? ? ? voorschriftenir.S.N.M. Wijte en Ir.P. de Jong, Adviesbureau ir.J.G.Hageman BV, RijswijkNaar aanleidingvan wijzigingen in deVBe 1990 [1] was de Betonvereniginggenoodzaaktde GTB op een aantal punten aan te passen. Dit bood tevens de mogelijkheid om in hoofd-stuk 13 van de GTB 1990 - herziening 1995 [2] t~ voldoen aan de veel gehoorde wens dedoorbuiging met behulp van slankheidsgrafieken op een eenvoudige manier te kunnencontroleren. Dezeslankheidsgrafieken zijn opgesteld doorAdviesbureau ir.J.G.HagemanBV. De grafieken gelden voor in ??n richtingdragende massievevloeren, die zijn opgelegdop twee of meersteunpunten. Bij hetopstellen van degrafieken is uitgegaan van een com-binatie van vloerbelastingen volgens 6.4.1.4 van NEN 6702 [3].SLANKHEIDSGRAFIEKENINDE GTBCEMENT1995j7j8De eisen die aan de doorbuiging worden gesteld, zijn gegeven in NEN 6702. Bij deze eisenwordt onderscheid gemaakt tussen twee soorten doorbuiging, namelijk de doorbuiging in deeindtoestand ueind en de bijkomende doorbuiging Ubij' De doorbuiging in de eindtoestandmoet volgens 10.4 van NEN 6702 kleiner zijn dan 0,004 t. Bij de eisen voor de bijkomendedoorbuiging wordt onderscheid gemaakt tussen vloeren die wel en vloeren die geen schei-dingswanden dragen. Bij deze laatste groep mag de bijkomende doorbuigingvolgens 10.2.1niet groter zijn dan 0,003 t.Voorvloeren die scheidingswanden dragen, moet volgens 10.2.2 de toelaatbare bijkomendedoorbuiging worden beperkttot 0,002 t. In de toelichting van het artikel wordt tevens aanbe-volen de absolute waarde van de bijkomende doorbuiging voor deze vloeren te beperken tot15 mmo Hiermee is bij het opstellen van de slankheidsgrafieken geen rekening gehouden.Deze waarde zou bij toepassing van de slankheidsgrafieken voor vloeren met een overspan-ning groter dan 7,50 m dus kunnen worden overschreden.Voor lijnvormig star ondersteunde massievegewapend betonnen liggers kan de doorbuigingworden berekend met de formule zoals die is vermeld in [4]:1 5- ku = - --- (1(5 + 1(v) t 248 1+kwaarin:k is de verhoudingtussen hetgemiddelde van de steunpuntsmomenten en hetveldmoment;1(5 is de kromming bij de steunpunten, behorend bij het gemiddelde steunpuntsmoment enhet gemiddelde van de aanwezige steunpuntswapening;Kv is de kromming in het veld, behorende bij het veldmoment en de in het veld aanwezige wa-pening.De doorbuigingin de eindtoestand (Ueind ) is de doorbuigingtengevolge van de incidentele be-lastingscombinatie (u,ep)' vermeerderd metde doorbuigingtengevolgevan het langeduur-ef-fect bij de momentane belastingscombinatie (ukr) en verminderd met de eventuele zeeg(uze ). In hetvervolg is ervan uitgegaan dat uze = O. De bijkomende doorbuiging is gelijkaan dedoorbuiging in de eindtoestand, verminderd met de onmiddellijk optredende doorbuiging.De momenten, krommingen en belastingen tengevolge van de incidentele belastingscombi-natie worden in de VBC en in het vervolg van dit artikel met de index 'rep' aangeduid. Voor demomentane belastingscombinatie wordt de indices 'mom' gebruikt. De onmiddellijk optre-dende doorbuiging wordt veroorzaakt door de permanente belasting Pg. Effecten tengevolgevan de lange duur worden aangegeven door de gehanteerde indices aan te vullen met de 't'van tijd. ~53? ? ? voorschriftenIn formulevorm is een en ander als volgt weer te geven:Ueind = Urep + UkrUbij = Ueind - Uonwaarin:1 5 - krepUrep = -1 + krep481 5 - kmomU kr48 1 + kmom1 5-kgU = -on 48 l+kg(1(s rep + 1(v rep) [2("s kr + 1(v kr) [2(1(sg + 1(Vg) [2Hierna zal achtereenvolgens op de verschillende variabelen in dezeformules