62?CEMENT?5 2025 RUBRIEK REKENEN IN DE PRAKTIJK Dit is de 28e aflevering in de Cement-rubriek 'Rekenen in de praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Rick van Middelkoop (Witteveen+ Bos), Willem van Heeswijk (Heijmans), Dennis Heijl (Heijmans), Friso Janssen (Gold- beck Nederland), Harm Boel (ABT), Matthijs de Hertog (Nobleo), Jorrit van Ingen (WSP) en Jacques Linssen (redactie Cement). De artikelen in deze rubriek worden telkens opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervol- gens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenme- thode de visie van een aantal individuen. Met de huidige software kan de constructeur nauwkeuriger rekenen dan ooit en kunnen gebouwen minutieus worden gemodelleerd. Op papier is alles exact en recht en zijn er geen passingsproblemen. De praktijk, waar in weer en wind constructies tot leven worden gebracht, is weerbarstiger. Hier is een zelfde accuratesse niet mogelijk met (kleine) afwijkingen tot gevolg, zoals scheefstanden. In NEN-EN 13670 zijn de voor de uitvoering toegelaten maatafwijkingen beschreven. Constructies zijn op deze toegelaten afwijkingen voorbereid, door het correct toepassen van de rekenregels in NEN-EN 1992-1-1, paragraaf 5.2. GEOMETRISCHE IMPERFECTIES Case In de bouwfase van bouwconstructies kunnen kleine afwijkingen ontstaan in de geometrie. Deze zogenoemmde 'imperfecties' leiden tot aanvullende krachtswerking in constructie-elementen. Deze case past de rekenregels toe op een gebouw van zes bouwlagen met afwijkende stabiliteitsvoorzieningen. De nadruk ligt hierbij op het effect op de vloerschijven; het is dus geen totale stabiliteitsbeschouwing. CEMENT 5 2025 ?63 rekenen in de praktijk (28) Deze case richt zich op het toepassen van geome- trische imperfecties op gebouwen. Deze moeten in de ULS-berekeningen worden meegenomen, omdat mogelijke afwijkingen in de geometrie een ongunstig effect kunnen hebben voor het aangrijppunt van de (verticale) belasting en de grootte van tweede-orde- effecten. De norm kent hierbij voorschriften voor afzonderlijke onderdelen (bijvoorbeeld wanden en kolommen), de lokale imperfecties, en voor het hele gebouw (stabiliteit), de globale imperfecties. Globale imperfecties kunnen op twee manieren in rekening worden gebracht, namelijk door het beschouwde model een scheefstand te geven of door, vanuit de scheefstand, een horizontale component af te leiden voor de neerwaartse belastingen, veroorzaakt door de blijvende en opgelegde belastingen. Lokale imperfecties moeten worden beschouwd bij het beoordelen van elementen zoals geschoorde kolom- men of verbindingen tussen verticale elementen en UITGANGS- PUNTEN gevolgklasse CC2 gebouwafmetingen 32,4 m x 10,0 m x 18,0 m (b x d x h) stramienafstand 5,4 m eindwanden betonwand dik 200 mm met zes palen tussenwanden betonwand dik 250 mm op kolommen met elk vier palen kolommen 400 x 400 mm 2 funderingspalen k = 150.000 kN/m elasticiteitmodulus beton E = 15.000 N/mm 2 foto 1 Studentenwoningen Eindhoven 64?CEMENT?5 2025 10,0 3 , 0 3 , 0 3,0 3 , 0 3 , 0 3 , 0 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 stabiliteitswand tot begane grond stabiliteitswand tot begane grond stabiliteitswand tot 1e verdieping pendelkolommen Door de pendelkolommen op de begane grond kunnen de horizontale belastingen op de stabiliteitswanden op de middenassen niet tot de begane grond worden doorgezet en zullen deze door de vloeren worden getransporteerd naar de eindwanden. Hiervoor