IBEREKENINGWAPENEN OP BASIS VANBELASTINGEN IN- EN/OFUIT-HET-VLAKdr.ir.C.R.Braam., IMAG-DLO, Wageningenir.F.G.de Haas, Grabowsky&Poort BV, Den HaagBij het analyseren van het gedrag van betonconstructies wordt steeds vaker deelementenmethode toegepast. Het vaststellen van de wapeningsconfiguratie dientdan plaats te hebben op basis van de resultaten die door het gebruikteelementenpakket worden gegeven: spanningen en/ofmomenten en dwarskrachten.In het algemeen blijven toepassingen beperkt tot alleen schijf- ofalleenplaatwerking. In deze situaties bieden de betonvoorschriften rekenregels om de'wapeningskrachten' of'wapeningsmomenten' te berekenen. In dit artikel wordt eenvoorstel gedaan voor een berekeningsmethode indien sprake is van een combinatievan schijf- en plaatwerking, zoals het geval is in schaalelementen.De elementenmethode biedt de mogelijkheid het ge-? dragvan betonconstructies gedetailleerd te analyse-ren. Bij het modelleren staat de gebruiker veelal eengroot aantal typen elementen ter beschikking, zoals staaf-,balk-, schijf-, plaat-, schaal- en volume-elementen. De resul-tatenwordenveelal gepresenteerd in devormvan spanningenen!ofkrachten in knopen ofintegratiepunten.Bij schijfelementen is sprake van de krachten nxx, nyy en nxy inhet vlak van een element (in~plane) (fig. ia).In plaatelementen is sprake van buigende en wringende mo-menten en dwarskrachten, veroorzaakt door (een) belas-ting(en) loodrecht op hetvlakvan het element (out-of-plane).Hierworden de momenten mxx, mYY' mxy en de dwarskrachtenqx en qy onderscheiden (fig. i b).Schaalelementen combineren de werking van het schijf- enhet plaatelement, waardoor zowel belastingen in, als lood-recht op het vlak van het element kunnen worden opgeno~men (fig. ie).De elementenmethode wordt meestal toegepast als sprake isvan een gecompliceerde constructie en!ofbelastingssituatie.Het doel isveelal om op basisvanberekeningsresultaten te ko-men tot een goed ontworpen en gedetailleerde constructie.Hierbij komen de betondimensies en de hoeveelheden en lig-gingvanwapenings- envoorspanstaal aandeorde. Om totde-ze resultaten te komen is eenvertaalslag vereist om de resulta-ten van de berekeningen te kunnen omzetten in 'rekengroot-heden' aan de hand waarvan de constructeurdeze hoeveelhe-den kan berekenen.De VEC levert deze vertaalslag door 'wapeningsmomenten'voor plaatelementen te omschrijven. Voorwat betrefthetwa-penen van schijf- en schaalelementenwordt geen nadere in-formatie gegeven. Voor dwarskracht levert de VEC rekenre-gels die alleen gelden voor een lijnvormig element.1 Krachten en momenten op schijf- (a), plaat (b) enschaalelementen (c)54yyoxxCement 1993 nr. 12y2 Normaal- en schuifspanning opeen vlak dat een hoek a maaktmet de x-as3 Evenwicht van gescheurdschijfelement verzorgd doorwapening in het scheurvlakya. - a.Ta = ( yy 2 XX) sin2a + axycos2a (1 b)De hoofdspanningenwordenverkregen door Tagelijk aan nulte stellen. Gevonden wordt:(Sa)1 12:.Fy = 0: asy . asy. - - = a. . --- . b~ a. . b (3b)tanf3 yy tanf3 xyHet uitschrijven van het evenwicht van het elementje levert:12:.Fx= 0: asx. asx= a. . b - a. . --- . b (3a)xx yx tanf3Door Leonhardt [1] is, op basis van zowel een energiebe-schouwing als vormveranderingsvergelijkingen, aangetoonddat de scheurhoek f3 zich onafhankelijk