SLA volume-elementen1 2012 | onlineonlineSLA volume-elementenOp basis van een goed eindige-elementenmodelkan inzicht worden verkregen in de draagkracht enhet bezwijkgedrag van een constructie. Echter,deze methode is geregeld onderhevig aan proble-men die vaak alleen door een ervaren ingenieurkunnen worden opgelost. Een mogelijke oplossingvoor deze problemen is toepassing van Sequenti-ally Linear Analysis, waarbij een serie lineaireanalyses wordt gebruikt om niet-lineair gedrag temodelleren. Onderzocht is hoe deze methode kanworden uitgebreid en ingezet voor driedimensio-nale elementen.1Afstudeerstudie naar uitbereiding en verificatie van deSequentially Linear Analysis-methode naar volume-elementenSLA volume-elementen 22012 | onlinekritische i.p.123stsssnnsnnnttntstt2a2b1 Experimentele opstelling voor het testen van het afschuif-draagvermogen van gewapende platen onder puntlasten2a De richtingen van de hoofdspanningen in het kritischentegratiepunt v??r scheurvorming2b Bij scheurinitiatie worden de drie assen van het orthotropen-s-t-co?rdinatensysteem vastgezetMet name bij de analyse van 3D-constructies met sterk niet-lineair gedrag (geometrisch en fysisch) komen vaak problemenvoor zoals bifurcatie en divergentie van de oplossing. Vooral inhet geval van scheurvorming in beton waarbij `tensionsoftening' optreedt, komen vaak verscheidene evenwichtspaden(bifurcatie) voor. Om deze problemen te vermijden, is er eenalternatieve methode ontwikkeld, genaamd de SequentiallyLinear Analysis (SLA). Bij deze methode wordt een serie vanlineaire analyses gebruikt om het niet-lineaire gedrag van debelaste constructie te modelleren. Door het direct specificerenvan een schade-increment in elke lineaire analyse kunnenomslachtige iteraties in het krachts- of verplaatsingsincrementworden vermeden. Hoewel SLA al heeft bewezen een robuusteen veelbelovende methode te zijn voor het modelleren vansterk niet-lineair gedrag voor 2D-problemen, is de methodenog niet ontwikkeld voor 3D-spanning-reksituaties.In het kader van een afstudeerstudie aan de TU Delft is onder-zoek uitgevoerd dat zich concentreert op de uitbreiding van deSLA-methode naar volume-elementen. De onderzoeksvraagluidde: `Hoe kan de Sequentially Linear Analysis-methodeworden uitgebreid naar volume-elementen, zodat deze kanworden gebruikt voor driedimensionale scheurproblemen?'Uitleg SLA-methodeDe SLA-methode is gebaseerd op het direct toepassen vanschade-incrementen (ten gevolge van scheurvorming) opmicroschaal, waaruit vervolgens het gedrag op macroschaalwordt afgeleid. Door het toepassen van schade-incrementen zijner geen iteraties meer nodig om evenwicht te vinden. In elkelineair-elastische analyse vindt een zogeheten kritische gebeur-tenis plaats, waarbij op een specifieke locatie (integratiepunt) inde constructie de treksterkte en stijfheid wordengereduceerd aan de hand van een voorgeschreven `saw-tooth'-constitutieve relatie. Hierbij wordt de spanning-rekrelatiegediscretiseerd door een serie zaagtanden met positieve secantestijfheden. Omdat alleen lineair-elastische analyses wordenuitgevoerd, worden iteraties en convergentieproblemenvermeden. Bovendien kan, in tegenstelling tot bijvoorbeeld deNewton-Raphson-methode (N-R), maar ??n integratiepunttegelijkertijd scheuren (overgang van de elastische naar de softe-ningtak), waardoor bifurcatie niet zal voorkomen. Vooral in hetgeval van een incrementeel-iteratieve procedure, waarbij veelintegratiepunten tegelijkertijd scheuren en de tangenti?le stijf-heid dus negatief wordt, leidt dit vaak tot bifurcatieproblemen.Lars Voormeeren MSc 1)TNO1) Lars Voormeeren is