IMATER~EN I ISPREIDING IN BETONSTERKTENADER BEKEKENdr.ir.L.Taerwe, Laboratorium Magnel voor Gewapend Beton, Rijksuniversiteit GentIn deze bijdrage wordt de aard van de spreiding in de betonsterkte onderzocht aande hand van informatie afkomstig van betonmortelcentrales enbetonwarenfabrieken. Op basis hiervan worden modellen voorgesteld waarmee devastgestelde verschijnselen kunnen worden beschreven. Dit is van belang voorverantwoorde keuringsprocedures en beoordeling van de veiligheid vanbetonconstructies. Een volgende bijdrage zal meer gedetailleerd de consequentiesvoor keuringsprocedures behandelen. De inhoud van beide artikelen is grotendeelsgebaseerd op hetdoctoraatsproefschrift van de auteur [1]. Als promotor fungeerdepro(ir.H.Lambotte.Grondig inzicht in de aard en de grootte van de sprei-ding in de betonsterkte is niet enkel vanuit funda-menteel wetenschappelijk oogpunt van belang dochis evenzeer van praktisch nut:- aan de betonproducent worden de nodige gegevens ver-schaft om zijnproduktieproces zo goed mogelijk te beheer-sen en zonodig bij te sturen;- de ontwerperkrijgt een bredere basiskennis ter beschikkingom proefresultaten op een verantwoorde wijze te beoorde~len;- commissies belast met het opstellen van voorschriften enkeuringsprocedures kunnen zich een beter idee vormenomtrent het werkelijk kwaliteitsaanbod.Een dergelijke uitwisseling en terugkoppelingvan informatietussen alle partijen betrokken bij het constructieproces, kanhet globaal kwaliteitsniveau enkel gunstig be1nvloeden [2].Oorzaken van spreidingSpreiding van de betonsterkte wordt veroorzaakt door varia-ties in de eigenschappen van de grondstoffen, door het pro-duktieproces zelf, en door allerlei parameters die de verwer-king en nabehandeling van beton be?nvloeden. Wanneer weals kenmerkende eigenschap enkel de druksterkte aanhou-den, dan introduceert de numerieke bepalingvan deze eigen-schap op zijn beurt een aantal spreidingsfactoren ten gevolgevan monsterneming en beproeving. Welke veranderlijken devoornaamste rol spelen, volgt onmiddellijk uit de algemeneuitdrukking voor de betondruksterkte nl.!c ~ kj . !cern (~- k2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (1)waarbij:!c ~ betondruksterkte bij een bepaalde ouderdom;!cern ~druksterkte van genormaliseerde cementproefstuk-ken bij dezelfde ouderdom;W!C~water-cementfactor(wcQ;kj, kz ~co?ffi.ci?nten die o.a. afhangen van de proefstukaf-metingen, de toeslagmaterialen en de bewaarom-standigheden.Uit deze vergelijking blijkt dat de fluctuaties in de cement-sterkte en variaties in de water-cementfactor, grotendeels het48toevallige karakter van de betondruksterkte bepalen. De be-tonproducent zelfkan enkel op de tweede grootheid inspelenen dit onder meer door een zo nauwkeurig mogelijke dose-ring na te streven. Met name de variaties in het watergehaltevan het zand dienen zO nauwgezet mogelijk gevolgd te wor-den alsook beduidende wijzigingen in de korrelverdeling vande geleverde toeslagmaterialen. Uiteenvariantie-analyse toe-gepast op formule (1), volgt.dat deze laatste factoren meestalverantwoordelijk zijn voor ongeveer de helft van de totale?spreiding. Produceren zonder spreiding bestaat nu eenmaalniet en er moet dus een minimum waarde voor de standaard-afwijking worden aanvaard. Het