Toepassing van waterdichte kartonnen kokers alsgewicht-verminderend element in gewapend-betonvloeren*door ir. J.J. I. Buisman c.i. (Adviesbureau Dipl.-Ing. L. Kellermann, raadgevend ingenien- O.N.R.I.)InleidingOngeveer een jaar geleden heb ?k in dit tijdschrift* een beschou-wing gegeven over de mogelijkheden van toepassing van karton-nen kokers in vloeren van gewapend beton. Sindsdien zijn er inons land reeds verschillende van deze vloeren uitgevoerd en zi]ner tal van projecten, waarbij kartonnen kokers in het ontwerpzijn opgenomen.Uit de aard der zaak zijn er kinderziekten voorgekomen bij deeerste toepassingen op grote schaal --zoals bij bijna alle nieuwewerkmethoden-- deels door onervarenheid, deels misschien ookdoor een zekere twijfel aan het welslagen bij het uitvoerendepersoneel. Het verankeren tegen opdrijven, het belopen van dekokers tijdens het afvlechten en vooral het afrijen van de versgestorte betonspecie. bleken aanleiding te geven tot kleineteleurstellingen, die men echter na bezinning op de juiste werk-wijze, vrijwel geheel te boven is gekomen.Het ziet er naar uit, dat de kartonnen koker zich een vaste plaatsheeft veroverd in de Nederlandse bouwtechniek. Het komt mijdan ook voor, dat een verdere beschouwing van de mogelijkhedenvan dit vloertype nu op zijn plaats is. Werd in het vorige artikeluitsluitend ingegaan op de statische eigenschappen van gewapend-betonvloeren met kokers in de richting van de overspanning, metslechts een vage verwijzing naarde mogelijkheden voor vierzijdigopgelegde platen, in het navolgende wil ik trachten een eerstestap te zetten op de weg naar een inzicht in het gedrag van platen,waarbij de kokers dwars op de richting van de overspanning zijngeplaatst. Dit inzicht kan leiden tot toepassing in vierzijdigopgelegde platen en vooral ook In paddestoelvloeren.In de U.S.A. immers worden kartonnen kokers juist in paddestoel-vloeren het meest toegepast, waarbij zij z? worden geplaatst, datzij in bepaalde vloerstroken ook dwars op de richting van de over-spanning liggen, wat duidelijk tot uiting komt In fig. I en foto 2,die mij door het Sonoco-concern ter beschikking zijn gesteld.? zie ook het eerste artikel onder deze titel in CEMENT 10 (I9S8) Nr. I7-I8,waarop dit artikel als een vervolg is te beschouwenfoto 2. kokerveld in paddestot-Moer bij een kolomkop (U.S.A.)Alvorens nader in te gaan op deze aspecten van kokervloeren.moet ik eerst een correctie jeven op de berekening van schuif-spanningen ten gevolge van cwarskracht zoals die in het vorigeartikel is opgenomen. Ir. D. Dicke was namelijk zo vriendelijkmij enige weken geleden te ?ijzen op een onjuiste geelachten-sprong, die in bovengenoemde berekening bleek te zijn gemaakt.De gegeven beschouwing over de kritieke belasting van eenmassieve plaat is weliswaar op zichzelf juist, maar de wijze waaropdeze op kokervloeren werd toegepast faalt, omdat het verbandtussen de schuifspanning bij ce kritieke belasting en die bij eenbepaalde gegeven belasting niet lineair is, zoals werd aangegeven,maar zeer gecompliceerd, en wel zodanig, dat een berekeningvolgens het werkelijke verband voor de praktijk geen betekenismeerheeft.De schuifspanningen blijken tamelijk veel hoger te zijn dan uit deaangegeven rekenwijze zou velgen.Berekening van schuine trekspanningen tengevolge vandwarskracht indien de kokers in de richting van de over-spanning zijn geplaatstOm de grootte van de schuine trekspanningen tussen de kokerste bepalen moet men de groette van de dwarskracht Q' kennenter plaatse van de be?indigirg van de kokers. Veelal laat menimmers de kokers niet doorbpen tot de einden van een plaat,maar houdt men naast de opleggingen een strook vrij. In fig. 3 isdus de dwarskracht Q' in punt A' bepalend voor de maximaleschuifspanningen. Bij een gelijkmatig belaste, vrij opgelegde plaatis Q' = y.q.i.' per eenheic van breedte. Uitgaande van dezedwarskracht kan nu de schuine trekspanning worden bepaald,waarbij men echter twee gev.illen moet onderscheiden. fig. /. plaatsing kartonnen kekers in paddestoelvloer (U.S.A.)fig. 3. plaatsing van de kokers in een plaat238 Cemenl 11 (1959) Nr. 3fig. I en f o o 2: Sonoco Products Companyfoto's 7-10 en 12-13: Van Antwerpen Cartonnage N.V.fig. 4. doorsnede van een kokervloer, met aanduiding van de'flensbalk', die de dwarskracht opneemtfig. 