Van de hoofdspan-ningsrichting instelt als de wapening inx~ eny-richting zoda-nig wordt aangebracht, dat beiden bij dezelfde belasting devloeispanning bereiken. Bij de in figuur 3weergegeven span-ningstoestand behoort dan een scheurhoek f3 = 45?. Na sub-stitutie van f3 = 4S off3 = 135? in vergelijkingen (3a) en (3b)levert deze de 'wapeningsspanningen':aalbruggen, doordat er veelal geen sprake is van een door-gaande scheur, maar van een stelsel van scheuren.In deze formules is bde dikte van de schijfen zijn asx en as~ dewapeningshoeveelheden in x- en y-richting. Deze hoeveelhe-den zijn weergegeven als het oppervlak van de wapening perlengte. Zo is bijvoorbeeld bij een kenmiddellijn 0 b twee wa-peningslagen en een staafafstand 5 de hoeveelheid wapeninggelijk aan as = 2:rr0k2/(4s).Wordt uitgegaan van een berekening in het bezwijkstadiumdan is asx = asy = isenvolgtvoor detotale hoeveelheid wape-ning:b(axx - axy (lltanf3 + tan(3) + aYY )(4.)as. tot = a sx + a sy = --'----"--'-------'---"-'''-is(2)(1 a)-2axyayy~ axxtan2a =SchijvenZoals reeds in de inleiding is vermeld, is het kenmerk vanschijven dat de belasting werkzaam is in het vlak van de con-structie. Aldus ontstaan de eerder in figuur 1a aangegevenkrachten:de normaalkrachten nxx en tlyy en de schuifkracht n".yFiguur 2 toont de normaal- en schuifspanning (aa, Ta) Op eenvlak dat een hoek a met de positieve x-as maakr. Deze span-ningen zijn eenvoudig te vinden door het uitschrijven van hetevenwicht van het elementje:ayy + axx + ( ayy - axx )a. = cos 2a ~ axy sin2aa 2 2In dit artikel wordt een berekeningsmethodiek voorgesteldvoor het wapenen op basis van de krachten zoals die voor eenschaalelement worden verkregen. Hierbij zal niet alleen debuigtrekwapening (in hetvlakvan hetelementgelegen), maarook de dwarskrachtwapening Ooodrecht op het vlak van hetelement gelegen) aan de orde komen.Omdat bij het opstellen van de methodiek de gangbare regelsvoor schijven en platen als uitgangspunthebben gediend, zul-len deze eerst in het kort worden toegelicht. Vervolgens wor-den beide gecombineerd tot de berekeningsaanpak voor hetschaalelement. Deze paragrafen blijven beperkr tot de buig-trekwapening. Dwarskracht wordt apart behandeld, waarbijde overstap plaatsheeft van een (buig)ligger (al dan niet axiaalbelast) naar een schaal.Is daarentegen axy > 0 dan zal gelden dat 90? < al < 180? enmoet dus ook f3 zich binnen dit bereik bevinden.Indien controle van bezwijken van het beton opdruk achter-wege kan blijven, behoeft de absolute waarde van de schuif-spanning alleen met een positief teken te worden meegeno-men. In het vervolg zal dit worden gedaan.De hoek f3blijkt nu eenzodanigewaarde te hebben, dat de mi-nimale hoeveelheid wapening wordt verkregen [2]. Immers,na differenti?ren van as,tot naar f3 volgt een minimale wape-ningshoeveelheid voor f3 = 45?, respectievelijk f3 = 135?. Deeerstgenoemde waarde Van f3 hoort bij axy < 0 omdat, geziende richting van de hoofdtrekspanning (0? < al < 90?), in datgeval de richting van de scheur overeen zal komen met die uitfiguur 3.In het vervolg wordt nu aangenomen dat de (grootste) hoofd-trekspanning wordt gevonden voor a = al'Het aanbrengen van de wapening volgens de richting van dehoofdspanningen is weinig praktisch. Veelal wordt dan ookgekozen voor een orthogonaal