prof.dr.ir.G.de Josselin de Jonghoogleraar TH-Delft Aeolotropie vangestructureerde materialenInleidingVolgens de legende nam de Griekse windgod, Aeolus, het dekschild van een schildpad,spande er in verschillende richtingen draden over en hing het samenstel in de wind. De snarenhadden verschillende spanning, en zodoende verwekten zij, door de wind in trilling gebracht,akkoorden. Toentertijd waren dit soort wonderen nog ongebruikelijk en verrukte de aeolus-harp een ieder, die de mysterieuze klanken hoorde.Deze legende is de oorsprong van het woord eeolotropie, dat in de spanningsleer wordtgebruikt, wanneer materialen een richtingsafhankelijke stijfheid bezitten, zodat ze in de enerichting minder vervormbaar zijn dan in een andere. Beton, waarin wapeningsstaven zijningegoten, en gewapend beton, dat doorsn?den is met een patroon van evenwijdige scheuren,zijn aeolotrope materialen. De wapening zal vervorming van het materiaal in de draadrichtingverminderen, scheuren zullen de vervormbaarheid vergroten.De bedoeling van dit artikel is, om de berekening van gewapend beton te plaatsen binnen hetkader van de spanningsleer van aeolotrope materialen. Daarbij zal alleen de aeolotropie ver-oorzaakt door de wapening behandeld worden, de bijdrage van scheuren op de aeolotroplezal buiten beschouwing blijven, omdat thans niet bekend is hoe die precies moet wordengeformuleerd.Ten geleide Naar aanleiding van de 16e prijsvraag van het ENCI-jubileumfonds presenteerde irALipskieen theorie waarmee het afschuifdraagvermogen van dunne balklijven kan worden bepaald.Hierbij gaat hij dieper in op het krachtenspel in gewapend"betonelementen die in hun vlakworden belast.Ir. Lipski ging hierbij uit van evenwichts- en compatibiliteitsvoorwaarden. Een belangrijkaspect dat uit deze studie naar voren kwam WaS het feit dat de hoofdspannings- en de hoofd-vervormingsrichtingen in het materiaal in het algemeen niet samenvallen. Dit geldt zowel voorhet ongescheurde als voor het gescheurde stadium.In het augustusnummer van Cement 1972 werd door mij een inleiding geschreven met als titel'3 Bielles, om de lezers van Cement bekend te maken met deze studie. In dit artikel werdingegaan op het verschijnsel aeolotropie, een begrip dat niet alom bekendheid geniet, enwaarvan in het kort werd aangeduid wat het inhield. Blijkbaar is door de verkorte weergavevan de desbetreffende begrippen in dat artikel een mogelijkheid tot misverstand geschapenomdat zoals later bleek, ir. Lipski van mening was dat zijn inzichten niet goed in deze inleidingwaren overgekomen. Daardoor is de vraag gerezen of een uitgebreidere behandeling van hetbedoelde vraagstuk niet van betekenis zou zijn voor een groot deel van de in betonconstruc-ties ge?nteresseerden. Ook andere overwegingen pleiten hiervoor.In de eerste plaats blijkt dat helaas maar al te vaak wordt voorbijgegaan aan de compatibili-teitsvoorwaarden waaraan moet worden voldaan bij het bepalen van de spanningstoestandenin betonconstructies. Op dit onderwerp werd reeds eerder ingegaan in de door mij verzorgdebijdrage in Cement 1973, nr. 2, onder de titel 'De gebondenheid van de constructeur in dekeuzevrijheid'.In de tweede plaats is de discussie over het afschuifgedrag van betonconstructies de laatstetijd sterk op gang gekomen. Dit gedrag is niet goed te bepalen, wanneer niet wordt uitgegaanvan de relatie tussen vervorming en spanning. De overweging, dat een fundamentele behan-deling van aeolotropie in Cement op zijn plaats iS,-heeft geleid