afgestudeerd met het onderzoek `Uitbreiding en verificatieSequentially Linear Analysis-methode naar volume-elementen' aan de TechnischeUniversiteit Delft, faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen. In de afstudeer-commissie hadden zitting: prof.dr.ir. J.G. Rots, ir. A.V. van de Graaf, dr.ir. M.A.N.Hendriks, ir. A.T. Slobbe en dr.ir. C. van der Veen.ENCI Studieprijs 2011Dit is het vierde artikel in een seriemet bijdragen van prijswinnaarsvan de ENCI Studieprijs 2011. De studie die in ditartikel wordt beschreven, ontving een eervollevermelding in de categorie Universiteiten. Ditartikel staat samen met de overige artikelen uitdeze serie in het dossier ENCI Studieprijs opwww.cementonline.nl.SLA volume-elementen3 2012 | onlineonlineftE0elGf/huftfti+ftifti-EieluEi+1pu ftpl ft3a 3b3a Spanning-rekrelatie voor`linear tension softening'3bBijbehorende`saw-tooth'discretisatie4 EEM-model, loading en boundary conditionsori?ntatie van de scheurvlakken gedurende de hele analyseconstant blijft. Bovendien is het scheurmodel gebaseerd op detotale rekken in het element, namelijk: tot= cr+ el.Zodra in een integratiepunt de grootste hoofdspanning de trek-sterkte overschrijdt, zal zich een scheur vormen loodrecht opde richting van de grootste hoofdspanning. Dit betekent dat hetbeton ter plaatse van de scheur niet langer isotroop is. Er zaleen orthotrope spanning-rekrelatie moeten worden gedefini-eerd in een lokaal n-s-t-co?rdinatensysteem. In deze studie isaangenomen dat alle assen van orthotropie vastliggen zodra descheur is ontstaan, dus ook de tangenti?le s-t-richtingen. Indeze definitie valt de n-richting samen met de 1-richting en des-t-richtingen respectievelijk met 2en 3(fig. 2). De orthotropespanning-rekrelatie kan nu worden geschreven in het lokaleco?rdinatenstelsel:nst= DnstHierin is D de orthotrope stijfheidsmatrix die in deze studie isafgeleid voor een 3D-spanning-reksituatie. Vanwege de groottevan deze matrix is deze niet vermeld in dit artikel. Door middelvan transformatiematrices kan dit stelsel worden getransfor-meerd naar het globale co?rdinatensysteem:xyz= T-1DTxyzDeze constitutieve relatie is onder andere ge?mplementeerd inhet eindige-elementprogramma DIANA.Zodra de eerste scheur optreedt, zal aan de hand van een voor-geschreven constitutieve relatie (saw-tooth) de Young-modulusEnen de treksterkte ft;nworden gereduceerd. In deze studie isaangenomen dat de Poisson-ratio ook verandert als gevolg vanscheurvorming en proportioneel wordt gereduceerd met deYoung-moduli:In het geval van een proportionele belasting en falen dooralleen trekspanningen is de algemene SLA-procedure betrek-kelijk rechttoe rechtaan:? Breng een proportionele referentiekracht F aan en bereken dehoofdspanningen uit de lineair-elastische analyse.? Bepaal het kritische integratiepunt (i.p.), dat gedefinieerd is alsdat integratiepunt waarvoor de verhouding tussen de grootstehoofdspanning en de huidige treksterkte het grootst is.? Bereken de kritische lastvermenigvuldigingsfactor voorhet kritische i.p.:crit=fti+___1.? Schaal de referentiekracht proportioneel met de kritischevermenigvuldigingsfactor en bepaal de nieuwe spanning-reksituatie.? Breng een schade-increment aan door het reduceren van deYoung-modulus en de treksterkte van het betreffendekritische i.p. volgens de `saw-tooth'-discretisatie van deconstitutieve relatie (voor de trekzijde).? Herhaal deze cyclus van stappen door het updaten van demateriaaleigenschappen van een enkel i.p. na elke cyclus.? Het niet-lineaire gedrag van de constructie vindt men doorhet achtereenvolgens linken van de resultaten van elke