Staafwerkmodellen (2)6200990Staafwerk-modellen (2)In de serie met rekenvoorbeelden, waarin de diverse onderdelen vande Eurocode 2 1) worden toegelicht, worden net als in deel 6 staafwerk-modellen behandeld. Nu gaat het om een uitgewerkt voorbeeld van eenlange console.Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (7)1) De artikelenserie is vertaald enbewerkt door dr.ir.drs. Ren?Braam (TU Delft, fac. CiTG /Adviesbureau ir. J.G. HagemanBV) en afgestemd met Voor-schriftencommissie 20.betekent dat de helling van de betondrukdiagonaal minimaal45? moet zijn wil sprake zijn van een zogenaamde korteconsole. Het is zeer de vraag of in dit rekenvoorbeeld aan dezeeis wordt voldaan. Immers, de verticale afstand tussen de hori-zontale trekstaaf bovenin de console en het zwaartepunt vanhet aangrijpingspunt van de horizontale drukkracht in dekolom is slechts circa 300 - 40 - 40 = 220 mm. Voor deze schat-ting is gebruikgemaakt van de resultaten uit de berekening vande `korte' console. In deze berekening bevindt de horizontaletrekstaaf in de console zich 40 mm onder het bovenvlak van deconsole. Deze afstand is ook gevonden voor de horizontaledrukkracht die aangrijpt in de keel van de console.Opmerking:De horizontale drukkracht onderin de console is de horizontaleontbondene van de kracht in de drukdiagonaal. De drukdiago-naal wordt daar dus `doorsneden' om het evenwicht te beschou-wen. De drukdiagonaal zelf kan echter verder doorlopen dantot de onderkant van de console. Uit de werkingslijn van deRekenvoorbeeld lange console (EC2, par.6.5)De console uit rekenvoorbeeld 2 uit deel 6 van deze artikelen-serie wordt `verlengd'; de belasting grijpt nu aan ac= 200 mmuit de dag van de kolom. Tevens wordt de hoogte gereduceerd:hc= 300 mm. Omdat ac> 0,5hc(EC2; art. J.3(3)) is sprake vaneen `lange' console. Deze lange console (lengte 325 mm, hoogte300 mm, breedte 400 mm) maakt onderdeel uit van dezelfdekolom als die uit het vorige rekenvoorbeeld (kolomdoorsnede400 x 400 mm2) (fig. 1a).De kolom wordt in de doorsnede direct boven de console belastdoor dezelfde normaalkracht NEd= 1200 kN als in het vorigerekenvoorbeeld van de korte console (fig. 1b). De kracht grijptin die doorsnede aan met een excentriciteit van 100 mm, naarlinks gericht. De rekenwaarde van de kracht op de console isFEd= 500 kN, aangrijpend in het zwaartepunt van het oplegvlak(150 x 200 mm2).In EC2 art. J.3(1) is vermeld dat het staafwerkmodel uit EC2figuur J.5 (fig. 2) mag worden gehanteerd zolang ac< z0. DitFoto:PeterdeKoning,PDKfotoStaafwerkmodellen (2) 62009 91kolomkracht in de doorsnede onder de console volgt de hori-zontale positie van de knoop van de drukdiagonaal in dekolom. Figuur 2 illustreert dit. Door ook de spanningstoestandter hoogte van de onderkant van de console te onderzoeken,wordt gecontroleerd of daar, waar de drukdiagonaal in breedtewordt beperkt, ook wordt voldaan aan de spanningseisen.Voor het berekenen van de positie van het snijpunt van deschuine drukdiagonaal in de console met het zijvlak van dekolom wordt berekend waar de resultante van de krachten inde kolom aangrijpt.Onder de console is de drukkracht in de kolom 1200 + 500 =1700 kN. De excentriciteit van deze kracht ten opzichte van hethart van de kolom is:e =1200 103 100 ? 