tot een contact met prof.dr.lr,G.de Josselin de Jong van de TH-Delft, die dit begrip en het gebruik ervan bij de bepaling vanhet gedrag van composietmaterialen in zijn derdejaars collegedictaat had opgenomen.In het hiernavolgende artikel geeft hij een voor Cement geschreven versie van dein datcollege behandelde stof.Aansluitend daarop zal in een vervolgartikel door ir.J.Walraven van de vakgroep 'Betoncon-structies' een uitwerking worden gegeven van deze fundamentele kennis ten aanzien Van hetgedrag van gewapend-betonconstructies, daarmee de relatie leggend tussen de theorie en deconstructie. Dit kan hopelijk een goede start zijn om meer dan tot nu toe het geval was, dedeskundigen op het gebied van de Toegepaste Mechanica in een probleem te interesseren,dat voor de betonconstructeur van wezenlijk belang is. prof.ir.A.S.G.Brugge/ingCement XXVI (1974) nr. 4 166Oorspronkelijk is het begrip aeolotropie ingevoerd bij de bestudering van stijfheidseigen-schappen van kristallen. Deze hebben gerichte structuren, omdat ze zijn opgebouwd uitatomen in regelmatige rangschikkingen. Zodoende zijn erin kristallen voorkeursrichtingen enis hun stijfheid afhankelijk van de richting van belasten. De onderlinge atoomafstanden zijn zoklein, dat de materie in een kristal praktisch als continu, gelijkmatig over de ruimte verdeeld,beschouwd mag worden.In gewapend beton is de draadafstand niet voldoende klein, :om het samenstel in beginsel alscontinu voor te stellen. Toch zullen we in het hierna volgende de wapening gelijkmatig doorhet beton heen verspreid denken, om de behandeling niet onnodig te compliceren. Dit geefteen eerste-orde benadering van het gedrag. Die benadering is zeer goed, wanneer er eengebied is, waarbinnen zeer veel draden liggen en waarin de spanningstoestand overal dezelf-de is.In dit artikel wordt uiteengezet, op welke wijze het samenspel van beton en wapening bij hetopnemen van krachten kan worden berekend. In ? 1 wordt in algemene zin beschreven hoemen tot de benodigde formules kan komen. In de daaropvolgende paragrafen wordt als voor-beeld het tweedimensionale geval vaneen plaat uitgewerkt, die versterkt is met systemen vanrechte, evenwijdige, dunne draden, die gelijkmatig over de plaat verdeeld zijn. In ? 2 wordthet geval behandeld, dat er ??n draadstelsel is en dat de richting daarvan overeenstemt metdie van de uitwendig opgelegde kracht. Dat geval leidt tot eenvoudige formules, omdat dehoofdrichting van de vervorming in de richting van de draden ligt. Het meer algemene geval,dat draden, hoofdspanningen en hoofdvervormingen onderling van richting verschillen, vereisteen nadere beschouwing van het karakter van de vervormingstoestand. Dit geschiedt in ? 3,4 en 5 waarin wordt aangetoond, dat de vervormingstoestand beschreven kan worden metcomponenten, op een wijze zoals voor de spanningstoestand gebruikelijk is.In ? 6, 7, 8 en 9 wordt aangetoond hoe de spanningen in beton en wapening samenhangen metde vervormingstoestand en worden de formules ontwikkeld, die de bovenbedoelde berekeningvan krachtsverdeling in gewapend beton mogelijk maken. In ? 