5. verdeling van de dwarskracht bij gescheurde doorsnede in demassieve strookjes d x h 'De betondoorsnede is niet gescheurdZou men de schuifspanning bepalen door van elke strook terbreedte ? slechts het strookje d in rekening te brengen danvindt men :*In dit geval neemt men dan aan, dat de dwarskracht zich para-bolisch over het strookje dxh verdeelt, met de topwaarde terplaatse van de as X-X. De parabolische verdeling wordt echterdoor de aanwezigheid van de 'flenzen' verstoord en wel zodanig,dat de topwaarde kleiner wordt.In fig. 4 geldt de algemene formule:waarin S het statisch moment ten opzich-te van de as X-X voorstelt van het oppervlak, dat boven die as isgelegen, en I het traagheidsmoment van de gehele doorsnede tenopzichte van de as.Voer het geval dat d = 0,2 . D en a = 0,2 verloopt de be-rekening als volgt:De waarde van de vermenigvuldigings-co?ffici?nt blijkt bij de voordeze vloeren gangbare variaties van d, a en c' maar weinig gevoelig ;zo geldt bij d = 0,5 . 0 en o = c' = 0,3 :Bij een ongescheurde doorsnede kan men voor de praktijk inbijna alle gevallen dus wel uitgaan van:Vindt men nu een waarde van die iets groter is dan 7 kg/cm2, danbehoeft dit geen speciale maatregelen met zich mee te brengen.daar meestal toch een deel van de wapening tussen de kokers zokan worden opgebogen. dat de schuine trekkracht kan wordenopgenomen.Is deze opgebogen wapening ontoereikend dan moeten losse ein-den worden bijgelegd, waarvan het aantal en de afmetingen bepaaldkunnen worden op dezelfde wijze al; bij balken gebruikelijk is.De betondoorsnede Is gescheurdIs de betondoorsnede tot aan de neutrale lijn gescheurd, dan ont-staat een verdeling van de dwarskracht over de doorsnede volgensfig. 5.De maximale waarde van ?s dan afhankelijk van de beton- enstaalspanningen.Het gedrag van proefplaten waarin kartonnen kokers ineen richting loodrecht op de overspanning zijn geplaatstIn september 1954 zijn er aan de Technische Hogeschool van Akeneen aantal proeven genomen met kokervloeren. Hierbij werdenonder meer twee vrij opgelegde ploten, met kokers loodrecht opde overspanning bij verschillende belastingen beproefd en ten-slotte tot breuk gebracht.De gegevens zijn mij ter beschikking gesteld door de FirmaJ. de Vree te Antwerpen, via Van Antwerpen CartonnageN.V. te Zwijndrecht.Getracht zal worden deze gegevers te interpreteren, uitgaandevan de elasticiteitstheorie. In het navolgende wordt dusslechts gepoogd, een vergelijking te maken van de gevonden resul-taten met de uitkomsten, die men volgens de in de praktijk meestgangbare rekenmethode zou mogen verwachten.enl 11 (1959) Ni. i239Voor het beoordelen van deze resultaten zijn de volgende gegevensvan belang:o. De platen zijn ter plaatse ?n het laboratorium gemaakt en na28 dagen beproefd. De kubussterkte bedraagt 308 kg/cm1.b. De wapening bestaat uit hoogwaardig koud nagerekt staal(Torstaai). Blijkens de proefstaven ligt de 0,2%-rekgrens tussen4000 en 4400 kg/cm' en de breuksterkte loopt uiteen van ca.5000 tot ca. 5640 kg/cm2, bij een rek van ca. 16%.C. Alle metingen zijn verricht ten opzichte van de reeds ontkisteplaat zodat het eigen gewicht -althans in theorie- geen invloedheeft gehad op de doorbuigingen.d. Alle metingen hebben plaatsgevonden binnen 10 minuten nahet vergroten of verkleinen van de belastingen, zodat kruip enkrimp geen invloed op de resultaten kunnen hebben gehad.e. De platen zijn belast door een geconcentreerde belasting in hetmidden van de plaat verdeeld over een oppervlakte van20 50 cm2.Voor afmetingen, wapening enz. zie fig. 6. De gegevens betreffendedoorbuiging en dergelijke zijn in de tabellen I en II verzameld.tabel Iplaat 1 eigen gewicht: 0,224 t/m2wapening 6.3 cm2/m'belas-tings-fase ? t doorbuiging in mm bijzonderheden1 2 3 4 50 0 0 0 0 01 0,593 0,3 0,5 0,4 0,5 0,42 0,888 0,5 07 0,6 0,8 0,73 -- 0 0,1 0,1 0,1 0,14 1,184 44 4,3 7,9 4,0 445 1,776 6.1 6,6 4,7 6,4 6,5 Ie scheur onder6 6,617 scheur In halsjes(breuk)tabel