thema Tanden stijf in de beugels1 200922 thema oplegging te?on meting kN 300 kN vijzelkracht (nokproef ) 335 kN vijzelkracht (tandproef ) 500 kN oplegging te?on meting kN 300 kN oplegging (tand) oplegging (nok)beugels Ø10-200 2Ø25 2Ø20 Om de krachtswerking in nokken en tanden in beeld te brengen zijn drie voorbeelden uitgewerkt. Het eerste voorbeeld gaat in op het verschil in gedrag tussen nok en tand, hiervoor is de model- lering aangehouden zoals beschreven in Cement 2007/2 en 2007/3 door prof.ir. Cees Kleinman [2]. Voor het tweede voorbeeld is de modellering aangehouden zoals beschreven in Cement 2004/5 [1] door ing. Arne Middeldorp en ir. Paul Lagendijk. Met specifieke wapening en wapeningsvorm wordt de scheurvorming bij de tand beperkt. Voor het derde voorbeeld is hetzelfde model aange- houden uit [1] waarbij een sparing aangebracht is in de balk met als thema 'het gelijk van Blaauwendraad'. Uitgangspunten Voor de analyse is gebruikgemaakt van het eindige-elementen- programma Scia Engineer 2008. De volgende uitgangspunten zijn hierbij gehanteerd: ? in de niet-lineaire 2D-berekening kan het beton geen trek opnemen; ? de wapening zit vast aan het beton via interne lijnen van het 2D-element; ? er is geen limitering aan de aanhechting van beton aan het staal gesteld, binnen dit model is dit niet mogelijk; ? betonsterkteklasse is C20/25; Tanden stijf in de beugels Bij de aansluiting van een tand aan een balk ontstaat een discontinuïteit met een spanningspiek. Er kan hier scheurvor- ming optreden zonder de mogelijkheid van herverdeling. In dit artikel wordt aan de hand van drie voorbeelden het verschil in krachtswerking tussen tanden en nokken toegelicht en wordt de invloed van verschillende wapeningsvormen bepaald. Hierbij wordt gebruikgemaakt van de eindige-elementenmethode. ing. Rien de Rijke VTH Zoetermeer, afdeling constructies ir. Willem Keesom DMB Amsterdam, afdeling constructies Drie voorbeelden uitgewerkt ? eigen gewicht wordt buiten beschouwing gelaten; ? voor de niet-lineaire combinaties wordt de belastingfactor 1 aangehouden; ? staalkwaliteit is FeB 500 met een bi-lineair spanning-rekdia- gram; ? het oplegmateriaal vervormt zodat oplegkracht niet exact in het midden van de oplegging aangrijpt; daarom is de onder- steuning van de oplegging iets verschoven zodat de opleg- kracht in het midden aangrijpt; ? de spanningen worden gepresenteerd in de knopen waarbij middeling heeft plaatsgevonden. 1 Tanden stijf in de beugels 1 2009 23 alternatief is het opsluiten met verticale haarspelden haaks op de drukdiagonaal uit de tand die de verankering van de opge- bogen staaf verzorgt. Conclusie Het gedrag van tand en nok is bij belasting zodanig verschil- lend dat een aparte benadering is vereist. De beugel in de nok heeft meer een functie bij de 'splijtwerking' van de drukdiago- naal. De wapening in de tand heeft een directe invloed op de helling van de drukdiagonaal. Voor een goede belastingover- dracht moet de ophangwapening de drukdiagonaal opsluiten. Voorbeeld 2 Beperking van de scheurvorming Om het effect van de wapening op het gedrag van de constructie in beeld te brengen is de voorbeeldberekening uit [1] uitgewerkt. De tand is onderdeel gemaakt van een betonligger met een over- spanning van 5 m en een puntbelasting van 420 kN. Het eigen gewicht van de balk wordt niet meegenomen. Van de volgende wapeningsvormen worden de effecten inzichtelijk gemaakt. ? Basismodel (fig. 4, links) waarbij de ophangkracht wordt opgenomen met 3 beugels Ø12 verdeeld conform VBC art. 9.11.7.2 over een afstand h 2 cotg? 2 . Bij een ? 