NEN-EN 1992-1-1 geeft diverse mogelijkheden waarop een tand kan worden ontworpen: Als een gedrongen ligger waarbij de dwars- kracht wordt getoetst, rekening houdend met een reductie voor directe belasting- afdracht, en de ophangwapening wordt ge- dimensioneerd op de daarin optredende trekkracht. Als een staafwerkmodel, waarin de hori- zontale en verticale wapening als trekstaven en het beton als drukstaven worden gesche- matiseerd. In dit artikel wordt het ontwerp van de tand met staafwerkmodellen verder uitgewerkt. Gegevens De gegevens met betrekking tot de balk, de tandoplegging, de materialen en de belastin- gen zijn geheel overeenkomstig het eerdere voorbeeld [1]: Een statisch bepaalde balk met tandopleg- gingen (fig. 1 en 2) Theoretische overspanning: L = 8 m Oplegreactie: R d = 250 kN. Rekenwaarde van de dwarskracht: V Ed = 250 kN. Balk: breedte b = 300 mm, hoogte h = 680 mm. Detail tandoplegging: zie figuur 2. Opleg- materiaal vilt (150 × 250 mm²) Beton C 45/55; betonstaal B500 Buigwapening balkgebied: 4Ø25 mm Dwarskrachtwapening balkgebied: twee- snedige beugels Ø10 mm met beugelafstand s w = 300 mm Milieuklasse XC1; betondekking op de hoofdwapening: 30 mm Staafwerkmodellen Voor het opnemen van de horizontale en verticale kracht die op de tand worden uitgeoefend, worden verschillende staaf- Tandoplegging volgens EC2 Rekenvoorbeeld tandoplegging met staafwerkmodellen DR.IR.DRS. RENÉ BRAAM Adviesbureau Hageman auteur De artikelenserie in Cement over het berekenen van tandopleggingen, die startte in 2006, werd in Cement 2010/3 afgesloten met een rekenvoorbeeld op basis van de VBC 1995 [1]. Omdat dit rekenvoorbeeld nog altijd van grote waarde is, is het nu aangepast aan de Eurocode, gebruikmakend van de staafwerktheorie. CEMENT 1 2025 ?25 8000 680 q-last 680 335 300 150150 150 1 Aanzicht van de balk 2 Aanzicht van de tandoplegging 3 Staafwerkmodel voor het opnemen van de horizontale kracht op de balk DOSSIER OP CEMENTONLINE De artikelen over tandopleggingen zijn gebundeld in een online dossier op Cementonline.nl. 2 3 1 26?CEMENT?1 2025 werkmodellen gebruikt, die qua opzet ech- ter wel overeenkomsten hebben, zodat de resulterende staafkrachten volgen uit superpositie. Gebruik wordt gemaakt van oplegvilt. Aangenomen wordt dat een axiale trekkracht gelijk aan 30% van de oplegreactie in de balk kan ontstaan: N Ed = 0,3 · R d = 0,3 · 250 = 75 kN. Figuur 3 toont het relatief eenvoudige staaf- werkmodel waarmee de horizontale wrij- vingskracht wordt opgenomen. In dit model wordt gebruikgemaakt van de lus, zoals bij- voorbeeld ook gebruikt bij een wandligger met een opening [2]. Het is toegestaan staafwerkmodellen te combineren (EC2 art. 10.9.4.6 (1)). Voor het opnemen van de verticale kracht zijn twee staafwerkmodellen gehanteerd. Het zijn varianten van de staafwerkmodellen in EC2 fig. 10.4. Figuur 4 toont beide modellen. Figuur 4a toont het model waarin een schui- ne drukdiagonaal (staaf 1) in de tand een deel (V?) van de verticale component (V) van de oplegreactie opneemt. Verticaal krachten- evenwicht boven in de balk wordt gereali- seerd door een verticale trekband (staaf 5) die als ophangwapening fungeert. Bij de op- legging maakt de schuine drukdiagonaal evenwicht door het toepassen van een hori- zontale trekstaaf (staaf 2). In dit staafwerk- model maakt de verticale wapening nabij de keel van de doorsnede (staaf 5) geen lood- rechte hoek met een scheur die mogelijk in de keel van de balk ontstaat. Wapening is het meest effectief als die een scheur loodrecht kruist. In het eerder genoemde artikel over de tandoplegging is daar op gewezen [1]. Daarom wordt in een tweede staafwerkmo- del (fig. 4b) gekozen voor een geometrie die maakt dat schuine wapening in de keel aan- wezig is: een deel van de verticale kracht (V?) wordt tot boven in de tand geleid (door staaf 11), waarna een schuine trekstaaf zorg draagt voor verticaal krachtenevenwicht boven in de balk (staaf 12). In tabel 1 zijn de staafkrachten weer- gegeven als functie van de diverse hoeken in de staafwerkmodellen. Weerstand Experimenten op balken die met diverse staafwerkmodellen voor dezelfde verticale oplegreactie zijn ontworpen, hebben aange- toond dat de grootste weerstand voor een tandoplegging wordt verkregen als een staafwerkmodel met verticale ? correct ge- detailleerde ? ophangwapening wordt ge- combineerd met een staafwerkmodel met schuine ophangwapening die is verankerd in de tand [3]. Geadviseerd is niet meer dan 70% van de verticale kracht op te laten nemen door het model met de schuine trekstaaf (fig. 4b) [4]. In de navolgende uitwerking is gekozen voor 60% afdracht van de verticale belasting door de schuine trekstaaf; 40% door de verticale trekstaaf (verticale ophangwapening). Opmerking Bij het weergeven van de krachten op de staafwerkmodellen (fig. 4) is geen reke- 4 Twee staafwerkmodellen voor het opnemen van de verticale kracht op de balk; een model met verticale ophangwapening (a) en een model met schuine ophangwapening (b) 4a 4b CEMENT 1 2025 ?27 Tabel 1?Staafkrachten uitgedrukt in de oplegreacties en de hoeken tussen de staven in de staafwerkmodellen t.g.v. H t.g.v. V? t.g.v. V? N? