CONSTRUCTIEF ONTWERP BEREKENlNGVEREENVOUDIGDEBEREKENING VAN SEISMISCHBELASTE CONSTRUCTIESir.C.J.Doets', ho.K.H. van der Schaar" en ir.J.A. den Dijl, TU-Delft, faculteit der Civiele Techniek.Het ontwerpen van constructies die bestand zijn tegen de bijzonderebelastingen ten gevolge van aardbevingen is een nieuwe specialisatie opbouwkundig terrein. Bij de TU-Delft zijn recent studies uitgevoerd naaraspecten die bij het ontwerpen van dergelijke projecten een rol spelen.Daarbij is een methode ontwikkeld om op betrekkelijk eenvoudigewijze het effect van seismische belastingen op constructies te berekenen.Ter illustratie zijn hiermee enkele viaducten, ontworpen volgens deNederlandse betonvoorschriften, getoetst op bestandheid tegenaardbevingen.Het onderzoek naar de aard en de gevolgen van aard-?? bevingen, dat decennia geleden al krachtig ter handwerd genomen, heeft er toegeleid dat op bouwkun-dig terrein een nieuwe specialisatie is ontstaan gericht op hetaardbevingsbestand construeren. Landen als Japan en de VSzijn mede door hun ligging in seismisch actieve zones kop-lopers op dit gebied; maar ook in Nederland is sprake van eentoenemende belaJ;lgstelling voor deze problematiek door debetrokkenheid van de nationale bouwwereld bij projecten ingebieden waar op aardbevingen moet worden gerekend. Omdeze reden is door de eerstgenoemde auteurs in het kader vanhun afstuderen bij de groep betonconstructies aan de TU-Delft, een ori?nterende studie uitgevoerd naar problemendiebij hetontwerp, de berekeningende uitvoeringvan dergelijkebouwprojecten een rol spelen.Aardbevingsbestand construerenDe opzet van deze studie was eerst een breed overzicht samente stellen van de problematiekdie verbonden is met het bou-wen in seismisch actieve gebieden en zodoende een basis tevormenvoor meer specifiek gericht onderzoek. Vervolgens iseen methode uitgewerkt om op eenvoudige wijze niet-lineairmateriaalgedrag in de berekeningvan de dynamische respon-sie te betrekken.Dit deel van het onderzoek is toegespitst op brugconstructiesen ter illustratie van het ontwikkelde model zijn enkele via-ducten berekend. Alvorens in te gaan op de methode van be-rekenen wordt kort stil gestaan bij enkele algemene aspecten.Seismische belastingIn vele landen bestaan netwerken van instrumenten waarmeede translatieversnellingen in drie orthogonale richtingen tij-dens een aardbeving worden gemeten. Het is gebleken dat'ir.CJDoets is thans werkzaam bij Mikrocentrum West, Delft'?irK.H. van der Schaar is thans werkzaam bij Ingenieursbureau Van derSchaar, Berkel en Rodenrijs20vooral onder invloed van de ondergrond de grootte en de fre-quentie-inhoud van de bewegingen van plaats tot plaats sterkkunnen verschillen. Andere kenmerkende verschillen, hij--voorbeeld de tijdsduur van de beving, hangen samen met deaard ende lokatievande breukwaardoordeaardbevingisver-00rzaakt. Als ontwerp~aardbeving wordt daarom wel het ge-middelde van een aantal registraties genomen.Eenvan de eer-ste en daardoor bekendste aardbeving waarvan de versnellin-gen zijn gemeten is die van El CentroIn 1940.Bij lange constructies zoals pijpleidingen en bruggen moetworden nagegaan ofzal worden gerekend met meer dan ??ntrillingsbron, die dan niet in fase zijn. Naast variaties in debodemstructuur spelen hierbij de afmetingen van de con-structie een belangrijke rol. Een kritieke situatie zal optredenals de gebouwlengte meer bedraagt dan een kwart van dekleinst dominerende golflengte, uitgaande van harmonischegolven. Bij een schijnbare golfsnelheid aan het aardoppervlakvan circa 3000 mis en een periode van 0,2 s bedraagt dezegolflengte circa 600 m. Bij constructies van meer dan 150 mlengte moet dan dus gerekend worden metverschillende tril~lingsbronnen.Tussen de constructie en de grond in de naaste omgeving vande fundering treedt een interactie op die van invloed is op dedynamische responsie van de constructie. Deze interactiewordt vaak verwaarloosd, wat toelaatbaar is omdat de optre-dende krachten er in het algemeen doorworden gereduceerd.Niet-lineair