IMATERIALENHommage aaning.A.GerritseIWAPENING IDE REK IS ERUITDE VEREISTE REKElGENSCHAPPENVAN BETONSTAALpro(ir.B.W. van der VlugtIn de Europese ontwerpnorm wordt onderscheidgemaakt tussen relatiefhoge (B 500.H) en lageductiliteit (B 500 N). In dit kader is al enige tijddiscussie gaande over de totale rek bij maximalebelasting en de verhouding tussen treksterkte enrekgrens, een discussie tussen staalproducent engebruiker (betonconstructeur). De laatste vraagt eenhoge ductiliteit om er zeker van te zijn dat deconstructie plaatselijk voldoende plastisch kanvervormen, vooral in de vorm van rotaties bijherverdeling van momenten. Een pleidooi voor behoudvan voldoende ductiliteit.Op 24 oktober JL had in Delfteen symposium plaats ter ge-legenheidvandepensioneringvan ingAGetritse.Gerritsewas sinds 1974werkzaam bij deHEG, Speurwerk en Ontwikkeling.Hij kan terugzien op een lange staat vandienst. Daarvoor bestaat veel waarde-ring, zoals blijkt uit de organisatie vandit symposium. Enkele gerenommeer-de sprekers hebben onderwerpen be-handeldwaaraanookGerritseveelheeftbijgedragen, zoals de brandwerendheidvan beton, de ontwikkeling van nieuwematerialen en de internationale voor-schriften.Nog steeds is hij nauw betrokken bij detotstandkoming van deEurocodes. NietalleenalslidvandeNederlandse delega-tie, maar ookals lidvande redactiecom-missie voor EC2.In de loop van velejaren heeft Gerritseregelmatig in Cementgepubliceerd.Wykennen hem als een gedreven man dieookveelheeftbetekendvoordeontwik~keling van het geprefabriceerd beton.Ais een hommage aan hem wordenhierbij de voordrachten afgedrukt vanachtereenvolgens de heren professorenRW van der Vlugt, K.Kordina enH:WReinhardt.Redactie6In september 1991 is de Europeseoutwerpnorm Pr EN 10080 ver-scheneu voor geribd betonstaal FeB500. Daarin wordt onderscheid ge-maakt tussen staalB 500 H meteeu rela-tiefhoge ductiliteit en B 500 N met eenlagere ductiliteit. Bij de voorgesteldemateriaaleigenschappen van B 500 Nzijn er twee, waartussen de redactie-commissieECISS TC19 nog geen keuzeheeft gemaakt:- de totale rek bij maximale belasting /Ouen- de verhoudiug tussen treksterkte enrekgrensI/irHet ziju precies de twee eigenschappendie de ductiliteit van het staal als wape-ning bepalen.Tabel 1 geeft een overzicht van de ver-schillende eiseu voor beide staalsoorten,zoals deze door de commissie zijn voor-gesteld.Hetverschil tusseu dewaardeu bij B 500N isprecies de tot uu toe onoverbrugba-re klooftusseu wat de gebruiker - in hetalgemeen de betoucoustructeuJ;,- uood-zakelijk vindt en wat volgens een deelvan de producenten haalbaar is.Ais gebruiker is ook te beschouwen deredactiecommissie die Eurocode 2 op-stelt. Zij heeft aljareu geleden de waar-deu /Ou = 2,5% enI/fr = 1,05 als ouder-grens vastgesteld en Gerritse als haar af-gezant uaar de ECISS-commissie ge-stuurd met de Herculestaak die com-missie - grotendeels producenten -Tabel!Mogelijke eisen voor B 500 H en B 500 Nft/fr Eu(%)B 500H 1,08 5,0B500N 1,05 2,5B 500N 1,03 2,0maar even te overtuigen.De discussie woedt nog steeds voort.Vereiste ductiliteitWaarom stelt de gebruiker eiseu aan deductiliteit van betonstaal.Naast de eisen die voortkomen uit deuitvoering, zoals bij het buigen, moethet staal als elemeut van een betoncon-structie een zekere ductiliteit hebben,opdat de constructie plaatselijk plasti-sche vervormingen kan ondergaan. Dievervormingen zijn vooral bekend in devorm