cyclus.Uitbreiding naar volume-elementenVoor de uitbreiding van de SLA-methode naar volume-elementen was de afleiding van een nieuw scheurmodel nodig.Het bestaande scheurmodel is gebaseerd op een `continuumfracture model', namelijk het `total strain smeared crack model'.In een `smeared crack model' wordt de scheur uitgesmeerd overhet elementoppervlak. Op deze manier kan de topologie vanhet element worden behouden en worden er geen restrictiesopgelegd ten aanzien van de ori?ntatie van de scheurvlakken.In deze studie is een `fixed crack model' gebruikt, waarbij deSLA volume-elementen 42012 | onlinekracht[kN]verplaatsing [mm]h = 1,5 x volume1/3experiment1200100080060040020000 2 4 6 8 10kracht[kN]verplaatsing [mm]h = 1,5 x volume1/3experiment1200100080060040020000 2 4 6 8 1045a5b5a Kracht-verplaatsingsdiagram SLA-methode en experiment5b Omhullende van het SLA-kracht-verplaatsingsdiagramsterkte, om de `tension softening curve' gespecificeerd. Omdatde uiterste rek (u) en de scheurenergie (Gf/h) altijd overeenmoeten komen met het originele spanning-rekdiagram,kunnen de `upper' en `lower band' vari?ren in grootte (fig. 3).Een belangrijk deel van deze studie was gericht op de imple-mentatie van de uitgebreide SLA-methode in het eindige-elementenprogramma DIANA. In de volgende paragraafworden de resultaten van de nieuw ontwikkelde SLA-codebekeken voor een daadwerkelijke toepassing.ResultatenOm te zien hoe de nieuw ontwikkelde SLA-code presteert voorgrote 3D-constructies, is een gewapende betonnen plaat onder-zocht. Deze gewapende plaat, die deel uitmaakt van eenuitvoerige (experimentele) studie naar het afschuifvermogenvan plaatviaducten onder toenemende wielbelastingen, isonderhevig aan een puntlast (foto 1). De plaat is voorzien vanwapening in zowel langs- als dwarsrichting en is vrij opgelegdaan de zijde nabij de puntlast. De andere zijde is ingeklemd omde rotatie te limiteren (in het eindige-elementenmodel is eenvolledige inklemming verondersteld). Het kracht-verplaat-ij= 0Ej___E0Hierin is ijde Poisson-ratio voor contractie in i-richting alsgevolg van een opgelegde rek in j-richting. Dit betekent dat, alseen scheur volledig is geopend (En= 0), vergroting van descheurrek geen Poisson-effect meer cre?ert in s- en t-richting.Als gevolg van scheurvorming verandert de afschuifmodulusook. Zeker omdat de afschuifmodulus een aanzienlijke invloedkan hebben op de draagkracht van de constructie, is hetbelangrijk om deze op een juiste wijze te beschrijven. Om reke-ning te houden met het effect van scheuropening wordt deafschuifmodulus in de praktijk vaak gereduceerd met eenzogeheten `constant shear retention'-factor :Gij= G0Echter, de keuze voor is vaak niet zo triviaal, omdat eenschijnbaar kleine waarde van bijvoorbeeld 1% nog altijd kanresulteren in onverwacht grote schuifkrachten (vanwege groteafschuifvlakken). Bovendien kan de constructie, in het gevaldat een scheur volledig is geopend, nog altijd schuifkrachtenoverbrengen. Vanzelfsprekend is dit niet altijd correct en omdie reden is voor de SLA-methode een zogeheten `variableshear retention'-factor ontwikkeld. Deze hangt af van de toege-brachte schade in het integratiepunt en is als volgt beschreven:Gij=min(Ei, Ej)_________________2 (1 + 0min(Ei, Ej)_________E0)Opgemerkt moet worden dat volledig geopende scheuren nugeen dwarskrachten meer kunnen overbrengen.Zoals in het bovenstaande reeds is besproken, vereist de SLA-methode een discretisatie van de constitutieve spanning-rekrelatie door middel van een zogenaamde saw-tooth. Eenveelgebruikt saw-tooth-model is de zogeheten `ripple'-benade-ring. Hierbij wordt