tnateriaalgedragEen algemeen aanvaarde ontwerpfilosofie is dat constructiesgeregeld voorkomende aardbevingen zonder noemenswaar-dige beschadiging moeten kunnen doorstaan en dat bij eenzeer zware beving wel schade aan de draagconstructie magoptreden, maar dat instorten moetworden voorkomen. In deberekening dient het niet-lineaire materiaalgedrag dus inbe-schouwing genomen te worden. Hierbij gaat het om hetCement 1986 nr. 10M? +Cu +Su ~ -M?g (1)lokaal vloeienvan dewapening enhetoptredenvan plastischescharnieren. Dit gaat gepaard met energiedissipatie, wat in dekracht-vervormingsrelaties is terug te vinden als hysteresis-lussen.Hierin is ug de grondverplaatsingsvector en u de inwendige ofrelatieveverplaatsingsvectorvande constructie. M, CenSzijnrespectievelijk de massa-, dempings- en stijfheidsmatrix vanhet systeem. Hieruit blijktdat de seismische belasting, die eenDoor de plastische scharnierenblijven de inwendige krachtenveelal kleiner dan bij volledig elastische responsie. De optre-dende verplaatsingen zijn daarentegen meestal groter en er.zullen hoge eisen moeten worden gesteld aan de vervor-mingscapaciteit van deze plastische scharnieren. Deze wordtuitgedrukt ?n de ductiliteitsfactor, de verhouding tussen demaximale vervorming en de vervorming die optreedt bij hetbereiken van het plastisch moment.(2)L,T M""""+2'i: . + 2 _ ~z, ,:>,W,z, W,z, - - L,TIA"'s M"'smet:u(t) ~ kZs(t) Ie,Een nadeelvan deze methodeis dat deze alleenvan toepassingis op lineaire systemen, immers het begrip eigenfrequentieverliest zijn betekenis bij voortdurendveranderende stijfheiden demping. Om de voordelen van deze aanpak te kunnencombineren? met de mogelijkheid niet-lineair materiaal-gedragin beschouwing te nemen, is een berekeningsmethodeontwikkeld die er in essentie op neerkomt dat de constructieals lineair systeem wordt opgevat en dat iteratiefde stijfheiden demping worden aangepast als ergens het plastischmomentwordt overschreden. Hoe deze methode inzijn werkgaar; wordt merna toegelicht. Alvorens daartoe over te gaanwordt eerst nog wat dieper ingegaan op de responsiebereke-ning van een gedempt lineair-elastisch massa-veersysteem.Vereenvoudigde methodeEen andere methode berust op het feit dat de responsie kanworden opgevat als de som van de bijdragen van de afzonder-lijke eigentrillingen van het systeem. Deze aanpak kan tot be-langrijke besparingen leiden in rekentijd. Veelal is het name-lijk voldoende slechts de eigentrillingen behorende bij bij-voorbeeld de drie laagste eigenfrequenties in beschouwing tenemen. Bovendien kunnen de maximum responsiewaarden,die in feite worden gezocht, direct uit een ontwerp-respon-siespectrumwordenafgelezen.Een bijkomend voordeel ?s datdeze methode inzicht geeft in de eigenfrequenties en eigen-trilvormendie bepalend zijn voor het dynamische gedrag vande constructie.ResponsieberekeningDe begrippen eigenfrequentie en eigentrilling hebben naasteen fysische ook een wiskundige betekenis. Voor de eigen-waarden "', van de matrix M_lS en de eigenfrequentie w, vanhet ongedempte systeem geldt: "" - w.z, waarbij s de be-schouwde vrijheidsgraad aangeeft. De trilvorm bij een be-paalde eigenfrequentie wordtgekarakteriseerddoorde bijbe-horende eigenvector Ie,van de matrixM_1S. Als nu ookde ma~trix M_l C te ontbinden is op basis van de eigenvectoren vanM_lS en het stelsel(l) lineair is, kan dit worden getransfor-meerd in een stelsel ontkoppelde differentiaalvergelijking- ook wel aangeduid met spectrale scheiding - volgens:verplaatsing van de ondersteuningen veroorzaakt, kan wor-den opgevat als een uitwendige periodieke belasting M?g?Het stelsel vergelijkingen kan worden opgelost door staps-gewijze directe integratie en als oplossingwordt dan de volle-dige responsie van de constructie op de seismische belastingverkregen. Niet-lineair gedrag als gevolg van veranderendesysteemstijfheid kan hierbij in de berekening worden mee-genomen.Seismische belasting van ??n-tnassa-veersysteetnBerekeningsmethodeDe krachten in seismisch belaste constructies moetenvolgensde voorschriften