C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gBerekeningcement 2003 7 59D e c o n s t r u c t e u r h o u d tv a n g e m a kEen constructeur maakt het zichgraaggemakkelijk.Hijvereenvou-digt de complexe fysische werke-lijkheid zo, dat zijn ontwerppro-bleem toegankelijk wordt met dekennis die hij heeft en het gereed-schap dat hem ter beschikkingstaat. De constructeur weet heelbest dat de echte natuur in hogemate niet-lineair is, maar bij hetbepalen van spanningen en ver-vormingen moet hij de construc-tiessterkidealiseren.Hijkantweeverschillende wegen gaan: ?f hijhoudt echt rekening met het niet-lineaire gedrag, maar doet dat opeen heel eenvoudige manier, ?fhijwilbesteenverfijndsoortbere-kening maken, maar doet dat danwel met lineair-elastisch gedrag.Een voorbeeld van de eerste aan-pak is het toepassen van een vak-werkmodel voor het bepalen vande krachten in een betoncon-structie. Zo'n vakwerk (strut-and-tie model) wordt gemakshalvestatisch bepaald gekozen, hoe sta-tisch onbepaald de werkelijkeconstructie ook is, want alleen zokan de krachtswerking wordenbepaald op basis van uitsluitendevenwicht. In feite gaat de con-structeur er bij voorbaat van uitdatherverdelingvankrachtenkanoptreden en dus gebruikt hij, aldan niet bewust, overwegingenuit de plasticiteitsleer. Een voor-beeld van de tweede aanpak is hetwerken met een op de markt aan-geboden eindige-elementenme-thodeprogramma. Nu wordt goedrekening gehouden met het aan-sluiten van de verschillende delenvan de statisch onbepaalde con-structie door het in rekeningbrengen van de stijfheden en mis-schien worden wel duizendenvergelijkingen opgelost, maar hetmateriaal blijft elastisch voor allebelastingsgevallen en voor allebelastingsniveaus.V a n o n d e r z o e k n a a r d ep r a k t i j kIn onderzoekskringen wordt aljarenlang gebruikgemaakt vanprogramma's waarin grote ver-vormingen en niet-lineair gedragvan materialen kunnen wordenverwerkt. De meerderheid vandeze algemeen toepasbare pak-ketten bieden niet-lineaire opties,zij het in aantal meer voor meta-len dan voor brosse en steenach-tige materialen zoals beton enmetselwerk. Geleidelijk begintzulke niet-lineaire software tochook een steeds grotere rol te spe-len als gereedschap in de praktijk.Ditartikelwilineennotendopeenindruk geven van de hedendaagsemogelijkheden en zal daarbij aan-dacht geven aan zowel algemeentoepasbare pakketten als aan pro-grammatuur dat voor een speci-aal doel is geschreven.Niet-lineair rekenen kun je vanuiteen aantal verschillende invals-hoeken bezien. Om te beginnenkun je uitgaan van de categorieconstructies. We denken dan aanhetprobleemvanwandenenhogeliggers, kokerbruggen, tunnels,wegverhardingen en dergelijke.Er zijn ook samengestelde con-structies: staal-betonliggers, com-binaties van beton en metselwerkof van beton en hout. Steeds kanvan een ander type niet-lineariteitsprake zijn. In het CUR-rapportworden primair betonconstruc-ties besproken, maar metselwerkzal niet geheel afwezig zijn. Alsregel zullen de berekeningen zijnuitgevoerd met het pakket Diana,maar er zijn ook een paar uitzon-deringen.Niet-lineair modelleren steeds vaker gemeengoedBetonmechanica voor deconstructeurprof.dr.ir. J. Blaauwendraad, emeritus hoogleraar TU Delft / directeuronderzoekschool BouwRecent verscheen CUR-rapport 2003-3 met als titel `Geavanceerd rekenen voorciviele constructies'. Dit rapport beoogt een representatieve bundeling te zijnvan de huidige mogelijkheden op het gebied van niet-lineair modelleren vanmaterialen. In dit artikel schetst professor Blaauwendraad, namens de CURmentor van de commissie die dit rapport heeft opgesteld, de stand van zaken.1 | Brand boven het koepel-dak van een LNG-tankveroorzaakt spanningenen rekken in het betonen de wapening.De figuur toont eenverdeling van berekendestaalrekken.Met dank aan ProtectedStorage Engineers(Haskoning en DHV-AIB)C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gBerekeningcement 2003 760Niet-lineariteit kan mede betrek-king hebben op de acties waaraaneen constructie onderhevig is enelk soort kan zijn specifieke pro-blemen meebrengen. Tenslotte