blijkt dat in vele gevallen debetonproducenten erin slagen dit minimum vrij dicht te be-naderen, doch anderzijds kan door veronachtzaming van degenoemde, vrij elementaire maatregelen, de numeriekewaarde van de spreiding flink oplopen.Enkele aspectenvan spreiding komen eveneens aanbod in [3].Numerieke waarden van de spreidingAlgemeenZelfs voorgroteprojectenkanmeneenvrij lage spreiding rea-liserendoor een oordeelkundig opgevatte kwaliteitsbeheer-sing. Zo slaagde men erin om bij de constructie van het off-shore platform Statfjord A, met een totaal betonvolume van87 000 m3, een standaardafwijking te realiseren van slechts3,2 N/mm2op een geheel van 493 drukproeven [4] (gemid-delde sterkte 54,9 N/mm2). Voor Ekofisk I bedroeg dezewaarde 4,9 N/mm2?Eenwaardevan 5 N/mm2wordtalgemeen als eenrepresenta-tief gemiddelde beschouwd voor de standaardafwijking vande druksterkte van beton.Welke spreidingsinterval kanmen nuverwachtenvoorde nu-merieke waarde van de standaardafwijking van verschillendeproduktie-eenheden met betrekking tot bijvoorbeeld ??nsterkteklasse?Belgischegegevens voorstartklaar betonInBelgi?wordt hetcertificatiemerk'Benor' afgeleverd aan decentrales voor stortklaar beton die voldoen aan een bijzonderreglement, opgesteld door het Belgisch Instituut voor Nor~malisatie. De produktiekeuring binnen het certificatiesys~teem staatonder toezichtvanSECO,het'controlebureauvoorde veiligheidvanhetbouwwezen'.Voor 6verschillendeBelgi-Cement 1987 nr. 3(3)Ue ~ Uk - x) Is. . . . . . . . . . . . . . . .DuitsegegevensIn de Duitse literatuur zijn enkele analoge overzichten be~schikbaar [6,7]. Een voorbeeld voor stortklaar beton is gege-venin figuur 5. De gemiddelde overmaatis eveneens ongeveer12 N/mm2?Belgischegegevens omtrent de cementsterkteAangezien de variatie van de cementsterkte in belangrijkemate bijdraagt totde sterktevariatievan beton, is hetnuttigditaspect nader te onderzoeken. In tabel 1 is een overzicht gege-vel}. van de kenmerken van de jaarprodukties van Belgischecementbedrijven. Bet betreft 10 produkties van portlandce-ment en hoogovencementvan de (Belgische) klasse 40 (tussenweergegeven samen met een aangepaste normale verdeling.De gemiddelde waarde van Ue bedraagt -3,215 wat overeen-stemt met een zeer lage waarde voor enamelijk 0,065%. Wehebben eveneens de resultaten van Metcalf [5] verwerkt enhebben vastgesteld dat de variatie van ueeveneens zeer goeddoor een normale verdelingwordtvoorgesteld. Destandaard-afwijking bedraagtin beide gevallen ongeveer 1IJ2. Een der-gelijke functie noemen we 'proceskromme' omdat ze het re-sultaatvan eenproduktieproces beschrijft. Dergelijkeproces-(2) krommen kunnen benut worden als wiskundig model voorde sterktevariatie van beton van een bepaalde sterkteklasse enzijn bijzonder handig om het 'filtereffect'van afnamekeuringop de globale sterkteverdeling te beschrijven [1, 3]. Aan dehand van gegevens zoals vermeld in figuur 2 kan men ook eentweedimensionale distributie voor xen s schatten. Zoalsvoorgesteld door Rackwitz [6], kan hierbij beroep gedaanworden op zogenaamde 'natuurlijk toegevoegde' prior kans-verdelingen die gebruikelijk zijn in de Bayesiaanse statistiek.Uit figuur 1kan ook afgeleid worden dat in de praktijk blijk-baar weinig rekening gehouden wordt met de werkelijkewaarde