ir.P.C.J.Hoogenboom, TU Delft, faculteit der Civiele TechniekIn het artikel van Blaauwendraad ( Cemenf 1994, nr. 5) is het staaf-paneel-model ge?ntro-duceerd voor het ontwerpen van in het vlak belaste constructies van constructief beton[1]. In dit artikel wordt aangetoond dat het model in staat is doorbuiging, scheurwijdtenen bezwijklast te voorspellen, door berekende waarden te vergelijken met experimenteleresultaten. Aanvullend wordt het model gebruikt om op een eenvoudige manier een sta af-werkmodel te ontwerpen.VALIDATIEVANHETSTAAF-PANEEL-MODEL? Wandligger (links) en het bijbehorendestaaf-paneel-model (rechts). De staven ne-men alleen normaalkrachten op en de pane-len alleen schuif spanningen. De wisselwer-king tussen een staaf en een paneel /s eenschuifspanning in het contactvlakEen staaf-paneel-model Is een schematise-ring van een constructie van gewapend be-ton als samenstel van staven en panelen.Om de gedachten te bepalen en de methodein herinnering te roepen is in figuur 1 eenwandligger op twee steunpunten getekend,waarnaast hetstaaf-paneel-model is aange-geven. Een staaf neemt alleen normaal-spanningen op en een paneel alleen schuif-spanningen. De wisselwerking tussen eenstaafen een paneel bestaat uiteen constan-te schuifspanning in de interface.Bij de uitwerking van het model is begonnenmet staven en panelen bestaand uit een li-neair-elastisch materiaal. In dat geval is aan-getoond dat het model een nauwkeurigevoorspelling geeft van de hoofdspannings-richtingen in de middens van de panelen. Bo-vendien blijken, indien een fijner staaf-pa-neel-model wordt gekozen, de spanningenen vervormingen te convergeren naar deexacte oplossingen.Vanzelfsprekend is gewapend beton geen li-neair materiaal, zodat vervolgens aan destaven en panelen stijfheden zijn toegekenddie rekening houden met scheuren van hetbeton en vloeien van de wapening. Een staafwordt nu niet meer opgevat als een lijnstuk,maar als een prismatisch element van gewa-pend beton met normaalkrachten op de uit-einden en een schuifkracht langs de zwaar-telijn (fig. 2). Analoog bestaat een paneel nuuit gewapend beton met wapening in beiderichtingen en schuifkrachten langs de ran-den. In het model zullen de afmetingen vanstaven en panelen elkaar gedeeltelijk over-lappen.Hierna worden drie constructies met eenstaaf-paneel-model berekend.Ligger op twee steunpuntenBij zijn promotie-onderzoek heeft Braamproeven uitgevoerd op vijftien liggers, [2]. Deliggers werden zodanig belast, dat in het mid-dendeel zuivere buiging optrad (fig. 3). Hetexperiment werd gedaan om de invloed vande lijfwapening op de scheurwijdte vast tekunnen stellen. E?n ligger is volledig tot bez-wijken belast, waarbij bleek dat de gebruike-lijke liggertheorie een uitstekende beschrij-ving van het bezwijkmoment geeft.De proevenserie is benut voor het validerenvan de hier beschreven methode. Met een20staaf-paneei-model van ??n van de liggerszijn doorbuiging, bezwijkbelastingenscheur-wijdten bij de hoofdwapening berekend envergeleken met de experimentele resulta-ten.De geometrie van het staaf-paneel-model isweergegeven in figuur 4. Verticale stavenworden onder meer gekozen ter plaatse vande oplegging, de last en ter plaatse van hetmidden van de overspanning. Het diktever-schil tussen hamerstuk en lijf is gemodel-leerd door aan weerszijden van de overgangeen afzonderlijk paneel te kiezen.De hoogte van de betondrukzone is volgensde liggertheorie berekend uit het evenwichtin de doorsnede: \ = 88 mm (fig. 5). Hier-mee is voor de hoogte van de bovenste, ge-drukte rand van het model 0,75 xu = 66 mmgekozen en voor de afstand van de bovenzij-de van de ligger tot het hart van de stavenvan de bovenrand 0,39 xu = 34 mm.Door te rekenen in mm wordt een grotenauwkeurigheid gesuggereerd. Dit is nietterecht, omdat een keuze van bijvoorbeeld(5) Staaf