van rotaties bij herverdeling vanmomenten. De beschikbare rotatieca-paciteit moet groter zijn dan de beno-digde.De benodigde rotatiecapaciteitis afhan-kelijk van de momentenherverdeling -in de VEC 1990 maximaal 20% - en bo-vendien recht evenredig met de slank-heid van ?le constructie. Ditlaatste is ge-makkelijk in te zien. Van twee liggersmet verschillende hoogte, een zelfdewapeningspercentage en gelijke beton-sterkteklasse enstaalsoortis bij bezwijk-Cement 1992 nr. 1O'035-'-~---r----r~~---,'------r--------'1r?=O,ZOO.030+----+~~~+---_?:_J.__.....",=:::::::r_~--___l,O'025+-==1I=-~:.:...U~++=-_--::-Z:.-:-5!'_~ -_-::l>-I"~"'~:--_-+~;--;:-;;;-+-_~-IL.?u::_=!~~/ -~. ~O.020+--~1==-==-+-~--+------""'='...-f"L--",,--,:-+--;------:-:l:/ / . -...r:~EB (beton maatgevend)O.015+------!L---4--~--_+~~;:::__'__+---___l/ r?~o-'---O.010+-----+-_-c/-_-+-~~-_I___/_=;"....-=::::::r~--_1/ /~T:.005+-~__-+- L-/VI_~-~t_---+__---__iO W " M U l~wO(%)T------~-----= =-//Mr --( i1/~ IhZJrctg lEl),1~/),\-arctg (El}21 M-K-diagrall1 volgens Eurocode 2 2? Vereiste rotatie () als functie van hetwapeniugsperceutage Wo bij verschillendemOll1entenherverdeliug 0; tweezijdig ingeklell1de ligger,slankheid lJd = 31; B 25; FeB 500belasting de kromming omgekeerdevenredig met de hoogte (voor de een~voud is de invloed van de breukmecha-nica buiten beschouwing gelaten). Derotatie is de ge?ntegreerde krommingover de lengte van de ligger en is dusrecht evenredig met de slankheid (cete-ris paribus).Het is eigenlijk merkwaardig dat in deVEC 1990 en ook in Eurocode 2 deslankheid niet als factor bij de toegesta-ne momentenherverdeling is terug tevinden. Het blijktdatbij liggers met eenslankheid van bijvoorbeeld 10 en eensterkteklasse B 35 niet zo gauw proble-men ontstaan met betrekking tot de ro-tatiecapaciteit. Daarom zal voor het be-palen van de benodigde rotatieca-paciteit worden uitgegaan van een slan-ke constructie: een tweezijdig inge-klemde plaat met een slankheid van 31.Voor het moment-krommingsdiagramis het diagram gekozen vanEurocode 2.In dat diagram, overgenomen van hetCEB, is de tweede tak niet recht, zoals inde VEC, maar gebogen om rekening tehouden met de scheurontwikkeling (fig.1). Voor de kromming van deze takgeldt:M [ (Mr)2( (Elh )]K = (Elh 1 - M? 1 - (EI), .Als buigtreksterkte van het beton is 0,6N/mrn2aangenomen.Bovendien is het diagram voor kortdu-rende belasting gekozen. Dat is natuur~lijk aanvechtbaar, maar ook de proevenvoor het bepalen van de beschikbare ro-tatiecapaciteit zijn kortdurend. Boven-dien is de aangenomen buigtreksterktevan 0,6 N/mm2vrij laag.Het M-K-diagram volgens het CEBheeft nog een derde tak, voor momen-ten boven de vloeigrens van het staal.Daarbij neemt de kromming natuurlijksterk toe.De Italianen Cosenza, Gregor en Peccehebben ineenstudie de benodigde rota~tiecapaciteit bij een bilineair diagramvergeleken met die bij een trilineair dia-gram. Zij constateerden dat bij gebruikvan de derde tak de beschikbare rotatie-capaciteit bij alle staalsoorten onvol-doende is. Dat is niet verwonderlijk: hetplastisch scharmer boven het steunpuntkan de vervorming ten gevolge van devolledige ontwikkeling van een plas-tisch scharnier in het veld niet verwer-ken.In de VE 1974/1984 was m artikelC-204.2.3 de mogelijkheid gegeven on~der bepaalde voorwaarden te rekenenmet de treksterkte van het betonstaal inplaats van met de 0,2%-rekgrens. Diemogelijkheid is in de VEC