I IONDERZOEKBETONELEMENTENONTWORPEN VOLGE.NSNIET-LINEAIRE METHODENGEDRAG IN DE GEBRUIKSTOESTANDdr.ir.Luc Taerwe, Rijksun?versiteit Gent, Laboratorium Magnel voor Gewapend Betondr.ir.Bernard Espion, Un?versit? Libre de Bruxelles, Service G?n?e CivilHet ontwerpen van doorgaande liggers van gewapend beb>n volgens niet~lineairemethoden kan leiden tot een wapeningsverdeling die sterk afwijkt van de verdelingvolgens de lineaire elasticiteitstheorie. In dit artikel wordt nagegaan in hoeverre hetgedrag in de gebruiksgrenstoestand (c.q. doorbuigingen en staalspanningen)hierdoor wordt be?nvloed, zowel op korte als op lange termijn. Tenslotte wordenenkele markante aspecten van de momentenherverdeling tengevolge van hettijdsafhankelijk vervormingsgedrag van beton besproken.Hoewel nagenoeg alle betonvoorschriften het ont-werpenvan statischonbepaaldeconstructies op basisvan n?et-lineaire methoden toestaan, blijft de toe-passing ervan in de praktijk vrij beperkt. Dit dient wellicht teworden toegeschrevenaanhetfeit datdepotenti?levoordelenvan deze werkwijzen te weinig bekend zijn of aan de vreesvoor bijkomende controles en bereken?ngen. Momenteelzijnechter verschillende methoden beschikbaar, vari?rend vanzeer eenvoudige controles tot meer complexe formuleringen.De meestewerkwijzen kunnen worden ondergebrachtin ??nvan de volgende categorie?n:- begrensde momentenherverdeling binnen zekere ductili-teitsvoorwaarden, doch zonder controle van de plastischerotatiecapaciteit;- momentenherverdeling zonder beperking in grootte, dochmet controle van de plastische rotatiecapaciteit;- n?et-lineair onrwerp met behulp van rekenprogramma'sgebaseerd op realistische uitgangspunten en constructievemodellen.Tot de eerstecategorie behoortonder meer de werkwijzever-meld inart.E-301.3.2 vanNEN 3880 'VoorschriftenBetonVB1974/1984'. Toegelaten is een reductie van het maatgevendmoment tot 25%, mits over de volledige ligger de hoogte vande drukzone kleiner blijft dan 0,6 ;max' De grenswaarde ;maxis bepaald in art. E-503.2 (= k" max) en komt overeen met de'balanced strain' voorwaarde.Aan de meeste methoden ligt het begrip 'plastisch scharnier'ten grondslag, zoals gebruikelijk in deelementaire bezwijka-nalyse van constructies. In het algemeen wordt uitgegaan vaneen momentenverdeling in de bezwijktoestand (uiterstegrenstoestand) die verschilt met die volgens de lineaire elasti-citeitstheorie, voor ??n of meerdere belastingsconfiguraties.In vergelijking met de elastische momentenlijn zijn de mo-menten dus op een andere wijze verdeeld, vandaar de term'momentenherverdeling'. Voor meer details wordt verwezennaar [1,2,3].Cement 1990 nr. 12De geldigheid van de niet-lineaire methoden werd aange-toondvia talrijke beproevingsresultaten,waarbij echtervoor-alaandachtwerd besteed aanhetbezwijkgedrag. Devraagis ofdoorgaande liggers, onrworpen volgens eenvoudige n?et-li-neairemethoderr, ingebruiksomstandighedenvoldoenaan deeisengesteld inverband met doorbuiging enscheurwijdte.In-dien zou blijken dat bijkomende specifieke controles vereistzijn, dan maakt dit de toepassing van n?et-lineaire methodenrn?nder aantrekkelijk.Controle van