O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eBerekeningcement 2003 772dr.ir.drs. C.R. Braam, TU Delft, Faculteit der CivieleTechniek en Geowetenschappen (CiTG)ir. G.Chr. Bouquet MICT, ENCI bvDe treksterkte is een belangrijke eigenschap die bij gewa-pend beton in rekening wordt gebracht bij dwarskracht,pons en scheurvorming bij opgelegde vervormingen.Bij ongewapend beton in elastisch ondersteunde vloeren,betonverhardingen en betonwegen bepaalt vooral detreksterkte de dikte van de betonplaat. Dit artikel geefteen chronologisch overzicht van de ontwikkeling van detreksterkte als rekenparameter in de betonvoorschriftenen laat zien hoe de treksterkte wordt toegepast bij deberekening van elastisch ondersteunde vloeren en verhar-dingen.H i s t o r i s c h p e r s p e c t i e fVoor het eerst is de splijttreksterkte gerelateerd aande kubusdruksterkte in [1], gebaseerd op de `Brazili-aanse splijtproef' op een betonkubus met riblengtevan 200 mm:fct,spl,m,0= 1 + 0,051 fcc,m,0(1)waarin:fct,spl,m,0is de gemiddelde korteduursplijttrek-sterkte;fcc,m,0is de gemiddelde korteduurkubusdruk-sterkte.Deze relatie was gebaseerd op proefstukken metkubusdruksterkten tussen circa 17 en 41 N/mm2.De splijttreksterkten lagen tussen circa 1,8 en 3,0N/mm2. De gevonden relatie tussen druksterkte ensplijttreksterkte kwam goed overeen met de resulta-ten bij TNO-IBBC zoals omschreven in [2].Tijdens nader onderzoek, vastgelegd in [3], is ondermeer onderzocht of bovenstaande relatie ook geldtvoor betondruksterkten hoger dan 30 N/mm2. Ditmet het oog op het verwachte verschijnen van de VB1972, die het toepassen van sterkteklassen tot en metB 60 mogelijk zou maken. Onderzocht werden ge-middelde kubusdruksterkten tot 75 N/mm2.De belangrijkste conclusies vermeld in [3] zijn:? de relatie tussen de splijttreksterkte en de kubus-druksterkte conform [1] is ook van toepassing bijhogere druksterkten; wel wordt de factor `0,051'vervangen door `0,05';? de riblengte van de kubus (150 mm of 100 mm)is niet significant van invloed op deze relatie;? de centrische treksterkte is gelijk aan 0,85 maalde splijttreksterkte;? de cilinderdruksterkte is 0,80 maal de kubus-druksterkte (riblengte kubus 150 mm);? het betreft steeds korteduurtreksterkten.In de rubriek VARCE [4] is aangegeven dat de uit-drukking ook kan worden gebruikt als karakteristie-ke waarden worden gehanteerd, indien een factor0,87 wordt toegevoegd:fct,spl,k,0= 0,87 (1 + 0,05 fcc,k,0) (2)waarin:fct,spl,k,0is de karakteristieke korteduursplijttrek-sterkte;fcc,k,0is de karakteristieke korteduurkubusdruk-sterkte (B-waarde).B e t o n t r e k s t e r k t e i n d e V B C 1 9 9 5In 6.1.2 van de VBC 1995 [5] wordt een langeduur-factor0,7ge?ntroduceerd.Dezewordtnuevenbuitenbeschouwing gelaten, omdat in voorgaande uit-drukkingen gewerkt is met korteduurwaarden. Ombij gangbare B-waarden `ronde' getallen te krijgen isvoorts in de VBC de waarde 1,0 verhoogd tot 1,05.De VBC 1995 geeft als relatie aan:fct,spl,k,0= (1,05 + 0,05 fcc,k,0) (3)Het verschil met uitdrukking (2) is de factor 0,87, dieplotseling `verdwenen' lijkt te zijn. In VARCE [4]wordt aangegeven dat die factor later in de materi-aalfactor is verwerkt. Voor de duidelijkheid wordt indeze beschouwing de factor 0,87 nu wel meegeno-men:fct,spl,k,0= 0,87 (1,05 + 0,05 