500 103 (200 + 200)________________________________(1200 + 500) 103= -47 mmDit aangrijpingspunt bevindt zich 200 ? 47 = 153 mm uit hetrechter zijvlak van de kolom. Het is te verwachten dat deschuine drukdiagonaal die deze knoop verbindt met het opleg-vlak met de puntlast, het grensvlak kolom-console meer dan20 mm boven de knoop zal doorsnijden. Dan is z0< 200 mmen is ac> z0. Het gevolg hiervan is, dat niet wordt voldaan aande eis met betrekking tot de korte console. Daarom zal eenander staafwerkmodel dan getoond in figuur 3 moeten wordengekozen.StaafwerkmodelFiguur 4 toont het basismodel dat het uitgangspunt is voor hetopstellen van het staafwerkmodel. Dit model komt in de kolomzelf overeen met het in figuur 4 van deel 6 van deze artikelense-rie getoonde model.In de console zelf is echter niet gekozen voor alleen een hori-zontale trekband en een schuine drukstaaf die de belastingopnemen, maar zijn onder andere een verticale trekstaaf en eenschuine drukstaaf toegevoegd. Dit is gedaan omdat anders dehellingshoek van de enkele drukdiagonaal te klein wordt; dehellingshoek van de drukdiagonaal in de console wordt immersbegrensd door de voorwaarde 1,0 < tan < 2,5 (EC2; art.J.3(1)), dus 45,0? < < 68,2?.De drukstaaf in de kolom heeft boven de console een excentri-citeit van 100 mm naar links ten opzichte van het hart van dekolom; onder de console is de excentriciteit -47 mm, dus naarrechts gericht.Figuur 5 toont het staafwerkmodel voor de lange console. In ditmodel zijn zoals eerder vermeld, ten opzichte van het modelvoor de `korte' console, in de console een schuine drukstaaf eneen verticale trekstaaf toegevoegd. Hierdoor wordt bereikt datde hellingshoek van de drukstaven voldoet aan de voorwaarde1,0 < tan < 2,5 (EC2; art. J.3(1)).In knoop 2 is nu een extra horizontale drukstaaf aanwezig.Opmerking:In figuur 5 zijn ook de afmetingen van knopen 4 en 5 opgeno-men. Het controleren van spanningen op de aansluitingen metstaven vindt meestal alleen plaats voor die knopen waar gecon-1 Aanzicht en dwarsdoorsnede van kolommet console (links) en belastingen (rechts)(dimensies [mm])AfkortingenEC2 = NEN-EN 1992-1-1NB = Nationale Bijlage400400400200100100325325hc=300150150 50125ac = 200FEdav = 1251001200 kN500 kN1b1aStaafwerkmodellen (2)6200992druk-trekknoop met ??n verankerde trekstaaf:druk-trekknoop met meer dan ??n verankerde trekstaaf:Opmerking (EC2; art. 6.5.3(4b) & NB):k2= 0,85 mits haarspelden ten behoeve van omsluiting in derichting loodrecht op het vlak van het staafwerk aanwezig zijn.Krachten en knoopafmetingenKnoop 1Omdat ten opzichte van de berekening van de "korte console"de verticale drukkracht (1200 kN) uit de kolom ongewijzigd isgebleven en het type knoop niet is veranderd, blijft de vereistebreedte van de drukstaaf:b =1200 103________400 17,0= 176 mmKnoop 2De verticale drukkracht van 1700 kN grijpt aan op een druk-knoop (1Rd,max). De minimaal vereiste breedte van deze druk-staaf is:b =1700 103________400 20,1= 211 mmcentreerde uitwendige belastingen aangrijpen of oplegreactiesoptreden, alsmede op de overgangen met de niet in het staaf-werkmodel beschouwde delen van de constructie. Omdat hiersprake is van een staafwerkmodel met een relatief beperktaantal staven en knopen, worden hier wel alle knopen en stavengeanalyseerd; ten opzichte van het model voor de korte consolezijn alleen knopen 4 en 5 toegevoegd.MateriaaleigenschappenBetonsterkteklasse C35/45.Betonstaal B500.Uitwerking sterkteRekenwaarde van de betondruksterkte (EC2; art. 3.1.6(1) vgl.