10 wordt gedemonstreerd dathoofdspanningen en hoofdvervormingen niet altijd gelijk gericht behoeven te zijn. Dit is eenalgemeen kenmerk van aeolotropie. Een nader gepreciseerde definitie van aeolotropie zal aanhet einde van dit artikel gegeven worden, omdat dat gemakkelijker kan geschieden, nadat deformules zijn ontwikkeld.1. Samenhang, constitutieve vergelijkingen, evenwichtBij de berekening van de wijze, waarop een samengesteld medium, zoals gewapend beton,inwendig de krachten verdeelt, die er uitwendig op worden uitgeoefend, is het nodig om aandrie voorwaarden te voldoen. Deze zijn samenhang, constitutieve vergelijkingen en evenwicht.De voorwaarde van samenhang (ook compatibiliteit genoemd) vereist, dat de vervormingenvan het staal en het beton even groot zijn als de vervorrningen van het samenstel, wanneerverondersteld mag worden, dat de deel materialen onderling hecht met elkaar zijn verbonden.Symbolisch weergegeven door:Etotaal = Estaal = Ebeton (1.1)of in de vorm van een slogan:'totaalrek is gelijk staalrek is gelijk betonrek'.De constitutieve vergelijkingen geven voor elk materiaal het verband aan, dat bestaat tussenspanning en de daardoor veroorzaakte vervormingen. In de hierna volgende analyse zalworden aangenomen, dat deze relaties zowel voor het staal als voor het beton bekend zijn.Symbolisch weergegeven door:astaal = . Estaalabeton = . Ebeton(1.2)Hierin zijn en de stijfheidsco?ffici?nten van de deelmatertalen.Wanneer de spanningen vermenigvuldigd worden met het gedeelte van het oppervlak, datelk deel materiaal inneemt van het totale oppervlak (F) van een doorsnede door het samenstel,verkrijgt men de krachten K, die inde deelmaterialen werken. Symbolisch weergegeven door:Kstaal = astaal . FstaalKbeton = . Fbetcn(1.3)De voorwaarde van evenwicht vereist, dat de krachten die in de samenstellende delenwerken, evenwicht maken met de kracht die totaal op het samenstel werkt. Symbolisch weer-gegeven door:Kstaal + Kbetcn = Ktotacl (1.4)Cement XXVI (1974) nr. 4of in de vorm van een slogan'totaalkracht is staalkracht plus betonkracht',De formules (1.1), (1.2), (1.3) en (1.4) zijn symbolisch, omdat de erin voorkomende groothedenvele componenten bevatten, die op correcte wijze in de formules moeten worden verwerkt.In dit artikel zal aangetoond worden hoe dit dient te geschieden.Ten einde constitutieve vergelijkingen voor het samenstel te construeren, is het het eenvou-digst om uit te gaan van Etotaal en te onderzoeken hoe groot Ktctaal moet zijn om deze Etotcolte kunnen veroorzaken. Aangezien de vervormingen van de deelmaterialen even groot zijn alsEtotcel , kunnen de spanningen in de deel materialen met (1.2) uitgedrukt worden in Etotocl . Ver-167volgens verkrijgt men de krachten in de deelmaterialen met (1.3) en met (1.4) de uitdrukkingKloloal als functie van Elolaal.Laat gedefinieerd zijn als de totale kracht gedeeld door het totaledoorsnijdingsvlak,zodanig dat symbolisch:dlolaal = KlolaallFlolaal (1.5)dan vindt men ulteindelljk het verband tussen en Etotoc! als een uitdrukking van de vorm:= (1.6)waarin destijfheidsco?ffici?nt is van het totale samenstel. De formule (1.6) is op tevatten als de constitutieve vergelijking van het samenstel. In wezen is het een stelsel vergelij-kingen, zodanig dat de co?ffici?nt bestaat uit een matrix van componenten. De inversievan dit stelsel kan symbolisch geschreven worden als:Etotcc! = Ototccl (1.7)A1Plaat versterkt met draden in richting vande kracht Kwaarin de inverse matrix van is. In dit artikel zal aangetoond worden hoe menlangs deze weg de componenten van en kan berekenen, wanneeren de wapeningspercentages bekend zijn.Pas wanneer men alle co?ffici?nten van heeft bepaald, is het mogelijk om te berekenenhoe een uitwendige belasting over de samenstellende deelmaterialen wordt verdeeld. Daartoegebruikt men (1.7) om de vervormingen te bepalen en dan vindt men