worden ingegaan.Bij de incidentele belastingscombinatie werkt op het beschouwdeveld de combinatie van de permanente belasting en de extreme ver-anderlijke belasting:Prep = Pg + PqOp de overige velden van de vloer werkt de permanente belasting ende momentane waarde van de veranderlijke belasting:P*rep = Pg + 'ljJPqUitgaande van het betreffende schema kan bij deze belastingen hetgemiddelde steunpuntsmoment en het veldmoment worden be-paald, waarna de verhoudingsfactor k kan worden berekend.k = Msreprep MvrepBij de momentane belastiilgscombinatie is over de gehele vloer eengelijkmatig verdeelde belasting aanwezig:Pmom = Pg +O,6'IjJPqOok bij deze belasting kan de factor kworden berekend. Deze factoris onafhankelijk van de grootte van Pmom en wordt alleen bepaalddoor het schema. Voor het bepalen van kg is alleen de permanentebelasting van belang. Aangenomen wordt dat deze, evenals de mo-mentane belasting, voordegehelevloergelijkis. De waarde voor kg isdan ook gelijk aan kmom. Deze factoren zullen in het vervolg als kworden aangeduid: de factor k is de verhouding tussen het gemid-delde steunpuntsmoment en het moment in het midden van deligger bij een over de gehele constructie gelijkmatig verdeelde belas-ting.De in de doorbuigingsformule gehanteerde krommingen moetenworden afgeleid uit de M-1(-diagrammen. Er moet een M-1(-diagramworden berekend voor de doorsnede in het midden van de ligger envoor de gemiddelde doorsnede van de steunpunten. Deze M-1(-dia-grammen kunnen worden berekend met behulp van de formules zo-als die zijn genoemd in [5]. Deze formules zijnkortweergegeven in ta-bel 1.54Tabel 1Formules voor het berekenen van M-1(-diagrammen, ontleend aan[5JDe factoren kw en kj worden gebruikt om de invloed van de wapeningop de ongescheurde sterkte en stijfheid in rekening te brengen. Voorde achtergronden van kw en kj wordt verwezen naar [6].Indien beide M-1(-diagrammen zijn berekend, kunnen de voor dedoorbuigingsformules benodigde krommingen worden bepaald.Hierbij geldt dat:Opzet van de grafiekenUit het voorgaande blijkt dat er veel variabelen zijn die invloed heb-ben op de berekening van de doorbuiging:? betonsterkteklasse;? staalsoort;? Pg, Pq en 'IjJ;? de randvoorwaarden van het betreffende veld (het schema);? wven ws;? kruipco?ffici?nt;? kh?De meest complicerende factor is het schema van de constructie incombinatie met de verschillende belastingscombinaties. Voor iedervloerveld moeten de momenten tengevolge van de incidentele com-binatie, de momentane combinatie en de permanente belastingworden bepaald.Als van een veld k, l, Prep' 'IjJ en de verhouding PmomlPrep bekend zijn,kunnen de veld- en gemiddelde steunpuntsmomenten tengevolgevan de permanente belasting en de momentane belastingscombi-natie worden bepaald. Het exact bepalen van deze momenten voorCEMENT1995/718de incidentele belastingscombinatie is met deze gegevens niet mo- Bij de berekeningvan de doorbuigingtengevolge van de kruip is uitge-gelijk. Om hiervoortoch geen extra variabelete hoeven introduceren, gaan van de kruipco?ffici?ntzoals die in VBC-tabel8 is gegeven vooris gekozen voor de volgende benadering: droge lucht.Eerst worden voor een gelijkmatig verdeelde belasting p*rep het veld-moment en het gemiddelde steunpuntsmoment bepaald. Dit kan Bepalend voor de grootte ~an het scheurmoment is de gemiddeldemet behulp van de bekende factor k. buigtreksterkte van het beton 'br' Volgens 6.1.2 van de VBC heeft deVervolgens wordt het veldmoment vergroot met1/8(Prep - P*rep)l2 = 1/8(1- 1jJ)pql2.Dit leidt tot een groterveldmoment en een kleiner