terecht ver-dwenen.In figuur 2 is de benodigde rotatiecapa-citeit gegeven bij vari?rend wapenings~percentage en bij een momentenher-verdeling 0 = 0, 10 en 20%.Het blijkt dat het wapeningspercentagegrote invloed heeft op de benodigde ro-tatiecapaciteit. Bij lage wapeningsper-centages blijft ook in het bezwijkstadi-um een relatiefgroot deel van de liggerongescheurd, vooral in het veld, waar-door de rotatie beperkt blijft.Ook wanneer niet met momentenher-verdelingwordt gerekend is een bepaal-de rotatiecapaciteit nodig en wel als ge-volg van twee factoren: bij een laag wa-peningspercentageoverheersthet onge~scheurd blijven van een deel van hetveld, bij een hoog wapeningspercentagede groterestijfheid bij het steunpunt tengevolgevandedubbelehoeveelheidwa~pening. Bij de getekende krommen isnog geen rekening gehouden met eeneventuele temperatuurgradi?nt: 6 Kverschil tussen onder- en bovenzijdevan devloer vergt al een extra rotatieca-paciteit van 2 . 10-3?In de figuur zijn nog enkele lijnen gete~kendo Rechts de - al oude - CEB-krom-me voor de maximaal beschikbare rota-tiecapaciteit als de betonstuik maatge-vend is. Dielijn is gebaseerd op twee uit-gangspunten:- de lengte van het plastische scharnieris gelijk aan de constructiehoogte;- de maximale betonstuik is 4%0.De twee lijnen links boven geven demaximaal beschikbare rotatiecapaciteitaan wanneer de staalrek maatgevend is,weer gebaseerd op twee uitgangspun-ten:- de lengte van het plastische scharnieris gelijk aan de constructiehoogte;- de gemiddelde rek bij maximale be-lasting ?um - hier 2,5%, respectievelijk2% gekozen - treedt op over de helelengte van het plastische scharnier.Dissertatie LangerAfgezien van een kleine onvolko-menheid bij het staal met de lage ducti-liteiten 20% herverdeling lijkt erweinigaanleiding om zich zorgen te makenover een tekort aan rotatiecapaciteit bijlage wapemngspercentages. Het staallijktaltijd ductiel genoeg; gewapend be-ton gaat kapot op beton.Het is dan ook geen wonder dat langetijd, zowel in het CEB als in nationalenormen, alleende betonstuikals criteri-um voor de rotatiecapaciteit 1S be-schouwd.Totdat in 1987 Eligehausen en Langer -promotor en promovendus - een steenindevijver gooiden methet proefschrift'Verdrehf?higk?it plastizierter Trag-werksbereiche im Stahlbetonbau'. Dehoofdconclusie van hun studie was datbij breuk het staal helemaal niet over dehele lengte van het plastische scharnierCement 1992 nr. 1 7IMATERIALEN IWAPENINGL:::J(IJ.culilL:::J(IJ.culilL:::J(IJ.culil2,5 N/mm2..........~-+----12,5 N/mm2'-:-----'L:::J~ulil--ssO--(j----L:- -~sOO-t:::J(IJ.culil300250?L:::J(IJ.culil?----1----3Schematisering aanhechtspanning Ten staalspanning a tussen twee scheuren,zonder (a) en met (b) invloed van het Goto-kegeltjede rek bij maximale belasting bereikt.Dat betekent dat de rotatiecapaciteit bijlage wapeningspercentages aanzienlijkkleiner kan zijn dan tot nu toe aange-nomen. Achterafzo evident dat we hetallemaal zelfhadden kunnen bedenken.Hetverschijnselis te beschouwenals eensoort tension-stiffening. Daarmee zijnwe vertrouwd.in het gebruiksstadium,datwilzeggenbij staalspanningenbene-den de 0,2% rekgrens: via aanhechtingneemt het beton tussen twee scheureneen deel van de trekkracht over van dewapening. De gemiddelde rek van hetstaal is daardoor minder dan de staalrekter plaatse van de scheur.Ter illustratie eensterkgeschematiseerdvoorbeeld (fig. 3a). Twee scheuren, af-stand h.o.h. 10 0 k. Aanhechtspanningaangenomen op 2,5 N/mm2, dat is be-slist niet irre?el hoog. De getekende dis-continu? overgang van + 2,5 naar - 2,5N/mm2iswel irre?el, maarisverder nietbelangrijk. De staalspanning verlooptdan volgens de formule 1/25 . 