ir. A. S. G. BRUGGELING, O.N.R.I., raadgevend ingenieur; lid Adviesbureau voor Bouwtechniek N.V., ArnhemGedeeltelijk voorgespannen betonI. InleidingIn de 'Recommandations pratiques pour le calcul et l'ex?cution desouvrages en b?ton pr?contraint', r?daction provisoire, maart 1966,(Bulletin d'Information nr. 54 van het C.E.B.), komt in artikel R 0,3een indeling voor van de verschillende soorten voorgespannen be-ton. Het betreft een indeling in drie klassen:klasse 1 -- Voorgespannen beton waarin geen trekspanningen inhet beton worden toegelaten, onder welke belastingdan ook.klasse 2 -- Voorgespannen beton waarin geen trekspanningen inhet beton worden toegelaten onder de rustende belas-ting, vermeerderd met een bepaald gedeelte van demobiele belasting.Onder alle belastingen wordt een beperking gesteldaan de rek van het beton, zodanig dat in het betongeen scheurvorming, onder meer bij volbelasting, zaloptreden.klasse 3 -- Voorgespannen beton waarbij in alle fasen van debouw en in het gebruikstadium aan de scheurwijdte vanhet beton en aan de rek van het voorspanstaal gren-zen zijn gesteld. Daarbij wordt opgemerkt dat dezeklasse niet mag worden gebruikt voor constructies dieaan wisselbelasting zijn onderworpen, of waarbij aan-tasting van het voorspanstaal door een agressieve at-mosfeer is te vrezen.Deze klasse 3 heeft betrekking op het gedeeltelijk voor-gespannen beton.Waar omtrent deze laatst genoemde wijze van construeren nog wei-nig bekend is, werd door de B.V.S.M. (A.B.E.M.) in Belgi? een lof-waardig initiatief genomen door op 18 en 19 oktober 1965 in Brusseleen colloquium te organiseren, waarop door verschillende deskun-digen problemen en ervaringen met het gedeeltelijk voorgespan-nen beton werden uitgewisseld en besproken.Naast de bekende Belgische professoren H. L o u i s t, P?Mo e n a e r t , A. P a d u a r t en F. R i e s s a u w , de heer h a i e sen de assistenten van Belgische professoren, zoals de heren R.Baus, . B r e n n e i s e n , N. D e h o u s s e enV. De pauw,werd door enige niet Belgische deskundigen, te weten prof.G i d i, P. L e b e I I e en door sprekers namens prof. e r a enDr. P. W. A b e l e s aan de voordrachten deelgenomen.Doordat in ons land ervaring op dit terrein ontbreekt, kon aan deuitnodiging tot het leveren van een bijdrage aan' dit colloquiumgeen gevolg worden gegeven.In dit artikel zal worden getracht een samenvatting te geven vaneen aantal problemen, die zich voordoen bij de toepassing van ge-deeltelijk voorgespannen beton. Daarbij zullen de besprekingen inBrussel worden gebruikt als achtergrond, waartegen deze proble-men kunnen worden geprojecteerd.Alvorens daartoe over te gaan kan worden vermeld, dat in 1939door E m p e r g e r in Oostenrijk voor het eerst werd voorgesteldom betonconstructies gedeeltelijk voor te spannen. In 1940 opperdeA b e l e s in Engeland voorstellen in dezelfde richting.In Duitsland heeft men direct na de laatste wereldoorlog fel ge-discussieerd over het al of niet toestaan van klasse 2 (wat inder-daad is geschied), terwijl op het congres van de Association desPonts et Charpentes (A.I.P.C.), dat in 1948 te Luik werd gehouden,sprake was van een debat tussen voorstanders van volledig voor-gespannen beton ( F r e y s s i n e t ) en die van het gedeeltelijk voor-gespannen beton ( A b e l e s ) .Het gedeeltelijk voorgespannen beton is in Belgi? en Engeland oprelatief grote schaal toegepast. In Belgi? o.m. voor enige bruggenin autosnelwegen. Toepassing op grote schaal vindt men vooral inOost-Europa, omdat daardoor een belangrijke materiaalbesparingmogelijk is. Incidentele toepassingen zijn gemeld uit Itali? enFrankrijk.Als toepassingsgebied kunnen vooral vloerbalkjes worden genoemd.Ook bij schaaldaken en bruggen vindt men wel in gedeeltelijkvoorgespannen beton uitgevoerde constructies.2. Principes waarop volgens de inzichten, ontwikkeld in F.I.P. enC.E.B., de berekening en detaillering van constructies berustTen einde vertrouwd te raken met deze inzichten, die mede van be-tekenis zijn voor bestudering van het gedeeltelijk voorgespannenbeton, zullen deze principes in het kort worden uiteengezet.Het algemeen principe kan als volgt worden omschreven.Een constructie moet zodanig zijn berekend en gedetailleerd, datdeze tijdens de bouw en gedurende de voor de constructie bedoel-de levensduur, geen abnormale kans loopt te bezwijken.Oorzaken van bezwijken van de constructie kunnen zijn:A. overbelastingen;B. vermoeiing;C. achteruitgang in de kwaliteit van de samenstellende materialen,bij voorbeeld door corrosie van de wapening, aantasten van hetbeton (chemische stoffen, zeewater, enz.);D. brand.Het is duidelijk dat in al deze gevallen ook de waarschijnlijkheids-berekening mede een rol speelt, omdat abnormale, omstandighedendienen te worden gedefinieerd en bovendien de kans, dat dezezich voordoen, moet worden berekend.Ook andere beperkingen kunnen aan een constructie worden opge-legd, zoals die ten aanzien van de doorbuiging (mede als functievan de tijd). Deze beperkingen zijn echter ten opzichte van de pun-ten genoemd onder A tot en met D van de tweede orde.A. O v e r b e l a s t i n gEen constructie dient altijd op een bepaalde mate van overbelas-ting te worden berekend. De grootte van de overbelasting, waarbijde constructie juist mag bezwijken, is in feite de in rekening tebrengen belasting, vermenigvuldigd met de zogenoemde veiligheids-co?ffici?nt.Men stelt derhalve aan een constructie een bepaalde eis tenaan-zien van de grootte van de bezwijkingsbelasting. De verhoudingbezwijkbelasting - re?le belasting wordt bepaald door verschillen-de factoren, zoals:7. Aard van het bezwijken van