Vereenvoudigde berekening van stijve raamspantendoor F. C, van ErpDe berekening van stijve raamspanten biedt, ??k voor depractische uitvoering, met de methode van Prof. H. Crossgeen principi?le moeilijkheden meer. Toch is men geneigdte streven naar een nog eenvoudigere werkwijze, desnoodsten koste van de volmaakte nauwkeurigheid, die de methodevan Cross kan bieden.Het is tenslotte z??r problematisch, welke graad van nauw-keurigheid t.a.v. dwarskrachten en momenten voor bijvoor-beeld een betonskelet, deel uitmakend van een gebouw, ge-wenst is om tot een juiste dimensionnering en wapening tekomen. We behoeven daarbij slechts aan het volgende tedenken:gewapend beton is een niet-homogeen materiaal,er zijn stortvoegen nodig,in de zijdelingse verplaatsingen, die de knooppuntenondergaan, kunnen verstoringen optreden t.g.v. de aan-wezigheid van trappenhuizen, liftschachten, tussen-wanden, kopgevels, enz.Bovendien zijn de belastingen vaak aangenomen (wind-belasting!) evenals vele soortelijke gewichten; zij blijkenlater niet in overeenstemming met de realiteit. Voor de be-paling van de wapening is dus het slechts voor bepaaldepraemissen geldende, theoretisch zuivere rekenkundigeresultaat niet all??n doorslaggevend.Elke constructie dient tenslotte op haar eigen specifiekem?rites te worden bekeken; op grond daarvan moet eenoordeel worden gevormd over de gewenste graad vannauwkeurigheid van de berekening. De opmerking op blz.26 in 'Die Berechnung mehrst?ckiger Rahmen'1) doorG. Kani:'Bssitzt man also bequeme Berechnungsmethoden, mit welchen dieKnotenverschieblichkeit ber?cksichtigt werden kann, so ist es wirk-lich unzul?ssig, die Knoten als unverschieblich vorauszusetzen',is, in de algemene vorm waarin zij gesteld is, niet juist.Ware zij dit wel, dan was de berekening op zichzelf doel,inplaats van een hulpmiddel om tot een goede constructiete komen.In dit verband mag nog worden gewezen op het artikel 'De veilig-heidsco?ffici?nt bij gewapend-betonconstructies' van Dipl.-Ing. L.Kellermann in Cement 4 (1952) Nr 19-20.In 1949 publiceerde G. Kani zijn boven reeds genoemdewerk, waarin hij een buitengewoon knap gevonden methodeontwikkelde om stijve raamspanten te berekenen. Dezemethode betekent t.o.v. de methode Cross vaak een aan-zienlijke besparing van cijferwerk, indien er sprake is vanzijdelingse verplaatsing van knooppunten.Indien de knooppunten wel een draaiing, doch g??n ver-plaatsing kunnen ondergaan, wordt de hoeveelheid cijfer-werk minder beperkt.Er is door mij gezocht naar een mogelijkheid ook in ditlaatste geval te komen tot eenvoudiger cijferwerk. Doorhet opstellen van enige formules meen ik hierin geslaagdte zijn. De formules zijn van twee?rlei aard ?n kunnen voorverschillende doeleinden worden gebruikt:A. In tek. 4 zijn sterk benaderde waarden aangegeven voorde zgn. draaiingsinvloeden, die voorkomen bij de metho-de Kani en daar worden bereikt door iteratie. Zij biedende mogelijkheid de Kani-bewerking te bekorten. Zijkunnen namelijk hierin worden ingeschakeld, indieneen exact eindresultaat wordt vereist, ofwel zij kunnenop zichzelf worden gebruikt, indien met een benaderdeindresultaat genoegen genomen kan worden.B. De form. (5) t/m (15) zijn benaderingsformules, die in-eens benaderende waarden voor de eindmomenten vaneen raamspant leveren.Daar een ligger, doorlopend over meer dan twee steurpun-ten kan worden opgevat als een bijzondere vorm van eenstijf raamspant, kunnen de formules ook voor een zodanigeligger worden toegepast.Alleen moet