met (1.1) en (1.2) despanningen in staal en beton apart.In het vervolg zal in plaats van de toevoeging 'staal' de subscript a gebruikt worden en voor'beton' een b. Grootheden zonder subscript zijn 'totaal'.2. Kracht in richting dradenIn flquur 1 is een plaat weergegeven, die gelijkmatig is Uitgerekt in de richting van de draden,zodanig dat het rechter zijvlak evenwijdig verplaatste over een afstand (u) ten opzichte vanhet linker zijvlak. De lengte van de plaat werd daardoor vergroot tot = + u. Voor hetgeval dat u klein is ten opzichte van kan worden gesproken van een totale rek ter groottevan= = (2.1)Ten gevolge van de samenhang is deze totale rek gelijk zowel aan de rek in hetals aan de rek in het beton, zodat= = = . (2.2)Ten einde eenvoudige constitutieve vergelijkingen te verkrijgen, zal in deze paragraaf ver-ondersteld worden dat de dwarscontractie-co?ffici?nten van zowel staal als beton beide gelijknul zijn. De rekkena, en wekken dan alleen normaalspanningen en op in vlakkenloodrecht op de draadrichting. Wanneer Ea en Ebde elasticiteitsmodulussen zijn in resp. staalen beton, dan zijn de constitutieve vergelijkingen:= spanning in staal = Ea = Ea (2.3)= spanning in beton = Eb = Eb (2.4)Een doorsnijdingsvlak van de plaat loodrecht op de draad richting bezit een oppervlak tergrootte bh = F cm" (zie fig. 1). Stel dat A cm' van dit oppervlak bestaat uit draaddoorsnedeen B cm? uit beton, zodanig dat geldtF=A+BDe kracht werkend in de draden heeft dan een grootte Ka gegeven doorKa = A = AEaen de kracht werkend in het beton ter grootte KbDeze krachten zijn gericht in de langsrichting van de draden.De totale kracht (K) is volgens (1.4) de sommatie van de deelkrachten en isK = Ka + Kb= (AEa + BEb)(2.5)(2.6)(2.7)(2.8)Wanneer de totale waarde K gelijkmatig uitgesmeerd gedacht wordt over het totale oppervlakF ontstaat de totale spanning volgens (1.5). Deze is dus gelijk aanKAB= = Ea + . (2.9)Wanneer het wapeningspercentage is, is er in de plaat, met afmetingen bh een hoeveel-heid staal, waarvan het volume gelijk is aan = Aangezien de draden cm langzijn en een gezamenlijke doorsnede A cm" hebben is hun volume ook gelijk aan Hieruitvolgt datCement XXVI (1974) nr.4oi = A/F en 1 BIF .Hiermede kan (2.9) geschreven worden also = Ea +(1 co) Eb] .168(2.10)(2.11)Dit is de constitutieve verqelljkinq voor het samenstel van de vorm (1.6). De stijfheid daarinheeft de waardeco Ea + (1 ro) Eb . (2.12)Wanneer niet de rek is gegeven, doch de belasting van de plaat door de totaalspanningdan kunnen de spanningen en in het staal en beton apart, berekend worden met (2.3)en (2.4), nadat eerst de rek is bepaald. Dit is moqelljk door de formule (2.11) om te keren tot= o / [co Ea + (1 . (2.13)hetgeen van de vorm (1.7) is, met2Verplaatsingen van punten van een plaatrelatief t.O.V. Po3. Relatieve verplaatsingenTer berekening van het algemene geval, dat de draadrichting niet overeenkomt met de richtin-gen van de vervormingen of de spanningen, zal wederom uitgegaan worden van een bekendveronderstelde gelUkmatige vervormingstoestand van de plaat. De vraag is om te bepalenwelke spanningen in de draden en het beton nodig om de desbetreffende vervormingente kunnen veroorzaken.Daarbl] doet zich het probleem voor om vast te stellen hoeveel het beton rekt in de richting,waarin de draden liggen. Dit vereist een diepgaander kennis van het karakter van de verver-mlnqstoestand dan gewoonlijk in toegepaste mechanica-cursussen gegeven wordt. Ten eindeeen beeld van dit