het gedrag in de gebruikstoestand is n?et alleennoodzakelijk op korte termijn, doch eveneens op lange ter-mijn onder langdurige belasting. A priori zou op basis van devolgende rwee verschijnselen gevreesd kunnen worden dathetgedragin de gebruikstoestand van doorgaande liggerszichop lange termijn minder gunstig ontwikkelt:a. De spann?ngsherverdeling in een doorsnede resulteert ineen toename van de spann?ng in de getrokken langswape~ning. Indien in een kritieke doorsnede de marge tussen hetgebruiksmoment en het vloeimoment vrij beperkt is, zouop een bepaald tijdstip de vloeigrens van het staal kunnenworden bereikt.b. De ogenblikkelijke momentenherverdeling tussen kritie-ke doorsneden zal in de loop van de tijd verder doorgaan.De trend vandezeherverdelingzalworden bepaald doordeheterogen?teit van de visco-elastische eigenschappen vande ligger (zie verder). Daardoor is het mogelijk dat op langetermijn de staalspann?ng in sommige doorsneden nog aan-zienlijk toeneemt.In de literatuur zijn vrij wein?g experimentele gegevens ver-meld omtrent het lange-duur gedrag van doorgaande liggersvan gewapend beton, hetgeen vermoedelijk in verband staatmet de vrij omvangrijke inspann?ng die dergelijk onderzoekvergt [4].Teneindede geciteerde problematiekmeerin detail te behan-delen, zal in deze bijdrage gebruik worden gemaakt van eencombinatie van experimentele en numerieke resultaten. Het19'--__~~ ~_I_O_ND__E~RZO~__E_K ~_'__~~ ~_~__D"'i:'?Aa.!lllil'lk=m0,6 k 1,0W~0,6(j) (B - 0.78 /0.78/0.31CD (B-1.36/ 0.53/0.31? CB - 0.31 / 0.95/0.31? CB - 0.66/ 0.75/0.31k =10,40,2* rJs. :6.~ a2 } al,f,"""~ ..~,;;,l~I Mspan k= MsupI MspanK~pl I'"-- ~-?Kspano0,20,80,60,4Proefopstelling en afinetingen van de liggers1,0513 Verband tussen k en m voor alla2 = 2/32 Vereenvoudigd constructiefmodel(1)m = M sup en k ~ Ksup (3)M spm Kspanenhetfeit datde rotatie op hettussensteunpuntnul blijft,leidttot de volgende vergelijking in m voor a/a2 = 2/3:Voor de gebruikelijke wapeningspercentages kan het be-zwijkrnoment~ ineerste instantieevenredigwordenveron-dersteld met de oppervlakte van de doorsnede van de hoofd-trekwapening Aa' zodat I--------~~--~--~--~----_fL fWPtl -7 Aa,span . ~ + Aa,sup a2(2) l~mmAnalytische verkenningAan de hand van eenvoudige analytische beschouwingen i-'-~--~~-------~~----------fworden eerstenkele algemene karakteristiekenvan de te ont-leden liggers afgeleid. De afmetingen van de liggers en devoornaamste notaties zijn aangeduid in figuur 1. De indices'sup' en 'span' hebben respectievelijk betrekking op de kritie-ke steunpunts- en velddoorsneden.MomentenverdelingTeneinde de invloed van een arbitraire wapeningsverdelingop de momentenlijn in de niet~plastische fase na te gaan,wordt gebruik gemaakt van een vereenvoudigd constructiefmodel, dat echter voldoende nauwkeurig is voor de meestepraktische toepassingen. Zoals in figuur 2 is aangegevenwordt een constante buigstijfheid K aangenomen tussen op-eenvolgende momentennulpunten. Invoering van de para-metersBezwijklastOp basis van het bezwijkrnechanismewordt de volgende uit-drukking voor de bezwijklast gevonden, indien het eigen ge-wicht wordt verwaarloosd:LPtl = Mn,span . ~ + Mtl,sup1 2experimenteel bepaalde gedragvaneen reeks doorgaande lig-gers, ontworpen op basis van vrij belangrijke momentenher-verdelingen, wordt als uitgangspuntgenomenvoor de nume-rieke berekening van het gedrag onder langdurige gebruiks-belasting. Aldus is het mogelijkhet globale gedrag op vrij vol-ledige wijze te analyseren. De hierua volgende resultaten zijngrotendeels gebaseerd op .