wordt het buigend moment in de tussenwand ontbonden in twee verticale belastingen in de twee kolommen. N.B.: De case beperkt zich tot het beschouwen van de geometrische imperfecties in de richting evenwijdig aan de dragende wanden. Krachtswerking ten gevolge van windbelastingen moeten in werkelijkheid worden toegevoegd, maar is in de uitwerking niet opgenomen omdat de case nadrukkelijk over imperfecties gaat. In de regel nemen imperfecties maar een klein percen- tage in van de totale stabiliteitskrachten. Gewichtsberekening en verticale belastingen Omdat in een volledige beschouwing, waarin wind wordt meegenomen, de stabiliteitskrachten in de vloeren door wind dominant zijn, moet de wind als dominante belasting worden beschouwd in belasting- combinatie 6.10b, waardoor de opgelegde belasting in de scheefstandsbelasting met de combinatiewaarde moet worden bepaald. De gewichtsberekening is getoond in tabel 1 en 2. de vloerschijven. De horizontale componenten van de diverse belastingsgevallen kunnen bij de bepaling van de inwendige krachten aan de betreffende belastings- gevallen worden toegevoegd. In deze case wordt een bouwwerk (CC2) beschouwd met zes stramienen van 5,4 m en zes bouwlagen met een verdiepingshoogte van 3,0 m (fig. 2). De eindwan- den (d = 200 mm) zijn de stabiliteitswanden op de begane grond, de tussenliggende wanden (d = 250 mm) hebben pendelkolommen (400 × 400 mm 2 ) op de begane grond. fig. 2  Geometrische weergave van het bouwwerk Tabel 1?Gelijkmatig verdeelde belastingen per onderdeel Onderdeel G k [kN/m²] Q k [kN/m²] ? 0 P Ed [kN/m²] Dakvloer 8,0 2,0 0,0 9,6 Verdiepingsvloeren 8,5 2,95 0,4 12,0 Eindwanden 7,0 0,0 - 8,4 Tussenwanden 6,25 0,0 - 7,5 Voor- en achtergevel 2,8 0,0 - 3,4 Tabel 2?Belasting op vloeren Dakvloer P Ed [kN/m²] correctie d [m] h [m] q Ed [kN/m¹] Dakvloer 9,60 1,0 10,0 96,0 Totaal 96,0 Verdiepingsvloer P Ed [kN/m²] correctie d [m] h [m] q Ed [kN/m¹] Verdiepingsvloer 12,00 1,0 10,0 120,0 Betonwand 6,25 0,185 10,0 3,0 34,7 Voorgevel 2,80 1,0 3,0 8,4 Achtergevel 2,80 1,0 3,0 8,4 Totaal 171,5 CEMENT 5 2025 ?65 rekenen in de praktijk (28) dak 5eV 4eV 3eV 2eV 1eV qEd = 171,5 kN/m 1 qEd = 171,5 kN/m 1 qEd = 171,5 kN/m 1 qEd = 171,5 kN/m 1 qEd = 171,5 kN/m 1 qEd = 96,0 kN/m 1 1 u1 kolom 400x400mm L=3000mm 4 palen per poer k=150.000 kN/m per paal 2 u 4 5x 2,0m M1 6 palen k=150.000 kN/m per paal u 3 u 2 M2 10,0m dak 5eV 4eV 3eV 2eV 1eV qEd = 953,5 kN/m 1 qEd = 782,0 kN/m 1 qEd = 610,5 kN/m 1 qEd = 267,5 kN/m 1 qEd = 96,0 kN/m 1 qEd = 267,5 kN/m 1 qEd = 0,0 kN/m 1 qEd = 96,0 kN/m 1 qEd = 782,0 kN/m 1 qEd = 610,5 kN/m 1 qEd = 430,0 kN/m 1 qEd = 430,0 kN/m 1 N.B.: De belastingen zijn uitgewerkt als strekkende meter belasting per gebouwbreedte. Hierdoor is als correctiewaarde voor de betonwand meegenomen: 1 / 5,4 = 0,185. In figuur 3 en 4 zijn de gebouwaanzich- ten te zien met respectievelijke de belasting per vloer en de cumulatieve belastingen, per m 1 gebouwbreedte. Als de uitwerking inclusief wind zou worden uitgewerkt, kan ervoor worden gekozen de blijvende en opgelegde belastingen als karakteristieke belastingen in te voeren en er daarna belastingcombinaties mee te maken. Stijfheid ondersteuningen De stijfheid van de ondersteuning is relevant voor de krachtswerking in de vloeren en daarom specifiek uitgewerkt. Zie hiervoor ook figuur 5. fig. 4  Verticale cumulatieve belastingen fig. 3  Verticale belastingen per vloer fig. 5  Rotatiestijfheden fundering 66?CEMENT?5 2025 Rotatiestijfheid middenassen?De rotatiestijfheid wordt bepaald door de translatieveren van de palen en de kolom reciproke op te tellen en daarna om te zetten naar een rotatieveer. Stijfheid kolom: k kolom = E A kolom / L kolom = 15.000 · 400 · 400 / 3000 = 800.000 kN/m Stijfheid palen: k palen = 4 · 150.000 = 600.000 kN/m Gecombineerde stijfheid: k t = 1 / (1/k kolom + 1/k palen ) = 1 / (1/800.000 + 1/600.000) = 342.857 kN/m u 1 = M 1 / (k t / L 1 ) = M 1 / (342.857 · 10,0) = 2,917 · 10 -7 M 1 ? 