themaTanden stijf in de beugels1200922themaopleggingte?onmeting kN300 kNvijzelkracht (nokproef)335 kNvijzelkracht (tandproef)500 kNopleggingte?onmeting kN300 kNoplegging (tand) oplegging (nok)beugelsØ10-2002Ø252Ø20Om de krachtswerking in nokken en tanden in beeld te brengenzijn drie voorbeelden uitgewerkt. Het eerste voorbeeld gaat in ophet verschil in gedrag tussen nok en tand, hiervoor is de model-lering aangehouden zoals beschreven in Cement 2007/2 en 2007/3door prof.ir. Cees Kleinman [2]. Voor het tweede voorbeeld is demodellering aangehouden zoals beschreven in Cement 2004/5 [1]door ing. Arne Middeldorp en ir. Paul Lagendijk. Met specifiekewapening en wapeningsvorm wordt de scheurvorming bij detand beperkt. Voor het derde voorbeeld is hetzelfde model aange-houden uit [1] waarbij een sparing aangebracht is in de balk metals thema `het gelijk van Blaauwendraad'.UitgangspuntenVoor de analyse is gebruikgemaakt van het eindige-elementen-programma Scia Engineer 2008. De volgende uitgangspuntenzijn hierbij gehanteerd:­ in de niet-lineaire 2D-berekening kan het beton geen trekopnemen;­ de wapening zit vast aan het beton via interne lijnen van het2D-element;­ er is geen limitering aan de aanhechting van beton aan hetstaal gesteld, binnen dit model is dit niet mogelijk;­ betonsterkteklasse is C20/25;Tanden stijfin de beugelsBij de aansluiting van een tand aan een balk ontstaat eendiscontinuïteit met een spanningspiek. Er kan hier scheurvor-ming optreden zonder de mogelijkheid van herverdeling. In ditartikel wordt aan de hand van drie voorbeelden het verschil inkrachtswerking tussen tanden en nokken toegelicht en wordt deinvloed van verschillende wapeningsvormen bepaald. Hierbijwordt gebruikgemaakt van de eindige-elementenmethode.ing. Rien de RijkeVTH Zoetermeer, afdelingconstructiesir. Willem KeesomDMB Amsterdam, afdelingconstructiesDrie voorbeelden uitgewerkt­ eigen gewicht wordt buiten beschouwing gelaten;­ voor de niet-lineaire combinaties wordt de belastingfactor 1aangehouden;­ staalkwaliteit is FeB 500 met een bi-lineair spanning-rekdia-gram;­ het oplegmateriaal vervormt zodat oplegkracht niet exact inhet midden van de oplegging aangrijpt; daarom is de onder-steuning van de oplegging iets verschoven zodat de opleg-kracht in het midden aangrijpt;­ de spanningen worden gepresenteerd in de knopen waarbijmiddeling heeft plaatsgevonden.1Tanden stijf in de beugels 12009 23alternatief is het opsluiten met verticale haarspelden haaks opde drukdiagonaal uit de tand die de verankering van de opge-bogen staaf verzorgt.ConclusieHet gedrag van tand en nok is bij belasting zodanig verschil-lend dat een aparte benadering is vereist. De beugel in de nokheeft meer een functie bij de `splijtwerking' van de drukdiago-naal. De wapening in de tand heeft een directe invloed op dehelling van de drukdiagonaal. Voor een goede belastingover-dracht moet de ophangwapening de drukdiagonaal opsluiten.Voorbeeld 2 Beperking van de scheurvormingOm het effect van de wapening op het gedrag van de constructiein beeld te brengen is de voorbeeldberekening uit [1] uitgewerkt.De tand is onderdeel gemaakt van een betonligger met een over-spanning van 5 m en een puntbelasting van 420 kN. Het eigengewicht van de balk wordt niet meegenomen. Van de volgendewapeningsvormen worden de effecten inzichtelijk gemaakt.­ Basismodel (fig. 4, links) waarbij de ophangkracht wordtopgenomen met 3 beugels Ø12 verdeeld conform VBC art.9.11.7.2 over een afstand h2cotgf2. Bij een f2van 40° en eentandhoogte van 340 mm mogen de beugels verdeeld wordenover een lengte van 405 mm. De opgezette onderwapeningdoet niet mee vanwege gebrek aan verankeringslengte. Hierinis wel de laatste wijziging verwerkt van VBC art. 8.1.4 waar-door de onderwapening van de tand wijzigt naar 5Ø16 inplaats van 6Ø12.