2 van 40? en een tandhoogte van 340 mm mogen de beugels verdeeld worden over een lengte van 405 mm. De opgezette onderwapening doet niet mee vanwege gebrek aan verankeringslengte. Hierin is wel de laatste wijziging verwerkt van VBC art. 8.1.4 waar- door de onderwapening van de tand wijzigt naar 5Ø16 in plaats van 6Ø12. ? Aparte ophangwapening 3Ø16 die zowel de drukdiagonaal van de balk als die van de tand opsluit (fig. 4, rechts). Deze gaat door als onderwapening in de tand. De verankering van beide einden vindt plaats in de lengterichting van de balk. Deze wapening wordt aangevuld met 1 horizontale haarspeld Ø16 (staat niet op tekening). In totaal dus 5Ø16, gelijk aan de tand links. Rechts is ter beperking van de scheurwijdte de wapening geconcentreerd dicht bij de tand. Hier ontstaat de 1 Ligger uit voorbeeld 1, in het groen proef met nok, in het rood de proef met de tand 2 Dwarskrachtspanningen van de diagonaal- kracht over de doorsnede bij nokbelasting (voorbeeld 1) 3 Dwarkrachtspanningen over de doorsnede bij tandbelasting (voorbeeld 1) Voorbeeld 1 Gedrag van nok en tand onder spanning Met het eerste voorbeeld wordt het verschil in gedrag tussen een nok en tand in beeld gebracht aan de hand van de ligger uit [2]. Het linkerdeel (nok) en het rechterdeel (tand) worden beurteling belast met een vijzelkracht (fig. 1). De reactiekracht is zowel op tand als nok 300 kN. De vijzelkracht van 335 kN op het linkerdeel van de constructie levert spanningen op die kenmerkend zijn voor het gedrag van een nok. De vijzelkracht van 500 kN op het rechterdeel van de constructie levert span- ningen die kenmerkend zijn voor een tand. Resultaten model Figuur 2 geeft inzicht in de spanningsverdeling van de diago- naalkracht over de doorsnede bij nokbelasting. De beugel werkt hier als een soort splijtwapening. Figuur 3 geeft inzicht in de spanningsverdeling over de door- snede bij tandbelasting. De belastingafdracht is hier indirect en er ontstaat een drukdiagonaal in de balk. Deze wordt met ophangwapening naar boven in de balk gebracht. Vanuit dit punt ontstaat een drukdiagonaal naar de oplegging. Opvallend is de mooie opsluiting van de drukdiagonaal in de balk en de horizontale afdracht aan de bovenzijde. De hechting van beton aan het staal vindt plaats in de drukzijde van de diagonaal. Deze hechting moet krachtsoverdracht verzorgen. Vanwege de beperkingen van het 2D-model zijn de aanhechtspanningen niet gelimiteerd. Goed zichtbaar is de invloed van de linkerbeugel in de tand. Deze functioneert als ophangstaaf in een vakwerk met een kracht van 95 kN. De drukboog wordt zodanig verplaatst dat de kracht eerder aangrijpt bij de opgebogen wapening. Hier- door ontstaat een grotere aanhechtlengte voor opname van de kracht uit de drukdiagonaal. Duidelijk is dat de drukdiagonaal niet wordt opgesloten. Bij gebrek aan voldoende hechting zal deze afschampen op de omgebogen wapening. Hieruit blijkt duidelijk dat een drukdiagonaal moet worden opgesloten. Een 2 3 thema Tanden stijf in de beugels1 200924 4 Ligger uit voorbeeld 2: links drie beugels Ø12 hoh 155 voor opvang oplegreactie, rechts met de opgebogen onderwapening 3Ø16 verder omgebogen in tand 5 Trajectoriën van de hoofdspanningen (voorbeeld 2) 6 Detailweergave van de spanningen met een verdeelde ophangwapening (voorbeeld 2). 