[4,5].Hieruitvolgtdatvooreenreeksgeometrischidentiekeliggers,te ontwerpenvoor dezelfde bezwijklast, deverhoudingvan dewapeningsoppervlakken in de kritieke doorsneden vrij magworden gekozen zolang het rechterlid van (2) constant blijft.Uiteraard geldt deze conclusie alleen vanuit statisch oogpunten dient rekening te worden gehouden met beperkingen tenaanzien van rotatiecapaciteit en gedrag in de gebruikstoe-stand.0,80,70,60,50,41,010,99(4)36 m3+ (45-8k)m2- 34 km - 35 k = 0In figuur 3 is dit verband tussen men k grafisch voorgesteld.Het geval k = 1 stemt Overeen met de elastische momenten-verdeling waarvoor m = 0,9722. Hieruit blijkt dat het steun-punts- en veldmoment nagenoeg gelijk zijn. Door invoeringvan dejuiste waarde van kin (4) kan de momentenverdelingvoor de verschillende belastingsstadia (ongescheurd, ge-scheurd) worden bepaald voor verschillende wapeningscon- I-~~---------~--------~_ffiguraties. In de volledig gescheurde fase geldt met goede be- 4 Doorbuiging als functie van de stijfheidsverhouding knadering dat K evenredig is met 4., zodat metk ~ 4.,su/4.,span (5)de momentenverhouding kan worden gevonden.20 Cement 1990 nr. 12Tabel 1ligger fl, !'en fi,* Pu k m(N/mm2) (N/mm2) (N/mm2) (kN)CB-O.78/0.78/0.31 28,3 33,9 3,63 115 1,00 0,97CB-l.36/0.53/0.31 29,4 35,1 3,70 112 2,59 1,68CB-0.31/0.95/0.31 27,7 33,8 3,66 112 0,33 0,53CB-0.66/0.75/0.31 28,6 34,7 3,69 108 0,89 0,91CB-0.66/0.75/0.87 29,4- 36,8 3,46 115 0,89 0,91*fi, :buigtreksterkte bepaald op prisma's 150 x 150 x 600 mm3DoorbuigingenBeschouwd wordt een reeks liggers metwillekeurigeverhou~ding A",su/Aa~p.udoch ontworpenvooreen zelfde bezwijklast .volgens (1). Uitgaande van het rekenmodel voorgesteld in fi~guur 2 en de evenredigheid volgens (5), kan de doorbuiging)'onder de geconcentreerde lasten worden berekend voor devolledig gescheurde toestand [4,5]. De verhouding )'/)'el isvoorgesteld in figuur 4- als functie van k(ofvolgens (5) de wa-peningsverhouding). Hierbij is )'el de doorbuiging van de lig-ger gewapend volgens de elasticiteitstheorie (k = 1).Uithetverloopvandekrommevolgtdatvoorliggers methet-zelfde draagvermogen, de doorbuiging weinig wordt be?n-vloed door de aangenomen wapeningsverdeling. Dit is uiter-aard een gunstige constatering in verband met het gedrag inde gebruikstoestand van doorgaande liggers, ontworpenvolgens niet-lineaire methoden, onder kortstondige statischebelasting.Aan de hand van exp?rimenteel onderzoek en numeriekeanalyse zal hierna verder op deze problematiek worden inge-gaan en zullen bepaalde aspecten kwantitatief worden ge?