IIplaat II eigen gewicht 0,408 t/m2wapening 12,0 cm'/rn'belas-tings-fase ? t doorbuiging in mm bijzonderhedenI 2 3 4 50 __ 0 0 0 0 01 2,980 0,5 0,5 0,4 0,6 0,42 4,470 0,6 I.I 0,6 0,9 0,93 -- , 0,4 OU 0,2 0,24 5,960 1,2 1.9 1,2 1.7 1,65 8,940 2,2 3,6 2,4 3,4 3,4 Ie scheur onder6 21,265 scheur in halsjes(breuk)fig. 6. afmetingen en wapening van de platen I en II, met aanduidingvan de meetpunten (bovenaanzicht)DraagvermogenUit de tabellen I en II blijkt, dat de platen een zeer behoorlijkdraagvermogen bezitten; getracht zal worden na te gaan, inhoeverre dit afwijkt van het draagvermogen, dat men van massieveplaten onder overigens gelijke omstandigheden zou mogen ver-wachten.Plaat I (foto's7-8)Stelt men de spreiding van de geconcentreerde last in de langs-richting gelijk aan de lengte van de belasting plus plaatdikte(20 -f 11,6 = 31,6 cm) dan is het moment per m' plaatbreedte tengevolge van een belasting P:Mp = (P:2x 1,5) ( 1,40-'/ X 0,316) = 0,440.tm.Het optreden van een scheur bij deze spanningscombinatie magals normaal worden beschouwd.foto 7zijaanzicht vanplaat I (na breuk)240 Cemeni 11 (1959) Nt. 3Het moment bij breuk bedraagt:De plaat ?s in dit geval dus kennelijk bezweken door het scheurenvan de halsjes tussen de kokers. De staalspanning is -althans ge-middeld- te laag om tot zeer grote vervormingen aanleiding tegeven, hoewel de 0,2%-rekgrens ruim wordt overschreden.Het op een massieve plaat toelaatbare moment bij 70/2 100 volgtuit:M = (19,2 :9,8)2= 3,83 tm (betonspanning maatgevend)M = 12 0,192 :0,535 = 4,32 tm (staalspanning maatgevend)De veiligheid tegen breuk bedraagt dus: = 9,62 :3,83 = 2,5Bovenstaande becijferingen wettigen mijns inziens de voorlopigeconclusie, dat het draagvermogen van deze platen niet noemens-waardig onderdoet voor dat van massieve platen.DoorbuigingenMinstens even belangrijk als het draagvermogen is de stijfheidvan een plaat, te meer waar het hier gaat om toepassing in vier-zijdig opgelegde platen, waarbij de stijfheid ten opzichte van eenplaat met kokers in de richting van de overspanning van belang isom het aandeel in de belastingopname te bepalen. Nu is het uitde aard der zaak zeer moeilijk om aan de hand van deze gegevenstot conclusies te komen, daar vergelijking met overeenkomstigemassieve platen slechts door becijferingen mogelijk is.In het navolgende zal bij verschillende belastingen de elasticiteits-modulus voor de gewapende plaat als geheel (?,,) worden bepaaldbij niet-gescheurde doorsnede, en de elasticiteltsmodulus voorop druk belast beton (? bij gescheurde doorsneden. Hierbij zaler van worden uitgegaan, dat het gemiddelde traagheidsmomentvoor niet-gescheurde doorsneden gelijkgesteld kan worden met90% van het traagheidsmoment van een overeenkomstige mas-sieve plaat.Plaat IBeziet men in tabel I de resultaten van de metingen dan valt dezeer geringe doorbuiging op tijdens de eerste belastingsfasen tot888 kg. Helaas is de doorbuiging bij deze zelfde belasting n? hetontlasten niet meer gegeven.-Ongescheurde doorsnedeSchrijft men de doorbuigingen uitsluitend toe aan de geconcen-treerde belasting dan kan men de waarde van ?0/0 vlak v??r hetoptreden van de eerste scheur als volgt bepalen:(N.B. IndeG.B.V. 1950 wordt n,, = 10 aangehouden).Dit resultaat zou wijzen op een zeer slappe plaat. Het moet nietonmogelijk worden geacht, dat het eigen gewicht toch een rolspeelt in deze doorbuiging, omdat de doorbuiging bij de kleinere(punt)lasten zeer gering is.Voorde belasting van 888 kg zou men namelijk tot een heel anderewaarde van ?,, moeten concluderen:E,, = 7,l 10' 65 :2x 7 = 33.0 4kg/cm2(n,, = 6,35!)Dit verschil is moeilijk te verklaren, tenzij men aanneemt, dat detotale vervorming van op trek belast beton bij hogere spanningenzo groot wordt, dat het effect daarvan nagenoeg gelijk te stellen isaan dat van een gescheurde doorsnede.Het traagheidsmoment ten opzichte van de neutrale lijn is dan:De doorbuiging bij gescheurde doorsnede blijkt dus redelijk Inovereenstemming met de gargbare rekenmethode.Plaat IIPlaat II is ten opzichte van slaat I aanzienlijk minder slank enbovendien relatief zwaarder gewapend.