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V N? H ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V N? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V N? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V N? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V V? N? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V N? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ? ? ? +? ? ? ? 1 1 1 1 1 sin tan sin cos tan sin cos tan sin sin sin cos tan cos sin cos tan tan cos sin cos tan tan V V H H V H H V H V ?V? tan? N? V? N? ? ? ? ? ? ? +? ? ?? + ?? ???? ?? ?+ ?? ??? ? 1 2 1 2 2 sin sin cos sin cos tan 11 tan tan 1 tan tan cos V V H V V V ? ? ? ? ? ? +? ? ?? + ?? ???? ?? ?+ ?? ??? ? 1 2 1 2 2 sin sin cos sin cos tan 11 tan tan 1 tan tan cos V V H V V V N?? ? ? ? ? ? ? +? ? ?? + ?? ???? ?? ?+ ?? ??? ? 1 2 1 2 2 sin sin cos sin cos tan 11 tan tan 1 tan tan cos V V H V V V ? ? ? ? ? ? +? ? ?? + ?? ???? ?? ?+ ?? ??? ? 1 2 1 2 2 sin sin cos sin cos tan 11 tan tan 1 tan tan cos V V H V V V ? ? ? ? ? ? +? ? ?? + ?? ???? ?? ?+ ?? ??? ? 1 2 1 2 2 sin sin cos sin cos tan 11 tan tan 1 tan tan cos V V H V V V N?? ?V? N?? ? ? ? ? ? ? +? ? ?? + ?? ???? ?? ?+ ?? ??? ? 1 2 1 2 2 sin sin cos sin cos tan 11 tan tan 1 tan tan cos V V H V V V ning gehouden met de gelijkmatig verdeel- de belasting die op de bovenkant van de ligger aanwezig is. Deze kan worden toe- gevoegd als verticale puntlasten op de knopen in de bovenregel. In deze bereke- ning worden die krachten buiten beschou- wing gelaten.. Staafwerkmodel met verticale trekstaaf plus staafwerkmodel voor opnemen horizontale wrijvingskracht De krachten in het gecombineerde staaf- werkmodel volgen uit de horizontale kracht bij de oplegging (fig. 3) en het aandeel in de verticale belasting dat het staafwerkmodel met de verticale ophangwapening (fig. 4a) krijgt toegekend. Trekstaaf 5 De kracht in trekstaaf 5 (de verticale op- hangwapening, fig. 3 en 4):     51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0,4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0,4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 211 tan 0,6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     Overeenkomstig het advies in [1] wordt de ophangwapening zo dicht mogelijk bij de keel (hoek tussen kop van de ligger en de tand) aangebracht en de spreidingslengte wordt kleiner gekozen dan de hoogte van de tand. Verondersteld wordt dat het zwaarte- punt van de ophangwapening zich 100 mm uit de kop van het hoge deel van de balk bevindt. In figuur 5 is een deel van de staaf- werkmodellen uit figuren 3 en 4a getekend. De hoeken tussen de staven volgen uit de lig- ging van de zwaartelijnen van de trekstaven en drukstaven. Drukstaaf 7 Omdat in een staafwerkmodel een drukstaaf bij voorkeur geen spanningsgradiënt over de staafbreedte heeft, wordt de drukzonehoog- 28?CEMENT?1 2025 te berekend voor een uniforme spanning gelijk aan de rekenwaarde van de beton- druksterkte:     51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0,4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0,4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 211 tan 0,6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     Het hart van drukstaaf 7 bevindt zich 1/2 x u = 48 mm uit de bovenkant van de ligger (fig. 5). Verondersteld wordt dat, ondanks de afname van het uitwendig buigend moment naar de opleggingen toe, deze afstand (48 mm) over de gehele balklengte van toepassing is. Trekstaaf 2 De wapeningsstaven die trekstaaf 2 vormen, hebben een betondekking van 30 mm. Bij een veronderstelde staafdiameter Ø16 mm is de afstand van de onderkant van de tand tot het hart van de wapening 30 + 16 / 2 = 38 mm. Trekstaaf 2 wordt doorgevoerd de balk in, over een zodanige afstand dat druk- diagonaal 4 een hoek ? = 62° met de horizon - taal maakt. Nu deze aanname is gedaan, kan het staafwerkmodel worden uitgewerkt