karakter te verkrljqen en :in formules vast te leggen is het het eenvoudigstom uit te gaan van het lineair verdeelde verplaatsingsveld, dat overeenkomt met een gelijk-matig verdeelde vervorming van de plaat.In figuur 2 is de plaat Pn P: P2P3 en zijn vervormde toestand p'OP'] P'2P'3 zodanig in ??nfiguur verenigd, dat de hoekpunten Po en P'o in hetzelfde punt zijn getekend. De verplaatsln-gen van de overige punten zijn aangegeven door pilltjes. Zo'n pijltje, bijv. P1 P'i. is daardoorde relatieve verplaatsing van P1 ten opzichte van Po.De plaat vervormt gelUkmatig, wanneer de grootte van de pUitjes recht evenredig toeneemtmet de afstand vanaf Po. Een verplaatsing is in principe een vector, waarvan grootte en rich-ting bekend zijn, wanneer gegeven is hoe groot de componenten in horizontale en verticalerichting zijn. We zullen die componenten hier resp. u en v noemen (zie fig. 2, rechts).Gelijkmatlqe vervorming van de plaat houdt in, dat de relatieve verplaatsingscomponentenrecht evenredig zijn met de afstand tot het vergelijkingspunt Po. Wanneer Po als oorsprongvan de co?rdinaten x, y gekozen wordt, betekent dit, dat u en v recht evenredig zijn met x en y.In formule uitgedrukt betekent dat:u = X + Yv = +(3.1)(3.2)waarin constante co?ffici?nten zijn,De grootte van deze co?ffici?nten bepaalt de vervormingstoestand van de plaat. Zljhoudendirect verband met de rek van bepaalde lijnen en de hoekvervormingenin de plaat. Dit ver-band zal in de volgende paragraaf worden afgeleid, waarin verondersteld wordt dat de co?ffi-ci?nten getalwaarden bezitten, die klein zijn ten opzichte van ??n.u,(4.2)(4.1)De lijn paP] vervormt tot de lijn P'OP'l ter lengte= + U1)2 + V]2 = V(l + + .ontwikkeling van deze uitdrukking voor een reeks en verwaarlozing van tweede enhogere machtstermen van en aangezien die klein ten opzichte van 1 zijn, ontstaat:4. Vervormingen in de co?rdinaatrichtingenRek in co?rdinaatrichtingenBeschouw de lijn POP1 ter lengte.e1 in x-richting (fig. 3). Het punt P1 heeft co?rdinaten Xly] = O. De relatieve verplaatsingsvector P1P'l heeft componenten U], V1 die met (3.1) en (3.2)berekend kunnen worden als:3,,,J,J,J,,I,..{Pi'3Relatieve verplaatsingen in en y-richtin-gen ontbonden in componenten U], vi enU2, V2= (1 +Hieruit volgt, dat= = rek vanPxP: rek van lijn in x-richting(4.3)(4.4)Evenzo voor de PoP2 ter lengte in y-richting, is de relatieve verplaatsingsvector P2P'2gegeven door:U2 = en V2 = .De lengte van P'OP'2, de vervormde lijn, is daardoor= + (1 +en dit geeft bl] reeks-ontwikkelingen verwaarlozing van hogere machtstermen= - 2) 2 = rek van PoP2 rek van lijn in y-richtingDe co?ffici?nten en stellen de rek voor van lijnen resp. in x- en y-richting.(4.5)(4.6)(4.7)Cement XXVI (1974) nr.4 169(4.8)(4.10)Kanteling in co?rdinaatrichtingen, hoekvervormingIn de onvervormde plaat :Is de hoek Pj POP2 = 90? (fig. 3). In de vervormde toestand is dezehoek P'jP'OP'2 geworden. hetgeen kleiner is dan 90?. De vermindering bestaat uit de hoekenPj POP'j en P2POP'2. waarover de lijnen in x- en y-richtingen zijn gekanteld.Uitgedrukt in radialen vindt men met (4.1) voor de kanteling van een lijn in X-richting:kanteling van PoPj naar y-as = Vj / + Uj) = Eyx/(1 + Exx) .Evenzo vindt men voor de kanteling van POP2.een lijn in y-richting:kanteling van POP2 naar x-as = + V2) = Exy/ (l + Eyy) . (4.9)Na reeks-ontwikkeling en verwaarlozing van hogere machtstermen reduceren de ultdrukkin-gen voor de kantelingen tot:= kanteling van PoPi = kanteling naar y-as van lijn in x-richting= kanteling van POP2= kanteling naar x-as van lijn in y-richtingBij elkaar opgeteld wordt het bedrag gevonden. dat de rechte hoek tussen x- en y-co?rdlnatenkleiner wordt. Het is gebruikelUk dit de hoekvervorming YXy te noemen. .YXy =Exy +Yxy = hoekvervorming = verkleining hoek tussen x- en y-assen.