7 Krachten in de wapening (voorbeeld 2) genoemde geconcentreerde drukdiagonaal zet zich mooi af in de bocht van de 3Ø16. Figuur 10 geeft de krachten in de wape- ningsstaven. Opvallend is de interactie tussen de tandbeugel en de ophangstaaf. De kracht in de tandbeugel is gehalveerd in vergelijking met links, waaruit blijkt dat de sterkste schouders de zwaarste belasting aantrekken. De drukdiagonaal zet zich nu af tegen de omgebogen 3Ø16 en hoeft niet zelf verspreid te gaan zoeken naar verdeeld aanwezige verticale beugels. Dit is dus een bevestiging van de gedachte achter het detail. Vervorming Dit 2D-model is niet geschikt voor het bepalen van scheur- wijdte. De VBC geeft geen regels voor een scheurwijdte schuin op de staaf ofwel dwarkrachtscheuren. Ook met een 3D-model is het bepalen van scheurwijdte lastig en afhanke- lijk van de meegegeven randvoorwaarden. Een praktischer scheur en wordt de meest effectieve krachtswerking verkre- gen om de scheurwijdte te beperken. Ombuigingen zijn in de richting van de drukdiagonaal zodat deze goed wordt opge- sloten. Resultaten model De puntlast in het midden levert een constante dwarskracht en maakt de werking van het vakwerk inzichtelijk. Figuren 5, 6, 8 en 9 geven inzicht in de spanningen die ontstaan in de balk. Links de originele wapening en rechts aparte ophangwape- ning. In figuur 9 is de drukdiagonaal te zien die zich uit de oplegging geconcentreerd afzet in die ombuiging van de 3Ø16. De intensiteit en het opstuiken op de afronding is hier mooi inzichtelijk. In figuur 6 lijkt de drukdiagonaal meer gespreid door het spreiden van de ophangbeugels over een zekere afstand. Figuur 5 geeft de trajectoriën aan van de hoofdspanningen links. Deze zoeken de eerste beugel op en bij onvoldoende capaciteit buigen ze dan af naar de volgende beugel. Dat in de balk een mooie drukdiagonaal ontstaat is eigenlijk niet zo evident, het gaat erom hoe de kracht uit de tand de balk moet worden ingeleid. Figuur 7 geeft de krachten aan in de wape- ning. Opvallend is dat de kracht in de horizontale tandwape- ning 5Ø16 links bijna 40% hoger is dan rechts. Hiermee is het belang van een gecontreerde ophanging aangetoond. De beugels zijn gemaximeerd op de vloeigrens van 500 MPa. De eerste beugel in de balk vertoont plastisch gedrag en de andere blijven elastisch. Door het plastisch gedrag van de eerste beugel zal de scheurwijdte toenemen. De beugel in de tand functio- neert als ophangstaaf in het vakwerk met een kracht van 42 kN en beinvloedt daarmee de drukdiagonaal die de afdracht naar de beugels in de balk moet verzorgen. Hiermee is het belang van de beugelwapening in de tand aangetoond. Figuur 8 geeft de trajectoriën aan van de hoofdspanningen rechts. Hierbij zijn de drukdiagonalen opgesloten. De eerder 5 4 6 7 = 210 kN 5Ø16 waarvan 3Ø16 opgebogen3 beugels Ø12 5Ø16 = 22,5 kN beugels Ø8-300 ?ank Ø8 ?ank Ø8 3 beugels Ø8 3Ø12 hd vd F F Tanden stijf in de beugels 1 2009 25 8 Trajectoriën van de hoofdspanningen (voorbeeld 2) 9 Detailweergave van de spanningen met opgesloten drukdiagonalen (voorbeeld 2) 10 Krachten in de wapeningsstaven bij de rechteroplegging (voorbeeld 2) Uitwerking: kracht in ophangwapening: 167 kN oppervlakte 3Ø16: 600 mm 2 aanhechtlengte per mm: ? ? 