en paneel van gewapend betonmet de resulterende krachten en schuif-spanningen(3) Ligger 2 uit de proevenserie van Braam.De lijfwapening is voldoende om de scheur-wijdte in het lijf te beperken(4) Staaf-paneel-model van de ligger in fi-guur 3. Omdat de ligger symmetrisch is, be-hoeft slechts de helft te worden gemodel-leerd. De plaats van de gedrukte horizontalerand /'s gekozen ter plaatse van de resultantevan de betonspanningen volgens de ligger-theorie. De plaats van de getrokken horizon-tale rand is gekozen in het zwaartepunt vande wapening(5) Spanningsverdeling in een doorsnedevan gewapend beton volgens de liggertheo-rie2140 mm in plaats van 34 mm voorde afstandvan een staaf tot de bovenrand, niet zal lei-den tot een wezenlijke verandering in de be-zwijklast van de ontwerpberekening.De lijfwapening kan zowel aan de panelenals aan de staven worden toegekend. Aange-zien de ligger voornamelijk op buiging is be-last, is ervoor gekozen om de lijfwapening bijde onderrand te rekenen. De staven in de on-derrand zijn ter plaatse van het zwaartepuntvan de wapening gekozen. De afmetingenvan het beton in de onderrand zijn van be-lang voor de tension-stiffening. Gekozen iseen hoogte van 140 mm. Een hoogte van detrekband die in voorschriften wordt gehan-teerd is 2,5(h - d). Hierin is h de hoogte vande ligger en dde afstand van de bovenzijdevan de ligger tot het zwaartepunt van dehoofdwapening. Deze formule leidt tot eengrotere hoogte van 175 mm. De waardeheeft echter weinig invloed in hetbezwijksta-dium, omdat dan de tension-stiffening nogmaar gering is.Het berekende last-zakkingsdiagram isweergegeven in figuur 6. Inderdaad blijkt datde afmetingen en posities van de staven zo-danig zijn gekozen, dat de bezwijkbelasting(6) Verplaatsing van het midden van de lig-ger in figuur 3 ten gevolge van een toene-mende belasting. Bij het experiment is de lig-ger niet tot bezwijken belast. Bij 334 kN /'s debelasting verwijderd, waardoor de rechtertak ontstaat van de lijn die het experimentweergeeft. Het staaf-paneel-model geeft indit geval een uitstekende beschrijving van dedoorbuiging van de ligger. De bezwijkbelas-ting is gelijk aan die volgens de liggertheorie(7) Gedrongen ligger op drie steunpuntenuit de proevenserie van Asinvan het staaf-paneel-model gelijk is aan dievolgens de liggertheorie. Zoals het diagramlaat zien is de ligger bij het experiment niettot bezwijken belast.Bij een belasting van 259 kN is de gemiddel-de scheurwijdte in het model 0,16 mm instaaf 1. Bij het experiment is bij dezelfde be-lasting een gemiddelde scheurwijdte van0,12 mm gemeten.Ligger op drie steunpuntenIn 1992 heeft Asin voor zijn promotie-onder-zoek 14 gedrongen liggers op drie steunpun-ten beproefd [3]. In deze korte, hoge liggersis de dwarskrachtvervorming relatief belang-rijk (fig. 7). Het experiment werd uitgevoerdom de randvoorwaarden vastte stellen waar-bij de constructie voldoende deformatieca-paciteit heeft om een ontwerp met eenstaafwerkmodel mogelijk te maken. Het on-derzoek daarnaar is nog in volle gang.Voor ??n van deze liggers is een staaf-pa-neel-model gemaakt. Met het model is dedoorbuiging berekend, die vervolgens is ver-geleken met de resultaten van het experi-ment.De gedrongen ligger is weergegeven in figuur7. De hoofdwapening bestaat aan de onder-zijde uit 4 012 en aan de bovenzijde uit 2 020. Op de plaatsen waar de ligger kan af-schuiven zijn beugels aangebracht.Omdat alleen verdeelde verticale wapening. voorkomt (beugels), beweegt dit voorbeeldzich op de grens van de gevallen waarvoorhet staaf-paneel-model is bedoeld. Aan deprincipes van het staaf-paneel-model wordthet best tegemoet gekomen als zowel hori-zontale als verticale verdeelde wapeningwordt toegepastdie niette veel in oppervlak-te verschillen.De afmetingen van het staaf-paneel-modelzijn weergegeven in