-valueerd.de wapeningsoppervlakken werd echter zodanig bepaald, datde liggers alle dezelfde bezwijklast hadden volgens (2). Bij lig-ger CB~1.36/0.53/0.31 werd de langswapening geconcen-treerd boven het tussensteunpunt, terwijl bij ligger CB-O.3110.95/0.31 in het veld relatiefmeer staal werd aangebracht. Deliggers CB-0.66/ 0.75/0.31 en CB-O.66/0.75/0.87 verschillenalleeninde hoeveelheid drukwapening, dieinhetlaatste gevaloverdreven groot werd gekozen.De waarden van k, berekend volgens (5) en de corresponde-rendewaardenvan m berekend volgens (4), zijnvermeld inta-bel 1. Met deze waarden kan iedere ligger in figuur 3 wordenaangegeven.Over een afstand van ongeveer 2h links en rechts van de driekritieke doorsneden, werden gesloten beugels (FeB 220,0 k 10-150) geplaatst.Buitendeze zones werd de dwarskracht-wapening aangepast aan de grootte van de dwarskracht.De keuze van de balkafmetingen en de plaatsing van de ge-concentreerde lasten resulteerde in een zeer beperkte invloedvan de dwarskracht op het constructieve gedrag.BeproevingsresultatenDe bezwijklasten van de liggers zijn opgenomen in tabel 1.Zoals verwacht zijn de waarden voor de vijfliggers nagenoegidentiek. Op foto 5 is ligger CB-0.78/0.78/0.31 weergegevenbij een last P = 110 kN. In de figuren 6 en 7 is het momenten-verloop getekend voor de liggers CB-1.36/0.53/0.31 en CB-0.3110.95/0.31.Bij deze gevallenis de herverdelingvan de mo-menten vrij aanzienlijk in de plastische fase. De vorming vanhet eerste plastische scharnier is in de figuren 6 en 7 zichtbaarin de vorm van een nagenoeg verticale drempel. De lastWaar-bij, volgens berekeningen, boven het middensteunpunt vanligger CB-0.3110.95/0.31 de wapening begint te vloeien isslechts 16% hoger dan de gebruikslast P = 45 kN. Deze ge-Experim.enteel onderzoekOverzicht van het beproevingsprogrammaHet beproevingsprogramma werd uitgevoerd in het Labora-torium Magnel en omvattevijfdoorgaande liggers met afme-tingen zoals aangegeven in figuur 1. De liggers werden gestortop hun definitieve steunpunten. De zijbekisting werd na ??ndagverwijderd ende onderbekisting nazeven dagen, zodatdeliggers dan werden belast door hun eigen gewicht. Na 28 da-gen werd een statische belastingsproef tot breuk uitgevoerd.Het beton had een water-cementfactor van 0,55. Voor sterk-teresultaten, zie tabel 1. De langswapening is FeB 400.Bij de overige liggers werd de verhouding k = Aa,spa/A",sup 5tussen vrij ruime grenzen gevarieerd (tabel 1). De grootte van Ligger CB-O.78/0.78/0.31 bij P = 110 kN = 0,96 PuPa = A/bhPa' = A;/bhDe kenmerken Van de liggers zijn opgebouwd uit de notatie'CB' (continuous beam)endewaardenvan 100Pa,sup' 100 Pa,spauen 100 p;, waarin (fig. I}Ligger CB-0.78/0.78/0.31 is gewapend volgens de momentenberekend op basis van de lineaire elasticiteitstheorie. Voor deaangenomen belastingsconfiguratiezijn het maximale steun-punts- enveldmoment nagenoeg gelijk, zodat het scheurmo-ment en de stijfheid in de verschillende stadia over de lengtevan deze ligger constant blijven.De beproevingsopstelling is schematisch weergegeven in fi-guur 1. De geconcentreerde lasten werden uitgeoefend metbehulp van hydraulische vijzels. De steunpuntsreacties wer-den gemeten met behulp van elektronische dynamometers.Cement 1990 nr. 12 21,---~~ I_O~ND~._E_RZ__O_E_K~~~ ~ ~ _CB-i, 36/0. 