en kunnen de hoeken worden berekend (zie fig. 5). Nu is tan? = 249 / 179 zodat ? = 54° en tan? = 249 / 250, dus ? = 45°. Verticale trekstaven De krachten in de verticale staven worden berekend met de uitdrukkingen uit tabel 1, gebruikmakend van V? = 0,4 · 250 = 100 kN en H = 75 kN. Voor de twee verticale trek­ staven geldt:                                                                                                                                 N? = V? = 100 · 10³ N Horizontale trekstaven De horizontale trekkracht bij de oplegging:     51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0, 4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0, 4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 211 tan 0, 6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20, 9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     Onder in de balk is de trekkracht N? :                                                                                                                                 De grootte van trekkracht N 10 onderin de balk wordt mede bepaald door de hellings- hoek van drukdiagonaal 9. Om aan te sluiten op de betondrukdiagonalen in het onge- stoorde (B)-gebied van de balk (B = 'bekend') wordt gekozen voor ? = 28°:                                                                                                                                 Staafwerkmodel met schuine trekstaaf Verondersteld wordt dat de schuine trekstaaf (staaf 12 in fig. 4b) ter hoogte van de onderkant van het staafwerkmodel aan- sluit op het staafwerkmodel uit figuur 4a. 5a 5 De staafwerkmodellen uit figuur 3 en 4 met afmetingen en hoeken tussen staven 5b CEMENT 1 2025 ?29 Door deze keuze is de ligging van alle kno- pen in het staafwerkmodel bekend. Nu is tan? = 429 / 589 zodat ? = 36°. Figuur 6 geeft de afmetingen en hoeken. Trekstaven De kracht in trekstaaf 12:     51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0, 4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0,4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 211 tan 0,6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     Onderin de balk is trekstaaf N 10 aanwezig. De grootte van trekkracht N 10 wordt ook in dit staafwerkmodel mede bepaald door de hel- lingshoek van de drukdiagonalen in de balk. Ook nu wordt aangesloten op de helling van de betondrukdiagonalen in het ongestoorde balkgebied, zodat ? = 28°:     51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0, 4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0,4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 2 11 tan 0,6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????         51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0, 4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0,4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 2 11 tan 0,6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     Trekstaafwapening Verticale ophangwapening Voor het opnemen van de trekkracht in de verticale ophangwapening N 5 = 143 kN is benodigd:                                                                 Toegepast worden drie tweesnedige beugels Ø10 mm (A sw = 471 mm²). Voor het opnemen van de trekkracht N? = 100 kN volgt A sw = 230 mm². Hier worden toegepast twee tweesnedige beugels Ø10 mm (A sw = 314 mm²). Schuine ophangwapening Benodigd voor het opnemen de schuine ophangwapening is N 12 = 185 kN:     51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0, 4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0,4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 211 tan 0,6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     Onder in de balk is buigwapening 4Ø25 mm aanwezig. Door de twee binnenste staven op te buigen (A s = 982 mm²) is ruimschoots voldoende wapening uit oogpunt van sterkte aanwezig. Dit heeft een gunstige invloed op de staalspanning in de bruikbaarheids- grenstoestand. De dan optredende staal- spanning in de ophangwapening wordt ge- schat op basis van de relatieve grootte van de frequente belasting ten opzichte van de rekenwaarde van de belasting en de verhou- ding tussen de benodigde en de toegepaste totale verticale en schuine ophangwapening (N 5 , N 8 en N 12 ):                                                                                                                                 Trekstaaf boven het oplegvlak De horizontale trekstaaf N? (175 kN) vereist een hoeveelheid betonstaal:     51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0, 