-Ongescheurde doorsnedeVlak voor het optreden van de eerste scheur is f = 0.0017 m. per m' plaatbreedte ?s 2 5.960 : 3 = 3,9701.Uit het voorgaande blijkt, dat de platen zich vrij normaal gedragen.Duidelijk is er hier een verschil in stijfheid bij verschil in belastingaanwezig, zoals dat ook uit proefnemingen met massieve platenbekend is.Een verdere vergelijking me; massieve platen is vooralsnog on-mogelijk.Gedrag van een vierzijdig opgelegde proefplaat met kokersDe serie proeven aan de Tee mische Hogeschool van Aken werdbesloten met het belasten vai een aan vier zijden vrij opgelegdeplaat, die over nagenoeg het gehele oppervlak van kokers -in ??nrichting- was voorzien.Op 17 plaatsen werd de doorbuiging gemeten, terwijl tevens op8 plaatsen de staalspanning door middel van rekmetingen globaalwerd bepaald.De meetresultaten zijn in tabel III verzameld, terwijl de gegevensbetreffende afmetingen, wapening e.d. in fig. II zijn aangegeven.Beziet men de resultaten dan /ertoont de vervorming var de plaateen vrij regelmatig beeld, behoudens de zeer merkwaardige waar-den, die bij de belasting van 6'?80 kg zijn genoteerd voor de punten9 t/m 17, hetgeen mogelijk te wijten is aan foutief kopi?ren van dewaarnemingen. In het onderscaande zullen deze abnormale waar-den buiten beschouwing blij/en. Neemt men weer aan, dat debelasting zich spreidt over een oppervlak waarvan lengte enbreedte gelijk zijn aan 50 err + plaatdikte (=61 cm), dan volgtvoor het maximale moment ten gevolge van de geconcentreerdebelasting P:Mp = 0,206 (zie 'Theory of Plates and Shells' van S. Timoshen blz. 155,tabel 17, voor o, :a = 0,218)DraagvermogenHet scheurmoment bedraagt:242Cement 11 (1?59) Nr. 3tabel IIIplaat III eigen gewicht gem. 240 kg/m2wapening//aan de kokers 5,0 cm' per m' i de onderste laagwapening 1 op de kokers 6,0 cm2per m' in de bovenste laagbelas-tings-fase ?n t doorbuiging in mm in de meetpunten1 2 3 4 5 6 7 8 90122a3403,2404,86006,4809,720-0,1-0.3-0.1-0,8-2.9-0.1-0,3-0,1-0,1-3,000-0,1-0,4-2,2-0.1-0.1-0,2-0,5-2,4-0,2-0,4-0,1-0,7-1,1-0,1-0.4-0.4-0,5-0.7-0,3-0,5-0,3-0,8-1,0-0,5-0.8-0,3-1,3-2,0-l.l-1,8-0,50-4,810 II 12 13 14 15 16 170122a3403,2404,86006,4809,720-0,7--1,3-2,0-0.6-1.6-0,4-l.l-0,7-1,2-0,2-3,6-0,9-1,3-2,1-0,8-0.9-4,2-0.7-1,2-0,2-1.9-1,7-1,1-1,8-0,4-0,3-4,7-0,8-1,4-0.4-0,3-3,1-1,2-2,2-0,5-0,9-8,4staalspanningen in de meetpunten:1 II II I V V VI VI /III122a34016010001806600120250052021602?22C00I0I0010706000000100400404200350180055021801'tIEHi0000010(00004020/ig. II. belastingsschema en afmet.ngen van plaat III, met aan-duiding van de doorbuigmeetpunten en de rekstrookjes(bovenaanzicht)Doorbuig/ngStelt men voor een strook over het midden het momentenverloopdriehoekig voor met een topwaarde gelijk aan 2,00 tm/m', danvindt men bij de belasting van 9,721 de volgende waarde voor EQ[0'.f=2,00 2.802: I2 ?,,/,,.Nu kan fin dit geval gelijk gesteld worden aan het verschil van dezakking in het midden en de zakking aan de zijden. De gemiddeldewaarde van de zakking van de middens van de zijden (punten5 t/m 8) bedraagt l,2 mm.Zodat do plaat bij deze overbelasting nog vrij stijf blijkt te zijn.Bijzonder interessant is het feit, dat de plaat bezweek doordat debelasting door de druklaag ponste (zie foto 12). De belasting namhierbij af tot ongeveer 9,90 t, maar is daarna weer opgevoerd totboven de aangehouden breuklast van 13,13 t.foto 12gedeelte van plaat III(na ontlasten)De 'punllast' van 13 tisdoor de druklaag geponsd.Cement 11 (1959) Nr. 3 243foto 13. gedeelte van scheurenbeeld aan de onderzijde van plaat III(na breuk)Bovenstaande waarnemingen en berekeningen geven niet deindruk, dat eventuele verschillen in draagkracht en stijfheidtussen deze plaat en een overeenkomstige massieve plaat vanveel betekenis zijn voor de praktische toepassing.Bovendien blijkt nergens uit, dat de plaat in de richting evenwijdigaan de kokers stijver is dan in de richting loodrecht daarop. Uit hetscheurenbeeld. dat de plaat aan de onderzijde na breuk vertoonde,is slechts in de onmiddellijke omgeving van het midden te conclu-deren, in welke richting de kokers zijn aangebracht (zie foto 13).Mogelijk heeft het