de constructie.Wanneer de constructie plotselinge brosse breuk bij beperktevervorming zou kunnen vertonen, zal men in het algemeen eengrotere veiligheidsco?ffici?nt verlangen dan wanneer het be-zwijken zich voltrekt in de vorm van vloeien, dit wil zeggen sterkvervormen.2. Materiaal-eigenschappen.Aangezien men de bezwijkbelasting van een constructie dientte berekenen, daarbij uitgaande van de verschillende materiaal-eigenschappen, is het van belang om te weten in hoeverre dezemateriaal-eigenschappen een spreiding vertonen. Hoe minder despreiding in de kwaliteit is, des te nauwkeuriger kan de be-zwijkbelasting worden bepaald, dat wil zeggen des te minderextra veiligheidsmarge is nodig.3. Mogelijkheid van voorbelasting van een constructie of construc-tie-onderdeel.Wanneer men door een bepaalde wijze van voorbelasten tijdensde bouw nog de materiaal-eigenschappen van de toegepastematerialen kan controleren, is meer zekerheid omtrent de kwali-teit van deze materialen en kan de bezwijkingsbelasting nauw-keuriger worden bepaald.Voorbeeld: g??n voorbelasting: betonstaal in gewapend-beton-constructies;w?l voorbelasting: voorspanstaal in voorgespan-nen betonconstructies.4. Mogelijkheid van overbelasting en de risico's van het bezwijkenvan de constructie.In de ruimten of bouwwerken, waarbij op eenvoudige wijze over-belasting mogelijk is (zoals bij archieven, magazijnen en brug-gen), zal men een grotere veiligheidsmarge wensen dat bij con-structies waarbij dit praktisch is uitgesloten (zoals bij water-tanks). Ook speelt een rol de vraag in hoeverre het bezwijkenvan een constructie catastrofaal kan zijn voor een omgeving. Alsvoorbeeld kan worden genoemd de stuwdam boven een een-740 Cement XVIII (1966) Nr. 12zaam dal of boven een dicht bevolkt gebied; een viaduct overeen stadswijk, of een brug over een kleine vaart.Methoden ter bepaling van de veiligheid van een constructie tenopzichte van het stadium van bezwijken.? Directe methodenBepalen van breuk- en vloeibelasting en daaruit de verhoudingtot de re?le belasting.? Indirecte methodenVaststellen van zogenaamde toe te laten spanningen in de ma-terialen. Deze toe te laten spanningen worden afgeleid uit hetbezwijkstadium onder in achtneming van een bepaalde veilig-heids-co?ffici?nt.Alhoewel deze methode steeds meer als verouderd wordt be-schouwd, laten de met behulp daarvan bepaalde toegelatenspanningen duidelijk het verschil zien tussen de aard van ver-schillende materialen.In dit verband kunnen nog de volgende opmerkingen worden ge-maakt:a. F.I.P.-C.E.B. definieert de karakteristieke waarde ^ van de sterk-te van een materiaal als volgt (P 1,41 )1) :ak = om (1 -- . 5).Hierin is: CTm = gemiddelde waarde van de sterkte;S' = variatieco?ffici?nt als functie van de spreidingvan de sterkte;X = co?ffici?nt, aangevende de kans dat een bepaal-de waarde wordt onderschreden.Bij 5% kans is de grootte van deze co?ffici?nt1,64.b. F.I.P.-C.E.B. definieert de rekenwaarde van de sterkte als volgt(Pl,42):a* = X=i.akHierin is: ym = factor, die rekening houdt met de fouten in devervaardiging van het materiaal, zoals:? afwijkingen in de doorsnede van het betonstaalen in de staalkwaliteit;? afwijkingen in de betonkwaliteit door: afwij-kingen in mengselsamenstelling, te weinig ver-dichting van de betonspecie; door holten ofmaatafwijkingen in de betonconstructie; ver-schil in druksterkte bepaald met de korte proefen die bepaald met een lange duur-belasting;kans op plotseling breuk van de constructie;enz.Door F.I.P.-C.E.B. voorgestelde waarden voor ym (R 2,1}:? betonstaal (trek)-* 1,15;? beton (druk of trek)-* 1,50.Voorbeeld: betonstaal : = 4% -* * = 0,81 ambeton : = 12% -* * = 0,53 am. V e r m o e i i n gDit onderwerp geldt voornamelijk voor dynamisch belaste construc-ties.Uitgaande van bekende factoren, zoals de grootte van de gemid-delde spanning, de variatie in de spanning (spanningsrimpel) ende frequentie van de variatie, kan voor een bepaald materiaal devermoeingssterkte worden vastgesteld. Hierdoor zijn de toelaatbarespanningen en spanningswisselingen bekend.A c h t e r u i t g a n g in de k w a l i t e i t van de s a m e n -s t e l l e n d e m a t e r i a l e nEen constructie kan ook bezwijken, doordat de samenstellende ma-terialen, bij voorbeeld door aantasting, achteruitgaan in kwaliteit.1) De tussen haakjes geplaatste getallen verwijzen naar de betreffende paragrafenvan de 'Recommandations pratiques pour le calcul et l'ex?cution des ouvragesen b?ton pr?contraint', Bulletin d'Information nr. 54 van het Comit? Europ?endu S?ton.Een voorbeeld hiervan is corrosie van de wapening. In de bereke-ning en de detaillering van de constructie kan deze factor van gro-te betekenis zijn.Bij gewapend-betonconstructies kent men in verband hiermede debeperking van de scheurwijdte. Bij voorgespannen betonconstruc-ties is daarom gescheurd' beton ter plaatse van het voorspanstaalniet toegestaan.In dit opzicht spelen niet alleen de b?tondekking, de betonspan-ningen en de profilering van het betonstaal e.d. een rol, maar vaakook de cementsoort, de mate van dichtheid1van het beton, specialebeschermingsmethoden, enz.Voor verschillende constructies kan dit criterium voor de levens-duur van de constructie van veel meer betekenis zijn, dan dat vanoverbelasting.D. B r a n dHet is duidelijk dat zowel ten aanzien van de keuze van het con-structiemateriaal, als ten aanzien van de wijze van construeren, hetaspect van de brandwerencfheid een grote rol kan spelen. Van be-tekenis is reeds welke eisen men in dit verband aan een construc-tie stelt, aangezien een absoluut brandwerende constructie immersniet bestaat.De mate van vereiste brandwerendheid