op dit gebied in bepaalde nauw omschrevengevallen bepaald worden met een quasi-statische berekening.De horizontale belasting die een functie is van onder meer demaximum grondversnelling, de massa en de laagsteeigenfre-quentie van de constructie, wordt daarbij opgevatals statischebelasting die evenredig met de massa over de hoogte wordtverdeeld. In andere gevallen is een dynamische berekeningvereist. De inwendige ~rachten en verplaatsingen volgen danuit ??nofmeer bewegingsvergelijkingen, afhankelijk van hetbeschouwde aantal vrijheidsgraden. Voor een visceus ge-dempt massa-veersysteem geldt - in analogie met de be-wegingsvergelijking vaneen gedempt ??n-massaveersysteem(fig. 1) - het volgende stelsel simultane differentiaal vergelij-kingen.Om bij cyclische belasting stijfheidsafname te beperken envanvoldoende rotatiecapaciteitverzekerd te zijn, is eengoededetaillering van de wapening vereist. Daarbij moet wordenbedacht dat in het niet-elastisch stadium de betondekkingsnel zal afspringen. Een goede omhullingswapening bestaan-de uit een spiraal ofgoed verankerdebeugels draagt daadwer-kelijk bij aan de vervormingscapaciteit van de drukzone envoorkomt het uitknikkenvan de langsstaven. Goede veranke-ringvande langswapening is belangrijkenoverlappingslassenmoeten buiten de zwaarst belaste zones worden gesitueerd.Het langswapeningspercentage moet worden beperkt enlangsstaven moeten langs de hele omtrek van de betondoor-snede worden aangebracht.1De grootheid Zs geeft dus aaninwelke mate elke eigentrillingbijdraagt aan de responsie van het systeem. De factor Ss is deverhouding van de - visceuze - demping ten opzichte Van dekritische demping per eigenfrequentie. Voor de verdere uit-werking van (2) wordt naar het verslag verwezen [1J.Lineaire benadering van een niet-lineair systeemZoals eerder vermeld, veronderstelt de bovengenoemde me-thode lineair-elastisch materiaalgedrag. Een lineaire benade~ring van een systeem dat niet-lineair reageert dient rekeningte houden met twee verschijnselen: afnemende stijfheid enCement 1986 nr. 10 21ICONSTRUCTIEFONTWERP IBEREKENING IM MfJrll_----J~//~-I-I-+/_- KfLlj/2 Werkelijk verloop en geschematiseerde omhullende vanM-K-diagram3 Verloop van iteratieproces en vereistekrommingsductiliteit !! = Ko/Kp4 Staafelement met rotatieveren ter plaatse van deplastische zones5 Verloop van moment en kromming langs staafhysteresisdemping. De ontwikkelde benaderingsmethode isgebaseerd op een tweetal veronderstellingen namelijk:- dathetgecompliceerde M-K-verband bij cyclische belastingkan worden gekarakteriseerd door de omhullende ervan, endat die omhullende gelijk is aan het M-K-diagram bijmonotoon toenemende belasting (fig. 2);- dat de energiedissipatie in een plastisch scharnier kan wor~den omgerekend in een equivalente visceuze dempings-maat, waarbij voor een elasto-plastisch M-K-diagram vol-gens [2] geldt: .Acp ~ (Ko - Kp) lp voor Ko > Kp . (4)met:lp ~ lengte plastisch scharnier-In de verendeverbindingvan eenstaafelement met eenknoopkomt dit tot uiting als:Mc,,~.:..::..I'- ? (5)AcpVoor Acp = 0, dus als~) ~ Mp, is de rotatieveerconstanteCv ~ 00.met:f.l ~ KofKp - krommingsductiliteit~ ~ verhouding tussen optredende visceuze-demping enkritische dempingMerkop datvoor f.l ~ 1uit (3)volgt ~ ~ 0,02, hetgeen de - vis-ceuze - materiaaldemping is voor beton, en dat voor f.l ~ 00geldt ~ ~ 0,22. Dit grote verschil tussen materiaaldemping enhysteresisdemping leidt ertoe dat de visceuze demping inniet-lineaire berekeningen vaak wordt verwaarloosd. Hetidee voor deze aanpak is ontleend aan [3].Verrekening stijfheidsafnameOp plaatsen waar in de constructie volgens de lineair-elasti-sche berekening geldt Mo > Mp zullen plastische vervormin-gen optreden. Deze vervormingen worden bij het discretise-ren van de constructie - in staafelementen en knopen - in eenstaafge?ntroduceerd door middel van eenverende verbindingtussen de staafen de knoop (fig. 4). De knopen zullen dus tenminste moeten worden gesitueerd op plaatsen waar mogelij-kerwijs plastische verschijnselen