? tunnelbouw ? onderzoek?ir.P.Willems, ir.G.Pauwels, prof.ir. Y.Verbakel,Katholieke Universiteit Leuven, departement Burgerlijke BouwkundeDe vraag of het mogelijk is een realistische waarde voor de faalkans van een tunnel te ver-krijgen, wordt in ditartikel behandeld. Dooruitte?gaanvan een maximaal toelaatbarefaal-kans kan men op iteratieve wijze tot een meerdoordacht, vaak ~conomischerontwerpko?men. Het blijkt van belang te zijn nauwkeurige modellen te ontwikkelen voor hetbereke-nen van spanningen intunnelwanden.De Kanaaltunnel heeft als voorbeeld voor dit onderzoek gediend, datis uitgevoerd aan deKatholieke Universiteit van Leuven.RISICOANALYSEOPTUNNELSECTIESTHE CHUNNEL, EEN RISICOVOLLE ONDERNEMINGNiets dan onzekerhedenTraditioneel worden constructies berekendaan de hand van de voorwaarde a ~ au/Y.Hierbij is ade spanning in een punt, au de ui-terste spanning die het constructiemate"riaal kan opnemen, afgeleid uit proefresulta-ten, en y de veiligheidsfactor.Deze factor moet echter veel onzekerhedendekken: de belasting, de waarde au en de af-metingen van de constructie zijn niet ondub-belzinnig vastgesteld en tijdens de uitvoe-ring kan er ook nog iets misgaan. De waardevan ywordt met respect bejegendwegens dedoeltreffendheid waarmee deze waarde detand des tijds heeft weerstaan. Bij scherpe(prijs)berekeningen werd wel eens aan dezey-waarden getornd, maar dit was meer uit-zondering dan regel.Bij niet-alledaagse constructies zoals bij-voorbeeld de Chunnel, wordt het een heleuitdaging om vooraf de y-waarde te bepalen.Veel ervaring met gelijksoortige werken isniet beschikbaar. Een voldoende grotey-waarde levert een oneconomische con-structie op.Risicoanalyse kan hier hulp bieden door ex-pliciet rekening te houden met de hierbovenvermelde onzekerheden. Eerst wordt defaalkans berekend. Bij een bestaande con-structie levert deze faalkans de betrouw-baarheid op. Bij een nieuw te bouwen con-structie wordt de kans op falen tijdens deontwerpperiode voldoende klein gehouden.De grootte van deze faalkans wordt vaak inCEMENT1994/10normen vastgelegd en zou eigenlijk overeenmoeten komen met de minimale globalekosten: de constructiekosten + faalkans xkosten bij falen.De schattingvan menselijk leed bij een rampals gevolg van falen blijft hierbij een behoor-lijk moeilijke opdracht.In het onderhavige project [1] werd onder-zocht hoe de faalkans van een gedeelte vaneen diepliggende tunnel, in een zachte, wei-nig weerstandbiedende grond, kan wordenberekend. Via een parameterstudie werd na-gegaan welke gegevens en welke onzeker-heden de grootste invloed hebben op dezefaalkans (de kenmerkende eigenschappenvan tunnelbekleding, ondergrond, bereke-ningsmodel voor de spanningen enz.). Dezeeigenschappen moeten bij de constructievan een dergelijke tunnel goed bekend zijn.Immers, het verminderen van hun onzeker-heden zal, voor een opgelegde maximaaltoelaatbare faalkans, aanleiding geven toteen economischer ontwerp. Verder bleek uitde parameterstudie hoe een tunnelring hetbest kan worden gemaakt ten aanzien vanstijfheid, straal enz., eveneens om een mini-male faalkans te bereiken of, voor een opge-legde maximaal toelaatbare faalkans, eeneconomischer ontwerp te verkrijgen.Voor de numerieke toepassing werd een be-roep gedaan op de gegevens die beschik-baar waren voor de Kanaaltunnel. De resul-taten hebben echter eerder een kwalitatief~~~& ~21? tunnelbouw ? onderzoek?Berekening van de spanningen in een tun-nelringVoordat met de berekening van de spannin-gen in een tunnelring kan worden begonnen,is het belangrijk nauwkeurigte