3/0.31\~.MSUp(kNmi150Mspan(kNm)100)'//501/P(kN)XI..\-50-100EXPERIMENTEEL- - BEREKEND \ /(ogenblikke1ijk)--- BEREKEND (lange duur) o.CB-O. 31/0. 5/0.31Msup (kNmI-150100jMspan (kNmi50P(kNI\/-50-100-150EXPERIMENTEEL?2006 Verloop van de buigende momenten voor liggerCB-1.36/0.53/0.31 7Verloop van de buigende 1I101I1enten voor liggerCB-O.3110.95/0.31bruikslastwerd berekend uitgaandevan de rekenwaardenvande momenten in de uiterste grenstoestand van ligger CB-0.78/0.78/0.31.In figuur 8 zijn de experimentele doorbuigingslijnen van deverschillende liggers samengevoegd.Voor alle liggers wordt een uitstekende overeenkomstvastge-steld tussen de experimentele bezwijklasten en die door in (1)de berekende bezwijkmomenten in te voeren (rekening hou-dend met het verstevigingsgedrag van het staal). Hieruit volgtdat telkens een volledige momentenherverdeling kon plaats-hebben, hetgeen werd bevestigd dooreen analytische verifi- .catie van de optredende plastische rotaties.Zoals blijkt uit figuur 8 zijn de doorbuigingen van de liggersvrij goed vergelijkbaar zolang het vloeimoment niet wordtbereikt, hetgeen in overeenstemming is met de eerder ver-melde berekeningen (fig. 4).In tabel 2 zijn de waargenomen maximale scheurwijdten bijP = 45 kN vermeld. Deze waarden zijn aanvaardbaar voornagenoeg alle toepassingen.Nutrlerieke analyseRekenmodelEr wordt gebruik gemaakt van een rekenprogramma geba-seerd op de elementenmethode voor de niet-lineaire analysevan vlakke raamwerken. De elementen zijn van het Navier-Bernouilli type met 9 vrijheidsgraden (fig. 10). Het program-ma, datontwikkeldwerdaandeUniversit?LibredeBruxelles,is onder meer beschreven in [6,7].Als uitgangspunten worden voor het gedrukte beton het ge-bruikelijke parabool-rechthoek diagram en voor het getrok-ken beton een 'smeared crack' model met uiterste rek gelijkaan 0,000125 genomen.Het a-e-diagram van het wapeningsstaal is multilineair met.!v(ield) = 440 N/mm2, Ea = 200kN/mm2,eindevandevloei~drempel bij Sa = 1% en verstevigingsmodulus gelijk aanE/500.Deeffectenveroorzaakt door de tijdsafhankelijkevervormin~gen van het beton worden behandeld via een visco-elastischeanalyse, gebaseerd op de numerieke evaluatie van de 'erfenis-integraal' voor het superpositieprincipe 18]. Voor de tijdsaf-hankelijkevervormingenvanhetbetonwordtde formuleringvan de CEB-fIP Model Code (1978) toegepast voor T = 20?Cen een relatieve vochtigheid gelijk aan 60%.Wegens de symmetrie dient slechts ??n overspanning gemo-delleerd te worden. Hiertoe worden 7 elementen ingevoerdvoor de liggers met Pa' = 0,31% en 8 elementen voor liggerCB-0.66/0.7S/0.87.BelastingsstappenVoor iedere balk worden twee berekeningen uitgevoerd:1. Berekening van het 'ogenblikkelijk' gedrag onder mono-toon aangroeiende belasting tot breuk, met vorming van hetbezwijkmechanisme. Deze berekening is een numerieke100 }.'P:....'.(k~N~)_-+-__~h---,_-l-~(1)~1~=f====J/ (4)~V' (!) CB-0.78/0.7B/0.3140 f--"--~o$L-f--,----j I--~-jff ? CB-1.36/0.53/0.31~~fL--+------l I---~-j?'/' ~ CB-0.31/0.95/0.3120 U f---~I @ CB-0.66/0.75/0.31y (mm)252015CB-1.36/0.53/0.31---BEREKEND (ogenblikkelijk)-- BEREKEND (lange duur)? EXPERIMENTEEL105o /oP (kN)....