(3.15)):fctd =cc fck_____c=1 35_____1,5= 23,2 N/mm2Betonstaal (EC2; art. 3.2.7(2)en tabel 2.1N & NB):fyd =fyk___s=500____1,15= 435 N/mm2Rekenwaarde van de druksterkte van typen knopen (EC2; art.6.5.4(4) & NB):gedrukte knoop:FdFwdRd,maxHEdacFEdFEdz0aHdhcq321Rd,max = k1'fcd = k1(1?fck____250)fcd = 1,0 (1 ?35____250)23,3 = 20,1 N/mm22Rd,max = k2'fcd = k2 (1 ?fck____250)fcd = 0,85 (1 ?35____250) 23,3 = 17,0 N/mm23Rd,max = k3'fcd = k3 (1 ?fck____250)fcd = 0,75 (1 ?35____250) 23,3 = 15,0 N/mm2Staafwerkmodellen (2) 62009 932 De drukdiagonaal kan verder doorlopen dan totde onderkant van de console3 Staafwerkmodel van een console (EC2; fig. J.5)4 Basis voor staafwerkmodel (dimensies [mm])In figuur 7 is het staafwerkmodel schematisch weergegeven. Bijhet opstellen is verondersteld dat de hartlijn van de drukstaaftussen knopen 2 en 4, evenals de hartlijnen van de trekstaventussen knopen 3 en 5 en 1 en 5, zich 40 mm uit de buitenzijdevan het beton bevinden. De hoogte van het vakwerk is dan300 - 40 - 40 = 220 mm.Verondersteld wordt dat knopen 4 en 5 zich in horizontalerichting 50 mm uit de zijkant van de kolom bevinden. Knoop 2bevindt zich 47 mm rechts van het hart van de kolom. Datkomt overeen met 153 mm uit de rechter zijkant van de kolom.Figuur 7 geeft ook de in de staven optredende krachten. Erwordt op gewezen dat de spanningen in de knopen moetenworden gecontroleerd gebruikmakend van de doorsnedeafme-tingen en ori?ntatie van de op de knopen aansluitende staven.Pas als de afmetingen van de knopen bekend zijn, kunnen dezespanningen worden berekend.Gecontroleerd wordt of het gekozen staafwerk kan voldoen.Knoop 3Het kunnen opnemen van de verticale kracht is eerder gecon-troleerd. De kracht in de horizontale trekstaaf is 0,68F. Knoop3 heeft een hoogte van 80 mm. De optredende spanning: =0,68 500 103____________80 400= 10,6 N/mm2 2Rd,max = 17,0 N/mm2De kracht in de schuine drukstaaf is -1,21F. In knoop 3 is debreedte van deze diagonaal:_________1502+ 802= 170 mmDe optredende spanning is: =1,21 500 103____________170 400= 8,9 N/mm2 2Rd,max = 17,0 N/mm2Opmerking:In figuur 7 is te zien dat de twee schuine drukdiagonalen in deconsole over een kleine zone elkaar overlappen. Dit kanworden voorkomen door de breedte van de drukstaaf tussenknopen 3 en 4 ter plaatse van knoop 3 bij de spanningscontrolete reduceren. Dit heeft geen gevolgen voor de draagkracht; deoptredende spanning in de drukstaaf is maar ongeveer de helftvan de toelaatbare spanning.Knoop 4Verondersteld wordt dat deze knoop een breedte heeft van100 mm. De hoogte is gelijk aan die van knoop 3 (80 mm). Dekracht in de schuine drukdiagonaal (-1,21F) wordt dan opge-nomen op een knoopvlak met een lengte grootHet zwaartepunt van deze staaf moet zich 47 mm uit hetzwaartepunt van de kolom bevinden. De staaf wordt weergesplitst in twee delen; een deel draagt de 1200 kN uit hetbovenste deel van de kolom, het andere deel de 500 kN uit deconsole. De breedtes van beide staafdelen volgen uit hunaandelen in de totale