feit, dat de wapening loodrecht op de kokersin de onderste laag is geplaatst, er toe bijgedragen dit gelijk-matige gedrag te bewerkstelligen.InterpretatieDe vraag rijst nu, welke algerr een geldende gevolgtrekkingen menaan de hand van bovenomscireven proeven kan maken, waarbijde bijzondere omstandigheden, die voor deze platen gelden, inrekening moeten worden gebracht. Deze zijn:o. de afstand tussen de koke-s is zo groot, dat de 'halsjes' overal0,5 maal de kokerdiamete ? D breed zijn;b. de betondekkingop de kokers bedraagt hier eveneens ca. 0,5 D;c de platen zijn in een laboratorium - en dus z??r zorgvuldig-gemaakt.Men vraagt zich nu af, hoe ce plaat zich zal gedragen indien dedrukzone minder dan 0,5 D dik is of als de halsjes smaller zijn dande halve kokerdiameter.Hiertoe zullen nu achtereenvolgens nader worden bestudeerd, dewijze waarop de plaat een buigend moment en een dwarskrachtoverbrengt.Opneembaar buigend momentMidden boven een koker is de drukzone het meest verkleind.Neemt men nu deze verkleinde drukzone als maatstaf voor hetopneembaar buigend moment dan ontstaat een soort T-ligger.Stelt men nu weer het buigend moment, dat door een massieveplaat kan worden opgenomei, bij een bepaalde spanningscombi-natie M0 en het moment, dal bij dezelfde toelaatbare spanningendoor de verzwakte plaat kan worden opgenomen, M, dan kan menanaloog aan de gegeven beschouwing in het vorige artikel weervoor verschillende waarden \an het quoti?nt van staalspanning enbetondrukspanning de waard? van en S berekenen bij verschil-lende waarden van de betordekking op de kokers. Noemt menhet verschil m, dan is:M0-M = m; = 100. m : Mo en = 100. m :.244 Cement 11 (1959) Nr. 3In l?g. 15 is voor verschillende waarden van o de waarde van u.gegeven, waarbij echter steeds gelijk gesteld is aan 0,1. Deovereenkomstige waarden voor S zijn in fig. 16 uitgezet. Het ge-bruik van deze beide grootheden is overeenkomstig de reken-voorbeelden -o- en -6- van het eerste artikel.Is een bepaalde vloerdikte gegeven dan kan men het opneembaremoment M0 bepalen voor het geval de plaat massief is en vervol-gens met behulp van u. voor een kokervloer het opneembaremoment M, namelijk:Is echter het moment gegeven dat een kokervloer moet opnemen,dan kan men bij een geschatte waarde van de betondekking op dekoker de waarde van S bepalen en met behulp daarvan het momentM,, waaruit de plaatdikte valt af te leiden.Vergelijkt men nu de gevonden waarden voor en ?, zoals diegelden voor kokers loodrecht op de overspanning, met die voorkokers evenwijdig aan de overspanning dan ziet men, dat de eersteaanzienlijk groter, en dus bij de toepassing in een vierkante ofnagenoeg vierkante plaat altijd maatgevend zijn.Opneembare dwarskrachtBeschouwt men een langsdoorsnede over een kokervloer dan zietmen, dat door een dwarskracht Q in de onder- en bovenflens vande plaat schuifspanningen worden opgewekt, die gelijk te stellenzijn aan: = 3 . Q : 2 (o + c') ? D? wanneer men van de gebruike-lijke veronderstelling uitgaat, dat ook een gescheurde doorsnedenog schuifspanningen kan overbrengen.Daar schuifwapening praktisch niet Is aan te brengen zal dus7 kg/cm2de uiterst toelaatbare schuifspanning zijn en dusQmax= l4(o + c') : 3 kg/cm.Door het halsje moet echter ook een kracht worden overgebracht,een deuvelkracht, die gelijk gesteld kan worden aan S.S = (M, - M2) : z of S = Q X ? : z, hetgeen meestal op het-zelfde neerkomt, als Q de dwarskracht ter plaatse van het halsjeis. In eerste instantie is men geneigd, het bezwijken van de halsjesaan zuivere afschuiving door de deuvelkracht S toe te schrijven,maar nadere bestudering van foto 9, waarop de scheurvormingna breuk duidelijk Is aangegeven, doet hieraan twijfel rijzen gezienhet merkwaardige verloop van de scheuren. Vat men de koker-vloer op als een vierendeelligger met scharnieren op de zwaksteplaatsen zoals in fig. 17 is aangegeven, dan kan men de spanningendie door de deuvelkracht ontstaan bij benadering bepalen. Vatmen het halsje op als een console, dan is het duidelijk dat in eenhorizontale doorsnede x-x behalve schuifspanningen ook nor-maalspanningen worden opgewekt door