themaVoorspellende modellen1201228themaAan levensduurvoorspellingen volgens de CUR-Leidraad [1] ligt een probabilistische aanpak ten grond-slag. Toch bestaat er enige terughoudendheid bij hetgebruik van deze methode. Dat terwijl deze aanpak bijhet `voorspellen' van een bezwijkkans vrijwel algemeenwordt geaccepteerd. Is dit een kwestie van onwennig-heid of is er meer aan de hand?VoorspellendemodellenDe macht en onmacht van modellen voor levensduurvoorspellingenDe probabilistische aanpak vormt de basis voor veiligheidsbe-schouwingen. De Nederlandse betonvoorschriften en de Euro-codes zijn ondenkbaar zonder een probabilistische aanpak enniemand twijfelt aan de toepasbaarheid van deze methode voorhet opstellen van deze voorschriften. Toch zien wij bij hettoepassen van de probabilistische aanpak voor levensduurvoor-spellingen regelmatig stevige discussies ontstaan. Dat vraagtom een verklaring.Eerst enkele algemene opmerkingen over de aard van modellenen de verschillende soorten modellen die wij in techniek enwetenschap gebruiken. Daarna wordt ingegaan op modellenvoor levensduurvoorspellingen.Model en werkelijkheidModellen zijn een vereenvoudiging van de werkelijkheid. Datgeldt voor alle modellen. `Goede' modellen zijn evenzeervereenvoudigingen van de werkelijkheid als `minder goede'modellen. Trouwens, wanneer is een model goed te noemenen wanneer niet? Je kunt zeggen dat een model goed is alshet geschikt is voor het doel waarvoor het is ontworpen. Inplaats van te spreken over goede en slechte modellen is hetvaak ook beter om te spreken van geschikte en niet geschiktemodellen.Modellen die bepaalde fenomenen bij benadering beschrijvennoemen we beschrijvende modellen. Zeer gedetailleerde model-len, waarin zo goed als alle denkbare parameters zijn meegeno-men en waarin interacties tussen parameters zijn gebaseerd opnatuurwetten, worden wel verklarende modellen genoemd. Zebrengen gedragingen aan het licht die je zonder de hulp vanmodellen niet snel op het spoor zou komen. Dit type modellenis ook geschikt om gezicht te geven aan een (nog) nietbestaande werkelijkheid. Deze modellen worden toegepast bijhet ontwerpen van bijvoorbeeld composietmaterialen. Dieworden op de tekentafel ontwikkeld om een van te voren gede-finieerd gedrag op te leveren. Daarnaast kennen we ookwiskundige modellen, waarmee het gedrag van fenomenen,materialen, systemen, of processen mathematische kan wordenbeschreven.Voorspellende modellenVoor levensduurvoorspellingen wordt gebruik gemaakt van ?de naam zegt het al ? voorspellende modellen. Voorspellendemodellen werden gebuikt door de Club van Rome. Voorspeldwerd hoe de toekomst van de wereld er uit zou zien bij ongewij-zigd beleid van overheden. Deze voorspellingen waren geba-seerd op een wiskundige beschrijving van waargenomenontwikkelingen in het verleden. De voorspellende modellenvoor chloridepenetratie, die in de CUR-Leidraad zijn gebruikt,zijn in zekere zin vergelijkbaar met de voorspellende modellenvan de Club van Rome. Voorspeld wordt hoe snel, onderaanname van bepaalde materiaalconstanten, transportwettenen externe randvoorwaarden, een chloridefront in beton voort-schrijdt. Door wijzigen van modelparameters of randvoorwaar-den kun je nagaan wat het effect is op de indringsnelheid vanhet chloridefront. Daarmee hebben we dan ook meteen eenpaar van de meest krachtige eigenschappen van voorspellendemodellen in beeld gebracht. Het vermogen om het verloop vancomplexe processen in de tijd te simuleren geeft ons de moge-lijkheid om in de ontwerpfase van een project gefundeerdeVoorspellende modellen 12012 