1 = u 1 / 0,5 L = 2,917 · 10 -7 M 1 / (0,5 · 10,0) = 5,833 · 10 -8 M 1 k t,1 = M 1 / ? 1 = M 1 / 5,833 · 10 -8 M 1 ) = 1,71 · 10 7 kNm/rad Rotatiestijfheid eindgevels?De rotatiestijfheid wordt bepaald door de translatieveren van de palen om te zetten naar een rotatieveer. Stijfheid palen: k palen = 150.000 kN/m per paal F 2 = k paal u 2 = 150.000 u 2 F 3 = k paal u 3 = k paal · 3/5 u 2 = 150.000 · 3/5 · u 2 = 90.000 u 2 F 4 = k paal u 4 = k paal · 1/5 u 2 = 150.000 · 1/5 · u 2 = 30.000 u 2 M 2 = 2 · (F 2 · 5,0 + F 3 · 3,0 + F 4 · 1,0) = 2 · (150.000 u 2 · 5,0 + 90.000 u 2 · 3,0 + 30.000 u 2 · 1,0) = 2,100 · 10 6 u 2 u 2 = 4,762 · 10 -7 M 2 ? 2 = u 2 / 0,5 L = 4,762 · 10 -7 M 2 / (0,5 · 10,0) = 9,523 · 10 -8 M 2 k t,2 = M 2 / ? 2 = M 2 / 9,523 · 10 -8 M 2 = 1,05 · 10 7 kNm/rad Geometrische imperfecties volgens de norm De voorschriften voor geometrische imperfecties zijn opgenomen in NEN-EN 1992-1-1. Hier geldt paragraaf 5.2(8), waarin onderscheid wordt gemaakt tussen imperfecties voor afzonderlijke elementen (lokale imperfecties) of voor schorende constructies (globale imperfecties) (fig. 6). Globale imperfecties?Bij de globale imperfecties wordt de scheefstand van het hele gebouw bepaald. Hier moet rekening worden gehouden met de totale bouw- werkhoogte en alle elementen die (kunnen) bijdragen aan de scheefstand. Onderdelen die bijdragen aan scheefstand: ? Kolommen begane grond: 10 ? Tussenwanden: 5 × 5 = 25 ? Eindwanden: 2 x 6 = 12 m = 25 + 10 + 12 = 47 h = 18,0 m ? 0 = 1/300 ? h = 2 / L 0,5 ; 2/3 ? ? h ? 1??? = 2 / 18,0 0,5 = 0,47? ? h = 2/3 ? m = [0,5 (1 + 1/m)] 0,5 = [0,5 (1 + 1/47)] 0,5 = 0,715 ? i = ? 0 ? h ? m = 1/300 · 2/3 · 0,715 = 0,00159 H dak = ? (N b ? N a ) = 0,00159 · (96,0 ? 0,0) = 0,153 kN/m 1 H verdiepingsvloeren = ? (N b ? N a ) = 0,00159 · (267,5 ? 96,0) = 0,273 kN/m 1 Lokale imperfecties?Bij de lokale imperfecties wordt gekeken naar afzonderlijke elementen. Hier moet daarom rekening worden gehouden met alle elemen- ten die aansluiten op de vloerschijf en de feitelijke lengte van het element. Beschouwingen per vloer zijn relevant voor de interne krachtswerking en de koppe- ling van de vloerschijven aan de schorende construc- ties, strikt genomen niet voor het beoordelen van de schorende constructie zelf. Dakvloer Onderdelen die bijdragen aan scheefstand: Betonwanden op 5e verdieping (5×) m = 5 h = 3,0m ? 0 = 1/300 ? h = 2 / L 0,5 ; 2/3 ? ? h ? 1???? = 2 / 3,0 0,5 = 1,15 ? h = 1,0 ? m = [0,5 (1 + 1/m)] 0,5 = [0,5 (1 + 1/5)] 0,5 = 0,774 ? i = ? 0 ? h ? m = 1/300 · 1,0 · 0,774 = 0,00258 H dak = ? N a = 0,00258 · 96,0 = 0,248 kN/m 1 Scheefstand op 2e t/m 5e verdiepingsvloer Onderdelen die bijdragen aan scheefstand: Betonwanden boven en onder de verdiepingsvloer (10×) m = 10 h = 3,0m ? 0 = 1/300 ? h = 2 / L 0,5 ; 2/3 ? ? h ? 1 = 2 / 3,0 0,5 = 1,15 ? h = 1,0 ? m = [0,5 (1 + 1/m)] 0,5 = [0,5 (1 + 1/10)] 0,5 = 0,742 ? i = ? 