een omhullende, als percentage van de trek-SLA volume-elementen5 2012 | onlineonlinekracht[kN]verplaatsing [mm]experiment160014001200100080060040020000 2 4 6 8 10 12 14 161,5 x volume1/3constantshear retention 1,0%123beff= 1850 mmbeff1850 mm45?60?6 7896 Constant shear retention factor 1%7 Vectorplots reactiekrachten vrije oplegging bij toenemende belastingniveaus8 Effectieve breedte lastspreiding SLA-methode9 Observatie-experiment: primaire scheur onderzijde plaat in langsrichting,propagerend vanuit de locatie van de puntlasteffectieve breedte is geschat op basis van de figuur 7.Uit de SLA-resultaten blijkt dat de puntlast zich spreidt ondereen hoek van ongeveer 60?, in plaats van de in praktijk veel-gebruikte 45? (fig. 8).Het scheurgedrag in het experiment kenmerkte zich door eenprimaire scheur in langsrichting aan de onderzijde van de plaat.In de SLA-analyses ontwikkelt zich eveneens al snel een scheur inlangsrichting aan de onderzijde van de plaat, zowel in de richtingvan de vrije oplegging als in de richting van de inklemming.Beide observaties komen overeen met het experiment en de SLA-methode lijkt het globale scheurgedrag goed te kunnen beschrij-ven. In figuur 10 is een vectorplot van de grootste hoofdspanninggegeven, waarop de locatie van de scheuren is aangeduid.singsdiagram van het experiment toont een bezwijklast van954 kN. Na het bereiken van de bezwijklast is de plaat ontlast,wat de neergaande tak in het diagram verklaart. De meestkenmerkende resultaten zijn hieronder kort beschreven.Het eindige-elementenmodel met de `loading' en `boundaryconditions' is getoond in figuur 4. Vanwege lange rekentijdenwas het helaas niet mogelijk een fijnere mesh te gebruiken.De eerste resultaten van de 3D-SLA-methode kwamen goedovereen met het experiment. De SLA-resultaten bleken gevoeligvoor de hoeveelheid scheurenergie in trek (Gf/h). De aannamevan de scheurbandbreedte h =3__V, in Gf/h, bleek te eenvoudig,wat resulteerde in een overschatting van de bezwijklast en debijbehorende verplaatsing. Er zijn een aantal verklaringen hier-voor. E?n hiervan kan men zich eenvoudig voorstellen in eenkubisch element (met gelijke zijden van lengte 1) waarin eenscheur propageert onder 45? met de vlakke bodem. In dat gevalzou de scheurbandbreedte moeten worden vermenigvuldigdmet een factor __2. Het is dus duidelijk dat deze parameter sterkafhankelijk is van de vorm van de elementen in de mesh en delocatie van de scheuren in het element. Vandaar dat een reduc-tie van de scheurenergie was voorgesteld door h te vari?ren meteen factor : h = 3__V. Het kracht-verplaatsingsdiagram voor = 1,5 is gegeven in figuur 5.Om de invloed van de shear retention-factor nogmaals te bena-drukken, is tevens een analyse uitgevoerd met een constanteshear retention-factor van 1%. Na 32 000 lineair-elastischeanalyses, evenveel als in figuur 5, was er nog steeds geen sprakevan het bereiken van een bezwijklast (fig. 6).Een ander interessant resultaat was de herverdeling van dereactiekrachten bij de vrije oplegging. Bij aanvang van deprocedure is de verdeling redelijk uniform, waarna bij hogerebelastingniveaus de reactiekrachten zich na herverdeling voor-namelijk concentreren in het midden van de oplegging. DeSLA volume-elementen 62012 | onlinespanning[N/mm2]rek [-]32,521,510,500 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025-0,51010 Vectorplot primaire buigscheur in langsrichting(boven- en vooraanzicht)berekende bezwijklast op basis van de Dutch Building codeVBC (539 kN). Ook blijkt de praktische aanname van 45? last-spreiding conservatief in vergelijking met de SLA-resultaten(60?), wat