figuur 8. De horizontalestaven zijn gekozen ter plaatse van hetzwaartepunt van de wapening. Omdat in de-ze staven plaatselijk een drukkracht op-treedt, is de keuze van het in rekening tebrengen betonoppervlak belangrijk. Geko-zen is voor een drukzone met een hoogte van200 mm. Voor het gebruiksstadium lijkt diteen verantwoorde waarde. Op het momentvan bezwijken zal de hoogte kleiner zijn enook voor de tension-stiffening is de waardewaarschijnlijk te groot.In figuur 9 is het berekende verloop van denormaalkracht in de staven weergegeven bijeenbelastingvan200kNen700kN.Erblijkt22enige herverdeling op te treden.Het berekende last-zakkingsdiagram isweergegeven in figuur 10. In dezelfde grafiekis het experimentele resultaat uitgezet. Hethorizontale deel in het meetresultaat bij 500kN treedt op als een grote scheur in de liggerontstaat. Ondanks de eenvoud van het mo-del wordt het vervormingsgedrag zeer be-hoorlijkweergegeven. Een opvallend verschilis dat het staaf-paneel-model voorspelt datde wapening in de onderrand zal vloeien, ter-wijl in werkelijkheid voornamelijk een af-schuifbreuk ontstaat (fig. 11). Het model zoudus doorgrote vervormingen van een paneelmoeten bezwijken. Geconcludeerd kan der-halve worden dat de manier waarop het pa-neel is gemodelleerd nog niet voldoet. On-danks deze tekortkoming is de berekendebezwijkbelasting aan de veilige kant.Wand met gatIn 1987 publiceerden Schlaich e.a. een re-kenvoorbeeld van een gedrongen ligger met(?) Staaf-paneel-model van de ligger in fi-guur 7. Ook hier is slechts de helft van de lig-ger gemodelleerd(9) Normaalkrachten in de staven van hetmodel van figuur 8 in het ongescheurde sta-dium (links) en het gescheurde stadium(rechts). Verschillen ontstaan door herverde-ling(S) Doorbuiging van de ligger van figuur 7.Bij 500 kN ontstaat een belangrijke scheur inde beproefde ligger, waardoor het horizonta-le deel in de grafiek ontstaat. Het staaf-pa-neel-model geeft een goede indruk van destijfheid en de bezwijklast van de ligger(?) Scheurenpatroon bij bezwijken van debeproefde liggereen groot gat (fig. 12). Met de berekeningwerd het gebruik van staafwerkmodellenge?llustreerd. Schlaich noemt dit de Strut--And-Tie Method (STM). In het artikel vanBlaauwendraad is deze constructie ook alsontwerpvoorbeeld gebruikt, maar dan voorde staaf-paneel-methode.In Portugal heeft een aantal onderzoekers,Louren?o e.a., het werkelijke gedrag van deconstructie van Schlaich bestudeerd door23(S) Links de wandligger van Schlaich e.a.met ??n van de door hen voorgestelde staaf-werkmodellen. Rechts de bijbehorende wa-pening, aangevuld met verdeelde wapeningdoor Louren?o e.a.middel van niet-lineaire berekeningen vol-gens de eindige-elementenmethode [4]. Zijzijn uitgegaan van de wapening die Schlaiche.a. hebben voorgesteld op basis van hunstaafwerkmodellen. Hierbij wordt de hori-zontale wapening boven de opening nietdoorgezet over de gehele breedte van dewand. Ze hebben deze wapening aangevuldmet een adequate verdeelde wapening vol-gens Portugese inzichten. Zo'n berekeningvolgens de eindige-elementenmethode kangoed worden gebruikt om het staaf-paneel-model te toetsen.In figuur 12 zijn de afmetingen en de wape-ning van de constructie weergegeven. Hier-mee is het staaf-paneel-model van figuur 13ontworpen. Behalve de hoofdwapening isook de verdeelde wapening voor een deelaan de staven toegekend. Bij de inschattingvan de betonoppervlakken van de gedruktestaven is mede gelet op lastspreiding. In na-volging van Louren?o zijn voor de materiaal-gegevens gemiddelde en karakteristiekewaarden ingevoerd. In figuur 14 is het resul-taat van de berekening gegeven.In figuur 15 zijn de staafkrachten getekend,zowel in het ongescheurde als in het bezwijk-stadium. De kracht in de onderbemeten hori-zontale staaf 5 neemt meer dan evenredigtoe als de belasting wordt verhoogd. Het be-zwijken van het model wordt ingeleid doorvloei van de laaggelegen staaf 2 en vindtplaats als ook staaf 5 vloeit bij een belastingvan 3900 kN. Hieruit volgt een belastings-factor 1,95 ten opzichte van de ontwerpbe-lasting F = 2000 kN. Als we denken in parti?