29sterktebelastingkarakteristiekesterktebelasting/sterktekarakteristiekebelastingkeuzes te doen ten aanzien van de mengselsamenstelling vanhet beton, de grootte van de dekking op de wapening en hettype en de duur van de nabehandeling. Daarbij moeten wij onssteeds blijven realiseren dat de uitkomsten van een voorspel-lend model conditioneel zijn. De voorspelde uitkomst wordtgerealiseerd mits de materiaaleigenschappen en de randvoor-waarden zijn zoals aangenomen in de berekening en mits de`natuurwetten', die in het model zijn opgenomen voor hetbeschrijven van fysische en chemische interacties tussen rele-vante invloedsfactoren, op de juiste wijze zijn toegepast. Inwerkelijkheid zullen de waarden en omstandigheden die in deberekening worden aangehouden en die in de praktijk wordenaangetroffen, altijd van elkaar verschillen. De materiaaleigen-schappen en de belastingen vertonen een zekere spreiding. Ditresulteert in een bandbreedte van de uitkomsten. Daar valtniets aan te doen. Om rekening te houden met onzekerheid inberekeningsuitkomsten maken we gebruik van op probabilis-tiek gebaseerde modellen.Model voor betonOm het gedrag van beton te beschrijven kan het worden voor-gesteld als een twee- of driefasenmateriaal. Bij een tweefasen-materiaal onderscheiden we toeslagmateriaal en cementsteen.Bij een driefasenmateriaal wordt de grenslaag tussen toeslag-korrels en cementsteen ook nog afzonderlijk beschouwd (fig. 1,midden). Voor een analyse van het gedrag van een betonnenkubus onder een drukpers kan een driefasenmodel goede dien-sten bewijzen. Maar daarmee is niet gezegd dat dit model ookgeschikt is voor een analyse van de duurzaamheid. Als wijcementsteen onder de microscoop leggen, blijkt dat wij wel erggrof bezig zijn geweest met te veronderstellen dat cementsteeneen homogeen materiaal is (fig. 1, rechts). Op microniveau iscementsteen een poreus materiaal met een complex pori?nsys-teem. Dat pori?nsysteem is bepalend voor de transporteigen-schappen van de cementsteen en het gemak waarmee agres-sieve stoffen kunnen binnendringen. Om rechtstreeks vanafmicroniveau iets te zeggen over het gedrag op macroniveau isniet eenvoudig. In de praktijk gaan we daarom snel over tot eendirecte beschrijving op macroniveau. Wij maken dan gebruikvan een wiskundige karakterisering van het materiaal, waarbijde materiaaleigenschappen worden beschreven met een gemid-delde en een spreiding, die vervolgens als input dienen vooreen probabilistische levensduurbeschouwing.VeiligheidsbeschouwingenAan de huidige generatie betonvoorschriften ligt een probabi-listisch concept ten grondslag. Dit concept stelt ons in staatrekening te houden met het feit dat de sterkte van het materiaalvan te voren niet precies bekend is, maar een zekere spreidingvertoont. De sterkte zal hoogst waarschijnlijk in de buurt vande gemiddelde sterkte liggen, maar kent uischieters naar bovenen naar beneden. Wiskundig geformuleerd: de sterkte wordtgekarakteriseerd door een gemiddelde waarde en standaardaf-wijking. Samen bepalen deze grootheden de verwachtings-waarde van de sterkte. Figuur 2 toont een `normale verdeling'12prof.dr.ir. Klaas van BreugelTU Delft, fac, CiTG, sectie Materials &Environment1 Betonkubus: werkelijkheid (links) en driefa-sen benadering (midden) en cementsteen(rechts) (foto rechts: Stutzmann, NIST. Wit =ongehydrateerd cement)2 Normale verdeling van sterkte en belastingthemaVoorspellende modellen1201230D(t)D0t0 tconstructie moet worden geanticipeerd op ontwikkelingen inbijvoorbeeld het verkeer, of wijzigingen in gebruik van deconstructie. Dat alles bij elkaar maakt dat tijdens