4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0,4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 211 tan 0,6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     Gekozen kan worden voor bijvoorbeeld 4Ø12 = 452 mm². Trekstaaf onderin de balk Voor trekstaaf N 10 (273 + 391 = 664 kN) is vereist:                                                                 Deze hoeveelheid is ruimschoots aanwezig (4Ø25 = 1964 mm²). Trekstaaf N 10 eindigt 279 mm voor het kop- eind van het hoge deel van de balk. Voorbij dit punt is alleen nog trekstaaf N 6 (84 kN) aanwezig. Vereist is dan minimaal A s = 193 mm² op basis van sterkte. Het laten doorlopen van de buitenste 2Ø25 = 982 mm² van de buigwapening tot aan het kopeind en deze wapening ombuigen naar boven met voldoende verankeringslengte, volstaat ruimschoots om deze kracht op te nemen. Knopen Drukstaven 1 en 11 en trekstaaf 2 komen in de tand samen in een knoop boven het op- legvlak. Deze CCT-knoop heeft een sterkte (EC2 vgl. 6.61):     51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0, 4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0,4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 211 tan 0,6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45 ' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????         51 sin sin cos tan H NV ? =+ ? +? ?       s,prov yd u cd 1964 435 95 mm 45 300 1, 5 Af x bf ? == = ?     3 33 51sin sin 45º 75 10 0, 4 250 10 143 10 N sin sin 45º cos cos 45º tan tan 54º N HV ? = += ?? + ? ? = ? ? +? + ?     3 3 31 2 0, 4 250 10 75 10 175 10 N tan tan 45º V NH ?? =+ =? + = ? ?     3 3 31 6 cos cos 45º 0,4 250 10 75 10 101 10 N sin sin 45ºtan tan 60º cos cos 45º tan tan 54º V NH ? ?? = + = ?? + = ? ? ? +? + ?     3 3 10 1 6 cos 1 1 0, 4 250 10 289 10 N sin tan tan tan 28º cos tan N HV N ??? ?? = + + =+ = ? ?? ? ???? +? ?     3 32 12 0,6 250 10 185 10 N cos cos36º V N ?? = = =? ?     3 3 10 211 tan 0,6 250 10 tan 36º 391 10 N tan tan 28º NV ?? ? ? = ?+ = ? ? ? + = ? ?? ? ? ??? ? ?     3 25 s yd143 10 329 mm 435 N A f ? == =     3 212 s yd 185 10 425 mm 435 N A f ? == =     s,req freq 2 s yd s,prov d 329 230 425 48,0435 186 N/mm 471 314 982 62,5 Aq f Aq ++ ?= = ? ? = ++     3 22 s yd 175 10 402 mm 435 N A f ? == =     3 210 s yd680 10 1563 mm 435 N A f ? == =   2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45 ' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     30?CEMENT?1 2025 De rekenwaarde van de oplegreactie is 250 kN. Het oplegvlak is 150 · 250 mm². De oplegdruk is dan 6,7 N/mm² en is daarmee ruimschoots kleiner dan de sterkte van de knoop. Drukstaven 1, 3 en 7 en trekstaaf 5 (de verti- cale ophangwapening) komen bovenin de balk samen in een knoop. Deze CCT-knoop, die moet fungeren als een starre oplegging voor de betondrukdiagonaal N 1 , heeft een sterkte (EC2 vgl. 6.61):     2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45 ' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     1 1 0 0, 4 250 141 kN sin sin 45 V N ? ?? = = =? ?     3 0 0 0 75 67 kN sin sin 45 cos cos 45 tan tan 60 H N ?? = = =? ? +? + ?     0 01 7 2 00 0 0 7cos cos 45 75 0,4 250 tan 0,6 250 tan 36 sin sin 45tan tan 45 cos cos 45 tan tan 60 48 100 109 161 kN VH NV N ?? ? ?? = + ? ?= + ? ? ? ? ? +? + ? = ? ? =?     3 2 Ed 143 10 11, 5 N /mm 60 208 ? ?= = ?     3 7,rechts 161 10 67 mm 11,5 208 b ? == ?     3 7,links 109 10 46 mm 11,5 208 b ? == ?     3 1 141 10 59 mm 11,5 208 b ? == ?   3 1 67 10 28 mm 11,5 208 b ? == ?     3 31 1 0, 4 250 10 141 10 N sin sin 45º V N ? ?? ? = = =? ? ?     31 22 2 2 35 10 114 mm 435 s A ? ?? ==     3 22 48 10 221 mm 435 s A ?? ==     ctk,0,05 2 bd12c td12 2,7 2, 25 2, 25 2, 25 1, 0 1,0 4,1 N/mm 1,5 1, 5 f ff= ?? = ?? = ? ? ? =     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 12 402 435 283 mm 4 4 452 4,1 Af l Af = =? ? =     3 b,rqd 3 b,rqd 150 283 150 175 10 21 10 N 283 4 bt s l FF l ??? ???? = = ? =??? ?? ?? ?? ??         2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45 ' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     1 1 0 0, 4 250141 kN sin sin 45 V N ? ?? = = =? ?     3 0 0 0 75 67 kN sin sin 45 cos cos 45 tan tan 60 H N ?? = = =? ? +? + ?     0 01 7 2 00 0 0 7cos cos 45 75 0,4 250 tan 0,6 250 tan 36 sin sin 45tan tan 45 cos cos 45 tan tan 60 48 100 109 161 kN VH NV N ?? ? ?? = + ? ?= + ? ? ? ? ? +? + ? = ? ? =?     3 2 Ed 143 10 11, 5 N /mm 60 208 ? ?= = ?     3 7,rechts 161 10 67 mm 11,5 208 b ? == ?     3 7,links 109 10 46 mm 11,5 208 b ? == ?     3 1 141 10 59 mm 11,5 208 b ? == ?   3 1 67 10 28 mm 11,5 208 b ? == ?     