moet daarom worden be-schouwd als een factor, bepaald door het levensgevaar van bewo-ners en brandweerlieden, de schade aan belendingen en vitale on-derdelen van het gebouw en de functie van het gebouw.3. De bepaling van de bezwijkbelasting van gedeeltelijk voorge-spannen betonWanneer men uitgaat van de bezwijkbelasting van een betoncon-structie zou men, wanneer de constructiehoogte gegeven is, daar-uit reeds globale afmetingen van d? constructie kunnen bepalen.Uit de gegeven constructiehoogte kan immers de inwendige hef-boomsarm (bij bezwijken) z worden geschat en uit de bezwijkbelas-ting (breukmoment Mu] en de inwendige hefboomsarm de trek-Mkracht in het voorspanstaal F,, = --- bij bezwijken van de construc-tie.Ook volgt daaruit de doorsnede van de betondrukflens, indien ge-geven is de betonkwaliteit, c.q. de prismadruksterkte au';^Uit de aangenomen waarde van en de grootte van F,, volgt deligging van het drukpunt van de voorspanning, alsmede de groottevan de werkvoorspankracht F en daaruit de aanvangsvoorspan-kracht Fa. Dit laatste is alleen mogelijk wanneer de grootte vande staalspanning bij bezwijken van de constructie en die van dewerkspanning voorlopig worden geschat, bij voorbeeld 0,98 en0,55 aar.Uit de grootte van F en Fa en het aangrijpingspunt van de voor-spanning volgt, bij gegeven toelaatbare drukspanningen voor hetbeton aan de onderzijde ?V en a'ba bij benadering de doorsnedevan de betononderflens, omdat in het stadium van voorspanningen eigen gewicht de drukspanningen daar het grootst zijn.Op deze wijze voortgaande kan men de afmetingen van voorge-spannen betonconstructies benaderen. Hierop zal evenwel hier nietworden ingegaan.De bedoeling van deze beschouwing is alleen om erop te wijzendat men bij een volledig voorgespannen-betonconstructie, uitgaan-de van een bepaalde breukveiligheid en een gegeven belasting,voor een gegeven hefboomsarm (constructiehoogte) reeds vanzelftot bepaalde afmetingen van de betononderflens komt Op degrootte van het breukmoment speelt evenwel de afmeting van dezebetononderflens (afgezien van het eigen gewicht daarvan) geen rol.De benodigde hoeveelheid voorspanstaal die vereist is om ditbreukmoment te realiseren, bepaalt bij volle voorspanning de af-metingen van de onderflens, in verband met de toelaatbare beton-spanningen in het stadium van voorspanning en eigen gewicht.Hier ligt een reden voor de ontwikkeling van het gedeeltelijk voor-gespannen beton. Men zou immers de afmetingen van deze beton-onderflens belangrijk kunnen reduceren, indien men:Cernent XVIII (1966) Nr. 12 741a. slechts een deel van het voorsponstaal spant (A b e l e s );b. een gedeelte van het voorspanstaal vervangt door betonstaal.Beide methoden worden ?n de praktijk toegepast. Er is evenwel eenbelangrijk verschil tussen de problemen van deze twee methodenen wel door het feit dat in het gescheurde beton in geval a. alleenhoogwaardig voorspanstaal met een relatief kleine doorsnede aan-wezig is, terwijl in geval b. een grote doorsnede van minder gevoe-lig betonstaal voorkomt. In geval a. evenwel zal de kleine staal-doorsnede geen belangrijke invloed hebben op de krimp- en kruip-processen van het beton, terwijl in geval b. daar nadrukkelijk welsprake van is.Men zou zich ook kunnen afvragen of het niet mogelijk is om alhet voorspanstaal gedeeltelijk te spannen. Van deze mogelijkheidzijn geen toepassingen bekend. Waarschijnlijk heeft deze methodeuit financieel oogpunt nadelen, omdat men dan voor al het voor-spanstaal ook verankerings-constructies nodig heeft.Concluderend kan worden gesteld, dat in gedeeltelijk voorgespan-nen beton de afmetingen van de voorgedrukte trekzone belangrijkkunnen worden gereduceerd door een deel van het gespannen staalte vervangen door ongespannen voorspanstaal of betonstaal (fig. 1).Een soortgelijk geval vormen zeer zwaar belaste constructies, waar-bij het eigen gewicht gering is. Kiest men in dat geval een zo gun-stig mogelijke inwendige hefboomsarm, dan zal men, onder in-vloed van de daaruit af te leiden grootte van de aanvangsvoor-spanning, grote drukspanningen in de onderzijde vinden in het sta-dium van voorspanning + eigen gewicht, omdat het moment tengevolge van dit eigen gewicht deze drukspanningen weinig redu-ceert. Dit geval kan bij voorbeeld voorkomen bij zwaar belastemassieve betonplaten van geringe overspanning.Bij het beschouwen van het gedrag van een gedeeltelijk voorgespan-nen-betonconstructie bij overbelasting zal uitgegaan moeten wor-den van het -- diagram van de verschillende soorten toegepaststaal, zowel voorspanstaal als betonstaalWanneer wordt afgezien van de relaxatie van de staalspanning inhet voorspanstaal kan worden gesteld dat de verkorting van hetvoorspanstaal en het betonstaal (mits in dezelfde zone gelegen)ten gevolge van krimp en kruip van het beton gelijk is.Punt 1 op de lijn van het -- diagram van fig. 2 is het nulpunt vanhet -- diagram van het betonstaal. Deze nulspanning valt immerssamen met de staalspanning in het voorspanstaal na aftrek van hetspanningsverlies door relaxatie. Door krimp en kruip van het betondaalt de staalspanning in het voorspanstaal van ] tot 2.Uit het diagram blijkt, dat het betonstaal onder druk komt te ver-keren. Het punt dat op het diagram de grootte van de staalspan-ning aangeeft, verplaatst zich immers van 1 naar 2.Bij het belasten van de constructie zal de staalspanning in het voor-spanstaal en die in het betonstaal door het langer worden van hetbeton ter plaatse van het staal, toenemen. Bij verder gaande belas-ting van de constructie zal de staalspanning van beide of ??n derbeide soorten staal het stadium bereiken, waarin de