4TI 0 k =20T = 50 N/mm2, lineair van bijvoor-beeld 300 N/mm2in de scheur naar 250N/mm2midden tussen de scheuren. Degemiddelde staalspanning is dus 25N/mm2lager dan de spanning zondertension-stiffening, datwil zeggen onge-veer 8%. Ook de gemiddelde rek en degemiddelde krommingzijndus 8% klei-ner dan zonder tension-stiffening.Inhet gebiedvande plastische rekwordthet beeld geheel anders. Als daar destaalspanning tussen twee scheuren met50 N/mm2terugloopt van bijvoorbeeldde treksterkte (550 N/mm2) naar 500N/mm2, loopt de plastische rek bij staalB 500 N al gauw terug naar O. Dat bete-kent dat midden tussen twee scheurenhelemaal geen plastische vervormingoptreedt. De gemiddelde plastische rekis dan nog maar eenfractie - 20 tot 25% ~van de plastischerekbij maximale belas-ting.Gelukkig is de zaak gunstiger door eenbijkomend verschijnsel: het Goto-ke-geltje. Dicht bij de scheur kan het betonde aanhechtspanning niet overbrengen.Een kegelvormig deeltje ter lengte van??n of enkele malen de kenmiddellijnwordt met de staafenigszins uit het be-toninde scheurgetrokken. Overeenze~kere lengte ter weerszijden van descheur treedt daardoor geen aanhech~ting op. Destaalspanning en daarmee destaalrek blijft daar dus constant. Het ge-volg is schematisch aangegeven in fi-guur 3b. De gemiddelde plastische rektussen twee scheuren wordt aanmerke-lijk groter maar blijft nog altijd veelkleiner dan de plastische rek in descheur.Invloed parametersOm enig inzicht te krijgen in de wer-king van enkele parameters (ductiliteitvan de wapening, kenmiddellijn wape-ning, scheurafstand) is een aantal bere-keningen gemaakt van het verloop vande plastische rek tussen twee scheurenop het moment dat de staalspanning inde scheur de treksterkte bereikt. Overi-gens zonder de pretentie dataan de uit-1601289664 ?32II\ I1III\ /\ I\"----'"/~ v12102.5 2,11.5----/f~I------I/I Ir---I II Ir---I II I ........10l-r0o 0,4Q5 0,6----;. ? (mm)15204 Aanhechting-slip diagram.Bij een afstand tot de scheur x < 5 0 k: het diagramhorizontaal en verticaal verkleinen in de verhouding xl5 0 k5 Plastische staalrek tussen twee scheuren.o k16; s = 160 mmI: ?u = 10%;f, = 500;1, = 400; ?pm = 85,9' 10-3IT' ? = 5%' r = 550- Jl = 509' ? = 284' 10-3? u , Jt . , l y . 'ptn ,8 Cement 1992 nr. 1112 128 144 161966064o 16 32~mm607060506~ 16/s =160mm5r 4ln\ // 3 I/ \ /~ f-'--- ,III f---,-2V// f-'---~ \ / 'if-,----/ ~"'- /~~;:;;1Tl ~"- ~/~--- i 0 ::::::40302010~mmi'{II3+_-_t-\--+_-_t-~_+_-_____1--_+_-f_t--_I~\2+_~_t----\-+_-_t~-_+_-_____1L--_+_f_-t_:;-;L-_I~ ~~n\",-;;;; 1+----"'f~~_+__'''''-:-_t~-_+_-_____1L-_f__+_---7'''_7f_-_Ii IV M;-'--~-I--? o-l---t-.--=~~~~t=-~6 "-~----'----'-------'--"'----'~~---'----,.--"--"---l(M Js= BOmm5-+-----+---+-----+---+----1---+---t---I4r\6Plastische staalrek tussen twee scheurenIT: Eu = 5,0%;R.