isde niet-lineariteit die het gevolg isvan een te grote eigengewichtbe-lasting van een andere aard dande niet-lineariteit die is gemoeidmet een constructie die is bloot-gesteld aan brand. Een voorbeeldin het CUR-rapport gaat over eenconstructie onder brand (fig. 1).Niet-lineariteit bij aardbevings-berekeningen is weer van eenandere aard. Dan is het adequaatbeschrijven van constructie- enmateriaalgedrag onder wisselbe-lasting belangrijk.Materiaal-niet-lineariteit kan ver-schillende oorzaken hebben: hetbeton kan scheuren onder trek,kan plastisch worden onder druk,verouderingskruip kan de oor-zaakzijn,maarookzwelenkrimpkunnen optreden. Falen van deconstructie zal optreden omdateen sterktegrens wordt gepas-seerd of een vervormingscapaci-teit onvoldoende is, maar kan ookoptreden door vermoeiing. Het iseen trend om niet meer zo zeer tespreken over scheuren en plasti-sche vervorming, maar om inplaats daarvan het verlies vanintegriteit van een constructie tebenoemen met behulp van hetconcept schade.Nog een andere categorie niet-lineair gedrag bestaat uit contact-problemen. Het materiaal kanzelf elastisch blijven, maar degeometrie van de constructie kanveranderen doordat het contac-toppervlak wijzigt. Of zowel degeometrie als de eigenschappenin het contactvlak wijzigen. Dit isbijvoorbeeld het geval bij wandenvan tunnels die uit geprefabri-ceerde elementen worden opge-bouwd en bij bruggen die wordensamengesteld uit vooraf vervaar-digde brugdelen. Dan blijven deelementen zelf wel elastisch,maar de voegen gedragen zichniet-lineair. Zowel van de tunnel(fig. 2) als van de brug (fig. 3) iseen voorbeeld in het CUR-rapportopgenomen.In de wereld van onderzoekers isontegenzeggelijk een grote in-spanning gepleegd om de tegen-woordige stand van zaken tebereiken. Vooral met het niet-lineair modelleren van materia-len is grote vordering gemaakt.Vergeleken met enkele decenniaterug is veel inzicht verworvenover de toepasbaarheid van deplasticiteitstheorie voor beton ende beperkingen ervan, over deinvloedvanscheurvormingophetafnemen van de stijfheid vanongewapend en gewapend beton,dat merkwaardigerwijs tension-softening heet voor ongewapendbeton en tension-stiffening voorgewapend beton. Dankzij veel ex-perimenteel onderzoek in Cana-da en Japan begrijpen we nu ookhoe de druksterkte van betonwordt be?nvloed door een trek-spanning in de richting dwars opderichtingvandiedrukspanning.En we weten nu hoe we de oppraktisch gebruik gerichte kruip-formulering van de voorschriftenmoeten vertalen in een Maxwell-keten die beter aansluit bij de ver-werking zoals die in een elemen-tenmethode-programma gebeurt.En ten slotte hebben we ? om nietmeer te noemen ? een nieuwefamilie van contact- en interface-elementen tot onze beschikkingom voegen in metselwerk, tun-nels en bruggen te modelleren.A l g e m e e n t o e p a s b a r ep a k k e t t e nVoorbeelden van grote algemenepakkettenzijnDiana,Marc,Ansysen Abaqus. De meeste hiervanhebben hun wortels in de Ver-2 | Diana berekeningsresulta-ten voor een gesegmen-teerde lining van eengeboorde tunnel hangen inhoge mate af hoe de voe-gen tussen de elementenworden gemodelleerd.De figuur is een voorbeeldvan de verdeling vantangenti?le momenten.Met dank aan TNO Bouwen TU Delft3 | Een uit voorgespannenkokerbalken (geel) op-gebouwd viaduct metlangsvoegen (groen) kanop drie manieren wordenberekend; als orthotropeplaat, als vouwschaal (eenassemblage van plaatele-menten) en met driedi-mensionale volume-ele-menten zoals in de figuuris aangegeven. De voegenmoeten dwarsmomentenoverbrengen. Alleen delaatste twee opties leidentot een betrouwbare bere-kening van die momenten.Met dank aan TNO Diana BVen Bouwdienst Rijks-waterstaatC o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gBerekeningcement 2003 7 61enigde Staten van Amerika envinden hun oorsprong in toepas-singen voor de lucht- en ruimte-vaart. Daardoor bieden ze eengrote vari?teit aan niet-lineaireoptiesvoormetalen,maarhebbeneen beperkt aanbod voor steen-achtige en brosse materialenzoals beton. Daarin wordt tochvoorzien doordat een gebruikerhet algemene programma kantoesnijden