vervormingenniet meer recht evenredig toenemen met de spanning.Er kunnen zich nu drie gevallen voordoen:a. net voorspanstaal bereikt het eerst de elasticiteitsgrens;b. beide materialen bereiken tegelijk de elasticiteitsgrens;het betonstaal bereikt het eerst de elasiciteitsgrens.Geval a. zal zich altijd voordoen, wanneer een gedeelte van hetvoorspanstaal niet wordt voorgespannen. Dit ongespannen staal be-reikt dan de elasticiteitsgrens bij een hogere belasting dan het ge-spannen staal.Geval b. zou men het meest ideale kunnen noemen.Geval zal voorkomen in die gevallen waarbij de staalspanning inhet voorspanstaal laag is en/of de vloeigrens van het betonstaallaag is.Doordat ??n der beide soorten staal plastisch gaat vervormen, zalbij het opvoeren van de belasting het andere materiaal, ingeval a.of ook spoedig de elasticiteitsgrens bereiken, zodat het meestalniet zo belangrijk is om naar de situatie van geval b. te streven.Dit laatste kan nog worden toegelicht met een voorbeeld van ge-deeltelijk voorgespannen beton, waarbij slechts een deel van hetvoorspanstaal is gespannen (fig. 3).Stel voor het gespannen voorspanstaal = 0,6 X 170 kgf/mm2= 102 kgf/mm2als het ongespannen staal juist spanningsloos is. Debijbehorende rek is 5,3?/oo. De totale rek van het staal bij de ,2rekgrens van 161 kgf/mm2bedraagt 10,3%o.fig. 2 vervorming voorspanstaalf/g. 3742 Cement XVIII (1966) Nr. 12fig. 4Bij een totale rek van (5,3 + 10,3) = 15,6%o is de staalspanning inhet voorspanstaal 168 kgf/mm2. Dit betekent dus dat bij een belas-ting, zodanig dat het ongespannen staal de ,2 rekgrens van 161kgf/mm2bereikt, het gespannen staal een spanning heeft van 168kgf/mm2. Bij verder toenemen van de vervormingen worden dezeonderlinge verschillen kleiner.Wanneer men overigens bij de bepaling van het breukmoment uit-gaat van het gestelde in de Richtlijnen Voorgespannen Beton (R.V.B.1962), art. 7, lid 4, wordt het breukstadium gedefinieerd door de be-lasting waarbij het voorspanstaal een extra rek heeft van 5%o. Indit geval is dit de 0,2 rekgrens van het staal, ofwel 161 kgf/mm2.Het ongespannen staal heeft daarbij slechts een staalspanning van97 kgf/mm2.In werkelijkheid zullen de bereikte staalspanningen belangrijk ho-ger zijn. Hier ligt dus ook een probleem ten aanzien van het voor-schrift.Concluderend kan worden gesteld, dat aan het gelijkvormig zijn enhet op elkaar afgestemd zijn van de -- diagrammen van beton-staal en voorspanstaal niet zoveel aandacht behoeft te worden be-steed. Men moet er alleen voor zorgen dat de toegepaste staal-soorten in het plastisch gebied een groot vervormingsvermogenhebben.buigingHet breukmoment van de gedeeltelijk voorgespannen betonconstruc-tie, als gegeven in fig. 4, laat zich eenvoudig berekenen, nl.:Mu = (A, . ae + c.A2. Oar).z.Hierin is: Ai = doorsnede betonstaal;A2 = doorsnede voorspanstaal;ae = vloeigrens betonstaal;. = staalspanning voorspanstaal bij breuk van de con-structie; zal dan meestal een v/aarde hebben gele-gen tussen 0,96 en 1.Een voorwaarde is evenwel, dat in dat gevalBBb. ,,' > Ai . ,, + A2. r.Uit de grootte van het breukmoment volgt dat, onder inachtnemingvan de veiligheidsco?ffici?nt , het op de constructie toe te latenMmoment M gelijk is aan--- .. YBij dit moment M zullen dus de grootte van de scheuren of de rekvan het beton binnen de daaraan gestelde grenzen moeten blijven.Is dat niet het geval, dan moet M zoveel worden verlaagd, dataan deze eisen w?l wordt voldaan.Uit de berekening van het breukmoment volgt dat men, om dedoorsnede van het betonstaal zoveel mogelijk te beperken, gebruikzal moeten maken van betonstaal met een zo hoog mogelijke vloei-grens, aangezien dan de staaldoorsnede het meeste effectief is.Uit.de formule van het breukmoment volgen de verschillende com-binaties van gedeeltelijke voorspanning. Immers de factorAi . + . A2 . O'er dient daartoe constant te zijn.Voorbeeld; = 40 kgf/mm2;. = 165 kgf/mm2.A2/A?2 Ai/A?2100% 0 % volle voorspanning80% 82,5%60% 165 %40% 247 %20% 330 %0 412 % gewapend betonUiteraard zal de toelaatbare scheurwijdte en waarschijnlijk ook dedoorbuiging van de constructie een grens stellen aan de toelaat-bare verhouding tussen de doorsnede van voorspanstaal en die vanhet betonstaal.Het geval zonder voorspanning, dus zuiver gewapend beton, kanvoor dezelfde constructiehoogte uiteraard niet worden gerealiseerd.Uit het voorbeeld blijkt wel duidelijk, dat men voor elke cm2voorspanstaal, die minder wordt aangebracht, 4,1 cm2betonstaal inde plaats zal moeten brengen. Het is dus in verband hiermee te be-grijpen, dat gedeeltelijk voorgespannen beton alleen zin heeft, wan-neer tegenover de extra hoeveelheid betonstaal en de daarmedegepaard gaande kosten een belangrijk hoger draagvermogen vande constructie kan worden verkregen, of dat de afmetingen van deconstructie belangrijk kunnen worden gereduceerd.Wordt het voorspanstaal gedeeltelijk gespannen, dan is de hoeveel-heid staal in de doorsnede niet aan verandering onderhavig. Hier-bij zal men evenwel sterk beperkt zijn in de hoeveelheid' staal datniet word? gespannen, omdat de toelaatbare scheurwijdte en ookde doorbuiging van de constructie daaraan een grens stelt. In ditlaatste geval wordt dan ook niet meer dan 20 ? 30% van het staalin ongespannen toestand aangebracht.In het geval van gedeeltelijk voorgespannen beton, gewapend metbetonstaal, komt men wel betonconstructies tegen, die slechts voor50% zijn voorgespannen, uiteraard met een daarvoor in de plaatsaangebrachte grote doorsnede aan betonstaal.In dit verband kan als interessant voorbeeld worden genoemd detoepassing van gedeeltelijk voorgespannen beton bij het viaductCorso Francia te Rome. De liggers, die een omgekeerde driehoekigedwarsdoorsnede bezitten, zijn uitgevoerd met 9,2 cm2voorspan-staal (twee kabels 12 ? 