3 31 1 0, 4 250 10 141 10 N sin sin 45º V N ? ?? ? = = =? ? ?     31 22 2 2 35 10 114 mm 435 s A ? ?? ==     3 22 48 10 221 mm 435 s A ?? ==     ctk,0,05 2 bd12c td12 2,7 2, 25 2, 25 2, 25 1, 0 1,0 4,1 N/mm 1,5 1, 5 f ff= ?? = ?? = ? ? ? =     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 12 402 435 283 mm 4 4 452 4,1 Af l Af = =? ? =     3 b,rqd 3 b,rqd 150 283 150 175 10 21 10 N 283 4 bt s l FF l ??? ???? = = ? =??? ?? ?? ?? ??     De rekenwaarde van de krachten in de staven:     2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     1 1 0 0, 4 250141 kN sin sin 45 V N ? ?? = = =? ?     3 0 0 0 75 67 kN sin sin 45 cos cos 45 tan tan 60 H N ?? = = =? ? +? + ?     0 01 7 2 00 0 0 7cos cos 45 75 0,4 250 tan 0,6 250 tan 36 sin sin 45tan tan 45 cos cos 45 tan tan 60 48 100 109 161 kN VH NV N ?? ? ?? = + ? ?= + ? ? ? ? ? +? + ? = ? ? =?     3 2 Ed 143 10 11, 5 N /mm 60 208 ? ?= = ?     3 7,rechts 161 10 67 mm 11,5 208 b ? == ?     3 7,links 109 10 46 mm 11,5 208 b ? == ?     3 1 141 10 59 mm 11,5 208 b ? == ?   3 1 67 10 28 mm 11,5 208 b ? == ?     3 31 1 0, 4 250 10 141 10 N sin sin 45º V N ? ?? ? = = =? ? ?     31 22 2 2 35 10 114 mm 435 s A ? ?? ==     3 22 48 10 221 mm 435 s A ?? ==     ctk,0,05 2 bd12c td12 2,7 2, 25 2, 25 2, 25 1, 0 1,0 4,1 N/mm 1,5 1, 5 f ff= ?? = ?? = ? ? ? =     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 12 402 435 283 mm 4 4 452 4,1 Af l Af = =? ? =     3 b,rqd 3 b,rqd 150 283 150 175 10 21 10 N 283 4 bt s l FF l ??? ???? = = ? =??? ?? ?? ?? ??                                                                       Eerder berekend: N? = 160 kN Rechts van de knoop:                                                                                                                                                                                                       Links van de knoop (alleen de bijdrage door V?): N 7 = -V 2 tan? = -0,6 · 250 · tan 36° = -109 kN Voor het opnemen van de trekkracht N 5 = 160 kN worden, zoals eerder berekend, drie tweesnedige beugels Ø10 mm toegepast (A sw = 471 mm²). Verondersteld is, dat het zwaartepunt van de ophangwapening zich 100 mm uit de kop van het hoge deel van de balk bevindt. Direct naast de kop van de balk worden twee beugels naast elkaar ge- plaatst. De derde beugel wordt circa 50 mm uit het hart van de tweede beugel geplaatst. De knoop bovenin de balk heeft dan een lengte die minimaal gelijk is aan de hart-op- hartafstand van de eerste en derde beugel vanaf de kop van de balk: 10 + 50 = 60 mm. De breedte van de knoop wordt berekend met de breedte van de balk (300 mm), de betondekking (20 mm), de diameter van de beugelwapening (10 mm) en de diameter van de langswapening bovenin de balk (aan- name: 12 mm). De hart-op-hartafstand van de hoekstaven is een conservatieve waarde voor de breedte van de knoop: 300 ? 2 ? 20 ? 2 ? 10 ? 12 = 228 mm De trekkracht in staaf 5 (143 kN) wordt door de knoop geleid en rekenkundig bovenin de knoop verankerd. De spanning op het boven- vlak van de knoop (lengte 60 mm en breedte 208 mm):                                                                   De drukspanning op de bovenzijde van de knoop is 11,7 N/mm² en is ruimschoots klei- ner dan de sterkte van de knoop. Als vanwege de eenvoud wordt veronder- steld dat de spanning op alle zijvlakken van de knoop 11,7 N/mm² is (een zogenaamde hydrostatische knoop), volgen de hoogtes van de aansluitende staven direct uit de betreffende staafkrachten en de breedte van de knoop (228 mm). Staaf 7, rechts van de knoop:                                                                   Staaf 7, links van de knoop:                                                                   Staaf 1; schuine drukstaaf in de tand:                                                                   Staaf 3; schuine drukstaaf in de balk:                                                                   CEMENT 1 2025 ?31 Drukstaven in de tand De drukstaven in de tand moeten worden voorzien van wapening in dwarsrichting om de trekkrachten die door het spreiden van de geconcentreerde belasting ontstaan, op te kunnen nemen (EC2 art. 6.5.3). Een boven - grenswaarde voor deze trekkrachten is T = 0,25F (EC2 vgl. 6.58 & 6.59). Drukstaaf N 1 De drukkracht in staaf N 1 is:     2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     1 1 0 0, 4 250 141 kN sin sin 45 V N ? ?? = = =? ?     3 0 0 0 75 67 kN sin sin 45 cos cos 45 tan tan 60 H N ?? = = =? ? +? + ?     