de levensduurvan een betonconstructie de werkelijk aanwezige kans opbezwijken zal afwijken van een berekende bezwijkkans geba-seerd op de 28-daagse sterkte van het beton. In de huidigevoorschriften worden de onzekerheden betreffende effecten opde bezwijkkans afgedekt met materiaal- en belastingfactoren.De grootte van deze factoren is zodanig gekozen dat op basisvan ervaring uit het verleden kan worden geconcludeerd dat,als constructies worden ontworpen en gebouwd volgens devoorschriften, niet hoeft te worden gevreesd voor bezwijkenvan de constructie. Het effect dat de ontwikkeling van debetonsterkte na 28 dagen heeft op de bezwijkkans wordt nooitexpliciet gemaakt. Al zou een constructeur worden gevraagdom een constructie te ontwerpen met een bezwijkkans na 100jaar van 10-6, dan zou hem dat heel wat hoofdbrekens kosten.Stel je dezelfde vraag aan tien constructeurs, dan krijg je zekertien totaal verschillende antwoorden. In feite komt het eropneer dat de constructeur in een constructief ontwerp de factortijd niet expliciet in beschouwing neemt en dat scheelt hemenorm veel werk!LevensduuchouwingenBij levensduurvoorspellingen gaan wij de uitdaging aan die wijbij veiligheidsbeschouwingen meestal laten liggen. Wij moetendie uitdaging wel oppakken willen wij ooit in staat zijn eenlevensduurvoorspelling te maken. Wij beperken ons hier tot hetprobleem van chloridepenetratie in beton en de daarmeegepaard gaande kans op corrosie van de wapening. Gevraagdwordt bijvoorbeeld om aan te tonen dat de kans op corrosie vande wapening door binnendringen van chloride-ionen na 100 jaar10% bedraagt. Om deze kans te kunnen bepalen moet devan de sterkte van een materiaal. Bij een normale verdeling ishet oppervlak onder de klokvormige kromme gelijk aan 1. Desterkte loopt daarbij, theoretisch, van - tot +. Dat is natuur-lijk wel apart. Een negatieve sterkte is moeilijk voorstelbaar eneen oneindig grote sterkte eveneens. De echte wereld zit echtanders in elkaar dan de wiskundige beschrijving ervan sugge-reert. Er zijn andere wiskundige beschrijvingen die deze incon-sistenties niet hebben (bijvoorbeeld de log-normale verdeling).Daar gaan we nu niet verder op in. Voor ons doel kunnen wemet de normale verdeling goed uit de voeten.Voor het bepalen van de bezwijkkans van een betonnenconstructiedeel wordt de verwachte sterkte vergeleken met deverwachte belasting. Ook voor de belasting kunnen we eennormale verdeling aannemen (fig. 2). De bezwijkkans wordtbepaald door het oppervlak dat door de beide krommen wordtomsloten. Dit oppervlak is een maat voor de kans op bezwijkenvan het systeem. Dat kan bijvoorbeeld een kans zijn van 10-6.Dat wil zeggen dat gemiddeld 1 op de miljoen constructies metde aangenomen verdeling voor sterkte en belasting zal bezwij-ken. Deze bezwijkkans geldt voor het tijdstip, of de tijdsduur,waar de aangenomen verdeling van sterkte en belasting vantoepassing is. Wat de sterkte betreft gaat het bij nieuwbouw omde 28-daagse sterkte van het beton. Om verschillende redenenzal de sterkte n? 28 dagen afwijken van de 28-daagse sterkte.Door voortgaande hydratatie van het cement zal de sterktetoenemen. Voor schillende cementsoorten en water-cementfac-toren zal deze sterktetoename wel verschillend uitpakken. Ookde temperatuur heeft gedurende de levensduur van deconstructie invloed op de sterkte. Als het beton jarenlang aanwisselbelastingen wordt onderworpen, of langdurig bij eenhoog spanningsniveau moet presteren, zal de sterkte daardoorkunnen afnemen. Daar komt dan nog bij dat ook het belas-tingspectrum kan wijzigen. In de ontwerpfase van