7) en 60 cm2betonstaal (8 ? 26 en 4 ? 24). Inhet licht van de voorgaande beschouwing is de toepassing van ge-deeltelijke voorspanning bij een ligger van deze vorm wel duidelijk.Opgemerkt kan worden dat de constructiehoogte 1,12 m bedraagtbij een overspanning van 16 m en dat de ligger 1,90 m breed is.zuiver trekTer illustratie zal ook als voorbeeld worden gegeven een zuiver optrek belaste constructie. Uitgegaan wordt van een op te nementrekkracht P1, een veiligheid op breuk (vloeien van het staal) van = 2 en een maximaal toelaatbare betondrukspanning ?^'1. Volledig voorgespannen betonnpDoorsnede voorspanstaal: A2 =---------------OarDe betondoorsnede wordt bepaald voor het belastinggeval vanvolledige voorspanning onder afwezigheid van een trekkracht Indat geval is de toelaatbare betondrukspanning ?V.Hieruit volgt de grootte van de werkvoorspanning, nl: A2. .Wanneer een scheurveiligheid van bijv. 1,2 wordt verlangd, geldtdus: = 0,6 .De betondoorsnede is dan gelijk aan:--'---=--'-------..Ob'2. Gedeeltelijk voorgespannen beton, waarbij geen eis aan descheurveiligheid wordt gesteldIn dit geval is de doorsnede van het betonstaal gelijk aan:_2-2.Al-------------------------- .Cement XVIII (1966) Nr. 12 743De betondoorsnede volgt wederom uit de grootte van de maximalebetondrukspartning ?V? Men kan de vergelijking van krachten in ditgeval als volgt opschrijven:B.?b' + n . { A i + A2). ?b' = 0,6 A2 . Oar+ .( 1+ 2) =?'6|->8Wanneer-^ = 100; -^r~= 25 en = 6, krijgt men het volgende over-os ?"zicht, als gegeven in tabel 2.A2/A?2 A,M?20%8(^/0160%100%71%42%Wil men de betondoorsnede tot 42% van de oorspronkelijke door-snede beperken, dan kan men de voorspanning tot 60% van die bijvolledige voorspanning terugbrengen en het ontbrekende deel ver-vangen door betonstaal, waarvan de doorsnede gelijk moet zijnaan 2,65 maal die van de gereduceerde hoeveelheid voorspanstaal.Een interessante toepassing van dit type gedeeltelijk voorgespan-nen beton vormt de cilindervormige omsluiting van een atoomreac-tor.Bij calamiteiten aan de reactor zelf kunnen drukken worden ver-wacht van 5 atmosferen (50 tf/m2). In die toestand wordt de cilinder-wand berekend als gedeeltelijk voorgespannen beton. Voor de nor-male gebruiksbelasting is de wand volledig voorgespannen. In hetstadium van de gebruiksbelasting is nu alles veel eenvoudiger ge-worden als gevolg van de veel dunnere cilinderwand. Dit betrefto.m. de -inklemming in de bodem, de betonspanningen rondom spa-ringen in de wand' en de temperatuurspanningen.Wanneer een constructie voldoende breukveiligheid bezit, betekentdit niet zonder meer, dat deze aan alle eisen voldoet. Van grootbelang voor het gedrag van de constructie in het gebruiksstadiumzijn immers de grootte van eventuele scheuren, d? doorbuiging, devermoe?ngssterkte, e.d.De breukveiligheid is derhalve slechts ??n, zij het een zeer belang-rijk aspect van het gedrag van de constructie.De invloed van het al of niet spannen van voorspanstaal en hetal of niet vervangen van dit staal door betonstaal is aan de handvan proeven nagegaan op het laboratorium van de Universiteitvan Luik. Alhoewel het belangrijk is om kennis te nemen van deresultaten van dit onderzoek, moet worden opgemerkt dat de con-clusies die daaruit kunnen worden getrokken, van betrekkelijke waar-de zijn, omdat deze proeven zijn uitgevoerd op balken met eenrechthoekige doorsnede, waarbij bovendien de maximale druk-spanning in de ondervezels van de diverse balkjes niet gelijk is ge-houden. Bij dit type balk is het niet van belang om deze gedeelte-lijk voor te spannen, zoals uit het voorgaande duidelijk is af teleiden.De proeven te Luik zijn uitgevoerd op balken met een doorsnedevan 18 ? 10 cm2en een lengte van 195 cm. Zij zijn vervaardigdmet een gemiddelde betonkwaliteit van 550 kgf/cm2.Het toegepaste voorspanstaal ? 3 had een treksterkte van 203 kgf/mm2en was aangespannen op 122 kgf/mm2. De gelijkmatige rek bijbreuk van dit staal bedraagt 1,45%.fig. 6Het betonstaal ? 3 had een vloeigrens van 23,5 kgf/mm2.Het gespannen staal had als aangrijpingspunt van de voorspanninghet onderkernpunt (e = 3 cm) of het hart van het ongespannen staal(e = 6 cm).Een overzicht van het resultaat van de proeven is gegeven in defiguren 5 en 6. Daaruit ziet men het volgende:?. het breukmoment wordt groter bij toeneming van het percentagegespannen staal, dit zelfde geldt ook voor het scheurmoment;2. het verlagen van het drukpunt van de voorspanning van e = 3 cmnaar e = 6 cm doet het breukmoment toenemen; dit zelfde geldteveneens voor het scheurmoment;3. het vervangen van het betonstaal door ongespannen voorspan-staal verhoogt het breukmoment.Uit dit onderzoek blijkt duidelijk dat volledig voorgespannen beton,indien dit mogelijk is, de voorkeur verdient boven gedeeltelijkvoorgespannen beton.Ten einde na te gaan wat de invloed is van gedeeltelijk voorge-spannen beton bij T-balken is nog een berekening uitgevoerd methet balkmodel, zoals dit is besproken in Stuvo-inleiding nr. 71 'In-vloed van het spanning-rekdiagram van voorspanstaal op het ge-drag van voorgespannen betonconstructies bij overbelasting' *).Voor balkvorm en berekeningswijze moge eenvoudigheidshalve"naar deze publikatie worden verwezen ?fig. 6).In de balk, voorgespannen met staal QP 170 en--^^- = 0,85, is on-gespannen voorspanstaal van dezelfde kwaliteit bijgelegd en wel25% en 50% van de reeds aanwezige hoeveelheid gespannen sta l.aDe invloed van deze kleine staald?orsnede op de drukspanningenaan de betononderzijde is verwaarloosd, een aanname die hier welverantwoord is.Vervolgens z?jn de verschillende belasting-fasen bij overbelastingbepaald. Tabel 3 geeft een samenvatting.