[y = 1,08Uit figuur 6 is te zien dat bij B 500 Nmidden tussen de scheuren praktischgeen plastische vervormmg optreedt.Wordt de scheurafstand kleiner, metandere woorden wordt het wapenings-percentage hoger, dan wordt ook de ge-middelde plastische rek hoger. Descheurafstand, indirect het wapenings-percentage, is naast de kenmiddellijn ende ductiliteit van het staal dan ook eenbelangrijke parameter bij de rotatieca-paciteit.dering met ongeveer een derde. Uit defiguur blijkt ook dat het gedrag bij eengrote kenmiddellijn veel gunstiger isdan bij een kleine. (Het resterende op-pervlak onder de kromme is bij hetzelf-destaal0k16,s = 160 mm groter dan bij0 k5, s = 80 mm). Dat is ook niet ver-wonderlijk. De formule voor de gemid-deldescheurafstandVanMartinc.s. geefteen relatief grotere scheurafstand bijkleine kenmiddellijnen. Daar komt bijdat de slip bij een kleine kenmiddellijnminder is dan bij een grote, waardoorzich ook relatief minder Goto-kegelvormt (fig. 7).N/mm2en een rek bij maximale belas-ting van 10% en het 'nieuwe staal' B 500H met eu == 5% enJ/J; = 1,08 (fig. 5).Wat daarbij opvaltis dat de lengte waar-over eu optreedt - dat is dus de lengtewaarover geen aanhechting optreedt -bij FeB 400 groter is dan bij B 500 H.Oorzaak is de grotere slip, waardoorzich een langere Goto-kegel ontwikkelt(vooropgesteld dat de aangenomen aan-hechting-slip-relatie het verschijnselgoed weer,geeft). Daardoor en door degrotereJ/Jr-verhoudingisde gemiddel-de rek in het eerste geval driemaal zogroot als in het tweede geval, terwijl eumaar tweemaal zo groot is.Datzelfde effect treedt op bij overgangvanstaalBSOOHnaarBSOONmeteu =2,5% en van eu = 2,5% naar eu = 2%.Figuur 6 geeft hetverloop van de plasti-sche rek tussen twee scheuren bij0 kS,s = 80mmen0 k16,s = 160mm.Bij de overgang van eu = S%,J/J; = 1,08naar eu = 2,S%;f/J; = 1,05 loopt de ge-middelde plastische rek terug tot onge-veer een derde.Van eu = 2,S%;f/J; = 1,05 naar eu = 2%;J/J; = 1,03 geeft nog eens een vermin-0,005+_--t--~t_-_____1--_4--_+-~-1--___iOm de overgang van het staal FeB 400uit dejarenzeventig naar het betonstaalvan nu te illustreren is ook een vergelij-kende berekening gemaakt tussen staalFeB 400 met een treksterkte van 500komsten erg veel kwantitatieve bete-kenis kan worden toegekend. De bere-keningen zijn uitgevoerd met het aan-hechting-slip-diagramvan figuur 4.Ditdiagram is een vereenvoudiging van hetdiagram in CEB-bulletin 190b. Voor dekenmiddellijnenvan de wapening is ge-kozen 0 kS, 0 klO en 0 k16.Ductiliteit van het betonstaal:eu = S,O%;flfj = 1,08eu : 2,S~:J/!t : 1,05eu - 2,Olfo,j/fy - 1,03Voorde scheurafstand sis uitgegaan vande formule van Martin Schieszl enSchwarzkopf:s = 50 +0/16woef[oGekozenzijn de volgende scheurafstan-den (in mm):o kS: 80; 65; 60o k10: 120; 85; 73o k16: 160; 105; 87Niet alle combinaties zijn doorgere-kend.Grote slankheid, een laag wapenings-.----------~--------~------~------,percentage en dunne staven leveren de0,020--.---.---_-.--_--,-~____r---.----,-~-..., combinatie die een grote ductiliteit van__ ~ het betonstaal vereist. Dit is de combi-_____ ~ natie in vloerconstructies. En juist bijO.015-+----j-------t-~----:;;.II-""--_+---+~--+------j het dimensioneren van vloerconstruc-V ties moet nogal eens worden vertrouwd7 __---- op de plastische vervormingscapaciteit0,010-j--"7""t---j---_____1f--=.,....,.===----=---t---f---I J' van de constructie, omdat een al ofniet/ ~~ lineair-elastische berekening door de....--K vorm van de constructie problemengeeft. Het is een extra argument omvoorzichtig te zijn met het verlagen vande dm:tiliteit van het staal.7 Invloed van de kenmiddellijn en van Eu enf,l1; op derotatiecapaciteit ()I: Eu = 2,5%;f/1; = 1,05 IT: Eu = 2.O%;f,l1; = 1,034 6 8 10 12 14 16 18 Experimentent_----~--->_