­ Aparte ophangwapening 3Ø16 die zowel de drukdiagonaalvan de balk als die van de tand opsluit (fig. 4, rechts). Dezegaat door als onderwapening in de tand. De verankering vanbeide einden vindt plaats in de lengterichting van de balk.Deze wapening wordt aangevuld met 1 horizontale haarspeldØ16 (staat niet op tekening). In totaal dus 5Ø16, gelijk aan detand links. Rechts is ter beperking van de scheurwijdte dewapening geconcentreerd dicht bij de tand. Hier ontstaat de1 Ligger uit voorbeeld 1, in het groen proefmet nok, in het rood de proef met de tand2 Dwarskrachtspanningen van de diagonaal-kracht over de doorsnede bij nokbelasting(voorbeeld 1)3 Dwarkrachtspanningen over de doorsnedebij tandbelasting (voorbeeld 1)Voorbeeld 1 Gedrag van nok en tand onderspanningMet het eerste voorbeeld wordt het verschil in gedrag tusseneen nok en tand in beeld gebracht aan de hand van de ligger uit[2]. Het linkerdeel (nok) en het rechterdeel (tand) wordenbeurteling belast met een vijzelkracht (fig. 1). De reactiekrachtis zowel op tand als nok 300 kN. De vijzelkracht van 335 kN ophet linkerdeel van de constructie levert spanningen op diekenmerkend zijn voor het gedrag van een nok. De vijzelkrachtvan 500 kN op het rechterdeel van de constructie levert span-ningen die kenmerkend zijn voor een tand.Resultaten modelFiguur 2 geeft inzicht in de spanningsverdeling van de diago-naalkracht over de doorsnede bij nokbelasting. De beugel werkthier als een soort splijtwapening.Figuur 3 geeft inzicht in de spanningsverdeling over de door-snede bij tandbelasting. De belastingafdracht is hier indirect ener ontstaat een drukdiagonaal in de balk. Deze wordt metophangwapening naar boven in de balk gebracht. Vanuit ditpunt ontstaat een drukdiagonaal naar de oplegging. Opvallendis de mooie opsluiting van de drukdiagonaal in de balk en dehorizontale afdracht aan de bovenzijde. De hechting van betonaan het staal vindt plaats in de drukzijde van de diagonaal.Deze hechting moet krachtsoverdracht verzorgen. Vanwege debeperkingen van het 2D-model zijn de aanhechtspanningenniet gelimiteerd.Goed zichtbaar is de invloed van de linkerbeugel in de tand.Deze functioneert als ophangstaaf in een vakwerk met eenkracht van 95 kN. De drukboog wordt zodanig verplaatst datde kracht eerder aangrijpt bij de opgebogen wapening. Hier-door ontstaat een grotere aanhechtlengte voor opname van dekracht uit de drukdiagonaal. Duidelijk is dat de drukdiagonaalniet wordt opgesloten. Bij gebrek aan voldoende hechting zaldeze afschampen op de omgebogen wapening. Hieruit blijktduidelijk dat een drukdiagonaal moet worden opgesloten. Een2 3themaTanden stijf in de beugels12009244 Ligger uit voorbeeld 2: links drie beugelsØ12 hoh 155 voor opvang oplegreactie,rechts met de opgebogen onderwapening3Ø16 verder omgebogen in tand5 Trajectoriën van de hoofdspanningen(voorbeeld 2)6 Detailweergave van de spanningen met eenverdeelde ophangwapening (voorbeeld 2).7 Krachten in de wapening (voorbeeld 2)genoemde geconcentreerde drukdiagonaal zet zich mooi af inde bocht van de 3Ø16. Figuur 10 geeft de krachten in de wape-ningsstaven. Opvallend is de interactie tussen de tandbeugel ende ophangstaaf. De kracht in de tandbeugel is gehalveerd invergelijking met links, waaruit blijkt dat de sterkste schoudersde zwaarste belasting aantrekken. De drukdiagonaal zet zich nuaf tegen de omgebogen 3Ø16 en hoeft niet zelf verspreid tegaan zoeken naar verdeeld aanwezige verticale beugels. Dit isdus een bevestiging van de gedachte achter het detail.VervormingDit 2D-model is niet geschikt voor het bepalen van scheur-wijdte. De VBC geeft geen regels voor een scheurwijdteschuin op de staaf ofwel dwarkrachtscheuren. Ook met een3D-model is het bepalen van scheurwijdte lastig en afhanke-lijk van de meegegeven randvoorwaarden. Een praktischerscheur en wordt de meest effectieve krachtswerking verkre-gen om de scheurwijdte te beperken. Ombuigingen zijn in derichting van de drukdiagonaal zodat deze goed wordt opge-sloten.Resultaten modelDe puntlast in het midden levert een constante dwarskracht enmaakt de werking van het vakwerk inzichtelijk. Figuren 5, 6, 8en 9 geven inzicht in de spanningen die ontstaan in de balk.Links de originele wapening en rechts aparte ophangwape-ning. In