van de standaardafwijking sbij de vastlegging van deovermaat IJ. Dit blijktonder meer uithet feitdat de produktiesmetcle laagstewaardevan v nl. 5,4endie metde hoogstewaar-de nl. 16,8, allebei betrekking hebben op dezelfde centrale.Infiguur 1 zijn 99 puntenweergegeven met als abscis deover-maatsche betoncentrales hebben we de door SECO beschikbaargestelde statistische overzichten van 7 opeenvolgende semes~ters nader ontleed. Enkel voor die types betonwaarvanperse-mester ten minste 20 resultaten ter beschikkingwaren zijn degemiddelde waarde xen de standaardafwijking sberekend.De druksterkte wordt bepaald op kubussen met zijden van158 mmoen als ordinaat de standaardafwijking waarbij 1k de vereistekarakteristieke druksterkte voorstelt. De gemiddelde over-maat bedraagtongeveer 12 N/mm2? Hetvoordeel van de keu-ze van de abscis in figuur 1 is datde resultatenvanverschillen-de sterkteklassen in ??n diagram kunnen worden samenge-bracht. In figuur 2 zijn enkel de 55 gevallen waarvoor1k ~27,5 N/mm2 vereist is, voorgesteld met de gemiddelde waar~de xals abscis en de standaardafwijking sals ordinaat. De frac-tie resultaten lager dan de vereiste karakteristieke druksterkte1kin de aangeboden populatie noemen we de 'fractie slechte'ofhet 'ondeugdelijkheidspercentage' en noteren we als e. Inprincipe kan e zowel groter als kleiner zijn dan 5% (fig. 3). In-dien de producent e ~ 5% nastreeft zal hij als gemiddeldewaarde !-t ~1k + 1,645srealiseren, of!-t ~1k + 2,3265 indiene ~ 1%. De twee rechten v ~ 1,645s en v ~ 2,32s in figuur 1laten toe de resultaten ten opzichte van deze twee gevallente situeren. De 3 punten gelegen boven de eerstgenoemderechte hebben betrekking op produkties met e > 5% engaven dan ook aanleiding tot een negatieve beoordeling bijde keuring ten behoeve Van certificering. De punten gelegentussen beide rechten hebben betrekking op produkties met1% < e < 5%. Men ziet dathetgrootstedeel van de represen~tatieve punten onder de tweede rechte ligt. De gemiddeldewaarde van de standaardafwijking is nagenoeg gelijk aan4 NI mm2, ookvoor de resultaten voorgesteld in figuur 2.Voordeze laatste 55 resultaten is in figuur 4 een histogramvan de waarden;;5~ 7.?lfCk,cUb = 27,51v= ~61,5s.15?f. fraclie) v=2,326sI1"f.fractJe)v=x".lck25F-~--;;-----::---:--;,:--o--:-;---:::-"--:'::-3-7:"--':-;-5---::16;--"--"':';:'overmaat (vllN/mm2)~':-,~C-;;35'-"--=36""--=37~--:3:--8--:39'-"---+:'O-~"~~':--2--:'''"""3~--::"""----;';-'5gem?ddetde waarde van de druksterkte {N/mm2J1 Kenmerken van de produktie vanBelgische betoncentrales (99semesters)2 Kenmerken van de produktie vanbeton metfck ~ 27,5 N/mm2(kubussen met zijde 158 mm; 55semesters)3 ~et ondeugdelijkheidspercentage4 Histogram van Ua ~ (fck - XJIsenaangepaste normale verdeling,voor de resultaten opgenomen infiguur 2i 0,35 fuSl 0,300,250,200.150,100,05',5 2,5 3,5 5 lusIu.= Ifck_xl/sCement 1987 nr. 3 49IMATERlALEN6Variatie van de druksterkte van cement over eenperiode van 1jaarReeks 6n= 106i = 53,4 N/mm25 = 4) N/mm2120 140aantalwaarhemingen1008080606040402020feemfeem~50j45~ 40g:? so2!