als beperking worden gesteld, dat de formulesvan de categorie?n A en gelden voor een raamspant (resp.ligger), waarvan slechts ??n veld wordt belast, terwijl zijde-1) Zie voor boekbespreking Cement 6 (1954) nr 17-18, blz. 309 (Red.)lingse verplaatsing van knooppunten buiten beschouwingwordt gelaten.Ondanks deze beperking kunnen de formules een be-sparing aan cijferwerk bewerkstelligen. Men moet im-mers, om de wapening van een stijf raamwerk te bepalen,de berekening zo vele malen herhalen als er regels zijn, dienuttige belasting te dragen kunnen krijgen, terwijl de overigenuttige belasting afwezig is en vervolgens, in samenwerkingmet de belasting door eigen gewicht, de ongunstigste span-ningscombinaties vaststellen.Ook indien zijdelingse verplaatsingen van knooppuntenkunnen optreden en daardoor spanningsafwijkingen vanbetekenis te verwachten zijn, zodat een berekening hiervoornoodzakelijk wordt geacht (dit, is lang niet met alle raam-werken het geval, die in principe enige verplaatsing zullen op-leveren!), kunnen de formules betekenis hebben. Het is im-mers mogelijk, dat door een of andere oorzaak, zoals deaanwezigheid van scheidingsmuren, niet gelijktijdige nuttigebelasting op de naast gelegen raamwerken, enz., de ver-schuivingen worden beperkt of geheel verhinderd, zodat despanningen toch ook gecontroleerd dienen te worden voorhet geval deze verplaatsingen inderdaad niet tot standkomen. Bovendien moeten, als de invloed van de verschuifving wel in rekening wordt gebracht, toch eerst benaderd dedraaiingsinvloeden worden bepaald, voordat de verschui-vingsinvloeden in aanmerking genomen kunnen worden ende formules sub A leveren ook in dit geval waarden, die vaakniet veel van de gezochte eindwaarden verschillen (uiteraardafhankelijk van grootte en richting van de optredende ver-plaatsing).De toepassing voor liggers, doorgaand over meer dan tweesteunpunten, biedt een besparing aan cijferwerk, zodat ditaanleiding kan zijn de in de Gewapend Beton Voorschriften(G.B.V. 1950) voorgeschreven momentenwaarden in som-mige gevallen te vervangen door juistere waarden. DeG.B.V. bieden namelijk de mogelijkheid tot afwijking vande door haar genoemde momentenwaarden, mits ??n enander door berekening kan worden aangetoond. Daardooris de situatie ontstaan, dat vaak heel belangrijke onderdelenvan een constructie exact worden berekend en minder be-langrijke door middel van de G.B.V.-co?ffici?nten wordenbepaald. De typische consequentie hiervan is, dat de belang-rijke onderdelen worden geconstrueerd op een minimum-basis, terwijl de onbelangrijke onderdelen worden bepaaldvolgens vrij grove, vaak naar boven afgeronde, momenten-waarden.Afleiding formules voor stijve raamspantenad AVoor de hieronder af te leiden formules, wordt de methode Kanibenevens de theoretische beschouwing, waarop deze berust, bekendverondersteld. 1 toont de aan te houden notaties (in principe issteeds gedacht aan staven met veranderlijk traagheidsmoment).De verdeelco?ffici?nt van een staaf AB in knooppunt A is:KABa =------------------------------------------------------------------?ABKAB + ?ACKAC + ?ADKAD + ?AEKAEVoor de verdelingsco?ffici?nten van een knooppunt A geldt:a?AB + C?AC + doAD + e?AE ? !Cement 7 (1955) Nr 9-10 251Bij de methode Kani worden via een reeksontwikkeling zgn. draaiings-invloeden gezocbt, die het mogelijk maken de eindmomenten te be-rekenen. Het streven is nu, aan de reeks een algemene vorm te geven,om er daarna de limietwaarde van te bepalen.In tek. 2 is een