16 ? 3 = 150 mm 2 treksterkte: 2 f b = 5 MPa aanhechtlengte: 167000 /150 / 5 = 222 mm gemiddelde spanning over de aanhechtlengte: 167000 / 2 / 600 = 139 MPa vervorming rechterbeugel: 139 / 200000 ? 222 ? 2 = 0,31 mm Reductie voor belastingfactor van 1,3 en voor de haakse meting bij een dwarskrachtscheur van ?2 alsmede vergrotingfactor voor scheurwijdte in de hoek met eerder genoemde factor 1,2 vanwege de wigvorm van de scheur, levert een scheurwijdte rechts op van 0,20 mm. Berekening volgens bovenstaand model levert bij de originele VBC-wapening (links) een scheurwijdte op van 0,55 mm. Hierbij is nog niet de plastische vervorming van de beugel in rekening gebracht. Om links bij de detaillering volgens de VBC de scheurvorming tot 0,3 mm te beperken zijn 4 staven Ø12 haaks op de scheur nodig. Wanneer de 3 beugels geconcentreerd bij de tand worden geplaatst zijn 3 staven Ø12 voldoende. De uitwerking hiervan valt buiten de reikwijdte van dit artikel. Conclusie Door de kerfwerking met bijbehorende spanningspiek zal vanuit de hoek een hoofdscheur ontstaan met een aantal klei- nere scheuren. Dwarskrachtscheuren laten zich niet verdelen maar kunnen alleen worden beperkt door de staalspanning te reduceren, het effect van herverdeling van scheuren zoals bij onderwapening in een balk treedt niet op. Voldoende stijfheid van een tand wordt bereikt door de wapening daar aan te brengen waar het meeste effect kan worden verwacht. Wapening moet dus zo dicht mogelijk bij de tand worden aange- bracht en de drukdiagonalen moeten goed worden opgesloten. De meest effectieve manier om de scheurvorming te beperken is het aanbrengen van een schuine haarspeld haaks op de dwars- krachtscheur (staat niet op tekening). Er is gekozen voor haar- spelden om verankeringproblemen in de tand te voorkomen. Voorbeeld 3 'Het gelijk van Blaauwendraad' In Cement 2007/8 [4] heeft prof.dr.ir. J. Blaauwendraad in zijn artikel 'Cees' tandtechniek' aangetoond ? met zowel vakwerkana- logie als met schuifelementen ? dat de kracht uit de tand voorna- benadering is het beperken van de spanning in de ophangwa- pening in de bruikbaarheidtoestand tot 200 MPa. Een andere mogelijkheid is om de helft van de benodigde ophangdoor- snede toe te voegen als schuine bijlegstaaf haaks op de dwars- krachtscheur. Een derde mogelijkheid is een rekenmodel, waarbij de elasti- sche vervorming van de ophangstaaf over een lengte die nodig is om de kracht over te dragen aan het beton bepalend is voor de scheurwijdteberekening. Vanwege de wigvorm van de scheur moet de berekende elastische vervorming van de staaf worden vermenigvuldigd met een factor om de scheurwijdte aan het betonoppervlak in de hoek te bepalen. Hiervoor is zonder verdere onderbouwing factor 1,2 gekozen. Uitwerking rekenmodel Tussen de wapening en het beton treedt een aanhechtspanning op. Uit laboratoriumproeven is bekend dat de aanhechtspan- ning in de orde van 2 f b ligt. Met de kracht in de ophangstaaf wordt de hechtlengte rond de scheur bepaald. De spanning in de ophangstaaf wordt gebruikt voor het bepalen van de speci- fieke verlenging ?. Met deze ? en de aanhechtlengte onder en boven de scheur wordt de vervorming bepaald. Hierbij wordt gerekend met een gemiddelde spanning omdat de spanning ter plaatse van de scheur maximaal is en nul bij de volledige over- dracht aan het beton. 