I I_B_ERE~_KE~._NI_N_G_~~~__SPANNINGEN INSAMENGESTELDE LIGGERSNAAR EEN EENVOUDIG REKENMODEL VOOR HETTIJDSAFHANKELIJK SPANNINGSVERLOOP INSAMENGESTELDE LIGGERSir.F.H.M.Scholten?dr.ir.C.van der Veen en prof.dr.irJ.C.Walraven, TU Delft, faculteit der Civiele Techniek, sectieBetonconstructiesHet vervormingsgedrag van samengestelde liggers, zoals vaak toegepast voorbrugdekken, is niet eenvoudig te voorspellen. In Cement 1989 nr. lis een numeriekeoplossingsmethodiek beschreven voor berekening van tijdsafhankelijke effecten.Naar aanleiding daarvan wordt hier een benaderingsmethode gepresenteerdwaarmee handmatig op snelle en eenvoudige wijze het tijdsafhankelijkespanningsverloop over een samengestelde liggerdoorsnede kan worden berekend.Deze benaderingsmethode wordt toegelicht aan de hand van de resultaten van eentheoretisch onderzoek.Ten gevolge van het in fasen storten van een samenge-stelde ligger reageren de doorsneden van ligger enbrugdek verschillend op de diverse belastingstoe-standen (fig. 1).De betonnen liggers worden eerst op fabrieks-matige wijze geproduceerd, veelal uit hoogwaardig beton(fig. Ia). Veelal wordt na 1 dag de voorspanning aangebracht(fig. 1b). De liggers worden vanafdat moment belast door heteigengewichtende voorspanning. Vervolgens worden de lig-gers in hetwerkvoorzienvan een brugdekofdruklaag (fig.lc).De belastingdoor de druklaag komtdan nogvolledigvoor re-kening van de ligger. Na het verharden van de druklaag wor-den de overige belastingen (rustende en veranderlijke belas-ting) door de j;iezamenlijke doorsnede van ligger en druklaagopgenomen (fig. IJ en Ie).Door verschil in krimp- en kruipgedrag van ligger en druk-laag ten gevolge van verschillen in ouderdom, sterkteklasse,aanvangsspanningen enz. en door relaxatie van het voorspan-staal treedt er een complex tijdsafhankelijk vervormingspro-ces op, waardoor nieuwe spanningen in de samengesteldedoorsnede worden ge?ntroduceerd. Er treedt als het ware eenherverdeling van de oorspronkelijke spanningen op (fig. 2),waardoor de voor t = 1:0 geschetste verschillen in het span-ningsverloop over de beide doorsneden worden gereduceerd.De constructie zal streven naar een spanningsverdeling beho-rend bij een monoliet gestort geheel..,.ijx\6;);eX"'Y0R\Y)};2?\\9J/%?( t.to J- ( t.to ,Eb (Ia 1a(t)e'(t)Met behulp van de factor3 Kruipkr()mmen v()lgens dem~th()deDischingerDe methode veronderstelt verder een constante elasti-citeitsmodulusin de tijd. De methode Dischingeris eeninter-val-methode, waarmee door middel van toenemende tijd-stappen de tijdsafhankelijke spanningen en vervormingen inde tijd kunnen worden gevolgd. In geval van in de tijd toene-mende belastingwordtde kruipvervorming onderschat. Om-dat bij deze methode de kruip als volledig irreversibel wordtbeschouwd, wordt in geval van ontlasten van een constructiede kruipvervorming overschat.Methode TrostBij de methode Trost wordt de elasticiteitsmodulus constantverondersteld. De belasting wordt (volgens een in de praktijkveel voorkomend belastingsgeval) gesplitst in een grote aan-vangsspanning a(to) == ao(bijvoorbeeld de belasting door ei-gen gewicht) en later aangebrachte relatiefkleine spannings-veranderingen Aa(rJ Dit geeft voor de totale vervorming optijdstip tkan op ieder moment door middel van ??n tijdstap de totalevervormingwordenberekend. De kruipvervormingwordt alsvolledig reversibel beschouwd.Methode DischingerBij de methode Dischinger wordt uitgegaan van ??n kruip-kromme (en dus ??n kruipfunctie) voor de verschillende be-lastingstijdstippen Ti. Deinvloedvande ouderdomvanhetbe-ton bij belasten op de grootte van de kruipvervorming wordtmeegenomen door uit te gaan van een restkruipkromme(fig.3}.cp(t,r) = cp(t,fa) - cp(r,fa)~{t."teniji(t.tolEffectieve Modulus-methodeBij deEM-methode wordt de invloed van de ouderdom vanhet beton bij belasten verwaarloosd en wordt het verloop vande elasticiteitsmodulus constantverondersteld. Voor de totalevervorming geldt dan:1 cp(t,to). ,e'(t) = [E;'(28) + E;'(28)] at + er(t)Ja(t) = at = L Aa( r;)i= 1Met behulp van de effectieve elasticiteitsmodulusE _ E;'(28)elf - 1 + cp(t,to)Bestaande benaderingsmethoden zijn [2a,3,4,5]:- de Effectieve Modulus-methode (EM);- de methode Dischinger;- de Ouderdom-gecorrigeerde Effectieve Modulus-metho-de (AAEM), ofwel de methode Trost.waarin:EI, (r) ~ elasticiteitsmodulus beton op tijdstip rE;'(to) ~ elasticiteitsmodulus beton op referentie tijdstip to1cp(t, r)~ 1kruipfactor op tijdstip t, uitgaande van belastings-tijdstip t = ren bepaald ten opzichte van het refe-rentietijdstip to.Als referentietijdstipwordtmeestalto = 28 dagen ingevoerd.De bekende benaderingsmethoden passen ??n of meer ver-eenvoudigingen toe met betrekking tot:- het verloop van de elasticiteitsmodulus Eb' in de tijd; veelalconstant verondersteld;- het verloop van de kruip;- het verloop van de krimp;- het elastisch en tijdsafhankelijke gedrag van beton bij ont-lasten.Voor een praktische berekening is het hier beschreven tijdsaf- f---~~~_Io~~_~~~~~__~~~~~~_ _-;hankelijke gedrag van beton te gecompliceerd, daar voor elkbelastingstijdstip rmet een andere elasticiteitsmodulus Eb'( r)en een andere kruipfactor cp(t, r) zou moeten worden gere- L-~~~_~~~~~~_~~~~~~~_~~---IkendoOm de invloed van een varierende betonspanning enlofbe-lasting in een praktische berekening op te kunnen nemen, iseen aantal vereenvoudigingen met betrekking tot het tijdsaf-hankelijke gedrag van beton noodzakelijk.Benaderingsmethoden gaan meestal uit van twee basisveron~derstellingen:- de kruipvervormingenzijn rechtevenredigmetde spannin-gen;- het superpositie-beginsel is vantoepassing, dat wil zeggen:kruipvervormingen ten gevolge van spanningsvariaties opverschillende tijdstippen mogenbij elkaarworden opgeteld.Cement 1991 nr. 1 19IBEREKENINGl= 1j. E Aai [cp(t,to)~lp(Ti,tO)]x = ~1=~--",1~~~~-;---;-~~(at - ao) cp(t,to)kan opnieuw een effectieve elasticiteitsmodulus worden af-geleid voor de later aangebrachte spanningsveranderingen,waarmee de tijd weer in ??n stap kan worden overbrugd.De uiteindelijke uitdrukking is dan()ao + at -aoEt =E eff E*effwaarin:Ei, (28)1 + cp(t,To)krimp:kruip:Ei,(28)E*eff = ~-~~-1 + x.cp(t,to)met 0,5 ~ x ~ 1,04 Doorsnedekrachten ten gevolge van kritnp- (a) enkruipverschillen (b) tussen dek- en liggerdoorsnedeVoor de vervormingen ten gevolge van krimp geldt voor deverschillende doorsneden:1. Compatibiliteitsvoorwaardena. gelijke rek van ligger- en dekdoorsneden ter plaatse vanhun onderlinge aansluitvlak;b. gelijke krommingenvoorgemeenschappelijkedwarsdoor-sneden.2.Evenwich~voorwaardena. krachtenevenwicht voor de ten gevolge van de opgelegdevervormingen ontstane normaalkrachten (NI + Nz = 0);b. momentenevenwichtvoor de ten gevolgevande opgelegdevervormingen ontstane normaalkrachten en momenten(MI + Mz + Nz . a = 0).