knooppunt A aangegeven, waarin de staven AB, AC?AD en AE samenkomen. Bij de staafeinden B, C, D en E bevindenzich volledige inklemmingen. De ingeschreven letters o, c, d en egeven de verdelingsco?fficienten aan. Nu wordt op knooppunt A eenmoment aangebracht, groot + M. Het + teken van het moment is inovereenstemming met de gebruikelijke Cross-notatie en duidt aan,dat het moment werkt in de richting van de uurwerkwijzers (Kanivoert hier een -- teken in, docb dat leidt allicht tot verwarring).De draaiingsinvloeden DAB, DAC, DAD en DAE worden nu respec-tievelijk - a M, - c M, - d M en - e M.Indien in tek. 2 bij punt B niet een volledige inklemming aanwezit.was geweest, doch slechts een gedeeltelijke inklemming, zouden dedraaiingsinvloeden andere eindwaarden hebben verkregen. Ditblijkt uit tek. 3, waar de volledige inklemming van punt ?is vervangendoor de gedeeltelijke inklemming, die wordt veroorzaakt door destijfheid van het knooppunt van de staven BA, BF, BG en BH.Op knooppunt A wordt weer een moment aangebracht groot + Af,waarna de draaiingsinvloeden bij AB en BA volgens de methode Kaniworden ingeschreven. De meetkundige reeks, welke nu ontstaat,wordt aangeduid met R, zodat de eindwaarden van de overige staaf-einden eveneens kunnen worden genoteerd. De limietwaarde van desom van de termen van de meetkundige reeks bedraagt ----- ? zodatl-abde draaiingsinvloeden van de staafeinden (aangeduid met DAB, DBA?enz.) de eindwaarden krijgen:Worden alle volledige inklemmingen van tek. 1 vervangen door ge-deeltelijke inklemmingen, gevormd door de stijfheid van daar aan-wezige knooppunten, dan ontstaat tek. 4.Op volkomen analoge wijze als voor tek. 3 kunnen de verschillendedraaiingsinvloeden worden bepaald, die ontstaan door het aan-brengen van een moment + M op punt A van regel AB; in tek. 4 zijndeze genoteerd. Ter vereenvoudiging in de notatie is gesteld:Hiermee zijn formules ontstaan, die gebruikt kunnen worden omineens sterk benaderde eindwaarden te leveren voor de draaiings-invloeden DAB en DBA van een belaste ligger AB, die deel uitmaaktvan een stijf raamspant. De benadering bestaat hieruit, dat in eenraamspant bij de punten van tek. 4, waar nu volledige inklemmingenzijn verondersteld, weer gedeeltelijke inklemmingen of scharnier-punten aanwezig kunnen z?jn, terwijl bovendien de punten A enslechts rechtstreeks invloed op elkaar uitoefenen via staaf AB, het-geen in de meeste spanten niet het geval zal zijn.De grootte van de aldus ingevoerde onnauwkeurigheid is echter ge-ring en bedraagt in extreme gevallen maximaal ca 2% voor DAg;voor DBA is de onnauwkeurigheid groter.Indien alle regels en stijlen een constant traagheidsmoment bezitten,worden alle O-waarden (zie tek. 1) aan elkaar gelijk, namelijk 0Ag == 2 = 0BA = 0A?, enz. Tevens is het in dit geval mogelijk eencorrectie in te voeren, die tot een aanzienlijk geringer foutenpercen-tage voor DgA leidt, zoals uit de volgende beschouwing blijkt.Werktop ligger VWX van tek. 5 bij punt Keen primair moment -Mdan wordt met (1) en (2):tek. 5hetgeen kan worden herleid tot:Toegepast op tek. 4 blijkt het nu mogelijk de verdelingsfactor b bijpunt B te vervangen door b', waarin de invloed tot uiting komt vande gedeeltelijke inklemmingen der punten F, G, en H die gesteldworden inplaats van de oorspronkelijke aangenomen volledige in-klemmingen. De factoren f, g en h kunnen namelijk volgens (3) resp.worden vervangen door f{\ - 0,5 n), g (1 - 0,5 y) en h? - 0,5 z).Daar de som van de verdelingsfactoren in