02 4-7.25|ib.h' k? = 0a1 2 3 4 5 6eMb.h'0.06 5,30 5.75 6,10 6.39 6,63 6,820,08 5,30 5.85 6,25 6.55 6,80 6.990,10 5,30 5.91 6,35 6.66 6,91 7.100 12 5.30 5.97 6,42 6.73 6,97 7.150,16 5,30 6,04 6,50 6,79 7,01 7,180,20 5,30 6,08 6,52 6,80 7,00 7,160.24 5 30 6,09 6.51 6,78 6,98 7,14190 Cement 6 (1954) Nr 13 -14?= 0.501 2 3 4 5 6cMb.hJ0,06 9,13 9,97 10 30 10,62 10,88 11,090,08 9.13 10,02 10,46 10,80 11,07 11,280,10 9,13 10,09 10,57 10,92 11.18 11,390,12 9.13 10,15 10.65 10,99 11.26 11,450,16 9,13 10,24 10,74 11,06 11.30 11,480,20 9,13 10,28 10 76 11,07 11,28 11,460,24 9,13 10,29 10 75 11,04 11.26 11,44? = 1,0a1 2 3 4 5 6eMb.h'0,06 12,75 14,14 14,51 14,86 15,14 15,370,08 12,75 14,21 14,68 15,05 15,34 15,580,10 12,75 14 28 14.81 15 18 15,47 15,700,12 12,75 14,35 14.89 15,26 15,55 15,760,16 12,75 14,44 14.98 15,34 15,59 15,790,20 12,75 14.48 15,01 15,35 15,58 15,780,24 12,75 14,50 15,00 15,32 15,56 15.75?= 1,4a1 2 3 4 5 6eMb.h'0,06 15,65 17,48 17,87 18.24 18,54 18,790,08 15,65 17,55 18,06 18,45 18,77 19,010,10 15,65 17,62 18,19 18,59 18,90 19,140,12 15,65 17,70 18,28 18.68 18,98 19,200,16 15,65 17,80 18,38 18,75 19,03 19,240,20 15,65 17,84 18,40 18.77 19,01 19,220,24 15,65 17,86 18,40 18,74 18,99 19,19Uit deze tabellen blijkt dat de flensdiktc niet veelinvloed op de waarde van ? -- heeft.b. h'De flensbreedte speek v/el een grote rol. Het ver -loop van ------- is niet evenredig met de flensbreedte.b. h2Toch is het noodzakelijk, voor een practische toe-passing, een rechtlijnig verloop van------------- aan teo . hanemen. Als standaardbalken worden gekozen oenrechthoekige doorsnede en een flensbalk met eenflensdikte van 0,1 maal de balkhoogte en een flens-breedte van 6 maal deribbreedte(e = 0,1 en a = 6).Tussen deze 2 balken wordt rechtlijnig ge?nterpo-leerd in verhouding tot de flensbreedte.Voor de flensbalk met e = 0,1 en a=6 is:? Mb.h*0 7 100,5 11.391.0 15,701.4 19,14Deze waarden zijn in fig. I uitgezet. De lijn doordeze punten is aangegeven met D.Voor het bepalen van de wapeningspercentages ende bijbehorende spanning is de lijn II aangenomen.Het minimum wapeningspercentage volgt uitMk!---- ^------- maal het bovenste grens,.gebied A":b.h' kII-= 0.3 -^-=1,352.6,1 =8,24b.h'U = 0,4 -^- = 1.352 . 6,35 = 8.58b.h'!J- = 0,5 -^- = 1,352 . 6,6 = 8.92b.h'De lijn door deze punten is aangeduid met IIA engeeft een minimum wapeningspercentage van 0,4.Het resultaat is verzameld in Tabel I.Het eerste cijfer op de horizontale regel bij s? == 2 100 kg/cm2geeft het minimum percentageaan en het tweede cijfer bijs ? = I 700 kg/cm2hetmaximum percentage.Voor de overgangsmomenten (steunpuntsmomen-ten) moet worden gerekend met bctontrekspan-ningen in de flenzen.In fig. 7 is weer aangenomen, dat ?{,< ^ 1,5 ?^t.0d = '^.l.5cr[ = l^C...5x ciB.x' - ?(B-b). (x-d)' - i(H-x)1. 1,5b = 0?o.b.ci.H'-jr(a.b-b). (c.H-e.HJ'-ifH-c.H)'. I.5b = 0c2-2j3 + 2c.(a-l)|.c+2jl,5 + (o-l).e!| = 0c = 3 + 2e.(a-l)--| )34-2e.(o-l)(' -2)l,5 + (o-l).e!(/= iB.x'-i(B-b). (x-d)' + $(H-x)>. 1.5b == ? ) a.c'-(a-1). (c-e)' + 1,5 (I -c)' < . b.H'^J _________Wl = ^j0.c-+l'5(l-C)'-c(?-|)-(C-e)'j.?.H-=|= k, .b.H'Voor een rechthoekige balk is:W, = 0,183 8 b .H' = k. b. H'_ Bb1 2 3e == dHk,Ie0.06 1,000 1,209 1,4110,08 1,000 1,265 1.5260.10 1,000 1,318 1.6320,12 1,000 1,368 1.7250,16 1.000 1,453 1.890020 1.000 1,523 2,0160,24 1,000 1,577 2,115Voor deze soort balken is het midden van gebiedMk,A gelegen bij --- = .