eendiffusievergelijking t.b.v. chloridetransport:C___T= D(t)2C___x2tijdafhankelijk schijnbare diffusieco?ffici?nt:D(t) = D0 [t0__t]n3 Schematische weergave van het verloopvan de schijnbare diffusieco?ffici?nt D(t) inde tijd voor verschillende waarden van deverouderingsfactor n3Voorspellende modellen 12012 31temperatuurveld(x,t)P((x,t))D((x,t))xxxhydratatiegraadpermeabiliteitdiffusieco?ffici?nt wand op vloerSchematisch is dit weergegeven in figuur 4. Temperatuur-gradi?nten, en later ook vochtgradi?nten, be?nvloeden hetverhardingsproces in deze zone. Dat resulteert in een verloopvan de hydratatiegraad en daarmee ook in het verloop van depermeabiliteit en de diffusieco?ffici?nt over de dikte van dedekking. De diffusieco?ffici?nt kent dus niet alleen een verloopin de tijd, maar ook over de dikte van de dekking. Dit laatstefenomeen wordt in de nu gebruikte modellen voor levensduur-berekeningen niet expliciet meegenomen. Zowel tijd- alsplaatsafhankelijke invloeden op het verloop van de diffusie-co?ffici?nt in de tijd worden in de verouderingsfactor n gestopt.Hier zijn in de modellering wel erg grote stappen gemaakt en iser ruimte voor verbetering. De eerste en meest voor de handliggende verbetering betreft een directe koppeling tussen dediffusieco?ffici?nt en de hydratatiegraad. In geavanceerdeverhardingsbeheersystemen wordt de hydratatiegraad over dedikte van de constructie expliciet berekend en kan in principedeze koppeling worden gemaakt [2].Levensduurvoorspellingen versusveiligheidsbeschouwingenFiguur 5a toont schematisch het verloop in de tijd van eenberekende chlorideconcentratie ter plaatse van de wapening.Arbitrair is gesteld dat het einde van de levensduur is bereiktals de chlorideconcentratie ter plaatse van de wapening hetkritisch chloridegehalte met een bepaalde waarschijnlijkheidheeft bereikt. Anders dan bij een veiligheidsbeschouwing, waarde sterkte- en belastingcurven de neiging hebben uit elkaar telopen (fig. 5b), zien wij bij een levensduurvoorspelling dat debelasting, in dit geval de chlorideconcentratie, en de `sterkte', indit geval het kritisch chloridegehalte, naar elkaar toelopen. Bijeen beschouwing van de bezwijkveiligheid hoeven wij ons overde ontwikkeling van de sterkte in de tijd meestal geen zorgen teontwerper weten hoe materiaaleigenschappen en transportpro-cessen zich gedurende die 100 jaar zullen ontwikkelen. Dit iseen vraag die men bij een veiligheidsbeschouwing zo niet stelt.Daar worden uitspraken over bezwijkkansen gerelateerd aan demateriaaleigenschappen op tijdstip t = 28 dagen. Ontwikkelin-gen van materiaaleigenschappen en belastingcondities na ditstipstip worden, zoals eerder is opgemerkt, afgedekt met mate-riaal- en belastingfactoren. Maar bij levensduurvoorspellingenmoet de ontwerper nadrukkelijk een stap verder gaan. Van hetverloop in de tijd van transportco?ffici?nten, het externe chlo-ride-aanbod, de temperatuur en de vochthuishouding gedu-rende de beschouwde periode, moeten zowel de gemiddeldewaarden als de spreidingen bekend zijn om een berekening vande kans op corrosie-initiatie na 100 jaar te kunnen uitvoeren.Daarmee zit een levensduurvoorspelling veel dichter op debeschrijving van wat er werkelijk in en met het materiaalgebeurt dan bij een sterkteberekening het geval is.Het verloop van de diffusieweerstand in de tijd is voorverschillende cementsoorten, verhardingsomstandighedenen gevolgen van belastingge?nduceerde microscheurvor-ming steeds weer anders. Bij sommige cementsoorten blijftde diffusieco?ffici?nt gedurende vele jaren dalen, terwijl inandere gevallen deze co?ffici?nt bijna