het buigende momentM = . S (fig. 18).Voor een doorsnede, waarvan de voerstraal uit M (= het middel-punt van de kokerdoorsnede) een hoek maakt met de horizon-taal, gelden de volgende betrekkingen:De term Cg hierin is dimensieloos.In fig. 19 is de waarde van deze grootheid voor verschillendewaarden van d:D uitgezet als functie van . Nu blijkt, dat bij eenbepaalde waarde van deze functies een topwaarde bereiken,zoais overigens te verwachten was. De op deze wijze gevondennormaalspanning is echter loodrecht op de doorsnede gericht.Langs de onder helling lopende rand van de console kan zij dusgeen hoofdspanning zijn.Cement 11 (195?) Nr. i245Deze hoofdspanning volgt nu uit:Qmax = 0 : cos2.Immers ?s een spanning, die evenwijdig aan de as werkt overeen oppervlakje F = I. Evenwijdig aan de rand is de hoofd-spanning echter 0 : cosa, terwijl deze slechts over een oppervlakjeF' = F : cosa (loodrecht op de rand) werkt.In fig. 21 is voor verschillende waarden d:D de topwaarde C'maxu itgezet :C'max = Cmax '? COS2atop ............................................................................... (6)Uit de grafieken blijkt duidelijk, dat de grootte van de trek-spanning in de halsjes uitermate gevoelig is voor de afstand hartop hart van de kokers en dus voor de verhouding d : D. Past mende gevonden resultaten nu toe op de beproefde platen I en II dankomt men voor de breuktoestand tot de volgende conclusies:Plaat I:N.B. Ook de eerste scheuren ten gevolge van de schuine trek-spanningen zijn in foto 9 (blz. 241) te zien.Beziet men de becijfering dan pleit deze wel zeer sterk voor deveronderstelling, dat de halsjes door buigtrekspanningen zijn be-zweken. Dat de hoogste waarde van deze spanning bij plaat Izoveel lager ligt dan bij plaat II vindt mogelijk zijn oorzaak in degang van zaken bij het breken van de eerste plaat. Daar de be-lasting in hoofdzaak uit een puntlast bestaat, zijn de langskrach-ten voor elk halsje bijna even groot en is dus aanleiding voornagenoeg gelijktijdig scheuren, hetgeen vooral in genoemdefoto 9 goed te zien is.De trekspanningen zijn vrij hoog. Wanneer men echter bedenkt,dat hier slechts de sterk verhoogde maximale randspanningenzijn uitgerekend en dat men bovendien door het gladde gebogenoppervlak elke vorm van kerfwerking moet uitschakelen, danzijn deze spanningen beslist niet onvoorstelbaar. Voor het op-treden van de eerste scheur werden immers ook al maximaletrekspanningen becijferd van ca. 40 kg/cm2.Uit de aard der zaak is er ook in verticale zin van een dergelijkeconsole-werking sprake, maar daar de gezamenlijke dikte vanonder- en bovenflens vrijwel altijd groter is dan die van het halsje,zullen de daarin opgeroepen buigtrekspanningen, door de dwars-kracht, aanzienlijk lager blijven.fig. 20. het verband tussen nnrmaalspanning en hoofdspanning aande rand van een consoleBijzonder gecompliceerd wordt het beeld echter, wanneer er ineen doorsnede naast de dwarskracht nog een groot momentwerkt, waardoor ?f de bovenwens of de onderflens bovendien eenaanzienlijke trekkracht moet overbrengen. In de gedrukte zonezullen de trekspanningen, ten gevolge van de dwarskracht, geheelof grotendeels gecompenseerd worden door de aanwezige druk-spanningen, maar in de trekzone worden ongetwijfeld door dezeextra-spanningen, ten gevolgi; van de dwarskracht, eerder scheu-ren ingeleid. De gescheurde doorsnede neemt echter toch dedwarskracht op (via het wape ?ingsstaal ?), terwijl het beton tussende scheuren voor een groot gedeelte spanningsvrij is gewordenen daardoor in staat om de spanningen ten gevolge van de console-werking op te nemen.Toelaatbare belastingWelke criteria moet men nu kiezen om tot een verantwoordeberekening van de opneembare dwarskracht te komen?In verticale zin zal men volkoTien veilig de gebruikelijke 7 kg/cm2kunnen toelaten. Zou men echter aan de maximaal toelaatbaretrekspanning in de halsjes e/eneens 7 kg/cm2als grens stellen,dan komt men mijns inziens tot abnormale veiligheidsco?ffici?nten(bij plaat I tot 3,3 en bij plaat II tot 5,2!) .Een veiligheid van 2,0 ?2,5 lijkt mij voldoende, te meer daar toepassing van kokervloerennaar mijn mening