punt gelijk 0,50 moetzijn, wordt: ,In tek. 4 is alleen bij punt A een primair moment gedacht, dochmeestal zal bij belasting van regel AB ook in punt een primair mo-ment aangrijpen. In dat geval verdient het, indien er sprake is vanconstante traagheidsmomenten, aanbeveling de verdelingsfactor b tevervangen door b', daar nu ook de draaiingsinvloeden rond puntslechts een fout kunnen opleveren van maximaal ca 2%.De optredende fouten in de eindmomenten zijn nog geringer.ad BOm te komen tot formules, die ineens een sterk benaderende waardeleveren voor de in een stijf raamspant optredende eindmomenten,kunnen de draaiingsinvloeden van tek. 4 worden gesommeerd, waar-uit blijkt:Hiermede zijn algemeen geldende benaderingsformules, ontstaan-, dieaangeven, hoe een moment in een knooppunt wordt verdeeld over dedaar samenkomende staven. Ook de momenten in punt bijvoor-beeld kunnen zo worden vastgesteld.Indien men voor een berekening kan volstaan met een grovere bena-dering van de momentenwaarden, kunnen (6), (7) en (8) wordenteruggebracht tot:Cement 7 (1955) Nr 9-10 253Meestal is dit voor knooppunten, waarop niet direct een primairmoment aangrijpt, aanvaardbaar.Bovenstaande formules kunnen voor een raamwerk, bestaande uitstaven met constant traagheidsmoment, worden geschreven als intek. 6 (alle O-waarden worden -- 2 en de correctiefactor b ' kan wordeningevoerd).Bijzonder geval: ligger doorgaand over meer dan 2 steunpunten.Een ligger doorgaand over meer dan 2 steunpunten kan ont-staan uit een stijf raamwerk, waarvan de kolommen een stijf-heid = 0 bezitten.Bestaat de ligger uit velden met verlopende traagheidsmomenten,dan geschiedt de berekening het eenvoudigst m. b. v. de draaiings-invloeden van tek. 4 (zie toepassing III).Heeft elk veld van de ligger op zichzelf een constant traagheids-moment, dan blijven de voor een stijf raamwerk opgestelde uit-drukkingen voor de eindmomenten, behorend bij een primairmoment + M op een van de knooppunten, in principe ongewij-zigd, Daar bij elk 'knooppunt' nu maar 2 staven samenkomen,is het echter mogelijk de formules van tek. 6 eenvoudiger teschrijven, terwijl tevens de reeds afgeleide correctie (4) kan wor-den toegepast (zie tek. 7).Toepassing IHiervoor wordt gekozen het spant, dat op blz. 297 van deIe druk van 'Staalconstructies* door ir A. P. Potma enir J. E. de Vries staat vermeld en waarvoor bij belastingvan regel AB met primaire momenten van = + 360kgm en pMBA = -- 360 kgm, is aangenomen, dat bij depunten D, H, J,KenL de momenten zo gering worden, datzij kunnen worden verwaarloosd. Zie tek. 8 (de som vande verdelingsco?ffici?nten rond ??n knooppunt = 0,50).De formules van tek. 4 worden toegepast.Nu kunnen ook de draaiingsinvloeden van de overigeknooppunten worden ingeschreven op de volgens de me-thode Kani gebruikelijke wijze:Bij controle blijkt, dat de draaiingsinvloeden D^B en&BAinderdaad als eindwaarden kunnen worden beschouwd.Vervolgens worden de eindmomenten bepaald door desommatie van de draaiingsinvloeden en de primaire mo-menten.254 Cement 7 (1955) Nr 9-10Het is natuurlijk ook mogelijk de verder afgelegen knoop-punten in de berekening te betrekken.Toepassing Voor hetzelfde spant met dezelfde belasting als gekozenvoor toepassing I worden nu de formules van tek. 6 ge-bruikt.Cement 7 (1955) Nr 9-10In tek. 9 zijn deze momenten genoteerd ; ter vergelijking zijntussen haakjes geplaatst de eindwaarden van een Cross-berekening. De afwijkingen blijken zeer gering te zijn. Voorde punten .Een F zijn de