figuur 9 is de drukdiagonaal te zien die zich uit deoplegging geconcentreerd afzet in die ombuiging van de 3Ø16.De intensiteit en het opstuiken op de afronding is hier mooiinzichtelijk. In figuur 6 lijkt de drukdiagonaal meer gespreiddoor het spreiden van de ophangbeugels over een zekereafstand.Figuur 5 geeft de trajectoriën aan van de hoofdspanningenlinks. Deze zoeken de eerste beugel op en bij onvoldoendecapaciteit buigen ze dan af naar de volgende beugel. Dat in debalk een mooie drukdiagonaal ontstaat is eigenlijk niet zoevident, het gaat erom hoe de kracht uit de tand de balk moetworden ingeleid. Figuur 7 geeft de krachten aan in de wape-ning. Opvallend is dat de kracht in de horizontale tandwape-ning 5Ø16 links bijna 40% hoger is dan rechts. Hiermee is hetbelang van een gecontreerde ophanging aangetoond. Debeugels zijn gemaximeerd op de vloeigrens van 500 MPa. Deeerste beugel in de balk vertoont plastisch gedrag en de andereblijven elastisch. Door het plastisch gedrag van de eerste beugelzal de scheurwijdte toenemen. De beugel in de tand functio-neert als ophangstaaf in het vakwerk met een kracht van 42 kNen beinvloedt daarmee de drukdiagonaal die de afdracht naarde beugels in de balk moet verzorgen. Hiermee is het belangvan de beugelwapening in de tand aangetoond.Figuur 8 geeft de trajectoriën aan van de hoofdspanningenrechts. Hierbij zijn de drukdiagonalen opgesloten. De eerder5467= 210 kN5Ø16 waarvan 3Ø16 opgebogen3 beugels Ø125Ø16= 22,5 kNbeugels Ø8-300?ank Ø8?ank Ø83 beugels Ø8 3Ø12hdvdFFTanden stijf in de beugels 12009 258 Trajectoriën van de hoofdspanningen(voorbeeld 2)9 Detailweergave van de spanningen metopgesloten drukdiagonalen (voorbeeld 2)10 Krachten in de wapeningsstaven bij derechteroplegging (voorbeeld 2)Uitwerking:kracht in ophangwapening: 167 kNoppervlakte 3Ø16: 600 mm2aanhechtlengte per mm: p 16 3 = 150 mm2treksterkte: 2 fb= 5 MPaaanhechtlengte: 167000 /150 / 5 = 222 mmgemiddelde spanning overde aanhechtlengte: 167000 / 2 / 600 = 139 MPavervorming rechterbeugel: 139 / 200000 222 2 = 0,31 mmReductie voor belastingfactor van 1,3 en voor de haakse metingbij een dwarskrachtscheur van v2 alsmede vergrotingfactorvoor scheurwijdte in de hoek met eerder genoemde factor 1,2vanwege de wigvorm van de scheur, levert een scheurwijdterechts op van 0,20 mm.Berekening volgens bovenstaand model levert bij de origineleVBC-wapening (links) een scheurwijdte op van 0,55 mm.Hierbij is nog niet de plastische vervorming van de beugel inrekening gebracht.Om links bij de detaillering volgens de VBC de scheurvormingtot 0,3 mm te beperken zijn 4 staven Ø12 haaks op de scheurnodig. Wanneer de 3 beugels geconcentreerd bij de tandworden geplaatst zijn 3 staven Ø12 voldoende. De uitwerkinghiervan valt buiten de reikwijdte van dit artikel.ConclusieDoor de kerfwerking met bijbehorende spanningspiek zalvanuit de hoek een hoofdscheur ontstaan met een aantal klei-nere scheuren. Dwarskrachtscheuren laten zich niet verdelenmaar kunnen alleen worden beperkt door de staalspanning tereduceren, het effect van herverdeling van scheuren zoals bijonderwapening in een balk treedt niet op.Voldoende stijfheid van een tand wordt bereikt door de wapeningdaar aan te brengen waar het meeste effect kan worden verwacht.Wapening moet dus zo dicht mogelijk bij de tand worden aange-bracht en de drukdiagonalen moeten goed worden opgesloten.De meest effectieve manier om de scheurvorming te beperken ishet aanbrengen van een schuine haarspeld haaks op de dwars-krachtscheur (staat niet op tekening). Er is gekozen voor haar-spelden om verankeringproblemen in de tand te voorkomen.Voorbeeld 3 `Het gelijk van Blaauwendraad'In Cement 2007/8 [4] heeft prof.dr.ir. J. Blaauwendraad in zijnartikel `Cees' tandtechniek' aangetoond ­ met zowel vakwerkana-logie als met schuifelementen ­ dat de kracht uit de tand voorna-benadering is het beperken van de spanning in de ophangwa-pening in de bruikbaarheidtoestand tot 200 MPa. Een anderemogelijkheid is om de helft van de benodigde