weten hoe detunnelbekleding zal worden aangebracht ofwerd aangebracht.Bij de Kanaaltunnel bestaat de bekleding uitnaast elkaar geplaatste cirkelvormige ringenvan gewapend beton, waarbij elke ring is op-gebouwd uit een aantal segmenten (fig. 1).Als gevolg van verschillende grondeigen-schappen aan beide zijden van het Kanaal,had het plaatsen vandeze ringen aan Franseen aan Britse zijde op verschillende wijzeplaats.Aan Britse zijde werd de tunnelbekleding opeen bepaalde afstand achter de graafmachi-ne (het schild) geplaatst, zodat de grond(het blauwe krijt) zich over die afstand vrijkon ontspannen. Aan Franse zijde kon diemethode wegens de vochtiger, minder sta-biele grond niet worden toegepast. De seg-menten moesten daar worden aangebrachtin een waterdichte zone, binnen een staart-stuk aan het schild (fig. 2).De ringvormige holte langs de omtrek van detunnelbekleding werd geinjecteerd.De berekeningen zijn uitgevoerd voor de Brit-se constructiewijze.Voor het berekenen van de spanningen werdeen methode gebruikt van M.Panet [2]. Hetprincipe is afkomstig van de methode 'con-vergence-confinement', die reeds langer inde mijnbouw bekend was. Deze methodegaat uit van de volgende veronderstellingen:- de grond gedraagt zich elastisch;- de variatie van de initi?le spanningen in degrond over de hoogte van de tunnel is teverwaarlozen (dit is aannemelijk indien detunnel voldoende diep ligt);- heteigengewichtvan de bekleding, en dusde initi?le vervorming van de bekleding (infase i, zie hierna), is te verwaarlozen;-het contact tussen grond en bekledingbl?ft steeds bestaan bij een vervormingvan de bekleding (aannemelijk in vr? zach-te gronden).Verder neemt Panet aan dat de hoofdspan-ningsrichtingen in de grond horizontaal enverticaal zijn (de methode convergence-con-finement ging uit van isotrope grond) en datde contactspanningen tussen tunnelbekle-ding en grond een sinusoidaal verloop heb-ben langs de omtrek van de tunnelbekle-ding.Om dezespanningsverdelingtebepalen metbehulp van de elasticiteitsleer, worden driefasen beschouwd.In de eerste fase, t?dens de periode tussenhet voorb?trekken van het schild en het aan-brengen van de bekleding, ontspant degrond zich. De oorspronkel?ke grondspan-ningen 0 nemen af met ildo. ild wordt degrondontspanningsco?ffici?nt genoemd(fig. 3).In de tweede fase ontspant de grond zichverder, maar wordt hierbij gehinderd door dezojuist geplaatste bekleding. De spanningenin de grond nemen af, de tunnelring komt on-der druk en vervormt. Dit gaat door tot erevenwicht is bereikt (fig. 4).In de derde fase moet nog rekening wordengehouden met uitgestelde vervormingen tengevolge van kruip in de grond (fig. 5). cp is dekruipfactor en geeft het verband aan tussende elasticiteitsmodulus op korte en die oplange termijn: EI = Ek/(i+cp).Zo wordt een spanningsverdeling verkregendie zowel uit radiale druk- als uit tangenti?leschuifspanningen bestaat. De radiale druk-verdeling wordt hierb? voorgesteld door eensuperpositie van een constante term en eensinusfunctie. De schuifspanningsverdelingbestaat alleen uit een sinusfunctie.Uitgaande van deze spanningsverdelingkunnen dan de normaalkracht N en het bui-gend .moment M worden berekend in elkesectie van de tunnelring, wederom met be-hulp van de elasticiteitsleer.Deze Nen Mz?ncorrect voor de twee spoor-wegtunnels, maar moeten voor de dienst-tunnel nog worden vermenigvuldigd met decorrectiefactoren kN en kM' Hiermeewordtdeextra belasting op de diensttunnel in reke-ning gebracht als gevolg van het later gravenvan de twee naastliggende spoorwegtun-nels. De factoren z?n bepaald met een eindi-ge-elementenberekening [3].Q) Tunnelring opgebouwd uit segmenten@ Aanbrengen segmenten aan achterzij-de schild22wleltjesvoorste schildgedeelte 8chtersli duwvijzels: gepref8briceerdese gtlenten ~~~ ~.