--- ------BO +-----+----+-1-_.__::::::-"""'-t---==----=-'--t-'----JV- .",.",,.--100 ~-----'r--~-----r-~--'-~~--r----'y (mm)252015105I//~~80 t--~---+--~-;I'b"'b~~~=----t-----"-' 1zal kverder afnemen tenge-volge van de kruipeffecten. In beide gevallen zal kdus strevennaar 1 en uit (4) en de kromme voorgesteld in figuur 3 volgtdat dezelfde tendens ook geldtvoor m.Alsvoorbeeldwordtdeligger CB-1.36/053/Q.31 beschouwd, waarvoor initieel k =2,59 (tabelt). Aangezien k> 1zullen op lange termijnzowel kals m = Msu/Mspan afnemen. Bijgevolg wordt het centraalsteunpunt (sterkst gewapend) ontlast en het veldmomentneemt toe (fig. 6). Het omgekeerde verschijnsel doet zich voorbij ligger CB-0.31/0.95/0.31 (k < 1). .(6)waarin; = x/h de relatieve hoogte van de drukzone voorsteltIn de volledig gescheurde toestand wordt de buigstijfheid vaneen rechthoekige doorsnede van gewapend beton gegevendoor de uitdrukkingReeds is gesignaleerd dat er, voor wat de momentenverdelingbetreft, nauwelijks verschil is russen de liggers CB-0.66/ 0.75/0.31 en CB-0.66/0.75/0.87. Bovendien heeft drukwapeningeen zeer beperkte invloed op het bezwijkmoment, doch eenmeer uitgesproken invloed op de ductiliteit. Drukwapeningheeft eveneens een gunstig effect op de lange-duur doorbui-gingen (fig. 11), hoewel dit effect niet moet worden overschat.Uitgaande van deze constateringen kan worden geconclu-deerd dat wanneer op korte termijn de scheurwijdten endoorbuigingen binnen aanvaardbare grenzen liggen, diteveneens zo zal blijvenop lange termijn, onafhankelijkvan deaangenomen wapeningsverdeling.van de doorbuigingen (fig. 11), zijn abnormale toenames tenopzichte van de andere liggers vast te stellen. Ditgunstige ver-schijnsel is te danken aan het feit dat de rotatie in het desbe-treffende plastische scharnier beperkt blijft, aangezien dezeeveneens wordt bepaald door de vervormingen in de overigekritieke doorsneden.Trendvandetijdsafhankelijkemomenten-enspann?ngsherverdel?ngDe tijdsafhankelijke momentenherverdeling wordt veroor~zaaktdoor hetfeit dat dewapeningsdoorsnede nietconstantisoverde lengte van de liggers, zodat een heterogeenvlsco-elas-tisch gedrag ontstaat. De trend van deze herverdeling is dus-danig, dat een overdracht van inwendige krachten van zonesmeteen hoge kruipsnelheid naar zones met een lage kruip-snelheid plaatsheeft [8]. Hierop wordt even nader ingegaan.De wapeningsverdeling als zodanig heeftzeer weinig invloedop de lange-duur doorbuigingen onder gebruiksbelasting.Hiermee wordt de theoretische analyse, uitgewerktin [9], be-vestigd. Uit het verloop van de krommen voorgesteld in fi-guur 11 blijkt dat de doorbuigingen op lange termijn kunnenworden verkregen door de ogenblikkelijke te vermenig-vuldigen met eenfactor die alleen een functie is van de kruip-co?ffici?nten het percentagedrukwapening. Deze werkwijzewordt trouwens toegepast in de Amerikaanse betonvoor-schriften ACI 318.24 Cement 1990 nr. 12waarbij z de hefboomsarm van de inwendige krachten voor-stelt, blijktdatzowelvariaties van Mals van z dewaardevan Gabe?nvloeden.Aangezienineersteinstantie kanwordengestelddaten met