gemiddeld steun-puntsmoment dan was gevonden als de momenten waren bepaaldvoor het volledige schema. Deze schematisering is in figuur 1 vooreen tweetal schema's weergegeven. Deze wijze van schematiserenwordtverantwoord geachtomdat(1-1jJ) Pq klein isten opzichte v?n detotale belasting.Als de momenten voor de incidentele belastingscombinatie zijn ge-vonden, kan krep worden berekend.Bepalend voor het M-1C-diagram is het aanwezige wapeningspercen-tage. Benodigd zijn hettoegepastewapeningspercentage in hetvelden hetgemiddelde wapeningspercentage bij de steunpunten. Bij hetopzetten van de grafieken is er van uitgegaan dat het wapeningsper-centage wordt bepaald door de verhouding:waarin:'2:Mu is de momentensom van de in het beschouwde veld uiterstopneembare momenten;'2:Mrep = 1/8Prepl2 is de momentensom tengevolgevan de inciden-tele belastingscombinatie op het beschouwde veld.hoogte van de betreffende doorsnede invloed op de gemiddeldesterkte. Deze invloed wordt in rekening gebracht met de factor1,6 - h - en khbh Prep dUitgaande van deze gegevens kunnen de momenten bij de inciden-tele en de momentane belastingscombinaties en bij de permanentebelasting worden bepaald. Deze momenten worden voor het bepa-len van de slankheidsgrafieken uitgedrukt in de vorm M/bh2. Ook krepkan dan worden bepaald.Momentsommen:'2:Mmom = Pmom ? '2:MrepPrep'2:Mrep - '2:Mmom1-0,61jJBij de hier gekozen benadering wordt verondersteld dat de verhou- Veldmomenten:dingtussen hettoegepastewapeningspercentageen hetbenodigde M = ~Mmomwapeningspercentage voor de uiterste grenstoestand gelijk is voor vmom 1 + kde doorsnede in hetveld en de doorsnede metde gemiddelde steun-puntswapening. Deze methode is een redelijke benadering van dewerkelijk aanwezige situatie en beperkt het aantal variabelen bij hetopstellen van de slankheidsgrafieken.PqMvreppgJj~ 1/JPk ~ pgJ};~pgJ};~1fPk ~pgJ};+(1 -1j;)Pqk k= '2:Mgl+k~~kPq~ljJ Pg+(1 -1j;)pqCD Schematisering voor het bepalen van de momentenverdeling bij de incidentele belastingscombinatieCEMENT1995!7/8~1j;Pg~~ .~k55? ? ? voorschriftenGemiddelde steunpuntsmomenten:Msrep= k? Mvg= MvrepWeergave van de grafiekenUit de voorgaande berekening volgt dat bij de volgende bekende va-riabelen:Pmom , hYgem> k, - - , 'Ijl, f ek' fs rep' - en khPrep . dvoor een waarde van '):.Mrep/bh2de maximaal toelaatbare slankheidkan worden berekend. Met deze gegevens is op de volgende manierhet verband tussen de belasting ten gevolge van de incidentele be-Uitgaande van de bekende Ygem' kan voor zowel het veld als voor de lastingscombinatie en de slankheid te bepalen:doorsnede van het gemiddelde steunpuntsmoment de aanwezigewapeningsfractie worden berekend.Mvu = YgemMv repMsu = YgemMs repw= -----------------2827fsf'bAls de aanwezigewapeningsfracties bekend zijn, kunnen met behulpvan de eerder gegeven formules de M-1(-diagrammen voor de door-snede in het veld en de doorsnede met de gemiddelde steunpunts-wapening worden bepaald. De variabelen van de M-1(-diagrammenzijn enigszins aangepast. De berekende momenten worden uitge-drukt in de verhouding M/bh2? De krommingen worden uitgedruktalshet dimensieloze produkt 1(h.8 . b. '):.Mrepbh2Prep = ------------(~ rTussen de variabelen h/den kh is een verband. Voor de verhoudingtussen hen d is bij het opzetten van de grafieken de volgende relatieaangehouden:~ = 1,2 _ h - 150 = 1,2 _ 145 - 100khd 3000 300De slankheidsgrafieken worden vervaardigd uitgaande van 'Ijl = 0,5.Hierbij magworden aangenomen datdegrafieken ook zullen voldoenvoor 'Ijl = 0,4. Deze waarden zijn van toepassing voor constructies