zijn te verwachten. Ter plaat-se van een .elastisch scharnier ontstaat een grote toename vande rotatie (jig. 5)en over de lengte van het plastische scharnierneemt de hoekverdraaiing bij benadering toe met:Verrekening equivalente visceuze dempingAl eerder is gesteld dat het ontkoppelen van het stelsel (1) al-leen mogelijkis als ook de matrix M-I C te scheiden is op basisvan de eigenvectoren van matrix M-IS. Dit stelt speciale eisenaan de dempingsmatrix C, waaraanvoldaan kan worden dooruit te gaan van een frequentie-afhankelijke demping.Fysisch gezien is dit gerechtvaardigd, immers de demping zalzich vooral manifesteren in de buurt van de eigenfrequenties.Om nu de visceuze demping volgens (3) uit te drukken in eentotale constructie~demping per eigenfrequentie, is gebruikgemaakt van de inwendige vormveranderingsarbeid, eensommeerbaregrootheid die afhankelijk is van de matewaarinplastische vervormingen optreden. De totale frequentie-afhankelijke demping per iteratieslag kan dan worden bere-kend als de somvan de gewogendempingsbijdragenperstaaf-eind:metDe stijfheid van de staafdoorsnede zelf blijft onveranderd.Per iteratieslagwordtmet(4) en (5) de systeemstijfheidsmatrixS aangepast en worden de bijbehorende eigenwaarden eneigenvectoren van de matrix M-ISberekend.f.l ~ 1 . (3)1~ ~ 0,02 + 0,2 (1 ~-),f.l22 Cement 1986 nr. 10startIinvoerIopstellenmassematrixIrotatie veerGv=OopstellenstijfheidsmatrixIber. eigenvectorenen eigenfrequentiesIber. frequentieafhan~elij~e dempingIber. responsie opseismische belastingIber. maximalemomentenIMme,. < Mp -(nee)-1-( ja)IuitvoerIstopveranderCv6 Beknopt stroomschema van de vereenvoudigdeberekening7M-K-diagram voor doorsnede 6 van variant 0 bijvereenvoudigde methode (a) en directe integratie (b)..---- 2000M [kNmI1----t-1O?O..,~'____A_~~: I1 I~I i ISs - frequentieafhankelijke demping in (2)Si - demping in staafeind i volgens (3)Mi- moment ter plaatse 'van staafeind i 700/1250 kNVIII 5 0,9 -Toelichting:belasting - El Centro, ?g.n,ax ~ 2,0/3,5 mN in lengterichtingTabel 3Dynamisch gedrag onder verticale belastingvariant overspanning uitkomstenM/Mp M/M, M/Mp M/M,0 2 X 15 0,5 0,6IX 2 X 30Toelichting:~ ~ plastisch momentM" - scheurmomentM2, M3 - zie figuur 8Tabel 4Vergelijking rekenmodellenvariant max. verplaatsing brugdek (mm) belastingdirecte voor- verschil ?g.ma~ typeintegratie gestelde (%) (mis-methode0 59 43 (LE) 0,5 EIc0 87 80 - 8 1,0 EIC0 96 146 + 50 1;5 EIC0 214 187 - 13 2,0 EIc0 198 217 + 10 2,0 K0 241 235 - 2 2,5 EIC0 275 291 + 6 3,5 EIcIII 61 191 +214 2,0 F1CIII 137 224 + 64 2,0 KV 414 355 - 14 3,5 EICV 474 515 + 9 3,5 KToelichting:El C ~ El Centra bevingK - kunstmatige bevmgCement 1986 nr. 10zijn voor eendeel te verklaren uit het grilllige verloop van hetresponsiespectrum van de EI-Centro beving. Bij de kunst-matige beving zijn de verschillen kleiner.Tot besluitIn tegenstelling tot de methode der directe integratie, waar-mee het gedrag van de geschematiseerde constructie volledigwordtbeschreveninde tijd, levertde hiervoorgestelde proce-dure slechts een benadering van de uiteindelijke responsie.Immers, in plaats van stapsgewijs de stijfheid aan te passenwordt hier per iteratieslag met een constante stijfheid gere-kend. Bovendien wordt de hysteresisdemping, die duidelijkgelokaliseerd optreedt, over de gehele constructie uit-gesmeerd. Verder onderzoek zal moeten aantonen of hetvoordeel van de snellere berekening opweegt tegen ditverliesaan informatie en of onder uiteenlopende omstandighedenvoldoende betrouwbare resultaten worden verkregen,Literatuur1. Doets, CJ" K.H. van der Schaar, Betonnen bruggen in seis-misch actieve gebieden, (2 delen), afstudeerverslag TH-Delft,mei 1984.2. Gulkan, P., M.A.Sozen, Response and Energy DissipationofReinforced Concrete Frames Subjected to Strong BaseMotions', Structural Research Serie No. 377, University ofIl-linois3. Yoshida, S. c.s., Modified Substitute Structure Method forAnalysis ofExisting Building, Proc. Third Canadian Confe-rence on Earthquake Engineering, blz. 1121-1129, Montreal,juni 197925