~~.E\\~ ...- ".~ ~CEMENT1994/10a;O1+ )radiale spanningen schuifspanningenoorspronkelijke grondtoestand ontlaste grondtoestand? Fase 1: ontspanning van de grondbelaste ring(evenwichtstoestand op korte termijn)oonbelaste ringo(1_?d)1-Koa;1o~-=:r-----. 2+ontlaste grondtoestand@ Fase 2: tunnelring komt onder druk? Fase 3: kruip in de grondCEMENT1994/10 23? tunnelbouw ? onderzoek?? Mogelijke vijf breukvlakken in het betonOpnieuw z?n, door a te laten vari?ren (van ?tot 1,1; b? een volledig gedrukte sectie is erimmers geen scheurwijdte mogel?k), allecombinaties van N en M bepaald die aanlei-ding geven tot falen, ditmaal door het ont-staan van een scheur van 0,1 mmo Voor deondergrens van a wordt ?genomen,omdateen volledig aan trek onderworpen sectie 10-gischerw?ze als falen kan worden be-schouwd.Zo is hetN-M-diagram voor een scheurw?dtevan 0,1 mm verkregen (fig. 9, curve b).De stochastische veranderlijkenDe normaalkracht Nen het buigend momentM in de zwaarst belaste sectie zijn functievan de eigenschappen van de omliggendegrond en de tunnelwand. Een aantal van de"ze parameters wordt beschouwd als sto-chastische veranderl?ken en voorgestelddoor hun gemiddelde waarde en standaard-afw?king. De andere parameters wordenconstant genomen.Eigenschappen van de grondDe eigenschappen van de grond z?n mindergoed bekend dan van de bekleding. Daaromzijn alle grondkarakteristieken als stochasti-sche veranderl?ken beschouwd:alO: de totale gronddruk ter hoogte van detunnel;v : de co?ffici?ntvanPoisson van de grond;E :de elasticiteitsmodulus van de grond;?-d : de grondontspanningsco?ffici?nt;Ka : de co?ffici?nt voor horizontale grond-druk ter hoogte van de tunnel;aldaar (NBN B15-103):'waarin:wm is de maximale scheurw?dte (mm);c is de betondekking op de wapeningssta"ven (mm);0 k is de kenmiddellijn van de wapeningssta"ven (mm);aa is de staalspanning in de gescheurdedoorsnede (N/mm2 );Pl is de dichtheid van de wapening in de ge-scheurde doorsnede (%),= 55 wo/( (l-a) . y);Wo is het wapeningspercentage (%);y is, de verhouding van de gescheurdedoorsnede en de aan trek onderworpenzone.Falen door scheurvormingUitgegaan is van een empirische formule diehet verband geeft tussen de spanningen ineen sectie en de maximale scheuropeningDefinitie falen van een tunnelringDe belastingen op de verschillende sectiesvan een tunnelring worden afhankelijk vanelkaar verondersteld. De zwaarst belastesectie bevindt zich in het bovenste punt vande ring. De kans dat een andere dan dezwaarst belaste sectie zou breken voordatde zwaarst belaste sectie breekt, is prak-tisch nul. Voor een bepaalde tunnelring isdus alleen de faalkans van de bovenste sec-tie van belang. Hierb? z?n twee faalmogelijk-heden beschouwd:? het breken van de zwaarst belaste sectie,berekend volgens de methode van de ui-terste grenstoestand;? hetoptreden van een scheurvan 0,1 mm indeze zwaarst belaste sectie. Doorde grotehydrostatische druk (mogel?k tot 11 bar inhet diepste punt van de tunnel) zal dekleinste scheur immers aangroeien enaanleiding geven tot breuk.Falen door breukBreuk treedt op b? het overschr?den van debreukrek van het staal van de onderwape-ning(de wapening in de minstop druk belas-te zone) of bij het overschrijden van debreukstuikvan het beton.Deze breukstuik kan groter worden geno-men bij beton dat op buiging wordt