*) In een van de komende nummers van De Ingenieur zal deze Inleiding van dehand van ir. A. S. 6. B r u g g e l i n g worden gepubliceerd.1. balk A - gewapend met voor-spanstaal: breukmoment als func-tie van het percentage gespan-nen voorspanstaal.2. balk A - gewapend met beton-staal en gespannen voorspan-staal; breukmoment ais functievan het percentage voorspanstaal.3. balk - gewapend met voor-spanstaal; breukmoment als func-tie van het percentage gespan-nen voorspanstaal.4. balk - gewapend met beton-staal en gespannen voorspan-staal; breukmoment als functievan het percentage voorspanstaal.f/g. 5a. scheurmoment als functie vanhet percentage gespannen voorspan-staal; voor wapening en afmetingenzie fig. 5744 Cement XVIII (1366) Nr. 12?2(mm2)A,(mm2)(tfm)0(tfm)(tfm) M2,5(tfm)Mu 2(kgf/(tfm) mm2)(kgf/mm2)3600 -- 252 277 328 448 544 167 ____3600 900 261 286 350 470 635 164 1523600 1800 272 294 377 510 710 160 139Hierin is:A2 = ; doorsnede voorspanstaal QP 170,--^5- = 0,85;A, = doorsnede niet gespannen voorspanstaal QP 170,M,, =:moment, waarbij de spe ?,05 _O-arinning in de onderzijde gelijk is= 0,85;aan 0;M0 =:moment, waarbij de spanning ter plaatse van A gelijk is aan 0;A4r = scheurmoment;M2,5= moment waarbij de verlenging van het voorspanstaal gelijk isaan 2,5%o, overeenkomende met 5 scheuren van 0,5 per meter;M,, =:breukmoment; =:staalspanning bi, j het breukmoment.Dit overzicht toont duidelijk aan dat voor de proeven te Luik eenbalkvorm is gebruikt, die zich minder goed leent voor gedeeltelijkvoorgespannen beton. De conclusies die men uit dat onderzoek kantrekken, zijn dus van beperkte betekenis. Door het extra bijleggenvan ongespannen staal neemt het breukmoment juist belangrijk toe,terwijl het scheurmoment er eveneens niet ongunstig afkomt, zij hetdat in het gegeven voorbeeld de invloed van de krimp en kruip vanhet beton is verwaarloosd. Ook het buigend moment, waarbij deconstructie waarschuwt, blijft in redelijke verhouding tot het scheur-en het breukmoment.Men zou kunnen stellen dat, met enig voorbehoud (zie onder para-graaf 6), door bijleggen van ongespannen staal het toelaatbaarmoment van 252 tfm bij volledig voorgespannen beton, kan wordenverhoogd tot ca. 300 tfm bij 25% ongespannen staal en tot 330 tfmbij 50% ongespannen staal.Hiermede wordt duidelijk ge?llustreerd welke mogelijkheden het ge-deeltelijk voorgesoannen beton (in dit geval de methode A b e l e s )in verschillende gevallen kan hebben, mits men met de problemenvan scheurvorming, vermoeiing e.d. rekening houdt.4. Het gedrag van het gedeeltelijk voorgespannen beton in hetgebruiksstadiumWanneer een gedeeltelijk voorgespannen betonconstructie wordtvoorgespannen kan men de volgende fasen onderscheiden (fig. 7);I. Spannen van het voorspanstaalBij voorgespannen beton met voorgerekt staal wordt de staal-spanning v??r het spannen zo hoog gekozen dat, wanneer hetbeton onder invloed van de voorspanning elastisch is vervormd,de toelaatbare aanvangsspanning van het staal juist aanwezig is.II. Het onder voorspanning brengen van de constructie.Hierbij vervormen voorspanstaal en betonstaal elastisch. Hetvoorspanstaal krijgt nu een spanning gelijk aan de aanvangs-spanning.Het betonstaal komt onder druk te verkeren evenals het beton.III. Door relaxatie van de staalspanning, krimp en kruip van hetbeton vermindert de spanning in het voorspanstaal en de druk-spanning in het beton als functie van de tijd. De drukspanningin het beton vermindert in belangrijke mate, omdat een deel vande drukkracht die op de betonconstructie wordt uitgeoefend,overvloeit van het beton naar het betonstaal, dat onder hogeredrukspanningen komt te verkeren.IV. Bij het belasten van de constructie, zodanig dat het beton in deonderzijde van de balk juist spanningsloos wordt, nemen destaalspanningen toe.V. Bij het verder belasten van de constructie neemt de staalspan-ning nog verder toe tot het stadium dat het beton scheurtVI. Wanneer een bepaalde scheurwijdte w van het beton wordttoegelaten, zullen de staalspanningen, bij het verder opvoerenvan de belasting, tot relatief hoge waarden kunnen oplopen.In fig. 7 is ??n en ander afgebeeld. Daarbij is in de rechterboven-zijde van de grafiek uitgezet het -- diagram van het betonstaalen het voorspanstaal. Aan de onderzijde zijn de betonspanningenin de trekzijde van de betondoorsnede, behorend bij de daarbovenaangegeven staalspanningen, uitgezet.Voor het opstellen van de grafiek is aangenomen, dat de elastici-teitsmodulussen van voorspanstaal en betonstaal gelijk zijn. Boven-dien is de invloed van de relaxatie van de voorspanning op deverandering van de staalspanning in rekening gebracht, door aan tenemen dat de relaxatie van de spanning in het voorspanstaal reedsis opgetreden, v??rdat de krachten op het beton worden uitgeoefend.Ten slotte is aangenomen dat het zwaartepunt van het voorspan-staal samenvalt met het zwaartepunt van het betonstaal.Voor de bepaling van de toelaatbare toeneming van de staalspan-ning, in verband met beperking van de scheurwijdte, is aangehou-den de formule w =-=^- . ' ( ie ook 3, 133).zaVoor moet worden aangehouden de toeneming van de span-ning in het betonstaal, uitgaande van de toestand waarin debetonspanning in de beton-ondervezel juist nul is (fase V uit fig. 7).fig. 7fase I:voorspanstaal op spanningfase II:constructie voorgespannenfase III:krimp en kruip opgetredenfase IV:moment waarbij geen trek op-treedt - klasse 1fase V:moment waarbij slechts trekoptreedt onder nuttige belas-ting - klasse 