0 01 7 2 00 0 0 7cos cos 45 75 0,4 250 tan 0,6 250 tan 36 sin sin 45tan tan 45 cos cos 45 tan tan 60 48 100 109 161 kN VH NV N ?? ? ?? = + ? ?= + ? ? ? ? ? +? + ? = ? ? =?     3 2 Ed 143 10 11, 5 N /mm 60 208 ? ?= = ?     3 7,rechts 161 10 67 mm 11,5 208 b ? == ?     3 7,links 109 10 46 mm 11,5 208 b ? == ?     3 1 141 10 59 mm 11,5 208 b ? == ?   3 1 67 10 28 mm 11,5 208 b ? == ?     3 31 1 0, 4 250 10 141 10 N sin sin 45º V N ? ?? ? = = =? ? ?     31 22 2 2 35 10 114 mm 435 s A ? ?? ==     3 22 48 10 221 mm 435 s A ?? ==     ctk,0,05 2 bd12c td12 2,7 2, 25 2, 25 2, 25 1, 0 1,0 4,1 N/mm 1,5 1, 5 f ff= ?? = ?? = ? ? ? =     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 12 402 435 283 mm 4 4 452 4,1 Af l Af = =? ? =     3 b,rqd 3 b,rqd 150 283 150 175 10 21 10 N 283 4 bt s l FF l ??? ???? = = ? =??? ?? ?? ?? ??     De twee trekkrachten die in de drukstaaf ontstaan, hebben beide als bovengrens- waarde 0,25 · 141 = 35 kN. De drukstaaf maakt een hoek ? = 45° met de horizontaal. Beide trekstaven zijn lood- recht op de lengte-as van de drukstaaf ge­ oriënteerd. De voor beide trekkrachten be- nodigde wapening ontbinden in horizontale en verticale wapening levert:     2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     1 1 0 0, 4 250 141 kN sin sin 45 V N ? ?? = = =? ?     3 0 0 0 75 67 kN sin sin 45 cos cos 45 tan tan 60 H N ?? = = =? ? +? + ?     0 01 7 2 00 0 0 7cos cos 45 75 0,4 250 tan 0,6 250 tan 36 sin sin 45tan tan 45 cos cos 45 tan tan 60 48 100 109 161 kN VH NV N ?? ? ?? = + ? ?= + ? ? ? ? ? +? + ? = ? ? =?     3 2 Ed 143 10 11, 5 N /mm 60 208 ? ?= = ?     3 7,rechts 161 10 67 mm 11,5 208 b ? == ?     3 7,links 109 10 46 mm 11,5 208 b ? == ?     3 1 141 10 59 mm 11,5 208 b ? == ?   3 1 67 10 28 mm 11,5 208 b ? == ?     3 31 1 0, 4 250 10 141 10 N sin sin 45º V N ? ?? ? = = =? ? ?     31 22 2 2 35 10 114 mm 435 s A ? ?? ==     3 22 48 10 221 mm 435 s A ?? ==     ctk,0,05 2 bd12c td12 2,7 2, 25 2, 25 2, 25 1, 0 1,0 4,1 N/mm 1,5 1, 5 f ff= ?? = ?? = ? ? ? =     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 12 402 435 283 mm 4 4 452 4,1 Af l Af = =? ? =     3 b,rqd 3 b,rqd 150 283 150 175 10 21 10 N 283 4 bt s l FF l ??? ???? = = ? =??? ?? ?? ?? ??     , zowel horizontaal als verticaal. Drukstaaf N 11 De drukkracht in staaf N 11 is N 11 = ?V 2 = ?0,6 · 250 · 10³ = ?150 · 10³ N. De lengte-as van de drukstaaf is verticaal, waardoor alleen horizontale trekwapening benodigd is. De beide trekkrachten zijn elk 0,25 · 150 = 48 kN. Benodigde wapening:     2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     1 1 0 0, 4 250 141 kN sin sin 45 V N ? ?? = = =? ?     3 0 0 0 75 67 kN sin sin 45 cos cos 45 tan tan 60 H N ?? = = =? ? +? + ?     0 01 7 2 00 0 0 7cos cos 45 75 0,4 250 tan 0,6 250 tan 36 sin sin 45tan tan 45 cos cos 45 tan tan 60 48 100 109 161 kN VH NV N ?? ? ?? = + ? ?= + ? ? ? ? ? +? + ? = ? ? =?     3 2 Ed 143 10 11, 5 N /mm 60 208 ? ?= = ?     3 7,rechts 161 10 67 mm 11,5 208 b ? == ?     3 7,links 109 10 46 mm 11,5 208 b ? == ?     3 1 141 10 59 mm 11,5 208 b ? == ?   3 1 67 10 28 mm 11,5 208 b ? == ?     3 31 1 0, 4 250 10 141 10 N sin sin 45º V N ? ?? ? = = =? ? ?     31 22 2 2 35 10 114 mm 435 s A ? ?? ==     3 22 48 10 221 mm 435 s A ?? ==     ctk,0,05 2 bd12c td12 2,7 2, 25 2, 25 2, 25 1, 0 1,0 4,1 N/mm 1,5 1, 5 f ff= ?? = ?? = ? ? ? =     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 12 402 435 283 mm 4 4 452 4,1 Af l Af = =? ? =     3 b,rqd 3 b,rqd 150 283 150 175 10 21 10 N 283 4 bt s l FF l ??? ???? = = ? =??? ?? ?? ?? ??     , alleen horizontaal. In totaal is dus benodigd in de tand: A s = 114 + 221 = 335 mm² horizontaal; A s = 114 mm² verticaal. Toegepast worden twee tweesnedige beugels Ø8 mm (A sw = 201 mm²) verticaal en vier haarspelden Ø8 mm (A sw = 402 mm²) hori- zontaal. Met opzet wordt gekozen voor een relatief kleine staafdiameter waardoor meerdere beugels en haarspelden benodigd zijn, zodat de zone van de tand met de drukdiagonalen goed alzijdig kan worden omsloten. Verankering van de horizontale trekband in de tand De horizontale trekstaaf N? strekt zich theo- retisch uit tot 279 mm voorbij het kopeind van het hoge deel van de balk. De reken- waarde van de trekkracht in deze staaf is N? = 175 kN (A s,req = 402 mm²). Gekozen wordt voor 4Ø12 mm, zodat A s,prov = 452 mm². Rekenwaarde van de aanhechtspanning staal-beton (EC2 vgl. 8.2):     2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     1 1 0 0, 4 250 141 kN sin sin 45 V N ? ?? = = =? ?     3 0 0 0 75 67 kN sin sin 45 cos cos 45 tan tan 60 H N ?? = = =? ? +? + ?     