belastdan b? beton dat aan centrische druk is on-derworpen.Er wordt uitgegaan van de volgende klassie-ke veronderstellingen:? vlakke doorsneden voorvervorming blijvenvlak na vervorming (Bernouilli);? het beton kan geen trek opnemen (het wel. rekenen op trek in het beton zal een ver-waarloosbare invloed hebben op de faal-kans);? de spanning-rek-diagrammen voor betonen staal z?n gegeven in de figuren 6 en 7.De mogelijke breukvlakken (vervormingenvan de vezels van een betonsectie bij breuk)zijn gegeven in figuur 8.Door a te laten vari?ren (in principe van - ?Otot + ?O) is het mogel?k alle combinaties vanN en M te bepalen die aanleiding geven totbreuk. Dit leidt tot het N-M-diagram voorbreuk (fig. 9, curve a).1020/002,7%0druk ----7~trek]IIIIIIarttg Es1E,=1 E2;2 E3=2,7--?Et, (%0)?",--7Es (%0)f~ __e-:_fsl:::?i? Spanning-rek-diagram voor betonCD Spanning-rek-diagram voor staal24 CEMENT1994/iO1,50~-_,--_~---~- ~--,1,50~------,~--~----_-- ---,EZ -0,50:E:l!::L150+-----,-+_____,-.__---,~.______,-__,_ .....-__,_.....-__,_.....-..,? N-M-diagram voor breuk en voor scheurvorminga. breukb. scheurwijdte 0,1 mm0,50/ " ,& N:M?}( x (N1 .M1 )-5 0~N(MN}10b15a20 25 30"5 0 10 15 20 25 30 35~N(MN)f{,=-- B5 ---- BO --- 75 ............. B5 _._.- BQ _ ..~"- 75br br br sch sch sch@ Invloed van de betondruksterkte op de grenscurvep : de kruipfactor na 120 jaar (de ontwerp-periode);kM: de correctiefactor op het buigend mo-ment.alaisde som van het gewicht van het zeewa"ter en het volumegewicht van de grondlagenboven de as van de tunnel. Omdat de Britsetunnels niet waterdicht zijn (het waterstroomt langs de voegen naar binnen) wordtrond de bekleding geen hydrostatische drukopgebouwd.In de onmiddellijke nabijheid van de tunnelzullen de pori?nwaterspanningen daaromklein zijn. Het is dus gerechtvaardigd te reke-nen met effectieve grondspanningen (kor-relspanningen) die gelijk zijn aan de totalegrondspanningen. (De pori?nwaterdrukneemt lineair toe met de diepte, maar zalvanaf een zekere afstand van de tunnel li-neair afnemen tot een waarde nul aan detunnelwand.)Aan Franse zijde is de tunnelbekleding wa-terdichten gaat deze redenering dus niet op.Daar moeten voor de berekening de korrel-spanningen en de hydrostatische pori?nwa-terspanningen worden gesuperponeerd.De correctiefactor voor de normaalkracht kNis afhankelijk van kM en wordt derhalve nietals afzonderlijke stochastische veranderlijkegenomen.De co?ffici?nt voor horizontale gronddruk isniet noodzakelijk gelijk aan de co?ffici?ntvoor neutrale gronddruk. Ka kan zelfs eenwaarde 3 hebben ten gevolge van:? platentectoniek;? 'invriezen' van de horizontale spanningenCEMENT1994/10ten gevolge van hogere verticale spannin-gen in vroegere tijden.Ka kan niet worden berekend en dient dus teworden opgemeten.Eigenschappen van de bekledingDe meeste eigenschappen van de bekledingliggen vast: de straal van de tunnel, de dikte(tot 0,1 mm nauwkeurig) enz. Deze karakte-ristieken zijn daarom niet als veranderlijkenbeschouwd, maar als Constante parame-ters.Een aantal andere eigenschappen van debekleding zijn iets minder goed bekend: deelasticiteitsmodulus van het beton, de be-tondruksterkte f'benz. De onzekerheden opdeze gegevens zijn echterveel kleiner dan deonzekerheden op de grondkarakteristieken.Voor deze mindergoed bekende bekledings-karakteristieken is een parameterstudie uit-gevoerd. Hierbij is nagegaan wat de invloedisvan de variatie van deze karakteristiekenop de grenscurve (zie hierna).Alleen de betondruksterkte bleek een aan-zienlijke invloed te hebben (fig. 10). De be-tondruksterkte