(5,1+[!? ).b.h' kVoor het bovenste grens van gebied B moet nog0,2-f 7,25 [^ worden bijgevoegd, zodat voor dieM k,grens dan gelde:-------- = .(5.1 + W + 0,2+7,25 |ib.h' k?= 0a1 2 3eMb.h'006 5,30 6,37 7,400,08 5.30 6.65 7,980,10 5,10 6,92 8,520,12 5.30 7,18 9,000,16 5.30 7,61 9.840,20 5,30 7.97 10,480,24 5,30 8,24 10,99? = 0,5a1 2 3eMb.h'0,06 9.13 10 59 11.720,08 9,13 10,90 12,370,10 9,13 11,20 12.960,12 9,13 11,48 13,480,16 9,13 11,96 14,400,20 9,13 12,35 15,110,24 9,13 12,65 15,66? = 1.0a1 2 3eMb.h'0,06 12,75 14,82 16,060,08 12,75 15,17 16,760.10 12,75 15,49 17,410.12 12,75 15,79 17,970.16 12 75 16,31 18,980,20 12,75 16,74 19,750,24 12,75 17,07 20,35Cement 6 (1954) Nr 13-14 191a1 2 3 4 5 6en hogers ?kg/cm2?2 100 0,3-0,45 0,32-0.50 0,34-0,55 0,36-0,60 0,38-0,65 0.40-0.702 050 0.50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,752 000 0.55 0 60 0,65 0,70 0,75 0 801 950 0,60 0,65 0,70 0.75 0,80 0,851 900 0,65 0,70 0,75 0.80 0,85 0,901 850 0,70 0.75 0,80 0.85 0 90 0,951 800 0.75 0,80 0,85 0.90 0,95 1,001 750 0,80 0,85 0,90 0 95 1.00 1,051 700 0,85-1.25 0,90-1,30 0,95-1,35 1.00-1.40 1.05-1,45 1,10-1,50TABELIIn de flenzen komen drukspanningen.? = 1,4a1 2 3eMb.h*0,06 15,65 18,21 19,520,08 15,65 18,57 20,270,10 15.65 18,92 20,960,12 15,65 19,24 21,560,16 15,65 19,79 22,640,20 15,65 20,25 23,450,24 15,65 20,60 24,10Het verschil van ---------- voor opvolgende waardenfa . hzvan e is nu wel groot. (Indien druk in de flenzenoptreedt, is het verschil gering).Practisch is het echter niet mogelijk met een verrschil van de flensdikte rekening te houden. Wel ishet noodzakelijk een dunne flens aan te houden,waarom nu als standaardbalk wordt aangehoudende flensbalk met e = 0,08 en a = 3.Voor deze balk is:M(A = 0 ----- = 7,98b.h2M[* = 0,5 -^- = 12,37b.h*MU- = 1,0 -!^~= 16,76b.h*Mf* = 1,4 -!?-- = 10,17b.h1De lijn, gaande door deze punten, is in ftg. 1 uit-gezet en aangegeven met E.Voor het bepalen van de wapeningspercentages ende bijbehorende staalspanning is de lijn III aange-nomen.TABEL IIIn de flenzen komentrekspanningen.y100a1 2 3en hogers?kg/cm222100 0,30-0,45 0,35-0,65 0,40-0,852050 0,50 0,70 0,902000 0,55 0,75 0,951950 0,60 0,80 1,001900 0,65 0,85 1,051850 0,70 0,90 1,101800 0,75 0,95 1,151750 0,80 1,00 1,201700 0,85-1,25 1,05-1,45 1,25-1,65Daar bij de opleggingen van doorgaande balkendikwijls sparingen in de vloer (flens) gehouden oflater aangebracht worden, welke sparingen nietop de wapeningtekeningen zijn aangegeven, maggeen grotere flensbreedte dan driemaal de rib-breedte worden aangehouden.Wat de wapening voor de s c h u i n e trekspan-ningen betreft kan het volgende worden aange-nomen:a. Indien de schuine trekkrachten, berekend vol-gens de G.B.V. 1950, alleen door opgebogenstaven van Torstaai worden opgenomen, be-draagt de toegelaten spanningI900 kg/cm2.b. Indien zowel de opgebogen staven als de beu-gels bestaan uit Torstaai, is de spanning even-eens I 900 kg/cm2.c. Indien de opgebogen staven bestaan uit Tor-staal en de beugels uit QR 24 en beide wordenbenut voor het opnemen van de schuine trek-krachten, dan bedraagt de toegelaten spanningI400 kg/cm2.192Opgemerkt moet nog worden, dat de