0 01 7 2 00 0 0 7cos cos 45 75 0,4 250 tan 0,6 250 tan 36 sin sin 45tan tan 45 cos cos 45 tan tan 60 48 100 109 161 kN VH NV N ?? ? ?? = + ? ?= + ? ? ? ? ? +? + ? = ? ? =?     3 2 Ed 143 10 11, 5 N /mm 60 208 ? ?= = ?     3 7,rechts 161 10 67 mm 11,5 208 b ? == ?     3 7,links 109 10 46 mm 11,5 208 b ? == ?     3 1 141 10 59 mm 11,5 208 b ? == ?   3 1 67 10 28 mm 11,5 208 b ? == ?     3 31 1 0, 4 250 10 141 10 N sin sin 45º V N ? ?? ? = = =? ? ?     31 22 2 2 35 10 114 mm 435 s A ? ?? ==     3 22 48 10 221 mm 435 s A ?? ==     ctk,0,05 2 bd12c td12 2,7 2, 25 2, 25 2, 25 1, 0 1,0 4,1 N/mm 1,5 1, 5 f ff= ?? = ?? = ? ? ? =     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 12 402 435 283 mm 4 4 452 4,1 Af l Af = =? ? =     3 b,rqd 3 b,rqd 150 283 150 175 10 21 10 N 283 4 bt s l FF l ??? ???? = = ? =??? ?? ?? ?? ??         2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     1 1 0 0, 4 250 141 kN sin sin 45 V N ? ?? = = =? ?     3 0 0 0 75 67 kN sin sin 45 cos cos 45 tan tan 60 H N ?? = = =? ? +? + ?     0 01 7 2 00 0 0 7cos cos 45 75 0,4 250 tan 0,6 250 tan 36 sin sin 45tan tan 45 cos cos 45 tan tan 60 48 100 109 161 kN VH NV N ?? ? ?? = + ? ?= + ? ? ? ? ? +? + ? = ? ? =?     3 2 Ed 143 10 11, 5 N /mm 60 208 ? ?= = ?     3 7,rechts 161 10 67 mm 11,5 208 b ? == ?     3 7,links 109 10 46 mm 11,5 208 b ? == ?     3 1 141 10 59 mm 11,5 208 b ? == ?   3 1 67 10 28 mm 11,5 208 b ? == ?     3 31 1 0, 4 250 10 141 10 N sin sin 45º V N ? ?? ? = = =? ? ?     31 22 2 2 35 10 114 mm 435 s A ? ?? ==     3 22 48 10 221 mm 435 s A ?? ==     ctk,0,05 2 bd12c td12 2,7 2, 25 2, 25 2, 25 1, 0 1,0 4,1 N/mm 1,5 1, 5 f ff= ?? = ?? = ? ? ? =     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 12 402 435 283 mm 4 4 452 4,1 Af l Af = =? ? =     3 b,rqd 3 b,rqd 150 283 150 175 10 21 10 N 283 4 bt s l FF l ??? ???? = = ? =??? ?? ?? ?? ??     De benodigde verankeringslengte voorbij de eindknopen van trekstaaf N? (EC2 vgl. 8.3):     2ck Rd,max 2 cd 2 cd 45 45' 1 0,85 1 20,9 N/mm 250 250 1,5 f kf k f ?? ?? ? =? = ? = ? ? ? = ???? ????     1 1 0 0, 4 250 141 kN sin sin 45 V N ? ?? = = =? ?     3 0 0 0 75 67 kN sin sin 45 cos cos 45 tan tan 60 H N ?? = = =? ? +? + ?     0 01 7 2 00 0 0 7cos cos 45 75 0,4 250 tan 0,6 250 tan 36 sin sin 45tan tan 45 cos cos 45 tan tan 60 48 100 109 161 kN VH NV N ?? ? ?? = + ? ?= + ? ? ? ? ? +? + ? = ? ? =?     3 2 Ed 143 10 11, 5 N /mm 60 208 ? ?= = ?     3 7,rechts 161 10 67 mm 11,5 208 b ? == ?     3 7,links 109 10 46 mm 11,5 208 b ? == ?     3 1 141 10 59 mm 11,5 208 b ? == ?   3 1 67 10 28 mm 11,5 208 b ? == ?     3 31 1 0, 4 250 10 141 10 N sin sin 45º V N ? ?? ? = = =? ? ?     31 22 2 2 35 10 114 mm 435 s A ? ?? ==     3 22 48 10 221 mm 435 s A ?? ==     ctk,0,05 2 bd12c td12 2,7 2, 25 2, 25 2, 25 1, 0 1,0 4,1 N/mm 1,5 1, 5 f ff= ?? = ?? = ? ? ? =     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 12 402 435 283 mm 4 4 452 4,1 Af l Af = =? ? =     3 b,rqd 3 b,rqd 150 283 150 175 10 21 10 N 283 4 bt s l FF l ??? ???? = = ? =??? ?? ?? ?? ??     Deze verankeringslengte moet in het hoge deel van de balk worden aangehouden. Bij het oplegvlak in de tand is een zekere reduc- tie van de verankeringslengte mogelijk door rekening te houden met de gunstige invloed van de oplegdruk (EC2 tabel 8.2; ? 5 ). In deze uitwerking is dat niet gedaan. Getoetst is of de krommingsdruk binnen de ombuiging van de staven bij de kop van de tand niet te hoog oploopt. De verankering van de horizontale trekwa- pening N? in de tand begint bij het begin van het oplegmateriaal. Als de ombuiging plaats heeft vanaf het punt direct aan het eind van het oplegvlak, dus na 150 mm, is de kracht per wapeningsstaaf afgenomen tot:                                                                                                                                     Getoetst is de krommingsdruk in de ombui- ging van een staaf die het dichtst bij een zijvlak van de tand is gelegen. Bij een beton- dekking op de wapening (4Ø12 mm) van 30 mm en bij het toepassen van beugels Ø8 mm, is de betondekking op de beugels 30 ? 8 = 22 mm en is: LITERATUUR 1?Wijte, S.N.M., Gijsbers, F.B.J., Veen, C. van der, Kleinman, C., Tandoplegging berekend. Berekening volgens NEN 6720 (VBC 1995). Cement 2010/3. 2?Braam,. C.R., Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2, deel 8 ? Staafwerkmodellen (3). Cement 2009/7. 3?Steinle, A. en F.S. Rostásy: Zum Tragverhalten ausgeklinkter Trägerenden. Betonwerk + Fertigteil-Technik, Heft 6 & 7, 1975. 