op zijn eigen toepas-sing door middel van de moge-lijkheid om zijn eigen `user-sup-plied' subroutines aan de mate-rialenbibliotheek van het pro-grammatoetevoegen.Zokaneenbedrijf een algemeen programmaafstemmen op de eigen behoef-ten. Op het gebied van functiona-liteit voor het materiaal beton ishet programma Diana een uit-zondering. Dit is immers speciaaltot stand gekomen voor het ana-lyseren van civieltechnische con-structies met een groot accent opbeton.Het kan een bezwaar zijn van eenalgemeentoepasbaarprogrammadat gebruikersgemak niet hoogscoort. Zulke programmatuur isimmers bedoeld om een complexontwerp te controleren en heeftniet de pretentie dat ermee kanworden ontworpen. Een ontwerpwordt gemaakt zonder dat er eenelementenmethodepakket aan tepas komt. Dat komt pas in beeldnadat de wapening langs andereweg is bepaald. Dan kan met eenniet-lineaire berekening wordenbeoordeeldofhetontwerpgoedis,dan wel aanpassing behoeft. Datgebeurt aan de hand van scheur-wijdten en vervormingen in hetgebruiksstadium en aan de handvan de uiterste waarde van debelasting bij bezwijken.Veel universiteiten hebben soft-ware ontwikkeld met een functio-naliteit voor betonconstructiesdie vergelijkbaar is met wat Dianaaanbiedt, maar bieden die nietop de markt aan. Daaronder zijnwelbekende universiteiten zoalsBochum, Stuttgart, Wenen enTokyo.S p e c i a l e p r o g r a m m a t u u rEr bestaat eigenlijk geen alge-meen toepasbare software diealles afdekt wat op het gebied vanniet-lineair rekenen mogelijk is.Daarom zijn in de praktijk naastde algemene pakketten ook spe-ciale programma's tot stand ge-komen om tegemoet te komenaan bijzondere wensen van ge-bruikers. We zullen daarvan en-kele de revue laten passeren.Er bestaat een speciale klasse vanniet-lineaireprogrammatuurvoorhet modelleren van hydratatie-processen in jong verhardendbeton. In die processen kan detemperatuur hoog oplopen, ter-wijl het jonge beton niet overalreeds dezelfde mate van steen-achtigheid heeft bereikt. Hetgevolg is het optreden van span-ningen in een verhardend con-structiedeel. De evoluties van detemperatuur en de optredendetrekspanningen kunnen wordengesimuleerd en worden vergele-ken met de zich eveneens ont-wikkelende treksterkte. Zo kanworden beoordeeld of tijdens hetverhardenvanhetbetonscheurenzullen ontstaan of kan wordengeadviseerd hoe deze kunnenworden voorkomen. Ook het ef-fect van koelen van verhardendbetonkanwordenge?valueerd.Inhet CUR-rapport is een voorbeeldopgenomen dat is behandeld metde Nederlandse software Fem-masse.Er is software op de markt vooreen speciale klasse van construc-ties, bijvoorbeeld voor wanden enhoge liggers. In zo?n programmakan grote aandacht worden ge-wijd aan gebruikersvriendelijk-heid en het fraai weergeven vanresultaten. Het Tsjechische 2D-programma Sbeta is een goedvoorbeeld van dit type software.Toegegeven dat het nog steedseen controleprogramma is, maarhet kan zich gemakkelijk latengebruiken in een iteratief ont-werpproces. De auteur van hetprogramma heeft het inmiddelsvervangen door een nieuwe gene-ratie 3D-software onder de naamAtena,wateigenlijkeenbewegingterug lijkt in de richting van alge-meen toepasbare software.Ontwerpen op basis van devakwerkanalogie (strut-and-tiemethod) kan worden verbeterddoor het proces te ondersteunenmet een programma dat de warestijfheid van gescheurde trekele-4 | In plaats van een`general purpose'-programma kan men eenspeciaal voor wand-constructies bedoeldontwerpprogrammaschrijven. Een voorbeeldis het model SpanCad datuitsluitend met stavenen panelen werkt.Met dank aan TU DelftpaneelstaafwapeningsstaafstaafkrachtwapeningsnetnormaalkrachtschuifkrachtC o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gBerekeningcement 2003 762menten in rekening brengt. Ditgaat de mogelijkheid bieden omeen uitspraak te doen over descheurwijdten en de vervormin-gen in het gebruiksstadium enmaakt de methode geschikt voordecategorievanstatischonbepaal-de constructies. Een voorbeeldhiervan is het programma CADzoals ontworpen aan de universi-teit van Stuttgart.In Nederland is een programmaSpanCAD gereed gekomen (fig.4) dat bewust is bedoeld om con-structeurs te ondersteunen in eenvroeg ontwerpstadium van wand-constructies en hoge liggers. Hetis een speciaal soort elementen-methode-programmadathelptbijhet kiezen van de afmetingen vande betonnen elementen en van deplaats en de hoeveelheid wape-ning. De auteurs claimen dat zijde voordelen van de vakwerkana-logie en de lineair-elastische ele-mentenmethodecombineren.Opeen iteratieve manier verbetert deconstructeur zijn ontwerp door tebeginnenmeteenelastischebere-kening en vervolgens ??n of en-kele niet-lineaire berekeningenmet herverdeling uit te voeren.Dat alles op de snelle PC en metde constructeur aan de leiding.Er is nog een andere klasse pro-gramma's die gebruikmaakt vande klassieke plasticiteitstheorieen optimalisatietechnieken. Dittype nog niet wijd verspreide soft-ware is ontwikkeld aan de uni-versiteiten van Z?rich en Kopen-hagen. Het is een speciaal soortelementenmethode waarin opautomatische wijze wapeningwordt berekend. Langs deze wegkunnen mooie resultaten wordenbereikt. In Zwitserland is een opdeze leest geschoeid programmaop de markt beschikbaar.Als laatste noemen we het af-wijkende type programma datis gebaseerd op een bibliotheekvan starre delen, geconcentreerdemassa's, veren en dempers, somsin combinatie met een aantalstandaard eindige elementen.Het programma Ruaumoko uitde University of Canterbury inChristchurchinNieuwZeelandishiervan een voorbeeld. Dit typeprogramma is speciaal ontwik-keld voor het modelleren van con-structiegedrag onder dynamischeacties zoals aardbevingen. Het iseen voordeel van zo'n program-madatgemakkelijkresultatenvanexperimenteel onderzoek kun-nen worden opgenomen, bijvoor-beeld het hysteretisch niet-line-aire gedrag van componenten enverbindingen onder cyclische be-lasting. Het vroegere Nederland-se programma Tilly dat hiermeewas te vergelijken, wordt nietmeer op commerci?le basis aan-geboden.T o e k o m s t i g eo n t w i k k e l i n g e nDe inzet van niet-lineaire pro-grammatuur als gereedschap bijhet ontwerpen van betoncon-structies heeft de vraag opgewor-pen of de parti?le veiligheidsfac-toren zoals die in de voorschriftenstaan, nog wel toepasbaar zijn. Erzijn argumenten van probabilisti-sche aard om die vraag met klemte stellen. We gaan op dit onder-werp niet rechtstreeks in, maartreffen in het CUR-rapport weleen bijdrage aan die aan het pro-bleem verwant is, namelijk de sto-chastischebepalingvanmateriaal-parameters. We verwachten dathet incorporeren van probabilisti-sche aspecten in eindige-elemen-tenmethode-pakketten in de ko-mende jaren meer aandacht zalkrijgen.Veel van de hierboven genoemdeprogramma's voor bijzonderetoepassingen konden hun sterkepositie innemen zo lang het metdegebruiksvriendelijkheidvandealgemeneFEM-programma'sma-tig gesteld was. Die positie zoubehoorlijkkunnenveranderennude algemene programma's voort-durend vriendelijker in het ge-bruik worden. Dat is onder meerbewerkstelligd door de releasevan pakketversies voor personalcomputers met gebruik van debeste visualiseringprogramma's.De positie van afzonderlijk ge-schreven programma's zou ookkunnen eroderen door het ont-wikkelen van `specials', die wor-denafgeleidvandealgemenepak-ketten. De gebruiker beleeft zo'n`special' als een afzonderlijk enmakkelijk bedienbaar program-ma dat is toegesneden op zijneigen problematiek, zonder teweten dat er een (onderdeel vaneen) algemeen pakket achterschuilgaat. Het systeem Dianaontwikkelt zich duidelijk in dezerichting. Op termijn kan dezeontwikkeling inhouden dat erminder ruimte is voor de eerdergenoemde 2D-programma's voorde berekening van betoncon-structies. Of het moet zo zijn datde FEM-pakketten toch primairgebruikt blijven worden voor definale controle van een ontwerpen niet voor het tot stand komenvan het ontwerp. We spreken dehoop uit dat softwareleveranciersde uitdaging aannemen om bij-zondere programma's in de toe-komst overbodig te maken. B e s t e l l e nCUR-rapport 2003-3 `Geavan-ceerd rekenen voor civiele con-structies' kost 75 en is ver-krijgbaar bij de CUR te Gouda,tel. (0182) 54 06 00; zie ookwww.cur.nl/producten.