ophangdoor-snede toe te voegen als schuine bijlegstaaf haaks op de dwars-krachtscheur.Een derde mogelijkheid is een rekenmodel, waarbij de elasti-sche vervorming van de ophangstaaf over een lengte die nodigis om de kracht over te dragen aan het beton bepalend is voorde scheurwijdteberekening. Vanwege de wigvorm van descheur moet de berekende elastische vervorming van de staafworden vermenigvuldigd met een factor om de scheurwijdteaan het betonoppervlak in de hoek te bepalen. Hiervoor iszonder verdere onderbouwing factor 1,2 gekozen.Uitwerking rekenmodelTussen de wapening en het beton treedt een aanhechtspanningop. Uit laboratoriumproeven is bekend dat de aanhechtspan-ning in de orde van 2 fbligt. Met de kracht in de ophangstaafwordt de hechtlengte rond de scheur bepaald. De spanning inde ophangstaaf wordt gebruikt voor het bepalen van de speci-fieke verlenging e. Met deze e en de aanhechtlengte onder enboven de scheur wordt de vervorming bepaald. Hierbij wordtgerekend met een gemiddelde spanning omdat de spanning terplaatse van de scheur maximaal is en nul bij de volledige over-dracht aan het beton.8910themaTanden stijf in de beugels1200926I LITERATUUR1 Middeldorp, A. en P. Lagendijk, Korte console en tandoplegging. Cement 2004/52 Kleinman, C.S., Nokken met die tanden (2 en 3). Cement 2007/2 en 2007/33 Blaauwendraad, J., Cees'tandtechniek. Cement 2007/84 NEN 6720, VBC 1995, ontw. A4 200711 Ligger voorbeeld 3: linksmet detaillering volgensVBC artikel 9.11.7.2 enoverige artikelen metlaatste wijziging art. 8.1.412 Dwarskrachtspanningenbij linker oplegging, zon-der sparing (voorbeeld 3)13 Krachten in de wape-ningsstaven bij linkeroplegging, zondersparing (voorbeeld 3)14 Dwarskrachtspanningenbij de rechter oplegging,met sparing (voorbeeld 3)15 Krachten in de wape-ningsstaven bij rechteroplegging, met sparing(voorbeeld 3)melijk onder in de balk wordt opgenomen. Bovenin de balkmoet ruimte zijn voor het aanbrengen van een sparing van 500mm breed en 200 m hoog. Om dit opmerkelijke feit te controle-ren is dit aspect ingevoerd in het voorgaande balkmodel.Bij dit model is gekozen om de opgezette onderwapening teverankeren met verticale haarspelden.Elke opgebogen staaf Ø16 wordt verankerd met een verticalehaarspeld Ø12 (staat niet op tekening). Hiermee ontstaat eenreductie van de staalspanning.Figuur 11 geeft het belastingmodel weer. De overspanning is5 m en belasting is 84 kN/m. Aan beide zijden is de opgezetteonderwapening 3Ø16 verankerd met 3 haarspelden Ø12. Aande rechterzijde is een sparing gemaakt van 500 x 200 mm2.Links is de vanuit de VBC geïnitieerde drukdiagonaal ingete-kend. Tevens is het maatgevende breukvlak ingetekend met eenf2van 40° en de breedte van het verdeelgebied van de beugelsvan 405 mm. De drukdiagonaal loopt vanuit het hart van deoplegging naar het zwaartepunt van de ophangwapening. Vande horizontale tandwapening is de verankering in de drukdia-gonaal aangegeven. Aan de rechterzijde zijn de spanningenleidend geweest voor de vorm van de sparing.Figuur 12 en 14 geven de spanningen weer die ontstaan. Despiegelsymmetrie is verbluffend, de intensiteit van de spannin-met q = 84 kN/m en e.g. balk nul5Ø16 waarvan 3Ø16 opgebogenbeugels Ø8-300?ank Ø8?ank Ø83Ø122 beugels Ø8verankering= 210 kN= 22,5 kNhdvd5Ø164240 3803805000700360340d1FF40°29°1112131415gen zijn nagenoeg identiek. De werking van het vakwerk is watminder geprononceerd dan in het vorige model vanwege deafnemende dwarskracht bij een gelijkmatig verdeelde belasting.Figuur 13 en 15 geven de krachten in de wapeningsstaven bijlinker- respectievelijk rechteroplegging. Ook hier is nauwelijksverschil te constateren tussen links en rechts.Met de resultaten van deze rekenexercitie wordt `het gelijk vanBlaauwendraad' onderbouwd. Met andere woorden: boven dehorizontale tandwapening in de balk vindt geen dwarskracht-overdracht plaats.Meer figuren onlineOp www.cementonline.nl staan meer figuren waaronder vooralle voorbeelden de trajectoriën en de esa-files, voor eigenanalyse en eventuele discussie. F