resulteert in een aanzienlijke onderschatting van deeffectieve breedte.In tegenstelling tot de SLA-methode, kwamen de Newton-Raphson-resultaten slecht overeen met het experiment, mededoordat convergentie niet altijd kon worden bereikt en geenvariable shear retention voorhanden was.Een groot nadeel van de `event-by-event'-strategie, die kenmer-kend is voor de SLA-methode, is dat maar ??n integratiepuntper lineaire analyse kan worden beschadigd. Met name vooreindige-elementenmodellen waarin een fijne mesh noodzake-lijk is, kan het aantal integratiepunten benodigd voor falen vanhet model significant worden. Dit zal resulteren in lange reken-tijden. Dit is voornamelijk een probleem bij het gebruik vanvolume-elementen, waarbij het aantal integratiepunten al sneltoeneemt.AanbevelingenDe SLA-methode kan verder worden verbeterd door nascheurinitiatie de overige twee scheurrichtingen (s- en t-rich-ting) vrij te houden totdat secundaire scheuren optreden.Vervolgonderzoek kan zich tevens richten op de uitbreidingvan de code voor volume-elementen naar niet-proportionelebelastingen. Ander toekomstig onderzoek kan zich concentre-ren op de reductie van de rekentijden, zodat modellen metfijnere meshes kunnen worden gebruikt. Bruikbaarheid voor de praktijkOmdat men in de praktijk veel problemen tegenkomt bij deanalyse van 3D-constructies, is de vraag naar een robuusteremethode groot. Deze studie biedt een veelbelovend alternatiefvoor de analyse van 3D-toepassingen waarin sterk niet-lineairgedrag wordt verwacht. Het is beoogd dat de SLA-methode(ooit) kan dienen als engineering tool, zonder dat men wordtonderworpen aan allerlei numerieke problemen die alleenFEM-specialisten effectief kunnen oplossen.ConclusiesUit het voorgaande blijkt dat de SLA-methode in staat is omhet zeer niet-lineaire scheurgedrag van beton goed te beschrij-ven. De resultaten, geproduceerd met behulp van de nieuwontwikkelde SLA-code (voor volume-elementen), komen goedovereen met het experiment. Het globale scheurgedrag is goedbeschreven en komt overeen met de observaties van het experi-ment. Het belangrijkste voordeel van SLA ten opzichte vanandere numerieke methoden is dat bifurcatie- en convergentie-problemen volledig zijn verdwenen.De manier waarop de shear retention-factor is beschreven, wasvan grote invloed op de resultaten. Een constant shear reten-tion bleek te simpel en was niet in staat om het afschuifgedragvan de gewapende plaat goed te modelleren. Daarentegenresulteerde de variable shear retention-factor in een veel betereovereenkomst met het experiment.De bezwijklasten volgens het experiment en de SLA-methode(954 kN respectievelijk 966 kN) waren aanzienlijk hoger dan de Literatuur1 Belleti, B., Rots, J.G. & Invernizzi, S., Simplified saw-tooth softeningmodel for reinforced concrete structures. Federation Internationaledu Beton, 2006.2 Belleti, B., Rots, J.G. & Invernizzi, S., Robust modeling of rc structureswith an`event-by-event'strategy. Engineering Fracture Mechanics 75,pages 590-614, 2008.3 Jong, M.J. de, Belleti, B., Hendriks, M.A.N. & Rots, J.G., Shell elements forsequentially linear analysis: Lateral failure of masonry structures. Engi-neering Structures 31, pages 1382-1392, 2009.4 Jong, M.J. de, Hendriks, M.A.N. & Rots, J.G., Sequentially linear analysisof fracture under non-proportional loading. Engineering FractureMechanics 75, pages 5042-5056, 2008.5 Slobbe, A.T., Hendriks, M.A.N. & Rots, J.G., Sequentially linear analysisof shear critical reinforced concrete beams without shear reinforce-ment. Finite Elements in Analysis and Design, Volume 50, pages108-124, 2012.