(2a)(2b)(lb)(1 + xi cpi)MiYiEili?N" M .. y, N,. :[~+~]+-~-'-(1+ : :). cp, E A- - E L E A- x, cp,1 1 1 I 1 1krommingrekMkromming: E i (1 + Xi cpi)1 ,Op deze wijze kunnen ook opgelegde rekken ten gevolge vanbijvoorbeeld hydratatiewarmte worden meegenomen.Voor de vervormingen ten gevolge van kruip geldt voor deverschillende doorsneden:waann:Nuit,i,M,.it,i = inwendige doorsnedegrootheden in doorsnedei ten gevolge van uitwendige belasting.Opmerking. de normaalkrachten Ni grijpen aan in de ZWaarte-punten van de doorsneden.Probleem bij een berekening volgensde methode Trost is dein te voerenwaardevoor Xi' Voor de meestevoorkomende be-lastingsgevallenen kruipparameters is x( = 0,8 een goede be-nadering. Voor de vervormingen ten gevolge van krimp isdoor Meyer [6], uitgaande van een gelijkvormig parabolischverloop voor de krimp- en kruipkrommen, een waarde vanxi = 0,5 afgeleid.waann:Ei = elasticiteitsmodulus doorsnede i;E( = onbelemmerde krimpverkortingvanaft = fa;fa = tijdstip aanbrengen druklaag;Ni,M, = doorsnedegrootheden ten gevolgevanherverdeling;opmerking. de normaalkrachten Ni grijpen aan in dezwaartepunten van de doorsneden;~ = opp.ervlakte doorsnede i;1; = traagheidsmoment doorsnede i;CPi' = nog te verwachten kruipvervorming in de liggervanaf moment van aanbrengen druklaag(cp( = Pt - CPto),(la)(1 +xiCPi) + Ei.~ (1 + ' :)+ MiYi. E,' A" x, cp, - E L1 1rekDe factor xis de zogenaamde 'verouderingsco?ffici?nt' (agingco?fficient). Trost berekende de waarde van x voor veel ver-schillende belastingsgevallen. Het bleek dat voor gevallenwaarbij sprake isvan spanningsvariatie doorkruip ofdoor op-gelegde vervorming (bijvoorbeeld zetting) en bij spannings~herverdeling, de waarde x = 0,8 een goede benadering is. DemethodeTrostis nietalleenvoldoende nauwkeurig, maar ookbetrekkelijk eenvoudig. ,RekenmodelHet rekenmodel gaat uit van de methode Trost, omdat dezemethode de optredende vervormingen goed benadert en detijd in??nstap kanwordenoverbrugd. Metbehulpvan de me-thodeTrost kunnenvoor de beide te beschouwendoorsnedenvan ligger en druklaag de vrije onbelemmerde vervormingenten gevolge van krimp en kruip worden bepaald. Tengevolgevan de onderlinge koppeling vanbeidedoorsneden en de ver~schillen in krimp- en kruipvervorming zullen de in figuur 4aangegeven krachten en momenten in de zwaartepunten vande heide doorsneden ontstaan, welke op hun beurt gepaardgaan met elastische en tijdsafhankelijke vervormingen. A1ge~meen gelden voor de gezamenlijke doorsnede waarmee deoptredende spanningen ten gevolge van krimp en kruip kun~nen worden bepaald:20 Cement 1991 nr. 1IBEREKENINGl= 1j. E Aai [cp(t,to)~lp(Ti,tO)]x = ~1=~--",1~~~~-;---;-~~(at - ao) cp(t,to)kan opnieuw een effectieve elasticiteitsmodulus worden af-geleid voor de later aangebrachte