gepaard rroet gaan met bouwcontrole, zodateen behoorlijke uitvoering gewaarborgd is. De veiligheid vanQR 24 is in een licht-gewapende plaat bijv. slechts ca. 1,70.246 Cement 11 ('95?) N?. 3Wanneer men bovendien nog bedenkt, dat de toelaatbare schuinetrekspanning nog altijd gezien moet worden als een veilig geblekengrens voor een zeer ingewikkelde spanningstoestand, (vooral bijgescheurde doorsneden) dan meen ik in dit, veel duidelijker gevaleen buigtrekspanning van 12 kg/cm2toelaatbaar te mogen noemen.Voldoet men bovendien nog aan de voorwaarde, dat de gezamen-lijke dikte van onder- en bovenflens minstens 1,20 maal die vanhet halsje moet bedragen, dan heeft men mijns inziens voldoendezekerheid bereikt.Voor enige gangbare kokermaten is in tabel IV de opneembaredwarskracht in tonnen per m' aangegeven voor grenswaardenvan de vloerdikten waarin deze kokers meestal worden toegepast.De berekening is gebaseerd op formule (5), met toelaatbarespanningen van 12 kg/cm2, terwijl voor de hefboomsarm deplaatdikte minus de gemiddelde flensdikte in rekening is gebracht.De opneembare dwarskracht voor dikkere platen, waarin gelijkekokers op dezelfde afstand hart op hart zijn aangebracht, is rechtevenredig met en neemt dus betrekkelijk langzaam toe. Meentmen een hogere of een lagere maximale trekspanning te mogentoelaten, dan neemt de toelaatbare dwarskracht ook hiermederecht evenredig toe of af.Uitgaande van de schuine trekspanning in de flenzen neemt detoelaatbare dwarskracht recht evenredig met de gezamenlijkeflensdikte toe.Geen waarde is ingevuld bij die combinaties van plaatdikte enkokerafstand, die in de praktijk moeilijkheden bij de uitvoeringzouden kunnen geven of waarbij de som van de flensdikten kleineris dan 1,20 maal de dikte van het halsje.tabel IVbincmDlncmQflensint/m'opneembare dwarskracht in t/m' alsOcrek = 12 kg/cm2D:d =0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,5022,025,025,027,527,531,030,035,032,037,035,040,037,042,042,050,044,052,013,613,616,016,018,518,521,021,023,023,025,025,026,026,029,529,531,031,03,465.324,165,324,205,854.206,554,206,554,677,005,157,485,859,556,059,802,252,442,362,552,682,982,823,122.372,602,562,792,793,022,913.173.333,703,503,882,282,422,562,762.833,113,053,333,333,613,503,783,974,424,174,622,602,752,883,103,503.774,084,275,005,232.903,073,483,934.224,474,675.485,732,702,933,313,744,234.534,895,115,976,25Heeft men nu een vierzijdig opgelegde plaat, waarbij de boven-gegeven grens wordt overschreden, dan kan men niet zoals ge-woonlijk door het aanbrengen van wapening de dwarskracht opeen andere wijze opnemen, maar moet men op een van de volgen-de manieren te werk gaan:a. Als de schuifspanning in onder- en bovenflens niet hoger isdan 7 kg/cm2, kan men om de andere een koker weglaten inhet gebied waar de dwarskracht groter is dan de gegevenwaarde. (De dwarskracht waarbij de schuifspanning in onder-en bovenflens juist 7 kg/cm2bedraagt is in tabel IV in de 3ekolom aangegeven.)b. Als beide grenzen overschreden worden moet men allekokers onderbreken en de totale dwarskracht door gewapendemassieve stroken opnemen.c. Men kan tenslotte voor relatief z??r zwaar belaste platen dekokers ook over een eindstrook 90? draaien, waarbij het somsaanbeveling verdient in de hoeken geen kokers aan te brengen,zoals in het eerste artikel is aangegeven.Een en ander zal aan de hand van een rekenvoorbeeld wordentoegelicht.Cement 11 (1959) Nr. 5RekenvoorbeeldGevraagd: Bereken de dikte van een vierzijdig volledig inge-klemde plaat van 10,00 m 12,00 m, indien gegeven is, dat denuttige belasting 0,60 t/m2bedraagt en dat de toelaatbare span-ningen 70/2100 zijn.) Voor een massieve plaat,b) Voor een kokervloer, waarbij t;vens de ligging van de kokersmoet worden aangegeven.ad o. Stel het eigen gewicht op 0,70 t/m2. Het inklemmings-moment aan de lange zijde i: maatgevend.247fig. 22. plaatsing van de kokers volgens het rekenvoorbeeldIn de aangegeven driehoeken isQ> 2,56 t?m*De plaatsing van de kokers wordt dus als in fig. 22 is aangegeven.Hoewel voor de vierzijdig opgelegde vloer niet de minimum dikteis berekend geeft vergelijking met de massieve plaat de volgendeuitkomsten:o. het eigen gewicht van de massieve plaat is ca. 50% hoger;b. het wapeningsverbruik is ca. 22% groter (namelijk recht even-redig met de totale belasting);c. de betonspanningen worden in de massieve plaat aanzienlijkhoger, vooral ter plaatse van de inklemmingen.De betekenis van deze verschillen moet niet alleen gezien wordenals van economisch belang, maar ook technisch zijn er belangrijkegevolgen aan verbonden, leder, die kennis genomen heeft van hetinteressante artikel van Dr.