-le veiligheidsfactoren ys voor de belasting enyR voor de materialen, en we gebruiken ys =1,5 en yR = 1,15 voor staal, dan is de gevon-den 1,95 groter dan het produkt van 1,5 en@ Staaf-paneel-model van de ligger van fi-guur 12. De plaats van de horizontale onder-rand is relatief hoog omdat een deel van deverdeelde wapening aan de staven is toege-kend. Hierdoor ligt het zwaartepunt van dewapening hoger dan wanneer alleen dehoofdwapening in rekening zou zijn ge-bracht. De oppervlakte van het beton in dehorizontale bovenrand is relatief klein geko-zen, omdat is gebleken dat In het bezwijksta-dium de drukzone sterk insnoert241,15, te weten 1,725. Uit oogpunt van sterk-te is er dus sprake van enige overdimensio-nering.Volgens de eindige-elementenberekeningbezwijkt de constructie bij een nog hogerebelasting van 4500 kN. In figuur 16 zijn deelementenverdelingen de verplaatsingen bijbezwijken gegeven. In de figuur is tevensaangegeven waar grote horizontale rekkenontstaan. Deze treden op waar in het staaf-werkmodel de bundel horizontale wapening(staaf 4 in het staaf-paneel-model) abruptwordt be?indigd en niet wordt voortgezet instaaf 5. Dat Louren?oe.a. in hun berekeningvolgens de elndige-elementenmethode eenhogere bezwijklast vinden wordt verklaarddoordat zij alle horizontale verdeelwapeningmeenemen, terwijl wij slechts een deel heb-ben toegevoegd aan de normaalkrachtsta-ven. -Overigens melden Louren?o e.a. dat in hunberekening bezwijken optreedt door verbrij-zelen van het beton bij de rechter ondersteu-ning. Dat attendeert er nog eens op dat nietalleen het staal kritisch hoeft te zijn, maardat ook een goede controle op de druksta-ven nodig is.ToepassingenDe toepassing van het staaf-paneel-modelIs niet beperkt tot liggers. Ook ruimtelijkeconstructies, bestaande uitgestapelde wan-den, kunnen worden gemodelleerd. Bijvoor-beeld een caissonfundering van een brug ofeen kokerligger, belast op afschuiving enwringing (fig. 17).De relaties die het gedrag van een staaf en@ Last-zakklngsdiagram van de wandlig-ger van figuur 12. Behalve het rekenresul-taat van het staaf-paneel-model is de be-zwijklast volgens de eindige-elementenme-th?de gegeven@ Staafkrachten van de wandligger van fi-guur 12. De kracht in staaf 5 neemt meerdan evenredig toe met de belasting@ Elementenverdeling (links) en verplaat-singen (rechts) van de ligger van figuur 12berekend met de niet-lineaire eindige-ele-mentenmethode. Gerasterd /s het gebiedwaar grote horizontale rekken optredeneen paneel beschrijven kunnen zodanig wor-den aangepast, dat tevens het ontlastencorrect wordt beschreven. In datgeval zijn cy-clische of zelfs dynamische berekeningenmet het model mogelijk, bijvoorbeeld eenaanvaringsbelasting op het hiervoor ge-noemde caisson of een aardbevingsbelas-ting op de stijve kern van een hoog gebouw.De staafwerkmethode is dan niet meer toe-pasbaar, omdat de opbouwvan het model bijwisselende belasting voortdurend moet wij-zigen. De staaf-paneel-methode blijft ge-woon werken omdat hetzelfde model kanworden gebruikt.25@ Voorbeelden van ruimtelijke construc-ties die met een staaf-paneel-model gemo-delleerd kunnen worden. Links een caisson-fundering, rechts een kokerliggerStaafwerkmodelBehalve de hiervoor genoemde toepassin-gen is het ook mogelijk het staaf-paneel-mo-del te gebruiken om op een eenvoudige ma-nier een staafwerkmodel te ontwerpen. Alsvoorbeeld is de gedrongen ligger van figuur18 gebruikt die in het artikel van Blaauwen-draad is geanalyseerd met een staaf-pa-neel-model. De ligger is opgelegd op tweesteunpunten en