net.Figuur 3 toont de spanningen werkzaam op een schijfele-ment. Verondersteld is dat het element gescheurd is. Descheur loopt onder een hoek f3 ten opzichte van de x-as. Hetelement wordt belast door de eerder besproken normaal- enschuifspanningen. Het evenwicht moet worden verzorgddoor spanningen die optreden in het scheurvlak. Uitgangs-punt is nu dat alleen de wapening krachten inde scheur over~draagt. Dit is op zich een conservatieve aanname, omdat opdezewijze ondermeer devolgende bijdragen buiten beschou-wing blijven:- 'aggregate interlock' van het beton;- deuvelwerking van de wapening;- krachtsoverdracht in het beton via nog resterende materi~b(Sb)Cement 1993 nr. 12 55___~ ~~ ~ ~I_B_EI_UJ_KE_N_I_N_G~ _PlatenBij plaatwerking wordt onderscheid gemaakt tussen buigen-de enwringende momentenen dwarskrachten (fig. 4).Door deplaat te beschouwen als een tweetal schijven (drukzone ener-zijds en wapeningslagen anderzijds) is het mogelijk de eerdervoor een schijfgeschetste aanpak tegebruiken. Figuur 5 toontde krachten diewerken op deze schijvenwanneer de momen-ten zijn vertaald in koppels krachten. Voor de duidelijkheid isde afstand russen beide schijven vergroot weergegeven. Dedwarskrachten zijn hier buiten beschouwing gelaten, omdatdaar nog nader op wordt ingegaan. Voor beide schijvengeldtnu dat de wapeningskrachten gelijk zijn aan:xnxx* = nxx +Inyxl (6a)(6b) zyZoals is te zien moeteninbeideschijven(dus zowel onderinalsbovenin de plaat) ~ en n xy in ongunstige (absolute) zin wor-den meegenomen. Dit is te verwerken door, bij het hanterenvanbuigende momenten, de momenten die nyx en n"y veroor-zaken, op twee wijzen in de berekening te betrekken. Aldusontstaan de uit de voorschriften bekende vergelijkingen voorde wapeningsmomenten:Im:x!I>]I":, ?XIixzI4 Dwarskrachten en m.om.enten op plaatelem.ent(N.B: allen per lengte)5 Mom.enten van het plaatelem.ent vertaald in koppelsvan krachten werkend in een hoven- en ondervlak6 Weergave doorsnedekrachten voor vlak m.et normaal inx-richtingIngeval van een ligger bieden devoorschriften aIdus voldoen~de rekenregels om de vereiste dwarskrachtwapening vast testellen.In een plaat is daarentegen sprake van twee dwarskrachten (qxen qy uit figuur 4). De maximale dwarskracht is gelijk aan:~=J~+~ ~Deze dwarskracht is werkzaam op een vlak waarvan de nor-maal (x) een hoek amaakt met de x-as (fig. 7J. De hoek avolgtuit de vergelijking:sina = qy (9)J q/+q/direct naar de opleggingen wordt afgedragen en dus geendwarskrachtwapening vereist.(7a)(7b)Omdat het wringend moment ~y met zowel een positiefalseen negatiefteken moetwordenmeegenomen, ontstaan tweedoorsnedeberekeningen. Voor de y-richting geldt geheelanaloog:ny/ = nyy+lnxylm yy* = myy ? myxUit het voorgaande blijkt dat de normaal- en schuifkrachtenen de buigende en wringende momenten relatiefeenvoudigzijn te verwerken. Nu resteert nog de invloed van de dwars-krachten qx en q'fDwarskrachtIn het voorgaande is de dwarskrachtnog buiten beschouwinggelaten. Bij het berekenen van de dwarskrachtwapening ge-ven de voorschriften aan dat niet alleen de dwarskrachten,maar ook de normaalkrachten van belang zijn. Zo verhoogteen normaaldrukkracht (bijvoorbeeld ten gevolge van voor-spanning) de dwarskrachtcapaciteit van de betondrukzone,terwijl een normaaltrekkracht