(4.11)4Relatieve verplaatsing van punt Q t.o.v. po.ontbonden in een rek-component Q inhet verlengde van PoQ en een kantelings-component Q' loodrecht op PoQ5. Vervormingen in willekeurige richtingRek in willekeurige richtingEenlijn ter lengte die vanuit po. de oorsprong van co?rdinaten (fig. 4) in een richting metde x-as loopt, heeft zijn eindpunt Q in het puntxQ = YQ = (5.1)Wanneer tijdene vervorming het punt Q verplaatst naar Q' terwijl Po op zijn plaats blljft, dankunnen de relatieve verplaatsingscomponenten met (3.1) en (3.2) berekend worden alsuQ = (Exxcos + sin (5.2)vo = (Eyx cos + sin (5.3)De relatieve verplaatsing Q Q' kan ontbonden worden in een component Q in het verleng-de van PoQ en een component loodrecht op PoQ.Indien de co?ffici?nten Exx, enz. wederom klein zijn ten opzichte van 1, dan is Q een maatvoor de verlenging van PoQen een maat voor de kanteling.Door UQen vo in de richting te ontbinden vindt men met (5.2) en (5.3)= uQcosa + vo stn u == cos' + sin cos + cos sin + sin' (5.4)Hieruit volgt dat de rek van PoQ, die hier met zal worden aangeduid, gelUk is aan:= Q /poQ == cos'a + Yxy cos sin + sin'awaarbij tevens van (4.11) gebruik is gemaakt.(5.5)Kanteling in willekeurige richtingDe kantelingscomponent Q' vindt men door de ontbondenen van de componenten UQ en vo.in een richting loodrecht op te combineren. Dit geeft= uQsina + vo cos (5.6)De kanteling van de lijn PoQ in een richting tegen de klok in, heeft daardoor een grootte:kanteling PoQ = /PoQ == cos sin sin' + cos'a + sin cos (5.7)Hoekvervorming in willekeurige richtingEen lijn PoR die loodrecht op PoQ staat, zodanig dat hij een hoek = + 90? met de x-asmaakt (zie fig. 4), kantelt tegen de klok in over een hoek, die met formule (5.7) kan wordenberekend door te vervangen door = + 90?. Dit levert:kanteling van PoR in richting tegen de klok in == + sin cos - cos' + sin' cos sin (5.8)Cement XXVI (1974) nr. 4De verkleining van de rechte hoek tussen PoQ en PoR. die hier zal worden aangeduid metvindt men door de twee kantelingen (5.7) en (5.8) van elkaar af te trekken. Dit geeft:YaP = -2Exxcosasina+Yxy(cos'a-sin'a) + 2Eyysinacosa (5.9)waarbij tevens van (4.11) gebruik is gemaakt.Spanningen in willekeurige richtingDe betrekkingen (5.5) en (5.9) zijn geheel analoog aan de hieronder staande algemeen beken-de formules, die gelden voor de normaalspanning en de schuifspanning op een vlakje,waarvan de normaal een hoek met de x-as maakt. Deze formules geven het verband tussen170(5.10)(5.11)5Driehoekig elementje in evenwicht onder despanningen = Tvx, ?p de recht-hoeksvlakken en Op het hypothe-nuse vlakCement XXVI (1974) nr.4enerzijds en de spanningen op vlakjes loodrecht op x- en y-richtingenanderzijds. bekend zijn ze direct af te leiden uit de voorwaarde, dat de krachten in hetdriehoekje van figuur 5 in evenwicht moeten zijn.cos" + 2 cos sin + sin2.= - cos sin + - sln? a) + sin cosUit een vergelijking van (5.5) met (5.10) en (5.9) met (5.11) blijkt er analogie te zijn tussen devolgende groothedenmet met met met met (5.12)De factor die nodig blijkt bij de hoekvervormingsgrootheden YXy, is afkomstig van eenongelukkige keuze voorde definitie (4.11) van die grootheden, die historisch gegroeid.6. Vervormingen van staal en betonIn ? 