in het midden van de over-spanning belast met een kracht F. Om de li-neair-elastische krachtsverdeling vast testellen is een staaf-paneel-berekening ge-maakt met lineair-elastische staven en pa-nelen. In figuur 19 is het staaf-paneel-modelgetekend. De stijfheden van de staven zijngerelateerd aan de breedte van de aangren-zende panelen. In figuur 20 zijn de bereken-de staafkrachten en de berekende hoofd-spanningsrichtingen gegeven.Van het staaf-paneel-model kan eenvoudigeen staafwerkmodel worden gemaakt doorde panelen te vervangen door diagonaalsta-ven. De voorspelde hoofdspanningsrichtin-gen'kunnen worden gebruikt om de richtingvan deze staven te kiezen: de panelen metde richtingen van 50? en 41? (fig. 20) kunnenworden vervangen door staven onder eenhoek van 45? met de horizontale as. Het pa-neel met de richting 62? kan worden vervan-gen door een staaf onder een hoek van 63?.Deze staaf van links-onder naar rechts-bo-ven in het model kruist een trekstaaf.Het resultaat is het staafwerkmodel van fi-guur 21. Dit staafwerkmodel is statisch on-bepaald, zodat de stijfheden van de stavenbij de berekening van de staafkrachten be-kend moeten zijn. Natuurlijk kan het modelstatisch bepaald worden gemaakt door bij-voorbeeld de diagonaalstaaf die het paneelrechtsboven vervangt, weg te laten. Echterbij de meeste gedrongen liggers is het onver-mijdelijk dat het model statisch onbepaald isom de elastische spanningstrajectori?ngoed te kunnen volgen.26(20) Rekenresultaten van de staaf-paneel-berekening. Links de nor-maalkrachten in de staven en rechts de hoofdspanningsrichtingen inhet midden van de panelen@ Staafwerkmodel dat is ontstaan door panelen van het modelvan figuur 19 te vervangen door staven. De richtingen van deze sta-ven zijn gebaseerd op de hoofdspanningsrichtingen in figuur 20ConclusieBij het ontwerpen van een staaf-paneel-mo-del moeten worden gekozen: de plaats vande staven en de oppervlakten van de wape-ning en het beton in de doorsnede van elkestaaf. De positie en de afmetingen van depanelen liggen vervolgens vast. Hoewel hetgedrag van de staven en panelen op eenaantal punten verbeterd moet worden, blijktuit de berekeningen dat met verantwoordekeuzes een goede beschrijving van het con-structiegedrag wordt verkregen. Inmiddels isgebleken dat het model goed te gebruiken isin een cyclisch ontwerpproces waarbij zowelhet constructie-ontwerp als de modelleringhiervan in opeenvolgende fasen worden ver-beterd.Als de constructeur onbekend is met een be-paalde constructie en hij deze wil ontwerpenmet een staafwerkmodel, kan hij het ont-werp van het model vooraf laten gaan dooreen lineair-elastische eindige-elementen-berekening voor het bepalen van de span-ningstrajectori?n. Het voorbeeld waarbij eenstaafwerkmodel is ontworpen laat zien datmet een staaf-paneel-berekening deze ele-mentenberekening overbodig is. Bovendienkan het staafwerkmodel eenvoudig wordengemaakt door panelen in het staaf-paneel-model te vervangen door staven.In combinatie met CAD-software moet hetstaaf-paneel-model tot een krachtig hulp-middel gemaakt kunnen worden bij het ont-werpen van constructies van gewapend be-ton.Literatuur1. Blaauwendraad, Ontwerpen van beton-constructies met een Staaf-Paneel-Model.Cement 1994, nr. 5.2. Braam, CR., Control of Crack Width inDeep Reinforced Concrete Beams. Proef-schrift TU Delft, 1990.3.Asin, M., Behaviour of Statically Indetermi-nate Deep Beams. Progress in Concrete Re-search, Annual Report TU Delft, Vol. 3,1992.4. Louren?o, P.B., R.H.C.F. P?voas, J.A. Fi-gueiras, Compared Study of Non-Linear Fini-te Element Analysis and the Strut-And-TieModel for Concrete Structures. A DesignerPerspective. Proceedings of the Internatio-nal Conference on Education, Practice andPromotion of Computers Methods in Engi-neering Using Small Computers, Dalian, Chi-na, 1992.27