inhet toepassingsgebied van de slankheidsgrafieken, een combinatievan vloerbelastingen volgens 6.4.1.4 van NEN 6702.In figuur2 is een slankheidsgrafiekgetoond waarin op de horizontaleAls de M-1(-diagrammen bekend zijn, kunnen de krommingen tenge- as Prep en op deverticale as de maximaal toelaatbare slankheid is ge-volge van de incidentele en momentane belastingscombinaties en geven.tengevolge van de permanente belasting worden gevonden met be-hulp van lineaire interpolatie. De grafiek is geldig voor de volgende variabelen:f'ek = 25 N/mm2kh = 1,4De formule voor de doorbuiging in de eindtoestand kan nu als volgt 1.rep = 500 N/mm2k = 0, 1 en 2worden herschreven tot een formule voor de maximaal toelaatbareslankheid met betrekking tot de doorbuiging in de eindtoestand:Ueind :$ 0,004 t(t ) 48' 0,004h eind:$ _5_-_k.-.:.:re""p ( h + h) + 5 - k ( h + h)1(s rep 1(v rep - - 1(s kr 1(v kr1 + krep 1 + kUbij :$ 0,003 tYgem = 1,8[2hVoor de bijkomende doorbuiging is een gelijksoortige formule af te leiden.5 - krep ( ) 5 - k [ ( ) ( ]1(s reph + 1(v reph + -- 1(s krh + 1(v krh - 1(sgh + 1(vgh)1 + krep 1 + kMaatgevend voor de slankheid is de kleinste waarde van ( ~) en ( ~) .h eind h bij56Pmom= 0,7PrepCEMENoT1995/7/836\, ,, Pmom, p-=0,7\,, rep, Ueind = 0,004 I,34\ \ ,14Jijk =0,003 I,\ \," Ygem = 1,8 - kh = 1,4\,,\ ,32\ ,,,1\ \" k=2 - p..,,30\ k=1 - ~", , ,,k=O - "', , , ,28\ '""261\ "\ """24~22"""'"'""-20i'---I"---.8610 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30@ Slankheidsgrafiek voor PrepAls voor dezelfde variabelen Prep op de x-as wordt vervangen door(fig. 3),dan blijkt dat de lijnen voor de verschillende waarden van k redelijksamenvallen. Op deze wijze kan de variabele k, die kan verlopen vanotot 2, op een eenvoudige manier in de slankheidsgrafieken wordenverwerkt.In de GTB zijn slankheidsgrafieken opgenomen voor de betonsterk-teklassen B 25 en B 35. De van toepassing zijnde staalsoort isFeB 500. Bij staalsoorten met een lagere treksterkte wordt een con-servatieve waarde voor de toelaatbare slankheid gevonden.In de GTB is onderscheid gemaakt tussen ontwerpgrafieken 13.2.cen 13.2.d en toetsgrafieken 13.2.e tot en met 13.2.p. De ontwerp-grafieken zijn bedoeld om op een snelle manier voor de veel voorko-mende waarden kh = 1,4, Pmom/Prep = 0,8 en Ygem = 1,4 een slank-heid te kunnen aflezen. Metbehulpvan detoetstgrafieken kan dege-bruiker door interpolatie ook bij afwijkende waarden van de hiervoorgenoemde variabelen de toelaatbare slankheid bepalen. De achter-grond van beide grafieken is identiek.CEMENT1995/7/83634323028262422086. '\,,,\~.,,~,,,, \\,,,k=2k=1k=O__ Prep (kN/m')l+k? Slankheidsgrafiek voor Prepl+kLiteratuurPmomp-=0,7repUeind = 0,004 I14Jijk= 0,0031Ygem = 1,8 - kb = 1,4\\, ,,,", '\.',\ '-.~'-" """, ",'-K' ~,"-.....::.:.;:"-la 11 12 13 14 151. NEN 6720 - Technische grondslagen voor bouwconstructies TGB1990 -Voorschriften Beton. Constructieve eisen en rekenmethoden(VBC 1990). NNI, Delft, september 1991 + correctieblad maart1992, oktober 1994.2. GTB Deel 2, Grafieken en tabellen voor beton, gebaseerd op deVBC 1990 - herziening 1995. Betonvereniging, Gouda.3. NEN 6702 - Technische grondslagen voor bouwconstructies TGB1990 - Belastingen en vervormingen. NNI, Delft, december 1991,correctieblad september 1993.4. Van Boom, G.H. en J.W.Kamerling, Construeren in gewapend beton2. Elsevier, 1978.5. CUR-rapport 94-13, Achtergronden bij de VBC 1990. CUR, Gouda,1994.6. Van de Haar, P.w. en Th.Monnier, De doorbuigingvan liggers van ge-wapend in het gebruiksstadium. TNO-IBBC-rapport BI-77-51, 1977.?57