4?Schlaich, J. en J. Schäfer: Konstruieren im Stahlbetonbau. Betonkalender 1989, Teil II. 32?CEMENT?1 2025     sl b beugel Ø 12Ø 22 8 36 mm 22 ac=+ + = ++ =     3 m,min 1 1 1 1 21 10 Ø 49 mm 452 Ø 36 2 12 1, 5 bt b cd F af ?? ??? ?+ =+ =?? ?? ?????     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 25 425 435 287 mm 4 4 982 4,1 Af l Af = =? ? =     beugel sl b 300 2 2Ø 4Ø 300 2 22 2 8 4 25 47 mm 33 c a ?? ? ?? ???? = ==     3 bt m,min b cd 1 1 1 1 93 10 Ø 128 mm 452 Ø 47 2 25 1, 5 F af ?? ??? ?+ = + =?? ?? ?????     De minimumdoorndiameter (EC2 vgl. 8.1):                                                                   Voor betonstaal met Ø ? 16 mm is de mini- mumdoorndiameter 4Ø (EC2 tabel 8.1N & NB). Voor een staaf Ø12 mm is dat (48 mm) nage- noeg gelijk aan de minimumdoorndiameter vereist om de krommingsdrukken niet te hoog te laten oplopen (49 mm). Verankering van de schuine ophangwapening in de tand De verankeringslengte en de doorndiameter zijn ook getoetst voor de schuine ophang- wapening. Benodigd is A s,req = 425 mm². Omdat 2Ø25 mm wordt opgebogen, is A s,prov = 982 mm². Rekenwaarde van de aanhechtspanning staal-beton (EC2 vgl. 8.2) is f bd = 4,1 N/mm². De benodigde verankeringslengte voorbij de eindknopen van trekstaaf N 12 (EC2 vgl. 8.3):     sl b beugel Ø 12 Ø 22 8 36 mm 22 ac=+ + = ++ =     3 m,min 1 1 1 1 21 10 Ø 49 mm 452 Ø 36 2 12 1, 5 bt b cd F af ?? ??? ?+ =+ =?? ?? ?????     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 25 425 435 287 mm 4 4 982 4,1 Af l Af = =? ? =     beugel sl b 300 2 2Ø 4Ø 300 2 22 2 8 4 25 47 mm 33 c a ?? ? ?? ???? = ==     3 bt m,min b cd 1 1 1 1 93 10 Ø 128 mm 452 Ø 47 2 25 1, 5 F af ?? ??? ?+ = + =?? ?? ?????     De verankeringslengte mag worden geteld vanaf het begin van de knoop boven in de tand. Dat is ongeveer vanaf het begin van de oplegging. Daarna is berekend welke doorndiameter moet worden aangehouden om deze staven direct bij het begin van de knoop te mogen ombuigen. De volledige staafkracht moet dan door de bocht geleid kunnen worden zonder dat de toelaatbare krommingsdruk wordt overschreden. De kracht per wape- ningsstaaf is N 12 / 2 = 185 / 2 = 93 kN. De breedte van de tand is 300 mm. Bij een betondekking van 22 mm op de beugels (Ø = 8 mm in de tand) is de hart-op-hartafstand van de twee opgebogen staven:     sl b beugel Ø 12 Ø 22 8 36 mm 22 ac=+ + = ++ =     3 m,min 1 1 1 1 21 10 Ø 49 mm 452 Ø 36 2 12 1, 5 bt b cd F af ?? ??? ?+ =+ =?? ?? ?????     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 25 425 435 287 mm 4 4 982 4,1 Af l Af = =? ? =     beugel sl b 300 2 2Ø 4Ø 300 2 22 2 8 4 25 47 mm 33 c a ?? ? ?? ???? = ==     3 bt m,min b cd 1 1 1 1 93 10 Ø 128 mm 452 Ø 47 2 25 1, 5 F af ?? ??? ?+ = + =?? ?? ?????         sl b beugel Ø 12 Ø 22 8 36 mm 22 ac=+ + = ++ =     3 m,min 1 1 1 1 21 10 Ø 49 mm 452 Ø 36 2 12 1, 5 bt b cd F af ?? ??? ?+ =+ =?? ?? ?????     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 25 425 435 287 mm 4 4 982 4,1 Af l Af = =? ? =     beugel sl b 300 2 2Ø 4Ø 300 2 22 2 8 4 25 47 mm 33 c a ?? ? ?? ???? = ==     3 bt m,min b cd 1 1 1 1 93 10 Ø 128 mm 452 Ø 47 2 25 1, 5 F af ?? ??? ?+ = + =?? ?? ?????     De minimumdoorndiameter (EC2 vgl. 8.1):     sl b beugel Ø 12 Ø 22 8 36 mm 22 ac=+ + = ++ =     3 m,min 1 1 1 1 21 10 Ø 49 mm 452 Ø 36 2 12 1, 5 bt b cd F af ?? ??? ?+ =+ =?? ?? ?????     s,req yd b,rqd s,prov bdØ 25 425 435 287 mm 4 4 982 4,1 Af l Af = =? ? =     beugel sl b 300 2 2Ø 4Ø 300 2 22 2 8 4 25 47 mm 33 c a ?? ? ?? ???? = ==     3 bt m,min b cd 1 1 1 1 93 10 Ø 128 mm 452 Ø 47 2 25 1, 5 F af ?? ??? ?+ = + =?? ?? ?????     Voor betonstaal met Ø > 16 mm is de mini- mumdoorndiameter 5Ø (EC2 tabel 8.1N & NB). Voor betonstaal Ø25 mm is dat 125 mm, zodat een beperkte toename van de doorn- diameter tot, bijvoorbeeld, 6Ø = 150 mm vol- staat om de krommingsdrukken voldoende te beperken, zowel bij de ombuiging onderin de balk als bij de ombuiging bovenin de tand. De totale staaflengte in en na de ombuiging moet minstens 287 mm zijn. Vanwege de vereiste doorndiameter in de tand is het niet mogelijk de wapening tot bovenin de tand door te zetten. Dat is wel mogelijk als de helling van de schuine druk- diagonaal iets groter wordt gekozen, waar- door de 2Ø25 mm wel tot bovenin de tand kan worden doorgevoerd. Er wordt van afge- zien die berekening geheel uit te werken; de aanpak blijft in principe onveranderd. Figuur 6 geeft een overzicht van de bereken- de wapening en de wapeningsdetaillering.? 6 Detaillering van de wapening benodigd volgens de staafwerkmodellen. 6 CEMENT 1 2025 ?33