fcc,k,0) (4)De centrische treksterkte wordt volgens [3] verkre-gen door de splijttreksterkte te vermenigvuldigenmet 0,85. Echter, in de afleiding van de VBC-uit-drukking is deze factor niet gebruikt. Niet duidelijkis waarom dit niet is gedaan. Besloten is echter dezefactor ook hier verder achterwege te laten, dus:fct,spl,k,0= fct,k,0De treksterkten van betonnader beschouwdKorteduursterkte belasting gedurende minutenLangeduursterkte (statisch belast)belasting gedurende 103tot 106uurLangeduursterkte (dynamisch belast)belasting gedurende circa 2 ? 106lastwisselingenO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eBerekeningcement 2003 7 73De langeduursterkte is 0,7 maal de korteduursterk-te. De karakteristieke centrische langeduurtrek-sterkte kan nu worden geschreven als:fct,k,= 0,7 ? 0,87 (1,05 + 0,05 fcc,k,0) (5)De karakteristieke langeduurtreksterkte is de repre-sentatieve waarde, dus fct,k,= fct,rep.De rekenwaarde van de treksterkte (fct,d) wordt ver-kregen door de representatieve waarde te delen doorde materiaalfactor mvoor beton onder trek:fct,d= fct,rep/ m= 0,7 ? 0,87 (1,05 + 0,05 fcc,k,0) / m(6)In VARCE [4] wordt gesteld dat de factor 0,87 uit bo-venstaande uitdrukking is verwerkt in de materiaal-factor.Uitgangspuntwasenisdatvoorzowelopdrukals op trek belast beton de materiaalfactor 1,2 is. Danresulteert een gecorrigeerde `materiaalfactor' gelijkaan:*m= m/ 0,87 = 1,2 / 0,87 = 1,38 (7)In 6.1.2 van [5] is 1,38 afgerond naar 1,4 en wordtdan `de materiaalfactor' genoemd. Hierbij moetenwe ons wel realiseren dat dit geen `echte' materiaal-factoris,maareen`gecombineerde'factor.De`echte'materiaalfactor voor beton op trek belast is 1,2.[1] en [3] stellen duidelijk dat de uitdrukking betrek-king heeft op de splijttreksterkte. Dat is gaandeweg`uit beeld verdwenen', immers, de factor 0,85 beno-digd om de centrische treksterkte uit de splijttrek-sterkte te berekenen, wordt niet meer genoemd. In[4] wordt nadrukkelijk gesproken over de splijttrek-sterkte als resultaat van de CUR-formule (vergelij-king 1) en wordt deze zonder meer vergeleken metde VBC-formule. Niet duidelijk wordt of de VBC-formule (vergelijking 3) de splijttreksterkte dan welde centrische treksterkte weergeeft.R e k e n w a a r d e b i j e l a s t i s c ho n d e r s t e u n d e v l o e r e n e n v e r h a r d i n g e nBij het opstellen van regels voor de rekenwaarde vande betontreksterkte is in [8] uitgegaan van de sterk-ten zoals die in de praktijk bij bedrijfsverhardingengebruikelijk waren. Bij B 25 ligt deze waarde in deorde van 1,8 tot 2,2 N/mm2.In nauw overleg met CUR-Voorschriftencommissie20istoenoppraktischegrondengekozenvoorderelatie:fct,d= [1,05 + 0,05 fcc,k,0] / m(8)Op grond van bovenstaande beschouwing wordtopnieuw de rekenwaarde van de treksterkte afgeleid,met als randvoorwaarde dat deze weer in de orde vangrootte ligt van die uit de bouwpraktijk, dus de re-kenwaarde volgens vergelijking (8).Voor de afleiding is uitgegaan van relatie (1), waarbijde factor 0,051 weer vervangen wordt door 0,05 ende factor 1 vervangen wordt door 1,05 overeenkom-stig de aanpak van [5], dus:fct,spl,m,0= 1,05 + 0,05 fcc,m,0(9)Uit onderzoek is gebleken dat de gemiddelde cen-trische treksterkte ongeveer 85% is van de splijt-treksterkte. In de navolgende beschouwing zal derelatie volgens 3.1.2 van Eurocode 2 [6] worden aan-gehouden, waarin de centrische treksterkte gedefi-nieerd is als fct,m= 0,9 fct,spl,m,0(fig. 1).De gemiddelde langeduurtreksterkte kan nu wordengeschreven als:fct,m,= 0,7 ? 