kracht (fig. 6):b2 =1200 103________1700 103 211 = 149 mmb1 =500 103________1700 103 211 = 62 mmDe minimumhoogte van het knooppunt volgt weer uit de voor-waarde dat in de knoop de toelaatbare spanning 1Rd,maxnietmag worden overschreden. Voor het verticale scheidingsvlaktussen beide knoopdelen (toelaatbare spanning 1Rd,max) geldtook nu:FH,max = 400h21Rd,maxKnoop 3De verticale kracht van 500 kN grijpt aan op een trek-druk-knoop (2Rd,max). De oplegdruk is: =FEd________150 200=500 103________150 200= 16,7 N/mm2 2Rd,max = 17,0 N/mm2De breedte van knoop 3 is gelijk aan de breedte van het opleg-vlak, 150 mm. Het zwaartepunt van de wapening is weer40 mm onder het bovenvlak van de console geplaatst. Dehoogte van knopen 1 en 3 is dan 80 mm.1200 kN1700 kN47400100500 kN1 34524Staafwerkmodellen (2)62009945 Staafwerkmodel voor kolom met lange console6 Detail van knoop 2 (dimensies [mm])7 Schematische weergave van het staafwerkmodel en destaafkrachten (dimensies [mm])Opmerking:De horizontale trekstaaf tussen knopen 3 en 5 wordt nietverankerd in knoop 5; het verankeren vindt pas plaats in knoop1. Daarom behoeft deze kracht (0,68F) niet te wordenbeschouwd bij het controleren van de hoogte van knoop 5.Knoop 1Bij het berekenen van de horizontale breedte van de knoop(211 mm) is, met betrekking tot het kunnen opnemen van deverticale kracht uit de kolom, al rekening gehouden met hetvoldoen aan de toelaatbare spanning voor een druk-trekknoop.De totale horizontale trekkracht (0,68F + 0,92F = 1,60F) moetworden verankerd:De minimum hoogte volgt uit: =1,60 500 103____________h1 400= 2Rd,max = 17,0 N/mm2Het resultaat is dat knoop 1 minimaal 117 mm hoog moetworden gekozen om nog te voldoen aan de drukspanningseis.Uitgegaan wordt van een hoogte van 120 mm.De kracht in de schuine drukdiagonaal is:_____________12002+ (1,6F)2=___________12002+ 8002= 1442 kNBij een hoogte van de knoop van 120 mm en een breedte van176 mm is de breedte van het oplegvlak van de schuine drukdi-agonaal:__________1202+ 1762= 213 mmDe spanning is: =1442 103________213 400= 16,9 N/mm2 2Rd,max = 17,0 N/mm2Als aan deze spanningseis niet zou zijn voldaan, is het een optiede hoogte van knoop 1 groter te kiezen waardoor de dwars-doorsnede van de schuine drukstaaf toeneemt.Knoop 2In knoop 2 komen twee drukdiagonalen en een horizontaledrukstaaf samen. De breedte van de knoop (211 mm) iszodanig gekozen, dat wordt voldaan aan de voor deze druk-knoop toelaatbare spanning 1Rd,max.De hoogte van de knoop moet zodanig zijn, dat de resulterendehorizontale krachten kunnen worden opgenomen. Deze krach-ten zijn gelijk aan 1,60F, uitgeoefend door de schuine drukstaaflinks aangrijpend en de combinatie van de schuine en de hori-zontale drukstaaf rechts van de knoop aanwezig._________1002+ 802= 128 mmDe spanning op dit vlak is: =1,21 500 103____________128 400= 11,8 N/mm2 2Rd,max = 17,0 N/mm2Op het vlak waar de verticale trekstaaf (kracht F) aangrijpt is: =500 103________100 400= 12,5 N/mm2 2Rd,max = 17,0 N/mm2De kracht in de horizontale drukstaaf (-0,68F) tussen knopen 2en 4 is gelijk aan de kracht in de horizontale trekstaaf dieaangrijpt in knoop 3 en dus zal ook de door deze drukstaafveroorzaakte spanning voldoen.Knoop 5Deze knoop, met dezelfde breedte en hoogte als knoop 