genoemdespanningen de maximum toegelaten spanningenzijn, zodat Art. 34 B 2 van de G.B.V. 1950 nietgeldig is voor de staalspanningen van 1800 kg/cm2en hoger.Wat de haken aan de staven betreft, valt het vol-gende op te merken. Bij de proeven, uitgevoerddoor T.N.O., is een goede aanhechting geblekenzowel voor Torstaai als voor gewoon rondstaal.De staven waren bij de proeven goed omhuld doorbeton. In de practijk komen echter nogal eensminder goede plaatsen (grindnesten) in het betonvoor en bij de bovenwapening zijn holle ruimtenonder de staven niet uitgesloten. Deze holtenonder de staven ontstaan door het nazakken vanhet beton. Er is dus nog geen aanleiding, de hakenaan de staven weg te laten.De proeven uitgevoerd door T.N.O. (verder aan-geduid met I) hebben betrekking op balken meteen theoretische lengte van 3,50 m resp. 2,70 m,hoogte van 40 cm en een breedte van 20 cm. Bij devierpuntsbuigproeven waren de afstanden van deoplegpunten tot de drukpunten resp. 1,15 - 1,20 -1,15 m en 0,90- 0,90 - 0,90 m.In 1947 zijn in het laboratorium van het Gemeen-telijk Bouw- en Woningtoezicht te 's-Gravenhagebalken, gewapend met Waco-staal (tegenwoordigTorwastaal geheten) beproefd. Deze proeven(verder aangeduid met II) gaven een iets hogereuitkomst dan die, in 1953 door T.N.O. uitgevoerdeproeven, met Torstaai.De proefbalken met Wacostaal hadden een theo-retische lengte van 2,00 m, een hoogte van 25 cmen een breedte van 20 cm.Bij de vierpuntsbuigproef waren de afstanden0,80 - 0,40 - 0,80 m.Vergelijking van de proeven I enIIAfstand van de drukpunten gedeeld door de balk-hoogte is:, 120 ,,ft 90 n,,I: -- =3,0 resp. -- 2,25;40 4040II: -- =*= 1,6.25Daar de getrokken zone bij de proeven I groter isdan bij de proeven II, ook ten opzichte van debalkhoogte, zal dit reeds een iets ongunstigereuitkomst voor I kunnen geven ten opzichte van II.Ook zijn de aanwijzingen, dat de afstand van descheuren verband houdt met de balkhoogte. Bijeen hogere balk zal de afstand van de scheurengroter zijn dan bij een lagere. Indien per meterbalk meer scheuren optreden, zullen de scheurenkleiner zijn dan bij een kleiner aantal scheuren.Ook uit deze overweging zal de uitkomst van deproeven I een ongunstiger uitkomst geven dan deproeven II.Bovendien was het tempo van de beproevingenniet gelijk:een proef i duurde 4 uur en een proef II ged. 2 uur,Zonder meer zijn de resultaten van de proeven Ien II dus niet vergelijkbaar en is het redelijk aanhet Torstaai en aan het Torwastaal dezelfde toe-laatbare spanningen en wapeningspercentages toete kennen.Bij het bepalen van de wapening moet rekeningworden gehouden met de werkelijke doorsnedevan de staven, dus niet met de oorspronkelijkedoorsnede voor het koud torderen.Ten slotte nog de opmerking, dat bij een hogerestaalspanning ook een grotere vormveranderingzal optreden dan bij ??n lagere staalspanning.Het berekenen van de wapeningDoordat de spanningen gekoppeld zijn aan dewapeningspercentages kan het berekenen van dewapening moeilijkheden geven. Daarom wordennog twee tabellen toegevoegd.Met de bekende n-methode, waarbij het betongeen trekspanningen opneemt, zijn de volgendeformules af te leiden (zie fig. 8):Cement 6 (1954) Nr 13-14Cement 6 (1954) Nr 13-14 193Het resterend moment is: 21 000-14 8000 == 6 200 kgm.x = 0,382h = 24,8 cm