0,9 [1,05 + 0,05 fcc,m,0] (10)Hier is 0,7 de factor om de korteduursterkte om terekenen naar de langeduursterkte.Volgens de CEB-FIP Model Code 1990 [7] en [6] geldtvoor de relatie tussen de gemiddelde en de karakte-ristieke kubusdruksterkte:fcc,m,0= fcc,k,0+ 8 N/mm2(11)Vergelijking (11) in (10) geeft:fct,m,= 0,7 ? 0,9 [1,05 + 0,05 (fcc,k,0+ 8)] (12)Voor elastisch ondersteunde vloeren en verhardin-gen is het toegestaan om te rekenen met de gemid-delde langeduur centrische treksterkte als represen-tatieve waarde. Om aan te sluiten bij het in debouwpraktijk gebruikelijke sterkteniveau wordt een`correctiefactor' van 1,4 toegepast op de gemiddeldecentrische langeduurtreksterkte:fct,d,= 1,4 fct,m,/ m= 0,9 [1,05 + 0,05 (fcc,k,0+ 8)] / m(13)waarin:fct,d,is de rekenwaarde van de langeduurtrek-sterkte;mis de materiaalfactor voor beton onder trek: 1,2.VoorbijvoorbeeldB45isderekenwaardevandetrek-sterkte volgens [8]: fct,d= 2,75 N/mm2, volgens devoorgestelde relatie (13) geldt: fct,d= 2,78 N/mm2.R e k e n w a a r d e b e t o n t r e k s t e r k t eb i j v e r m o e i i n gIn [8] wordt de sterktereductie als gevolg van ver-moeiing in rekening gebracht met de vermoeiings-factor a. Op basis van de treksterkte onder statischebelastingen volgens vergelijking 13 resulteert dan:fct,d,= 0,9 [1,05 + 0,05 (fcc,k,0+ 8)] / (ma) (14)1 | Bepaling van de splijt-treksterkte aan eenkubus met riblengtevan 150 mm volgens[13, fig. 2]O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eBerekeningcement 2003 774waarin:mis de materiaalfactor voor beton onder trek: 1,2;ais de vermoeiingsfactor conform 5.4 van CUR-Aanbeveling 36:? overwegend statische belastingen (N < 104):a= 1;? mobiele belastingen (104< N < 2 ? 106):1 < a 1,4 (ongewapend beton);? mobiele belastingen (104< N < 2 ? 106):1 < a 1,2 (staalvezelbeton).In geval van vermoeiing met a= 1,4 (ongewapendbeton) komt dit neer op een minimale treksterktevan fct,d,/1,4 = 0,7 fct,d,Voor de berekening van elastisch ondersteundevloeren of bedrijfsverhardingen volgens [8] is hetprogramma FLOOR?2.0 [10] beschikbaar.In het programma VENCON 2.0 [11], voor de di-mensionering van betonwegen, met uitsluitend dy-namischelasten,wordteenrekenwaardegehanteerddie gebaseerd is op de gemiddelde (28 daagse) kor-teduursterkte:fct,d,0= fct,d,/ 0,7 = 1,3 [1,05 + 0,05 (fcc,k,0+ 8)] / m(15)Hierbij is de rekenwaarde van de korteduurtrek-sterkte verkregen door de langeduur treksterkte(vergelijking 13) te delen door de factor 0,7 voor deomrekening van de langeduursterkte naar de korte-duursterkte. Uitgaande van deze korteduur trek-sterkte wordt de reductie van de treksterkte door ver-moeiing in rekening gebracht door de UEC-relatievoor ongewapend beton [9] volgens de methodePalmgren-Miner. De UEC-relatie resulteert in eentoelaatbare korteduurtreksterkte tot minimaal 0,5fct,d,0bij een zeer groot aantal lastherhalingen.Dit laatste komt overeen met de benadering volgensvergelijking (14), met dien verstande dat bij de be-rekening van elastisch ondersteunde vloeren en ver-hardingen met voornamelijk statische lasten, wordtuitgegaan