spanningsveranderingen,waarmee de tijd weer in ??n stap kan worden overbrugd.De uiteindelijke uitdrukking is dan()ao + at -aoEt =E eff E*effwaarin:Ei, (28)1 + cp(t,To)krimp:kruip:Ei,(28)E*eff = ~-~~-1 + x.cp(t,to)met 0,5 ~ x ~ 1,04 Doorsnedekrachten ten gevolge van kritnp- (a) enkruipverschillen (b) tussen dek- en liggerdoorsnedeVoor de vervormingen ten gevolge van krimp geldt voor deverschillende doorsneden:1. Compatibiliteitsvoorwaardena. gelijke rek van ligger- en dekdoorsneden ter plaatse vanhun onderlinge aansluitvlak;b. gelijke krommingenvoorgemeenschappelijkedwarsdoor-sneden.2.Evenwich~voorwaardena. krachtenevenwicht voor de ten gevolge van de opgelegdevervormingen ontstane normaalkrachten (NI + Nz = 0);b. momentenevenwichtvoor de ten gevolgevande opgelegdevervormingen ontstane normaalkrachten en momenten(MI + Mz + Nz . a = 0).(2a)(2b)(lb)(1 + xi cpi)MiYiEili?N" M .. y, N,. :[~+~]+-~-'-(1+ : :). cp, E A- - E L E A- x, cp,1 1 1 I 1 1krommingrekMkromming: E i (1 + Xi cpi)1 ,Op deze wijze kunnen ook opgelegde rekken ten gevolge vanbijvoorbeeld hydratatiewarmte worden meegenomen.Voor de vervormingen ten gevolge van kruip geldt voor deverschillende doorsneden:waann:Nuit,i,M,.it,i = inwendige doorsnedegrootheden in doorsnedei ten gevolge van uitwendige belasting.Opmerking. de normaalkrachten Ni grijpen aan in de ZWaarte-punten van de doorsneden.Probleem bij een berekening volgensde methode Trost is dein te voerenwaardevoor Xi' Voor de meestevoorkomende be-lastingsgevallenen kruipparameters is x( = 0,8 een goede be-nadering. Voor de vervormingen ten gevolge van krimp isdoor Meyer [6], uitgaande van een gelijkvormig parabolischverloop voor de krimp- en kruipkrommen, een waarde vanxi = 0,5 afgeleid.waann:Ei = elasticiteitsmodulus doorsnede i;E( = onbelemmerde krimpverkortingvanaft = fa;fa = tijdstip aanbrengen druklaag;Ni,M, = doorsnedegrootheden ten gevolgevanherverdeling;opmerking. de normaalkrachten Ni grijpen aan in dezwaartepunten van de doorsneden;~ = opp.ervlakte doorsnede i;1; = traagheidsmoment doorsnede i;CPi' = nog te verwachten kruipvervorming in de liggervanaf moment van aanbrengen druklaag(cp( = Pt - CPto),(la)(1 +xiCPi) + Ei.~ (1 + ' :)+ MiYi. E,' A" x, cp, - E L1 1rekDe factor xis de zogenaamde 'verouderingsco?ffici?nt' (agingco?fficient). Trost berekende de waarde van x voor veel ver-schillende belastingsgevallen. Het bleek dat voor gevallenwaarbij sprake isvan spanningsvariatie doorkruip ofdoor op-gelegde vervorming (bijvoorbeeld zetting) en bij spannings~herverdeling, de waarde x = 0,8 een goede benadering is. DemethodeTrostis nietalleenvoldoende nauwkeurig, maar ookbetrekkelijk eenvoudig. ,RekenmodelHet rekenmodel gaat uit van de methode Trost, omdat dezemethode de optredende vervormingen goed benadert en detijd in??nstap kanwordenoverbrugd. Metbehulpvan de me-thodeTrost kunnenvoor de beide te beschouwendoorsnedenvan ligger en druklaag de vrije onbelemmerde vervormingenten gevolge van krimp en kruip worden bepaald. Tengevolgevan de onderlinge koppeling vanbeidedoorsneden en de ver~schillen in krimp- en kruipvervorming zullen de in figuur 4aangegeven krachten en momenten in de zwaartepunten vande heide doorsneden