~ 4511g 40? C 55o C 45? C 35t neg. beoordelings "4,67Ss " 1.86t5 Verband tussen overmaat en standaardafwijking voorstortklaar beton in de BRD (Type BH volgens DIN 1045;proeven uitgevoerd aan de TU te M?nchen)............. (4)waarin x~ (Lx;)!n.Hoe is deze formule opgebouwd? De teller bevat een som vanprodukten waarvan beide factoren betrekking hebben opwaarnemingen die keenheden van elkaarverwijderd zijn. In-dien de reeks zuiver toevallig is, zullen Xi en Xi + kbeide eensbovenofbeneden xgelegenzijn,wateenpositievebijdrage totde somoplevert.Eenvolgende keerzal deene groterzijndan xen de ander kleiner, ofomgekeerd, wat een negatieve bijdragetotde som oplevert. Op lange termijn echterzullende positie-ve en negatieve bijdragen elkaar compenseren en de tellervanformule (4)zal dan ooknagenoeg nul zijn. Inhet gevalvan eensignificante reekscorrelatie zal evenwel eenoverwichtbestaanaan positieve bijdragenvoor een reeks met 'trage fluctuaties'of een overwicht aan negatie"e termen voor een reeks met'snelle fluctuaties' en zal rk anders zijn dan nul. Evenwel zalvoor grote waarden van k, rk.steeds nagenoeg gelijk zijn aannul; de afhankelijkheid tussenver uitelkaar liggendewaardenis imtners nagenoeg verwaarloosbaar. De noemer is een soortnormeringsfactor en is gelijk aan de bekende steekproefstan~daardafwijking (de factor 1/n in plaats van de gebruikelijke1/(n - 1)ter zijde gelaten). We zienookdatvoor k ~ odetellergelijk is aande noemer en bijgevolg ro ~ 1. De opeenvolgendewaarden rk geven een beeld van de inwendige structuur vaneen reeks gecorreleerde waarnetningen. De grafische voor-stelling van rk als functie van knoemt tnen een correlogram.omvangrijke reeksen druksterktecijfers waarvan de voor-naamste kenmerken vermeld zijn in tabel 2. Fundamenteelvoor het uitgevoerd onderzoek is dat de waarden beschikbaarzijn in chronologischevolgorde. Devolledige reeksenwordenopgesplitst in deelreeksen met een maximum lengte van 200resultaten. Deze opsplitsing werd niet alleen nuttiggeoor-deeld om rekentechnische redenen doch vooral omdat eendergelijke lengte representatiefgeacht wordt om op een be-paald ogenblik de kenmerkenvande voorafgaande produktiete beoordelen.2,12,22,22,22,44,34,11,73,32,4standaardafwijking(N/mm2)51,554,550,049,757,453,448,051,053,655,5gem.waarde(N/mm2)131103100217126106100146104104aantalresultaten12345678910reeksReekscorrelatieAnalyse van de correlatiestructuur Indien tussen opeenvolgende termen van een waargenomenSituering van het onderzoek reeks, een zekere vorm van afhankelijkheid bestaat, kan dezeTot nu toe hebben we betonprodukties op grote schaal ont- .hetbestwordengekenmerktaandehandvandereekscorrela-leed en de standaardafwijking van de globale kansverdeling ties. De reekscotrelatie van orde kwordtgegeven door de uit-over een periode van bijvoorbeeld een halfjaar onderzocht. In drukkinghet navolgende bestedenwe meer aandacht aan fluctuaties opkleinere schaal. Meer bepaald bestuderen we de afhankelijk-heid tussen de sterkte vanproefstukken opeenvolgend geno-men uit een continue produktie. Eigenlijk zijn we ge?nteres-seerd in de evolutie in de tijd van .de druksterkteresultatenwaarbij het toevallige of stochastische karakter van de druk-sterkte kenmerkend is voor het produktieproces van beton.Deze benadering vergt een model dat complexer is dan devoorstelling als een gewone, toevallige veranderlijke. In hetnavolgende zullen we de druksterkte dan ook behandelen alseenstochastischproces, zonderevenwelinte gaanop de enigs-zins gevorderde theoretische grondslag.