van de langeduurtreksterkte.Als in het programma VENCON 2.0 het aantal last-herhalingen beperkt is, bijvoorbeeld bij landbouw-wegen (N < 102?103), dan wordt de (statische) re-kenwaarde van de treksterkte begrensd tot:fct,d,0,STAT= fct,d,0/ 1,2 (16)In tabel 1 is een overzicht gegeven van de treksterk-ten, berekend met de vergelijkingen (14) en (15). Uitde resultaten blijkt duidelijk dat, ondanks het ver-schil in aanvangssterkte, de minimale reststerkteonder invloed van vermoeiing vrijwel gelijk is.Als gevolg van buigende momenten ontstaan erbuigtrekspanningen. Zowel in [5] als in [6] wordt derelatie tussen de buigtreksterkte (fct,fl) en de trek-sterkte (fct) als volgt gedefinieerd als functie van deplaatdikte (h in mm) (fig. 2):fct,fl= [(1600 ? h)/1000] fct(17)R e k e n g r o o t h e i d t r e k s t e r k t eBij het berekenen van elastisch ondersteunde vloe-ren, betonverhardingen en betonwegen is de trek-sterkte van beton, in tegenstelling tot de constructiesvolgens de VBC, een belangrijke rekengrootheid.Met dit artikel is niet alleen getracht de voortduren-de verwarring en misverstanden over de treksterk-ten van beton op te heffen, maar ook een gefundeer-debasistevormenvoortoekomstigeontwikkelingen,reden waarom de notaties uit de Eurocode zijn aan-gehouden.Tabel 1| Vergelijking rekenwaarden treksterkte ongewapend beton zoals toegepast bij elastisch ondersteunde vloeren (verg. 14) en beton-wegen (verg. 15 en 16)karakteristieke rekenwaarde treksterkte elastisch rekenwaarde treksterktekubusdruksterkte ondersteunde betonvloeren betonwegenfcc,k,0(vergelijking 14) (vergelijking 15 en 16)(N/mm2) (N/mm2) (N/mm2)zonder vermoeiing met vermoeiing zonder vermoeiing met vermoeiing(a= 1,0) (a= 1,4) (fct,d,0/ 1,2) (0,5 fct,d,0)25 2,03 1,45 2,44 1,4635 2,40 1,71 2,89 1,7345 2,78 1,98 3,34 2,0055 3,15 2,25 3,79 2,2865 3,53 2,52 4,24 2,55F2 | Bepaling van debuigtreksterkte aaneen balkje(150 x 150 x 550 mm3,opleglengte 500 mm)met een driepunts-buigproef volgens[12, fig. 2]O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eWater bou wcement 2003 7 75L i t e r a t u u r1. CUR-rapport 23, Onderzoek naar de samen-stelling van geprofileerd staal met beton. CUR,Gouda, 1961.2. IBBC-mededelingen 4 (1956) nr. 3 (blz. 114).3. CUR-rapport 52, Splijttreksterkte van hoog-waardig beton. CUR, Gouda, 1971.4. VARCE (1), Vraag en Antwoord RubriekCement (1). Cement 1992, nr.9.5. NEN 6720, TGB 1990 Voorschriften beton ?Constructieve eisen en rekenmethoden(VBC 1995), 2e druk. NNI Delft, 1995 (metwijzigingsblad A2:2001).6. prEN 1992-1-1, Eurocode 2; Design of concretestructures ? Part 1: General rules and rules forbuildings. Comit? Europ?en de Normalisation(CEN), Brussel, July 2002.7. CEB-FIP Model Code 1990, Bulletind'Information 213/214. Comit? Euro-International du B?ton, London, 1993.8. CUR-Aanbeveling 36, Ontwerpen van elastischondersteunde betonvloeren en verhardingen.CUR, Gouda, 2000.9. CROW-publicatie 136, Uniforme Evaluatie-methodiek Cementbetonverhardingen. CROW,Ede, 1999.10. FLOOR,2.0, Software voor elastisch onder-steunde betonvloeren en betonverhardingen.CUR, Gouda, 2002.11. VENCON 2.0, Rekenprogramma voorongewapende en doorgaand gewapende beton-wegen. CROW, Ede, 2003.12. NEN-EN 12390-5, Beproeving van verhardbeton ? Deel 5: Buigsterkte van