zorgt voor een verlaging vandeze capaciteit. In de VBC is dit verwerkt door een extra term(8.2.3.2) toe te voegen aan de schuifspanning Tl (8.2.3.1). Despanning Tj geeft de schuifspanning die via de betondrukzoneSchalenEen schaalelement combineert de uit-het-vlak krachtswer-king van de plaat (momenten en dwarskrachten) met de in-het-vlak krachtswerking van de schijf (normaal- en schuif-krachten). De 'wapeningskrachten' en 'wapeningsmomenten'van respectievelijk de schijfen de plaat worden nu gecombi-neerd, waardoor in zowel x- als y-richting een doorsne-deberekening ontstaat. Figuur 6 toont de krachten voor eendoorsnede waarvan de normaal evenwijdig aan de x-as loopt.De belastingen zijn:nx/ = n"x +InyxI56 Cement 1993 nr. 12(lOa)(lOb)(lOc)(lOd)o-xX = 0xxcos2a + oyysin2a + 2oxysinacosao-y'j == 0xxsin2a + oyycos2a ~ 2oxysinacosaqx qxcosa + qysinaqy -qxsina + qycosaEen complicatie treedt nu op bij het vaststellen van het aan-deel dat de betondrukzone levert, de zogenaamde Tl' In deVEC (8.2.3.1) is een uitdrukking gegeven waarin onder meerde dwarskrachtslankheid en het aanwezige wapeningsper-centage van de buigtrekwapening naar voren komen. Tenaanzien van de buigtrekwapeningontstaat de complicatie datde wapeningsrichtingen x en y niet meer samenvallen met deDe belastingsafdracht kan nu worden onderzochtin twee on-derling loodrechte richtingen x en y. De in x-richting vereistehoeveelheid dwarskrachtwapening wordt nu gevonden doorde dwarskracht qx te beschouwen en bij het bepalen van hetaandeel van de betondrukzone de spanning O:;.x in rekening tebrengen. In y-richting gebeurt hetzelfde, alleen is daarsprakevan q- en Ow.Ook hier is de totaal vereiste hoeveelheid dwarskrachtwape-ning gelijk aan de som van beide gevonden hoeveelheden. Deuiteindelijk vereiste hoeveelheid is gelijk aan het maxirnumvan de afzonderlijke waardeu voor de diverse hoeken a.Er zijn nu in totaal drie berekeningsmethoden voorgesteld,dieechteralle in meer ofminderemate hunbeperkingenheb-ben.Daarom wordt een aanpak voorgesteld die alle mogelijkerichtingen beschouwt door de vereiste hoeveelheid dwars-krachtwapening te berekenenvoorhoeken a vari?rend tussen0? en 90? [3]. Hierbij is a de hoek tussen de oorspronkelijkex-asen de beschouwde x-as. In dit nieuwe assenstelsel geldt(fig. 7en 8) :Deze aanpak kent een tweetal bezwaren:- ten eerste is geen rekening gehouden met de in-het-vlakschuifkracht nxy = ~. Hierdoor kunnen onjuiste waardenvoor de capaciteit van de betondrukzone zijn gehanteerd;- ten tweede zijn twee dwarskrachten afZonderlijk in reke-ning gebracht, zonder aandacht te schenken aan de hieruitvolgende maximale dwarskracht.Het eerste bezwaar is te ondervangen door bijvoorbeeldhoofdspanningenals uitgangspunt te nemen en vervolgens dehierbij behorende dwarskrachten qx en qy te berekenen.Aan het tweede bezwaar kan worden tegemoet gekomendoor, evenals hiervoor geschetst voor de plaat, de rnaximaledwarskracht te berekenen en de hierbij behorende waardenvoor n:;.x en nYr Vervolgens verloopt de aanpak analoog.kracht qx' verminderd met een aandeel betondrukzone waar-op de invloed van nxx in rekening is gebracht. In y-richting isde .aanpak geheel identiek, alleen is hier sprake van ql en nTf.De totale hoeveelheid dwarskrachtwapening in een bepaal?lpunt is nu gelijk aan de