4,voldoet met betrekking tot de spanning in de aansluiting metde verticale trekstaaf. De kracht in de schuine drukdiagonaal is-1,36F: =1,36 500 103____________128 400= 13,3 N/mm2 3Rd,max = 15,0 N/mm2De te verankeren kracht uit de horizontale trekstaaf is 1,60F -0,68F = 0,92F: =0,92 500 103____________80 400= 14,4 N/mm2 3Rd,max = 15,0 N/mm2+++??????134525Staafwerkmodellen (2) 62009 95tussen het lastvlak en de kolom worden aangebracht.De beide schuine drukstaven aanwezig in de console zullen, netals de enkele drukstaaf in de korte console, door een zekeremate van "uitwaaieren" van krachten, leiden tot het ontstaanvan trekkrachten loodrecht op de lengteas van de staaf. Het isaan te bevelen, net als bij de korte console (EC2; art. J.3(2)),aanvullend op de hoofdtrekwapening gesloten horizontalebeugels aan te brengen. Voor de korte console moet de opper-vlakte van de dwarsdoorsnede van deze wapening minimaal25% van de hoofdwapening bedragen (NB).Dit ook toepassen bij de lange console geeft in dit voorbeeldmet As,main= 1839 mm2dan As,lnk> 460 mm2(bijvoorbeeld 5horizontale dubbelsnedige beugels ?8 = 503 mm2).Dan moet gelden:h2 1,60F_________4001Rd,max=1,60 500 103____________400 20,1= 100 mmAan deze eis zal zeker worden voldaan. Immers, alleen al dehorizontale drukstaaf tussen knopen 2 en 4 heeft een hoogtevan 80 mm. Tevens moet de drukstaaf tussen knopen 2 en 5(kracht -1,36F) nog voldoende dwarsdoorsnede hebben. Degeprojecteerde horizontale breedte van het aangrijpingsvlakvan deze drukstaaf is b1= 62 mm (fig. 6). De geprojecteerdehoogte h3(fig. 6) moet voldoen aan de volgende eis om dedrukspanning in het aansluitvlak niet te groot te laten zijn: =1,36 500 103___________________622+ h32 400 1Rd,max = 20,1 N/mm2Aan de eis wordt voldaan als h3> 58 mm. De totale hoogte vanknoop 2 is dan h2= 80 + h3> 138 mm, wat voldoende is omaan de eis met betrekking tot de horizontale spanning (totaleknoophoogte > 100 mm) te voldoen.WapeningHorizontale trekstaven:Bij een staalspanning fyd= 435 N/mm2is benodigd bovenin deconsole:As =1,6 500 103___________435= 1839 mm2Gekozen worden vijf staven ?16 mm, dubbelsnedig aanwezig(As= 2010 mm2).Verticale trekstaaf:De kracht in deze trekstaaf tussen knopen 4 en 5 is gelijk aan F.Voor fyd= 435 N/mm2is As= 1149 mm2. Maak bijvoorbeeld, inverband met de beperkte afstand tussen de zijkant van dekolom en het lastvlak) gebruik van vier viersnedige beugels?10 mm (As= 1257 mm2).Opmerking:In de korte console zorgt een drukdiagonaal met een relatiefgrote hellingshoek voor een directe belastingafdracht tussenlastvlak en kolom. Vanwege trekkrachten (splijtwerking)loodrecht op de lengteas van deze diagonaal moet horizon-tale wapening in de console worden aangebracht. Vanwegede relatief grote hellingshoek van de drukdiagonaal is hori-zontale wapening hier effectiever dan verticale wapening. Inde lange console wordt de hellingshoek van de drukdiagonaalte klein als wordt gekozen voor directe belastingsafdracht.Door het toevoegen van een verticale trekstaaf tussen hetlastvlak en de kolom, wordt de belasting indirect naar dekolom afgedragen. Hiertoe moet verticale beugelwapeningb2 = 149211b1 = 62h3h21Rd,max1200 kN1700 kN+ 1,60 F- 1,36 F - 1,21 F+ F- 0,68 F147 203 150 220+ 0,68 FF = 500 kN1 345267