1 is eis van samenhang gesteld, dat de vervormingen van staal en beton beide, gelijkzijn aan de vervormingen van de gewapende plaat. Dit geldt voor de draden alleen ten aanzienvan de rek in hun langsrichting en voor het beton in alle richtingen, doch voor beide materia-len in eerste benadering, omdat er allerlei verstoringen zijn.Wanneer ??n van de twee samenstellende materialen aan de rand van een lichaamwordt belast, dan is er een overgangszone nodig om de vervormingstoestand van beidematerialen op elkaar aan te passen. Beschouwt men bijv. het geval dat de wapeningsdradenbuiten de plaat uitsteken en de belasting bestaat uit trekkrachten die alleen op de draden aan-grijpen, dan is er een overgangszone ter breedte van de onderlinge draadafstand. In dezezone verspreidt een gedeelte van de krachten in de draden zich geleidelijk zodanig over hetbeton, dat in het inwendige van de plaat beide dezelfde rek ondergaan, die tevens de rek vande gewapende plaat is. Wanneer de draden lang zijn ten opzichte van hun onderlinge afstand,dan is de overgangszone relatief klein en het gebied, waarin beide dezelfde rek vertonenoverheersend. Dit betreft de rek in de langsrichting van de draden.Inde richtingen loodrecht op de draden, is de situatie anders. Wanneer de draden dun zijnten opzichte van hun onderlinge afstand, dan vormen ze slechts geringe obstakels en dragenze nauwelijks bij aan een vergroting van de betonstijfheid in dwarsrichting. Een vervorming,opgelegd aan het beton, wordt alleen in een gebiedje ter breedte van de draaddiameterrondom de draad verstoord. De spanning in het beton is daardoor iets groter bij eenzelfdeuitwendige vervorming, dan de spanning opgewekt in beton zonder draden. De correctietermheeft een grootte ter orde Van het wapeningspercentage (co). Door deze correctie te verdis-conteren in de elasticiteitsmodulus (Eb) van het beton, kan men, voor de berekening van debetonspanningen, de betonvervormingen gelijk stellen aan die van de gewapende plaat. Despanningen in het staal ten gevolge van een betonvervorming dwars op de draadrichtingenzijn van de orde van grootte van de spanningen :in het beton. Wanneer Eo/Eb zeer groot is,kunnen die spanningen verwaarloosd worden ten opzichte van de krachten in langsrichting.Een zelfde soort effect, dat verdisconteerd kan worden door de elasticiteitsmodulus van hetstaal (Eo) te corrigeren, wordt veroorzaakt door de dwarscontractie van de draden, wanneerer een kracht in langsrichting in optreedt. Deze dwarscontractie zal iets verschillen van diein een vrije draad, omdat het omringende beton deze beweging hindert, wanneer zijn dwars-contractieco?ffici?nt (Vb) verschiit van die van het staal (Va). De vereiste correctie is klein,wanneer de verhouding Eo/Eb van deelasticiteitsmodulussen groot is.Deze storingseffecten kunnen afgeschat worden en vereisen geringe correcties, wanneer coklein en Eo/Eb groot is. Een uitvoerige behandeling is hier niet op zijn plaats, omdat er eendiepgaander kennis van de elasticiteitsleer voor nodig :is dan hier ter sprake kan komen. Bijhet vaststellen van de constitutieve vergel\jkingen van beton met scheuren, die een willekeu-rige hoek met de wapening maken, is een correcte beschouwing van deze effecten echterwel op zijn plaats.Aannemende, dat bovenstaande effecten verwaarloosbaar en/of gecorrigeerd zijn, wordt erhier verder van uitgegaan, dat de vervormingstoestand van het beton dezelfde