inachtname van (7), volgt dat z afneemt in de tijd eneen toename van Ga tot gevolg heeft. Voor doorsneden waarhet buigend moment toeneemt in de tijd werken beideeffectenin dezelfde zin (toenemende Ga)' zelfs voor de meestedoorsneden waar M afneemt is het effect van z doorslagge-vend, zodat Ga globaal gezien toeneemt. Alleen voor hetmiddensteunpunt van ligger CB-1.36/ 0.53/0.31 wordt eenafname van Ga op termijn waargenomen (fig. 13).MG = - -a zAa(8)7. Espion, B., Application of some tillle-dependent predic-tion models to the analysis of structural elements undersustained load. Preprints of the 4th Rilem InternationalSymposium on Creep and Shrinkage of Concrete, (Z.P.Bazant, editor), Northwestern University, Evanston, Ill., Aug.1986, pp. 609-622.8. CEB-Bulletin d'Information 142/142bis,Manual onstruc-tural effects oftime-dependent behaviour ofconcrete. 1984.9. CEB-Bulletin d'Information 158-E, Manual on Crackingand Deformations. 1985.TenslotteHet doel van deze studie was enig inzicht te verwerven in hetgedrag in de gebruikstoestand van doorgaande gewapend-betonliggers ontworpen volgens niet-lineaire methoden.Hiertoe werd een reeks liggers met twee overspanningen endezelfde bezwijklast geanalyseerd, waarbij de wapeningsver-houding tussen vrij extreme grenzen vari?erde.De volgende conclusies kunnen worden getrokken:1. Uithet experimenteelonderzoekblijktdat hetgedrag in degebruikstoestand (scheurwijdten en doorbuigingen) op kortetermijn geen problemen geeft. De doorbuiging is nagenoegonafhankelijk van de aangenomen wapeningsverdeling,hetgeen in overeenstemming is met analytische beschou-wingen.2. Teneinde het gedrag onder langdurige belasting te beoor-delen werd een numerieke analyse uitgevoerd. Tengevolgevan de ongelijkmatigewapeningsverdeling overde lengtevande liggers treedt een bijkomende momentenherverdeling op.Deze herverdeling compenseert echter de ogenblikkelijkoptredende herverdeling indie zin, datop termijn momentenworden overgedragenvan zones meteenhoog naarzones meteen laag wapeningspercentage.3. Inde doorsnedenzelfzorgt de tijdsafhankelijke spannings-herverdeling voor een toename van de staalspanning dieechter nooit hoger oploopt dan 15%. In het extremegeval vaneen initieel hoge staalspanning liep deze onder langdurigebelasting op tot de vloeigrens, evenwel zonder nadeligeinvloed op de doorbuigingen en de momentenverdeling.4. Ook de lange-duur toename van de doorbuiging is nage-noeg onafhankelijkvan de aangenomenwapeningsverdeling.Literatuur1. Monnier, Th., Doorgaande balken van gewapend beton.Cement 1976, nr. 11.2. CDR-VB-Rapport 83, Doorgaande balken van gewapendbeton. Uitgave CDR, Gouda, 1980.3. CDR-YB-Rapport 108, Plastische scharnieren, UitgaveCDR, Gouda, 1982.4. Taerwe, L. en B. Espion, Serviceability and the nonlineardesign of concrete structures. IABSE Periodica 2/1989, pp.61-76.5. Taerwe, L., Doorlopende liggers van gewapend beton.Tijdschrift der Openbare Werken van Belgi? 1981, nr. 5, pp.423-441.6. Espion, B., Nonlinear analysis offramed structures with aplasticity minded beam element. Computers & Structures, 22(5), 1986, pp. 831-839.Cement 1990 nr. 12 25