2fase VI:moment waarbij scheurwijdtekleiner of gelijk is aan 0,1mm - klasse 3 h i geeft de volgendeformule voor de grootte van demaxi-male scheurwijdte [3]:max. \wmax. ^ i \ I'ta 4 (A, + A2)Hierin is: Xd = aanhechtspaningtussen staal enbeton; = omtrek van het staal.De gegevens uit de grafiek kunnen nog in het volgende overzicht, alsgegeven in tabel 4, worden samengevat.Uit het getallenvoorbeeld, dat uit een bepaald berekeningsgevalis afgeleid, volgt dat het betonstaal door het krimp- en kruipprocesvan het beton zodanig onder drukspanning komt te verkeren, datdaarin zelfs in het gescheurde stadium, bij w = 0,1 mm, slechts enigetrekspanning optreedt. Zou men een scheurwijdte van w = 0,2 mmtoelaten, dan is de trekspanning in het betonstaal gelijk aan 15kgf/mm2.Wat het voorspanstaal betreft, kan worden opgemerkt dat de span-ningen daarin belangrijk hoger zijn dan die, welke in volledig voor-gespannen beton worden toegelaten, omdat de verliezen van krimp-en kruip van het beton en de relaxatie van het voorspanstaal in ditCement XVIII (1966) Nr. 12 745staalspanningen in kgf/mm2fasevoorspanstaal betonstaalbetonspanningen inkgf/cm2in de beton-onderzijdeiIIIIIIVVVIVil116')11199103,51071191310-- 5-- 17-- 12,5-- 9+ 3+ 150-- 113-- 700+ 40scheurwii'dte 0,1 mm2)scheurwijdte 0,2 mm1) 116 kgf/mm2?s de aanvangsspanning van 125 kgf/mm2, verminderd met een re-laxatie van de staalspanning groot 9 kgf/mm2.2) de scheurwijdte w van 0,1 mm is bepaald uitgaande van een beugelafstand van15 cm; proefnemingen hebben ni. aangetoond dat de scheurafstand mede wordtbepaald door de beugelafstand, omdat de scheuren voorkomen ter plaatse van dezebeugels.geval worden gecompenseerd doordat de staalspanningen in be-langrijke mate toenemen ten gevolge van het scheuren van het be-ton.De spanningen in het betonstaal en in het voorspanstaal mogenbij volbelasting in ieder geval niet z? groot zijn, dat het staal zichniet meer volledig elastisch gedraagt.In volledig voorgespannen beton zullen de spanningswisselingen inhet voorspanstaal meestal niet groter zijn dan 3 ? 4 kgf/mm2. In hetgedeeltelijk voorgespannen beton zullen de spanningswisselingen inde orde van grootte van 15 kgf/mm2liggen, wanneer de scheur-wijdte, zoals in dit geval, beperkt wordt tot ca. 0,1 mm. Deze gro-tere spanningswisseling in het staal gaat bovendien gepaard meteen hoge maximale staalspanning en derhalve ook met een groterspanningsverlies in het staal ten gevolge van relaxatie.Zou men deze maximale staalspanning in belangrijke mate willenterugbrengen, bij voorbeeld zodanig, dat de in de R.V.B. 1962 ge-noemde waarde van 0,55 wordt aangehouden, dan komt mentot waarden voor de aanvangsspanningen in het voorspanstaal diegering zijn, waardoor toepassing van gedeeltelijk voorgespannenbeton waarschijnlijk weinig zin zal hebben.Ten aanzien van de beton- en staalspanningen in het ongescheur-de stadium, onder invloed van voorspanning en belasting, kan nogworden opgemerkt, dat deze op eenvoudige wijze kunnen wordenberekend door uit te gaan van de grootheden van de constructie-doorsnede, met inachtneming van de staaldoorsnede. Voor de waar-de van n, de verhouding tussen de elasticiteitsmodulussen van staalen beton, moet de verhouding worden aangehouden, die uitgaatvan de werkelijke Eb van beton, zoals deze onder meer volgt uit deRichtlijnen Voorgespannen Beton (R.V.B. 1962), art. 7, lid 3,2. Deinvloed van krimp en kruip van beton en de relaxatie van het voor-spanstaal dienen apart te worden berekend, zoals onder 5 naderzal worden uiteengezet.Bij voorgespannen beton met nagerekt staal moet voor de bepalingvan de spanningsverdeling ten gevolge van het voorspannen in al-le fasen van de constructie (dus ook bij het voorspannen, dit wilzeggen, lossen van de tijdelijke verankeringen) de doorsnede vanvoorspanstaal en betonstaal bij het bepalen v?n de grootheden vande doorsnede in rekening worden gebracht.De waarde, waarmee de spanning in het voorspanstaal ten gevol-ge van de elastische verkorting van het beton wordt verminderd,is gelijk aan de grootte van de drukspanning in het staal, d?e wordtgevonden als invloed van de op de doorsnede uitgeoefende voor-spankracht.Bij voorgespannen beton met nagerekt staal moet in het stadiumvan voorspannen de spanningsverdeiing over de doorsnede wor-den berekend door uit te gaan van de grootheden van het betonen het betonstaal, dus zonder het voorspanstaal. Voor de overigespanningstoestanden moet dan het voorspanstaal mede in rekeningworden gebracht bij het bepalen van de grootheden van de door-snede.Het hier gestelde kan als volgt worden toegelicht aan de hand vanhet voorbeeld van een centrisch voorgespannen en symmetrisch ge-wapende doorsnede.Wordt de doorsnede van het beton gesteld op ?, die van het be-tonstaal op A] en die van het voorspanstaal op A2, terwijl despanning in het voorspanstaal direct na het voorspannen van deconstructie gelijk is aan , dan volgt uit het evenwicht van krach-ten en vervormingen: . ^' + . ' = 2 . .Aangezien 1' =-- a. b' = . ',fcDvolgt hieruit: 1' =A* '?? .1+ De spanning in het voorspanstaal v??r het elastisch verkorten vanhet beton was ( + 1') aannemende dat de beide staalsoorteneenzelfde elasticiteitsmodulus hebben. Hieruit volgt voor de groottevan de spanning in het voorspanstaal v??r het voorspannen van deconstructie:_ (A, + A2) +aa., + 'Oefent men deze kracht uit op dezelfde doorsnede, maar nu met eenstaaldoornede gelijk aan (Ai +A2), dan vindt men uit het evenwichtvan krachten en vervormingen:B.ab- + (A1+A2)ao1- = A2.aaa."^+Aj +B.ofwel 1?