0 ? h ? m = 1/300 · 1,0 · 0,742 = 0,00247 fig. 6  Fragment uit NEN-EN 1992-1-1, par 5.2 CEMENT 5 2025 ?67 rekenen in de praktijk (28) H 5e,verdiepingsvloer = ? (N b +N a ) / 2 = 0,00247 · (96,0 + 267,5) / 2 = 0,449 kN/m 1 H 4e,verdiepingsvloer = ? (N b +N a ) / 2 = 0,00247 · (267,5 + 439,0) / 2 = 0,873 kN/m 1 H 3e,verdiepingsvloer = ? (N b +N a ) / 2 = 0,00247 · (439,0 + 610,5) / 2 = 1,297 kN/m 1 H 2e,verdiepingsvloer = ? (N b +N a ) / 2 = 0,00247 · (610,5 + 782,0) / 2 = 1,721 kN/m 1 Scheefstand op 1e verdiepingsvloer Onderdelen die bijdragen aan scheefstand: ? Betonwanden boven de 1e verdiepingsvloer (5×) ? Kolommen onder de 1e verdiepingsvloer: (10×) m = 5 + 10 = 15 h = 3,0m ? 0 = 1/300 ? h = 2 / L 0,5 ; 2/3 ? ? h ? 1 = 2 / 3,00,5 = 1,15 ? h = 1,0 ? m = [0,5 (1 + 1/m)] 0,5 = [0,5 (1 + 1/15)] 0,5 = 0,730 ? i = ? 0 ? h ? m = 1/300 · 1,0 · 0,730 = 0,00243 H 1e,verdiepingsvloer = ? (N b +N a ) / 2 = 0,00243 · (782,0 + 953,5) / 2 = 2,112 kN/m 1 Mechanicamodel Met een rekenprogramma is het gebouw in het platte vlak gemodelleerd, waarin de belasting door globale imperfecties (1×) en door lokale imperfecties (6×) zijn ingevoerd. In figuur 7a en 7b zijn ter voorbeeld de scheefstandsbelastingen op het totale gebouw en de belasting op alleen de 3e verdiepingsvloer als afzon- derlijk element getoond. Krachtswerking in vloeren Met het rekenprogramma zijn de krachten in de vloeren bepaald voor de verschillende situaties. De buigende momenten (ULS in kNm) in de vloerschijven zijn getoond in figuur 8a t/m 8g. Samenvatting buigende momenten in vloeren De maximale (absolute) buigende elementen per vloer (ULS in kNm) zijn weergegeven in tabel 3. Hierin blijkt dat bij de 1e en 2e verdieping de hoogste resultaten worden gevonden door lokale imperfecties, terwijl dit bij de 3e verdieping tot en met dak juist door globale imperfecties het geval is. Om de totale krachtswerking in de vloer te vinden ten gevolge van stabiliteitskrach- ten, moeten de waarden worden gesuperponeerd met resultaten door windbelastingen. Conclusie Om de maatgevende krachtswerking in de vloeren te vinden, waarmee de trekbanden kunnen worden gedimensioneerd, is het noodzakelijk om zowel naar de geometrische imperfecties van het gehele gebouw, fig. 7a  Scheefstandsbelasting totale gebouw fig. 7b  Scheefstandsbelasting 3e verdiepingsvloer Tabel 3?Overzicht buigende momenten Onderdeel 1e verdieping2e verdieping3e verdieping4e verdieping5e verdieping dak Totale gebouw (globale imperfecties) 110 81 49 16 15 42 1e verdieping (lokale imperfecties) 156 2e verdieping (lokale imperfecties) 92 3e verdieping (lokale imperfecties) 41 4e verdieping (lokale imperfecties) 9 5e verdieping (lokale imperfecties) 5 Dak (lokale imperfecties) 7 68?CEMENT?5 2025 als naar afzonderlijke elementen te kijken. Vaak wordt bij de stabiliteitsberekening alleen naar het totale gebouw gekeken, omdat men dan minder geïnteresseerd is in de krachtswerking in de vloeren, maar juist vooral in de krachtswerking op de schorende elementen of de fundering. Echter bij gebouwen waarin het samenspel tussen wanden en vloeren vraagt om forse belastingtransport door de vloeren, kunnen lokale imperfecties de maatgevende situatie worden voor de betreffende vloer. Dit effect mag niet worden onderschat. fig. 8a  Totale gebouw (globale imperfecties) fig. 8b  1e verdieping (lokale imperfecties) fig. 8d  3e verdieping (lokale imperfecties) fig. 8f  5e verdieping (lokale imperfecties) fig. 8c  2e verdieping (lokale imperfecties) fig. 8e  4e verdieping (lokale imperfecties) fig. 8g  Dak (lokale imperfecties)