8 9 10 thema Tanden stijf in de beugels1 200926 ?I LITERATUUR 1 Middeldorp, A. en P. Lagendijk, Korte console en tandoplegging. Cement 2004/5 2 Kleinman, C.S., Nokken met die tanden (2 en 3). Cement 2007/2 en 2007/3 3 Blaauwendraad, J., Cees' tandtechniek. Cement 2007/8 4 NEN 6720, VBC 1995, ontw. A4 2007 11 Ligger voorbeeld 3: links met detaillering volgens VBC artikel 9.11.7.2 en overige artikelen met laatste wijziging art. 8.1.4 12 Dwarskrachtspanningen bij linker oplegging, zon- der sparing (voorbeeld 3) 13 Krachten in de wape- ningsstaven bij linker oplegging, zonder sparing (voorbeeld 3) 14 Dwarskrachtspanningen bij de rechter oplegging, met sparing (voorbeeld 3) 15 Krachten in de wape- ningsstaven bij rechter oplegging, met sparing (voorbeeld 3) melijk onder in de balk wordt opgenomen. Bovenin de balk moet ruimte zijn voor het aanbrengen van een sparing van 500 mm breed en 200 m hoog. Om dit opmerkelijke feit te controle- ren is dit aspect ingevoerd in het voorgaande balkmodel. Bij dit model is gekozen om de opgezette onderwapening te verankeren met verticale haarspelden. Elke opgebogen staaf Ø16 wordt verankerd met een verticale haarspeld Ø12 (staat niet op tekening). Hiermee ontstaat een reductie van de staalspanning. Figuur 11 geeft het belastingmodel weer. De overspanning is 5 m en belasting is 84 kN/m. Aan beide zijden is de opgezette onderwapening 3Ø16 verankerd met 3 haarspelden Ø12. Aan de rechterzijde is een sparing gemaakt van 500 x 200 mm 2 . Links is de vanuit de VBC geïnitieerde drukdiagonaal ingete- kend. Tevens is het maatgevende breukvlak ingetekend met een ? 2 van 40? en de breedte van het verdeelgebied van de beugels van 405 mm. De drukdiagonaal loopt vanuit het hart van de oplegging naar het zwaartepunt van de ophangwapening. Van de horizontale tandwapening is de verankering in de drukdia- gonaal aangegeven. Aan de rechterzijde zijn de spanningen leidend geweest voor de vorm van de sparing. Figuur 12 en 14 geven de spanningen weer die ontstaan. De spiegelsymmetrie is verbluffend, de intensiteit van de spannin- met q = 84 kN/m en e.g. balk nul 5Ø16 waarvan 3Ø16 opgebogen beugels Ø8-300 ?ank Ø8 ?ank Ø8 3Ø122 beugels Ø8 verankering = 210 kN = 22,5 kN hd vd 5Ø16 4240 380380 5000 700 360 340 d 1 F F 40°29° 11 12 13 14 15 gen zijn nagenoeg identiek. De werking van het vakwerk is wat minder geprononceerd dan in het vorige model vanwege de afnemende dwarskracht bij een gelijkmatig verdeelde belasting. Figuur 13 en 15 geven de krachten in de wapeningsstaven bij linker- respectievelijk rechteroplegging. Ook hier is nauwelijks verschil te constateren tussen links en rechts. Met de resultaten van deze rekenexercitie wordt 'het gelijk van Blaauwendraad' onderbouwd. Met andere woorden: boven de horizontale tandwapening in de balk vindt geen dwarskracht- overdracht plaats. Meer figuren online Op www.cementonline.nl staan meer figuren waaronder voor alle voorbeelden de trajectoriën en de esa-files, voor eigen analyse en eventuele discussie. )