=?TMDe gevonden waarde van ', uitgaande van de spanning van hetvoorspanstaal v??r het spannen van het beton, is dus gelijk aandie, uitgaande van d? staalspanningen n? het voorspannen.Aangezien in de praktijk de eerste waarde bekend is en de tweedebij voorgespannen beton met voorgerekt staal moet worden bere-kend, is het duidelijk dat de aangegeven berekeningswijze niet al-leen eenvoudig, maar ook juist is.Op de wijze waarop de grootheden van de doorsnede moeteriworden berekend wordt hier uiteraard niet ingegaan. Alleen kanworden opgemerkt dat, indien men voor de berekening van de groot-heden van de doorsnede het beton ter plaatse van het staal in re-kening brengt, de staaldoorsnede met een factor gelijk aan (n-1) . Ain rekening moet worden gebracht.De berekening van de staalspanningen in het gescheurde stadiumgeschiedt op gelijke wijze als voor gewapend beton, met dien ver-stande dat de extra (voor)spanning in het voorspanstaal in reke-ning moet worden gebracht. Aangezien de grootte van de spanning in het betonstaal (en daarmede ook die in het voorspanstaal)in belangrijke mate afhangt van de toelaatbare scheurwijdte van hetbeton, is de totale trekkracht in het staal bekend (fig. 8).fig. 8De inwendige hefboomsarmz die daarbij behoort, kanmeestal vrijnauwkeurig worden geschat,uitgaande van een bepaaldeliggingvan de neutrale lijn v. Uit de combinatie van beide volgt het bui-gend moment M:M = [A,. 1 + 2 ( + )],waarop de constructie mag worden belast, zonder dat de toelaat-bare scheurwijdte wordt overschreden. Het zal duidelijk zijn dateen goede benaderingsberekening voor de spanningsverdeling overde doorsnede in het gescheurde stadium niet zo eenvoudig is te ge-ven. In dit verband moet worden gewezen op het behandelde on-der 2. Daar is vermeld, dat men bij de bepaling van d? afmetingenvan een gedeeltelijk voorgespannen betonconstructie moet uitgaanvan het bezwijkstadium.5. De invloed van de krimp en kruip van het beton op de span-ningsverdeling in de constructieE?n van de belangrijkste onderwerpen die bestudeerd dienen teworden bij gedeeltelijk voorgespannen betonconstructies, vormt de in-vloed van krimp en kruip van het beton op de spanningsverdeling inde constructie. Ten einde de toepassing van gedeeltelijk voorgespan-nen beton in de toekomst mogelijk te maken, is het zelfs van pri-mair belang om over een theoretische basis te beschikken met be-hulp waarvan de genoemde invloeden met voldoende nauwkeurig-heid kunnen worden bepaald. Vandaar dat hier eerst zal worden in-gegaan op de wijze waarop de invloed van krimp en kruip op despanningsverdeling kan worden berekend.746 Cement XVIII (1966) Nr. 12Bij het afleiden van de basisformules wordt uitgegaan van de vol-gende aannamen:I de elasticiteitsmodulus Eb van het beton verandert niet als functievan de tijd;2. de toename van de specifieke verkorting in een doorsnede ten ge-volge van een, gedurende een bepaalde tijd, constant gehoudenbelasting op een tijdstip f, is het produkt van de elastische verkor-ting ten gevolge van deze belasting op het tijdstip 0 en de diffe-rentiaal van de kruipfactorDe volgende notaties (in overeenstemming met die van het C.E.B.)worden aangehouden:B = oppervlak van de zuivere betondoorsnede, dus exclusief wa-pening;I = traagheidsmoment van de zuivere betondoorsnede;A1 = doorsnede betonstaal of ongespannen voorspanstaal;A2 = doorsnede gespannen voorspanstaal;-=5- = (elasticiteitsmodulussen voorspanstaal en betonstaal gelijk);4>e = exentriciteit staal ten opzichte van de neutrale lijn;e] = excentriciteit ongespannen staal;e2 = excentriciteit gespannen staal;. e2f = excentriciteitsfactor: f = 1 --------------------- --- ; = verhouding van staaloppervlak tot betonoppervlak:0"'ba = drukspanning in het beton t.p.v. zwaartepunt staaldoorsned?;a'bm = drukspanning in het beton t.p.v. de neutrale lijn;a'bo = drukspanning in het beton t.p.v. de ondervezel;] = spanning in het ongespannen staal;2 =spanning in het gespannen staal; = aanvangsspanning in het gespannen staal direct na het ver-ankeren;cpt = kruipfactor op tijdstip t; = kruipfactor na uitwerking van de kruip; =krimpverkorting op tijdstip f;SV? = krimpverkorting na uitwerking van de krimp;f = tijd.Kruip van het betonUitgegaan wordt van de aanname dat de zwaartepunten van ge-spannen en ongespannen staal samenvallen (fig. 9). De spanningsver-deling over de hoogte van de doorsnede is willekeurig. Op hettijdstip t is de betonspanning ter plaatse van het zwaartepunt van hetstaal gelijk aan: 0"'ba.f/g. 9De kruipverkorting op het tijdstip dt is groot--=-- ? -~ .?b dtTen gevolge van de kruip van het beton neemt de betonspanninga'ba af met een bedrag gelijk aan: ------ . Daardoor neemt terdf 'plaatse de lengte van het beton toe en wel met een bedrag: ?=--^ ?tb .dtHet staal verkort met een waarde, overeenkomend met een toenemingvan de drukspanning in het staal (afnemen trekspanning), groot d '.De vervorming is dus groot:-=--~.ta.dtNuis:^.A|i + |%-|^ = 0.tb dt fcb . df Ea. dfWanneer een extra drukkracht, groot: --r-5-. (Ai + A2), op de door-dtsnede wordt uitgeoefend, zal de betonspanning in de neutrale lijn wij-,.. , d a'bm Ai+A da2 a' doa'zigen en wel met de waarde: ---------------- 7-^ =--!-- ------ ? --;--= --rr~ ?df ? df dfDe grootte van de betonspanning d a'ba volgt uit CT'bm, aangeziende excentriciteit e van het aangrijpingspunt van de drukkracht bekendis. e2Immers d a'ba = d a'bm (1 + )F F .e 1(dit volgt uit: = -- + ... ,waarin W = --).D W eHieruit volgt:d a'ba _ da'bm_ daa'dt dt ~ ;, dt De differentiaalvergelijking kan nu dus worden geschreven in devorm:CT'h = _^>? (_!_+1).CTba' df dt l.. +''ofwel, jifa--? dCP>dt 1+__L_. . flna'ba =--------- 2i_--+ c.Op het tijdstip f = 0, is , = 0 en a'ba =a'ba0 .Daaruit volgt = In a'ba