proefstukken.NEN, Delft, 2000.13. NEN-EN 12390-6, Beproeving van verhardbeton ? Deel 6: Splijttreksterkte van proef-stukken. NEN, Delft, 2000. In Memoriam prof.ir.D.Dicke`Op 11 september 2003 is Dick Dicke in rust ingeslapen', zo luiddehet droeve bericht dat wij van de familie Dicke ontvingen. Dickwas overleden.Voor mij ligt een foto, gemaakt op 18 december 1947. Daar staatDick op met drie anderen, onder wie schrijver dezes. Wij stondenwat beduusd in de achtertuin van het Gebouw van Weg- en Water-bouwkunde aan het Oostplantsoen in Delft, waar wij ons diploma`Civiel Ingenieur' zojuist in ontvangst hadden genomen. Eenperiode van veel inspanning werd daarmee afgesloten, waarin wijons op verschillende mondelinge examens moesten voorbereidenen die last but not least moesten ondergaan! Dit viertal betrof deeerste studenten die na de oorlog dit diploma behaalden. Achterhen lag niet alleen een periode van hard studeren, maar daarvoorvooral een tijd ? gedurende de tweede wereldoorlog ? van studie-onderbrekingen, razzia's, stakingen en ten slotte in augustus 1944de volledige sluiting van de TH Delft.Nederland moest na de oorlog weer worden opgebouwd en Dickstond klaar om zijn rol daarin te spelen! Zijn eerste baan was bijeen aannemingsbedrijf waarvoor hij naar Parijs werd gezondenom zich te verdiepen in het Voorgespannen beton. Na die tijd washij betrokken bij de bouw van een brug in voorgespannen betonover de Drecht in Leimuiden en dus ??n van de eerste Nederlandsespecialisten in het construeren van voorgespannen beton.Dick werd lid van de Stuvo, voorzitter van een van de eerste com-missies van de CUR, de commissie `Trillen van plastische beton'en later werd hij docent in de cursussen Voorgespannen beton,diedoordeStuvowerdengeorganiseerd.Intussenwashijvanbaanveranderd en toegetreden tot het `Bouw en Adviesbureau Bakkeren Dicke'. Hij specialiseerde zich in het bijzonder op de con-structieve vormgeving van gebouwen. Onder andere ontwikkeldehij een meer wetenschappelijk verantwoorde methode voor hetcontroleren van de stabiliteit van hoge gebouwen.Hij was verder nauw betrokken bij de introductie van de nieuweaanpak van het construeren in beton, ontwikkeld door het Comit?Europ?en du B?ton.In 1968 werd hij benoemd tot gewoon hoogleraar aan de Afdelingder Bouwkunde van de TH Delft. In zijn intreerede, uitgesprokenop 18 september 1968, denkt hij hardop na over de wijze waarophij in die afdeling onderwijs in de Toegepaste Mechanica zal ver-zorgenvoortoekomstigearchitecten.Dezeredebe?indigdehijmethet citeren van een Psalm van Koning David getiteld `Groot is onzeHeer'.Deze wijze van combineren van het technische met het religieu-ze paste hij regelmatig toe in zijn contacten met studenten, ondermeer door het aansteken van kaarsen op zijn laatste colleges voorde Kerst. Na verloop van tijd werd Dick eveneens betrokken bij deafdeling Civiele Techniek van de TU Delft. Na afscheid te hebbengenomen van de TU Delft, verhuisde hij van Rotterdam naarBaarn. Daar trekt hij zich terug uit de kringen waarin hij jarenhad verkeerd. Zijn heengaan betekent voor de Nederlandse beton-wereld een groot verlies, mede door datgene wat hij in zijn actieveleven voor het bouwen in beton heeft betekend. Moge hij in zijnrust de vrede vinden die wij hem allen toewensenA.S.G.Bruggeling