afwijkingen het grootst, doch hier-aan hoeft niet veel betekenis te worden toegekend, daar dezeafwijkingen voornamelijk het gevolg zijn van het feit, dat deinvloed, welke de punten JE en Fop elkaar uitoefenen, isverwaarloosd. De daardoor ontstane fout is echter van de-zelfde orde van grootte, als die welke ontstaan is door hetbuiten beschouwing laten van de punten D, H, J, K, en L.Indien gewenst, kan door verdere toepassing van de formulesook deze invloed tot uiting worden gebracht.Toepassing IIIDe ligger van tek. 10 wordt belast in veld CD, zodat pri-maire momenten ontstaan groot pMcD = + 3 380 kgm enpMDC =-- 3 380 kgm.255tek. 9tek. 10tek. 11De velden bezitten een niet constant traagheidsmoment. DeO-waarden benevens de verdelingsco?ffici?nten staan in defiguur aangegeven.Met behulp van de formules uit tek. 4 wordt:Met behulp van deze draaiingsinvloeden kunnen nu deoverige draaiingsinvloeden worden bepaald.Vervolgens is ?n tek. 10 nog eenmaal de Kani-bewerkingtoegepast om een betere benadering te verkrijgen. De eind-momenten worden nu als volgt:MAB = + 221 kgm (+ 225 kgm)MBA = + 2,719 221 == + 601 kgm (+ 617 kgm)MBC = + 2 602 - 1800 == -- 594 kgm (--617 kgm)McB = --- 2 X 1800 + 602 == -- 2998 kgm (-- 2991 kgm)MCD= + 3380 - 1,66 x 655 + 704 == + 2996 kgm (+ 2991 kgm)MDC= -- 3 380 + 1,66 704 - 655 ==--2865 kgm (--2869 kgm)MDE= + 2,719 1,056 == +2869 kgm (+ 2869 kgm)M ED = + 1 056 kgm (+ 1 056 kgm)De tussen haakjes geplaatste getallen geven de waardenaan, die met een Cross-bewerking zijn verkregen.Toepassing ?VDe ligger voorgesteld in tek. 11 wordt zodanig belast in veldCD, dat primaire momenten ontstaan pMcD = + 5 000kgm en pM?c = -- 7000 kgm.Elk veld van de ligger bezit een constant traagheidsmoment.De verdelingsco?ffici?nten zijn in de figuur aangegeven.(vervolg op bh. 248)256 Cemem 7 (1955) Nr 9-10Talloze proeven zijn en worden nog genomen om uit te maken,welk kunsthars of welke kunstharscombinatie in ge?mulgeerdevorm nu in cementmengsels tot de beste resultaten kan leiden.In de USA meende men op zeker ogenblik, dat aan de co-poly-meren butadi?en/styreen de voorkeur moest worden gegeven,doch uit latere publicaties bleek, dat men deze opvatting heeftlaten varen en steeds meer terugkeert tot polyvinylacetaat oftot het co-polymeer vinylacetaat/vinylchloride. Enkele onder-zoekers kwamen tot de overtuiging, dat polyvinylacetaat verre-weg de voorkeur verdient, mits het maar in voldoende hoeveel-heden aan de specie werd toegevoegd. Hiermede ontstond eennieuw bezwaar, daar deze kunsthars voor verwerking in groterehoeveelheden te kostbaar werd. Zowel productie als verbruikvan p.v.acetaat zijn intussen sterk gestegen en dit heeft de ge-bruikelijke prijsverlaging tot gevolg gehad.Wij hebben reeds aangetoond, dat er een zekere verscheidenheidbestaat in de samenstelling van emulsies en dit geldt ook vooremulsies van een en dezelfde kunsthars. Men kan nu wel be-sluiten, dat voor verwerking in cementmengsels p.v.acetaat totde beste resultaten leidt, doch hiermede zijn wij er nog niet.Men dient ook nog vast te stellen, welke deeltjesgrootte van devaste stof, welke emulgator en welke pH de voorkeur verdienen.Daarnaast krijgt men nog de vaststelling van het juiste percentageemulsie, dat aan het mengsel cement/zand en water moet wordentoegevoegd.Een emulsie, waarmede opvallend goede resultaten werden be-reikt, bezat de volgende eigenschappen :aard..................... co-polymeervinylacetaat/vinylchloridevaste stof............. 50%pH ...................... 