(Duidelijkheidshalve vermelden we dat hier wel degelijk dedruksterkte op eenzelfde tijdstip navervaardiging beschouwdwordt en niet de toename nagegaan wordtvan de druksterkteop verschillende ouderdommen.)Als empirischmateriaalhebbenwegebruikgemaaktvan 5vrijTabel 1Kemnerken van 10 jaarprodukties van Belgischecementbedrijvende Nederlandse klasse A en B). Per week hebben minstenstwee monsternemingen plaats waarmee proefstukken wor-den vervaardigd voor het bepalen van de druksterkte. Hetblijkt dat de gemiddelde waarde van de standaardafwijkingongeveer 2,7 N/mm2bedraagt. Voor de reeksen 6 en 8 metrespectievelijk de hoogste en laagste standaardafwijking zijnin figuur 6 de individuele waarden grafisch voorgesteld inchronologische volgorde. Men merkt dat de tweede reeksovereenstemt met een meer stabiele produktie. Globaal ge-zien levert de variatie in cementsterkte dus een belangrijkebijdrage tot de sterktevariatie van beton.50 Cetnent 1987 nr. 3Tabel 2 aantal gem. standaardKenmerken van 5 onderzochte reeksen reeks proefstukken herkomst resul- waarde afwijlcingdruksterktecijfers taten (N/mrn2) (N/mrn2)A kubussen, 200 mrn zijde grote bouwplaats 1787 46,5 6,56B cil?nders h ~ 300,0 ~ 150 met 945 36,8 5,30C cilinders h ~ 300, 0 ~ 150 eigen centrale 534 42,1 6,62D kubussen, 158 mm zijde prefabricage- 1468 59,9 3,68E kubussen, 158 mm zijde bedrijven 1158 69,0 4,05Tabel 3Kenmerken van de parameters In, senT van het model op basis van herhaaldepulsprocessenaantal m(N/mm2) s(N/mm2) Treeks segmenten gem. stand. gem. stand. gem. stand.waarde afw. waarde afw. waarde afw.A 83 46,6 5,16 4,75 1,43 21,5 15,9B 51 37,0 3,97 3,59 1,22 18,5 12,9C 26 41,1 5,79 3,87 1,55 20,5 13,0D 76 60,2 2,97 2,51 0,86 19,3 15,1E 59 72,3 4,81 3,54 1,13 19,6 14,2In figuur 7 is het correlogram weergegeven van deelreeks D5bestaande uit 200 opeenvolgende waarnemingenvanreeks D.De waarden'j tot r4 zijn significantverschillend van nul. Ookbij de andere deelreeksen stellen we een dergelijke correlatie-structuur vast, hetgeen aantoont dat opeenvolgende druk-sterktecijfers in een continue produktie niet onafhankelijkzijn. Globaal gezien vinden we dat r1 ligt tussen 0,2 en 0,6 en'2 tussen 0,1 en 0,4.waarbij Ei een reeks is bestaande uitonafhankelijkeelementenmet gemiddelde waarde 0 en variantie 0/. Men zegt dat dewaarden Ei gegenereerd worden dooreenwitte ruis proces al-hoewel deze term meer van toepassing is op continue proces-sen. Uit formule (5) blijkt dat een waarneming Xi deels opge-bouwd is uit een term die het verband met de voorgaandewaarneming Xi~j weerspiegelt en deels uiteen zuiver toevalli-ge component Ei' Voor een AR(l)-model isTijdreeksenHoe kunnenwe nu aan de hand van corre1ogrammen een ge-pastmodelopbouwen om metditnieuwegegevenrekening tehouden? Een mogelijkheid is beroep te doen op zogenaamdetijdreeksen.Het eenvoudigste model is hetAR(1)-proces ofMarkov-pro-ces dat beschreven wordt met de vergelijkingXi - ~ ~ P (Xi_1 - ~) + Ei ?????????????????? (5)rk ~ pk (p < 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . (6)zodat het corre1ogram vrij vlug uitsterft. De algemene vormvan een autoregressiefproces van orde p, ofafgekort AR(P)-proces, wordt gegeven door de vergelijkingXi - ~ ~