ontstaan, welke op hun beurt gepaardgaan met elastische en tijdsafhankelijke vervormingen. A1ge~meen gelden voor de gezamenlijke doorsnede waarmee deoptredende spanningen ten gevolge van krimp en kruip kun~nen worden bepaald:20 Cement 1991 nr. 15 Liggera6:netingen rekenvoorbeeld4900C>00RekenvoorbeeldAls voorbeeld voor de geschetste berekeningsmethode wor-den hier de resultaten weergegeven van een onderzoek naarde invloed van de spanningsherverdeling op de grootte vanhet schenrmoment. Dit schenrmoment Mr is gedefinieerd alshet maximaal toelaatbare moment ten gevolge van de rusten-de en de veranderlijke belasting, dat door de samengesteldedoorsnede kan worden opgenomen alvorens scheuren van de Tdoorsnede o p t r e e d t . }..Uitgegaanwordtvan een nagespannenligger metafmetingen ~volgens figuur 5, sterkteklasse B 45. Deze ligger wordt in het ~t '-I~-4.-""'-'werk voorzien van een brugdek met een dikte van 240 mm, 1--------------'-------------1sterkteklasse B 45.waann:(la, tb) en kruip (2a, 2b) wordt gevonden:M'uitw,1 == Muitw,l +M1,krimp +MI,kruipN'uitw,1 == Nuitw,1 +NI,krimp +N1,kruip== 1676,3 kN== -1676,3 kN-2699,4kNm3,4kNmNl,krimp == -463,5kN N 1,kruipNz,krimp == 463,5 kN Nz,kruipMI,krimp == 742,6 kNm MI,kruipMz,krimp == 4,7 kNm Mz,kruip6 Spanningsverdeling (N/nun2) ter plaatse van x = '/2 Ixmet behulp van de handberekeningGevonden wordt- geheel geen herverdeling (situatie t == to): Mr == 6 340 kNm- volledige herverdeling, optredend vooreen monoliet gestort geheel: Mr == 11 525 kNm- verwachte herverdeling (t == 00): Mr == 8 460 kNmDe bijbehorendespanningstoestandenzijnweergegeveninfi-guur 6.Ten gevolge van ongelijke krimp~ en kruipvervormingen vande verschillende doorsneden treedt een herverdeling vanspanningenop.De liggerwordtontlast, hetdekdientengevol-ge belast. Hierdoor nemen de drukspanningen onder in deligger toe. De spanningsverdeling voor t == 00 is weergegevenin figuur 6..Indien wordt uitgegaan van een toelaatbare (buig)treksterkte~ == 3 N/mmz geldt, dat ten gevolge van herverdeling vanspanningen, het scheurmoment Mr toeneemt. Dit scheurmo-ment kan als volgt worden berekend:Mr== [:~itw'l - M~itw; Zligger + Ob] WtotI INa invulling van de verschillende waarden in de vergelijkin-gen voor de inwendige snedekrachten ten gevolge van krimpVoor de handberekening is ter vereenvoudiging aangenomendatde relaxatievanhetvoorspanstaal ophetmomentvanaan-vangvande berekeningvolledigis opgetreden. Inde uitgangs-situatie(t == la) geldt, datdeliggerdoorsnedewordtbelastdoorhet eigen gewicht ligger +dek en de gebalanceerde belastingen kopmomenten ten gevolge van de voorspankracht P00' Dedekdoorsnede is in deze situatie nog onbelast. Er geldt dan:Nnit,1 == -Pro == ~8600 kNM;,it,1 == 0,125 (53,7-46,6) . 40,65z + 1909 == 3374 kNmN uir,2 == M;,it,Z == 0Belastingen:qg eigen gewicht ligger == 23,3 kNmeigen gewicht dek == 30,4 kNm1b balancerende belasting == 46,6 kNmM;,and == kopmoment excentriciteit voorspanning ==1909kNmEnkele relevante berekeningsgegevens zijn:AI == A ligger 0,93 mZAz == Adek 1,216 m Z11 == !Jigger 0,583 m41z 1dek 5,645 X 10-3m4Wrot 1,007 m3Zligger == 1,0276 mlx == 40,65 mEI Ez 34 000 N/mmzc' Cl' -cz' == 150 X 10-6 (krimpverschil)