constant blijft. Invoorspellende modellen wordt dit verloop beschreven metbehulp van een tijdsafhankelijke diffusieco?ffici?nt D(t)(fig. 3). Daarin zit een verouderingsco?ffici?nt n diebedoeld is om recht te doen aan het type cement dat isgebruikt. Deze co?ffici?nt is experimenteel bepaald.Daarmee wordt wel een goede beschrijving van waarne-ming verkregen, maar blijven er ook nog invloeden buitenbeschouwing. Juist in de buitenste zone van een constructiezullen vanaf het begin van de levensduur de materiaalei-genschappen niet constant zijn.4 Verloop materiaaleigenschappen in buiten-ste deel (dekking) van een constructie4themaVoorspellende modellen1201232tijdchlorideconcentratiekritischchloridegehaltechlorideconcentratiet.p.v.de wapeningtijdsterkte/belastingbelastingsterkteontwikkeling28 d5 Schematische voorstelling van het verloopvan`belasting'en`weerstand'bij een levens-duurberekening (5a) en een veiligheidsbe-schouwing (5b)van de materiaaleigenschappen en van tijdsafhankelijke trans-portprocessen gedurende de levensduur kunnen wordenbeschreven. Om dit te kunnen doen over een periode van 50tot wel 150 jaar is geen sinecure. Het betekent voor betontech-nologen, materiaalkundigen en modelleurs een enorme uitda-ging. De afgelopen decennia zijn flinke stappen gezet opmodelleergebied. Ook slagen wij er steeds beter in om eenverbinding te leggen tussen experimenteel onderzoek naar demicrostructuur en transporteigenschappen van beton en voor-spellende modellen. De kracht van modellen zit vooral in hetvermogen om complexe processen en interacties te kwantifice-ren en over lange periodes uitspraken te doen over het teverwachten gedrag van materialen en constructies. Debetrouwbaarheid van berekeningsuitkomsten hangt af van dekwaliteit van de input. Dat is altijd zo met modellen. Dat bete-kent dat de ontwikkeling van modellen hand in hand moetgaan met experimenteel onderzoek en feedback uit de praktijk,zodat toetsing van de modellen steeds mogelijk is.Het is onnodig te zeggen dat de meest geavanceerde modellenniet in staat zijn om een niet goed uitgevoerd betonwerk teherstellen. De vereiste kwaliteit om een bepaalde levensduur terealiseren kan worden berekend ? dat is de macht van model-len, maar de geproduceerde kwaliteit niet ? dat is de onmachtvan modellen. maken. De sterkteontwikkeling werkt hier in ons voordeel (NB:Bij een constructie die op vermoeiing wordt belast of moetpresteren bij een hoog spanningsniveau ligt het anders!). Bijeen levensduurberekening is het juist van groot belang om deontwikkeling van de materiaaleigenschappen zo nauwkeurigmogelijk te beschrijven, aangezien het verloop van de diffusie-weerstand de snelheid van chloridepenetratie bepaalt endaarmee ook de levensduur. Dit verklaart waarom levensduur-beschouwingen een orde ingewikkelder zijn dan veiligheidsbe-schouwingen. Een gunstige bijkomstigheid is natuurlijk dat eenonjuiste inschatting van de levensduur niet onmiddellijk resul-teert in spontaan instorten van een constructie. Immers, corro-sie van de wapening manifesteert zich meestal duidelijk vervoordat er sprake is van direct instortingsgevaar. Vereiste is danwel dat de constructie toegankelijk is voor visuele inspectie.Tot slotLevensduurberekeningen zijn onmogelijk zonder het gebruikvan modellen. De nauwkeurigheid van levensduurvoorspellin-gen hangt af van de nauwkeurigheid waarmee de ontwikkeling referenties1 CUR Leidraad 1 - Duurzaamheid van constructiefbeton met betrekking tot chloride-ge?nitieerde wape-ningscorrosie. CUR, 2009.2 Breugel, K. van & Ye, G., Materiaal en microstructuur.Cement 2010/2.5a5b