-lng. Klaus Pieper*, waarin met hetoog op de nazakking van platen door kruip en krimp een verbandgelegd wordt tussen de praktische belasting (bestaande uit heteigen gewicht en een deel van de nuttige last) en de plaatdikte,zal in deze aanzienlijke vermindering van de praktische belastingdoor middel van de kokers een belangrijk hulpmiddel vinden inzijn pogen om scheuren in lichte wandconstructies te voork?men.De stijfheid van een plaat neemt namelijk door de aanwezigheidvan kokers nauwelijks af. terwijl verwacht mag worden, dat deinvloed van de kruip in betekende mate kleiner wordt, waardoorde nazakking, die in vele gevallen het scheuren van lichte schei-dingswanden veroorzaakt, van minder betekenis wordt. Boven-dien kan men in bijzonder gevoelige gevallen zonder al te groteverhoging van het eigen gewicht door toepassing van dikkereplaten met grotere kokers de stijfheid zeer belangrijk vergroten.* Beton- und Stahlbetonbou, ju/i 1958, S3. Jahrgang, Heft 7, blz. 184 e.V.fig. 23. sc/iema proefbelasting te BredaProefbelasting te BredaTer illustratie van het bovenstaande wil ik zeer beknopt deresultaten geven van een proe:belasting op een vierzijdig opgeleg-de plaat van 15,05 m 8,60 m, dik 25 cm en voorzien van kokersvolgens fig. 23. Deze proefbel;sting had plaats op de eersce grotekokervloer, die in ons land i; gestort, namelijk die van de Chr...S. te Breda. Doordat deze eerste vloer niet geheel volgens deverwachtingen werd gemaakt -de dekking op de kokers varieerdebijv. van 4 tot I cm en over vrij grote oppervlakken bleek dewapening niet omhuld- was deze proefbelasting noodzakelijk.In het midden van de plaat werd een steenstapeling aangebrachtvan 2,60 t/m (zie figuur 23) zijide een equivalent van 1,25 maal detoekomstige belasting. De berekende doorbuiging ten gevolgevan e.g. + belasting bedroeg ca. 28 mm, uitgaande van = 15 bijgescheurde doorsnede, terwijl de gemeten doorbuiging tijdenshet aanbrengen van de belasting slechts 3,2 mm bedroeg. Dedoorbuiging tengevolge van het verwijderen van de onderstem-peling bedroeg 0,9 mm, dus totaal 4,1 mm. Een week later bleekdeze doorbuiging te zijn toegenomen tot 5,9 mm en drie wekenlater gaven de meetklokjes 7,0 mm aan.Uit een en ander blijkt de zeer grote stijfheid van vierzijdig inge-klemde platen zelfs al zijn zij op een minder juiste manier metkokers uitgevoerd.NawoordResumerend zou ik de volgende aspecten van toepassing vankartonnen kokers in vierzijdig opgelegde platen voor willenleggen:o. Eventuele verschillen in stijfheid tussen een vloer met kokersin de dwarsrichting en een /loer met kokers in de langsrichtingzijn voor de praktijk verwaarloosbaar, gezien het feit dat dedoorbuigingen niet evenredig blijken met de belastingen en duseen nauwkeurige lastverdelingsberekening, evenals bij massie-ve platen, min of meer illusoir is, hetgeen betekent dat deveiligheidsco?ffici?nten, dio men op grond van de berekeningaanwezig acht, in de werkelijkheid voor de ene richting watgroter en voor de andere wat kleiner zijn.b. Een kokervloer kan loodrecht op de kokers een vrij aanzien-lijk moment opnemen benevens een dwarskracht.c. Door een dwarskracht woi den buigtrekspanningen opgewekt,die eerder dan de schuine trekspanningen aanleiding geventot bezwijken van de plaatIn de hoop, dat deze ervaringen en beschouwingen een bijdragekunnen leveren tot het verartwoord en economisch bouwen inons land, laat Ik het oordeel erover gaarne aan de lezers over.Op de toepassingsmogelijkheden in paddestoelvloeren -die inhet voorgaande overigens in principe gegeven zijn- hoop ik laternog eens terug te komen.248 Cement 11 (1959) Nr. 5