is als die vande gewapende plaat. Aangeduid met een subscript b, voldoen de componenten van de beton-vervorming dan aanExxb = Yxyb = YXy; = . (6.1)Deze drie vergelijkingen worden bedoeld in het gedeelte = van de symbolischevergelijking (1.1), dat met verkorte subscripts zou luiden =Verwaarlozing van bovengenoemde effecten betekent voor het staal, dat de spanning in dedraden kan worden berekend alsof de draden in dwarsrichting onbelast en onbelemmerd zijn,terwijl ze in langsrichting de rek van de gewapende plaat meemaken. Daardoor is er alleeneen normaalspanning in vlakken loodrecht op de draadrichting en zijn de normaalspanningenop vlakken evenwijdig aan de draadrichting nul, terwijl tevens de schuifspanningen op allegenoemde vlakken nul zijn. De werkzame normaalspanning kan berekend worden uit de rekvan de draden in hun langsrichting. Andere vervormingen van de draden blijven hier buitenbeschouwing.Wanneer de draden een hoek maken met de x-as (fig. 6), dan is de rek van de plaat inde richting van de draden te berekenen met (5.5), waarin is vervangen door De rek in dedraad is dan= = cos? +Yxy cos sin + sin' (6.2)Dit is de enige vervormingscomponent voor het staal die verderop nodig is. In de symbolischeuitdrukking (1.1) is het de relevante component van het gedeelte =171(7.4)(7.1)(7.2)(7.3)7. Constitutieve vergelijkingen en spanningen voor beton en staalZowel voor beton als staal zal hier lineaire elasticiteit worden verondersteld, met elasticiteits-modulussen Ea? Eb en dwarscontractleco?fftcl?nten Va, Vb. Voor het beton zijn de spanningenen vervormingen dan verbonden door de constitutieve verqelljklnqen= (axxb Vbayyb)I EbYxyb = 2 (1 +Vb)= (- vaxxb + ayyb)IEbwaarbi] gebruik gemaakt is van het feit, dat de glijdingsmodulus Gb gelijk is aanGb = Eb/2 (1 + Vb)Aangezien het een plaat is, heerst er vlakke spanningstoestand, en is verderazzb = = Tyzb = 0 (7.5)De spanningen kunnen worden opgelost uit (7.1), (7.2) en (7.3) waardoor constitutieve ver-gelUkingen van de vorm (1.2) ontstaan. Door tevens gebruik te maken van (6.1) ontstaat hetvolgende stelsel relaties voor de betonspanningen, uitgedrukt in de vervormingen van de plaat.axxb = +Vb Eb/(1 Vb') (7.6)= Yxy Eb/2 (1 +vs) . (7.7)= (Vb + Ebi(1 Vb') (7.8)Voor het staal kan volstaan worden met een zeer eenvoudige vorm van de constitutieve ver-gelUkingen, omdat er alleen een normaalspanning heerst in vlakken loodrecht op de draad enalle andere spanningen nul zijn. Noemen we deze spanning (fig. 6), dan is de enige relatiedie overblljft:(7.9)waarin uitgedrukt kan worden in de vervormingen van de plaat volgens (6.2). Ten eindein de verdere analyse te kunnen voldoen aan evenwicht van krachten in vlakken loodrecht opde en y-assen, is het nodig om de spanningen te bepalen die in de draden werken op ditsoort doorsnijdingsvlakken. Dit kan geschieden met de volgende evenwichtsbeschouwing.Als een doorsntjdlnqsvlak loodrecht op de draadrichting een oppervlak f cm' bezit, is de totalekracht werkend :in een draad (fig. 6)=De componenten van deze kracht in x- en y-richtingen zijn= f cos = f sinBeschouwen we een vlak. dat de draad doorsnijdt in een richting loodrecht op de x-co?rdinaat,dan heeft het doorsnljdlnqsoppervlak een grootte fx = flcos De normaalspanning op datvlak is danOxxo = = cos' . (7.10)en de schuifspanning is= = sin cos 'P (7.11)Evenzo de spanningen op een dcorsnljdlnqsvlak loodrecht op de y-as, waarvan het opper-vlak fy = f/sin is, gelijk aany = cosrp sin . (7.12)ayya = = sin'