4,0 -- 4,5deeltjesgrootte..... 2 -- 4 Cementmengsels, waarin een dergelijke emulsie werd verwerkt,bleken een treksterkte te bezitten, welke 3 tot 10 maal groterwas dan met de gebruikelijke cementmengsels het geval was.Ook de samendrukbaarheid werd belangrijk vergroot. Dethermoplastische kunsthars met een sterk bindend vermogenhield onder vrijwel alle omstandigheden de delen van het droge,verharde cement bij elkaar.De aanwezigheid van p.v.acetaat in cementmengsels bleek ooknog een ander voordeel te bezitten. De mengsels, waaraan dekunsthars was toegevoegd, bleken een veel grotere chemischebestendigheid te hebben, d.w.z. zij waren na afbinden veelminder gevoelig voor de inwerking van chemicali?n. Het behoeftgeen betoog, dat deze ervaring zeer interessant is ten opzichtevan industri?le toepassingen.Voor de verwerking van cement en kunstharsen bestaan er ver-schillende methoden en deze kunnen als volgt worden ingedeeld:A. toevoeging van het mengsel cement/zand aan een verdundekunstharsemulsie;B. toevoeging van een kunstharsemulsie aan het water, waar-mede de specie wordt aangemaakt.Met beide methoden zijn goede resultaten bereikt, doch mendient nauwkeurig te weten, op welke wijze men tewerk dient tegaan. Hiervoor bestaan diverse richtlijnen, doch wij moeten dezethans buiten beschouwing laten.De besproken kunstharsen hebben een grote verenigbaarheidmet vele andere stoffen; hiervan heeft men vooral gebruik ge-maakt bij het maken van zgn. naadloze vloeren. Dergelijkevloeren kunnen bestaan uit een mengsel van cement, zand, vul-stoffen, kleurstoffen en water. Vooral hierbij is het van grootbelang, de juiste verhouding van de verschillende bestanddelente vinden. Er zijn wel enkele suggesties te geven, doch in hetalgemeen is dit toch het geheim van de smid, dat na langdurigeexperimenteren door de fabrikanten van de vloeren is ont-sluierd en natuurlijk niet wordt prijsgegeven.Uit het bovenstaande blijkt wel, dat elke belanghebbende, dieoverweegt kunstharsen in cementmengsels te gaan verwerken,dient te gaan beginnen met het nemen van uitgebreide proef-nemingen. Momenteel is het gebruik van kunstharsen in cement-mengsels nog beperkt tot speciale toepassingen, doch men kanmet recht en reden verwachten, dat zij wellicht reeds in de nabijetoekomst belangrijke uitbreidingen zullen ondergaan.Deze waarden zijn genoteerd in tek. 11, waar de tussenhaakjes geplaatste getallen de momenten aangeven, die meteen volledige Cross-berekening worden gevonden. De af-wijkingen hebben voor een normale betonconstructie geenbetekenis (nl. voor punt E ca 1,3%, voor punt ca 0,7% envoor de overige punten 0%).Opmerkingen1. Bij de toepassing van alle afgeleide formules moet er methet opstellen van het schema met de verdelingsco?ffi-ci?nten steeds rekening gehouden worden met de om-standigheid, dat alle staven moeten worden beschouwdais aan beide zijden volledig ingeklemd. Een scharnierof een volledige inklemming moet in het betreffende puntdoor een bijpassende verdelingsco?ffici?nt tot uitingworden gebracht, zoals ook in de toepassingen is gede-monstreerd, zonder dat enige andere verdelingsco?ffi-ci?nt een wijziging ondergaat.2. Ondanks de vrij grote vormen, die de formules aanne-men, lenen zij zich goed voor een snelle becijfering, daarbepaalde producten, die in een formule als onderdeelvoorkomen, ook in de andere formules blijken voor tekomen. Bovendien kunnen zij met grote nauwkeurigheidmet behulp van een rekenlineaal worden becijferd.248 Cement 7 (1955) Nr 9-1