werd daarom van alle karak-teristieken van de bekleding als enige veran-derlijke genomen.Onzekerheid in het modelEr is ook nog een stochastischeveranderlij-ke Xl beschouwd die rekening houdt met deonzekerheid in het model voor de bereke-ning van de spanningen in de bekleding.Deze onzekerheid vloeit voort uit de tweevoornaamste basisveronderstellingen:? de grond is elastisch;? de spanningsverdeling langs de omtrekvan de bekleding verloopt sinuso?daal.25? tunnelbouw ? onderzoek?? Opgemeten spanningsverdelingAan de eerste veronderstelling is vrij goedvoldaan daar de maximale verticale grond-spanning 2 MPabedraagt ende breukspan-ning van de grond van de grootteorde 10MPa is. De grond zal zich vrij elastisch gedra-gen.De onzekerheid in de berekende N en Mvloeit dus voort uit de onzekerheid in hetver-loop van decontactspanningen tussen tun-nel en grond.Figuur 11 toont een opgemeten spannings-verdeling. Deze is veel minder homogeendan in het gebruikte model. De bedoelingwas de onzekerheid in het gebruikte modelweer te geven door een enkele stochasti-sche veranderlijke, met gemiddelde waardeo en een voldoende groot gekozen stan-daardafwijking o. Er kon een schatting wor-den gemaakt van deze standaardafwijkingdoorde invloed van ??n enkele Fourier-com-ponent na te gaan (de waarde van de ampli-tude werd geschat uit de experimentelespanningsverdeling; de faseverschuivingten opzichte van de sinusfunctie werd zoda-nig gekozen, dat de invloed op N en M zogroot mogelijk is). Aldus werd een boven-grens verkregen voor o. Indien alle Fourier-componenten als stochasten waren be-schouwd, zou deze a nauwkeuriger bepaaldkunnen zijn, maar dit vereiste opgemetenspanningsverdelingen (op verschillendeplaatsen langs de tunnel) die niet beschik-baarwaren.Erwerd dus met 9 stochastische veranderIij-ken gewerkt: 01?, E, V, Ko' ?d, ({J, kM' f'b en Xl'26SORM: Second Order Reliability MethodDe faalkans werd berekend volgens de me-thode FORM-SORM [4], die bereidwillig opcomputer ter beschikking werd gesteld doorprof.J.Van Dijck. In deze methode wordt degrenscurve of defaalcurve (g(x) = 0 )gedefi-nieerd als de binnenste curve van hetN-M-diagram voor breuk en het N-M-diagramvoor een scheuropeningvan 0,1 mmo (xis devector van de stochastische veranderlijken,g(x) = 0 is hier dus gedefinieerd in een ne-gendimensionale ruimte.)Het gebied dat binnen de grenscurve ligt ishet veilige gebied, het gebied buiten dezecurve bevat alle combinaties van Nen M dieaanleiding geven tot falen.De negendimensionale ruimte wordt eerstgetransformeerd naar een gestandaardi-seerde ruimte in negen standaard-normaalvariabelen (variabelen met gemiddeldewaarde 0 en standaardafwijking 1). Vervol-gens wordt op zoek gegaan naar het meestkritische faalpunt: van alle punten op degrenscurve dat punt dat de grootste kansheeft om voorte komen, (N*,M*) in figuur 9.Dit gebeurt iteratief. Hierbij moet in iedereiteratiestap de grenscurve (dus het N-M-dia-gram) opnieuw worden berekend, omdat de-ze functie is van ??n van de stochastischeveranderlijken (f~).In het kritische faalpunt wordt de grenscurvedan benaderd door een rechte (in de metho-de FORM) of door een tweedegraads-Taylor-ontwikkeling (in de methode SORM). Metde-ze benaderde grenscurve en in de gestan-daardiseerde ruimte is het dan mogelijk omdefaalkans PIte berekenen. PIls de integraalover het faalgebied van de kans dat de tun-nelsectie zich bevindt in een bepaalde toe-stand, voorgesteld door een punt in de ne-gendimensionale toestandsruimte.De faalkans wordt vaak voorgesteld door {3,in de vorm PI =