sqm van de hoeveelheden vereistvoorbeide afzonderlijke afdrachtsrichtingen.xxyzy8 Nortnaalspanningen bij geroteerd assenstelsel tenbehoeve van dwarskrachtberekening7 Weergave dwarskracht bij geroteerd assenstelselDeze aanpak is op zich uiteraard behoorlijk rekenintensief,maar gezien de kracht van de huidige computers behoeft datgeen enkel probleem te zijn.I------~-------~---~----_____l Vergelijkingen (lOa) en (lOb) zijn in feite gelijk aan de eerdergegeven vergelijking (la). Door het omschrijven van (1 a) ont-staat direct (lOb). Voor het verkrijgen van uitdrukking (lOa)f-'----------------~----~-__I moet daarentegen in (1 a) in plaats van met a worden gewerktY met a + nl2.\Bij deze hoek a hoort tevens qy = O. De hoeveelheid dwars-krachtwapening is nu te berekenen door het aandeel Tl inmindering te brengen op de schuifspanning veroorzaaktdoor qx'Bij het vaststellen van Tl treden geen complicaties op, omdathier geen sprake is van krachten in het vlak van de plaat diekunnen zorgen voor een reductie ofverhoging van Tl'Bij de plaatzijndus beidedwarskrachten qxen q1om tewerkentot een maximale dwarskracht volgens formule (8).Na hetinrekening brengen van de bijdrage geleverd door debetondrukzone, resteert de dwarskracht waarop de dwars-krachtwapening moet worden gebaseerd.Bij een schaalis echter ook sprake van belastingen in het vlakvan het element. Indien sprake is Van eendrukspanning zal decapaciteitvan de drukzone toenemen, terwijl volgens de VEC(8.2.3.1) een trekspanningjuist een tegengestelde, aanzienlijkgrotere invloed heeft.De meest eenvoudige aanpak ontstaat als de x~ en y-richtinggeheel onafhankelijk worden beschouwd. In dat geval is er infeitesprakevan eenafdrachtsmechanisme,opgebouwd uitaf-zonderlijke 'liggers' in x~ en y-richting. De hoeveelheiddwarskrachtwapening in x-richting volgt nu uit de dwars~Cement 1993 nr. 12 57_ _ _ _ _- ..J- -----~I-B-ERE-KE-~N-I_N_G - - -richtingen x en y waarin de belastingsafdracht wordt be-schouwd. Hetis natuurlijk mogelijk dewapening toegepastinx- en y-richting te transformeren naar het x-y-assenstelsel.Het is echter zeer de vraag in hoeverre de in de wc gehan-teerde formule nog geldig is als de richting van de belastings~afdracht niet samenvalt met de wapeningsrichting. Het ver-dient dan ookaanbeveling omveiligheidshalve de ondergrensvoor ij te hanteren.RekenvoorbeeldDe hier geschetste rekenmethodiek wordt ge?llustreerd aande hand van een voorbeeld betreffende een 1 m dikke beton-constructie, zowel in- als uit-het-vlak belast. In een bepaaldpunt zijn de rekenwaarden voor de spanningen gelijk aan:binaties 3 en 4 ontstaat een drukzone in het beton. Bij dezetwee berekeningen is de bijdrage van wapeningsstaal in dedrukzone verwaarloosd. Tevens is uitgegaan van een nuttigehoogte d == 0,9h.Combinatie 1 levert de maatgevende wapening in x-richtingaan de onderzijde v?n de constructie (As == 6897 mm2/m).Combinatie 3 levert hetzelfde voor de y-richting (A, == 3787mm2/m). Voor de wapening bovenin de plaat wordt gevon~den: As == 5747 mm2/m (in x-richting; combinatie 2), respec-tievelijk As == 1663 mm2/m (in y-richting; combinatie 4).De maatgevende hoeveelheid dwarskrachtwapening wordtgevonden voor een hoek a == 50? (ziefig. 7). In deze richtingzijn de spanningen gelijk aan (zie vergelijkingen 10a-lOd}a-xi