Rekenmodel VVUHSB 50 3 2 0 11 thema Rekenmodel VVUHSB In civiele constructies wordt vezelversterkt ultra-hogesterktebeton al vaker toegepast, echter in bouwkundige constructies nog nauwelijks. Hoewel de ontwikkeling van het materiaal ver is gevor - derd en er al veel onderzoek heeft plaatsgevonden, ontbreekt er nog altijd voldoende regelgeving en standaardisering. Om hier wat aan te doen heeft CAE Nederland rekenmodellen ontwikkeld. 1 Toepassing van vezelversterkt ultra-hogesterktebeton in bouwkundige constructies (1) schappen van beton leert dat als de druksterkte met 50% toeneemt, de treksterkte slechts een toename laat zien van 15%. De elasticiteitsmodulus blijft nog verder achter. Bij een verho- ging van de druksterkte met 50% neemt de elasticiteitsmodulus toe met slechts 5%. Door toevoeging van staalvezels ontstaat een aanzienlijk hogere treksterkte (fig. 2) en elasticiteit. Als vezels aan UHSB worden toegevoegd, wordt gesproken van vezelversterkt ultra- hogesterktebeton (VVUHSB of Ultra High Performance Fiber Reinforced Concrete, UHPFRC). De vezels kunnen qua vorm, Naast aandacht voor verwerkbaarheid in relatie tot wapenings- dichtheid, duurzaamheid en beperking van krimp is er de laatste decennia veel aandacht voor de ontwikkeling van de druksterkte van beton. Daarbij wordt beton met een karakteris- tieke druksterkte hoger dan 150 N/mm 2 doorgaans gedefini- eerd als ultra-hogesterktebeton (UHSB of Ultra High Perfor - mance Concrete ? UHPC). Hoge druksterktes voor beton worden vooral bereikt door een korrelskelet te realiseren met een zeer dichte en homogene structuur. Een nadere beschouwing van de materiaaleigen- Rekenmodel VVUHSB51 3 2 0 11 27rekenwaarde druksterkte B45 B85B115 B200B200 2,5% staalvezels B200 1% staal/ 2% PVA vezels 1,65 2,352,654,5 8,0 10,0 50 64120 120120 rekenwaarde treksterkte lengte en toegepast materiaal sterk variëren. Kleine, korte staal- vezels (tot 6 mm) hebben een gunstige invloed op het scheur - gedrag, terwijl lange vezels (tot 60 mm) worden toegepast om de buigtreksterkte te verhogen. Een combinatie van verschil- lende vezeltypen is eveneens mogelijk. Zo kan spatgedrag ten gevolge van brand worden voorkomen door naast staalvezels pva-vezels (synthetische vezels) toe te voegen. Een belangrijk nadeel van vezelversterkt beton is de vaak beperkte mogelijkheid controle te houden over de richting en de verdeling van de vezels tijdens de stort en dus in het eind- product. Om de hoge dichtheid en een goede verwerkbaarheid van het beton te behouden, moet de samenstelling van het mengsel worden afgestemd op het soort en toegevoegde percentage vezels. Op grond van de hoge druksterkte is VVUHSB bijzonder geschikt voor toepassing in voor- of nagespannen constructies. Dit is de reden dat het materiaal vooral wordt toegepast in de civiele sector, bijvoorbeeld in Frankrijk, Duitsland, Canada, de Verenigde Staten en ook in Nederland. In bouwkundige constructies wordt VVUHSB wereldwijd echter nog maar zelden gebruikt. De slag van het onderzoeksstadium naar prak- tische rekenregels, die aansluiten bij de belevingswereld en beroepspraktijk van de constructeur, moet nog worden gemaakt. Er wordt sinds enige tijd wel gewerkt aan de gewenste regelge- ving. Binnen fib (Féderation Internationale du Béton) bereidt de Special Activity Group 5 (SAG 5) een update voor van de CEB-FIP Modelcode 90, zoals gepubliceerd in 1993. Binnen dit kader richt fib Task Group 8.3 zich op FRC en fib Task Group 8.6 op UHPFRC. Een Europese norm als onderdeel van de Eurocodes is op komst. Het huidige tekort aan regelgeving in combinatie met de diver - siteit aan toepassingsmogelijkheden heeft CAE Nederland geïnspireerd rekenmodellen te ontwikkelen, waarmee elemen- taire betonberekeningen kunnen worden uitgevoerd. Deze rekenmodellen zijn ondergebracht in spreadsheets en spitsen zich toe op constructieve elementen belast op normaalkracht, dwarskracht en buiging. Rekenmodellen en regelgeving Constructieve elementen worden in hoofdzaak belast op momenten, dwars- en normaalkrachten of combinaties daarvan. Deze inwendige krachten moeten worden vertaald naar optredende spanningen en vervolgens worden getoetst aan de toelaatbare spanningen. Hiervoor zijn kennis van de materiaaleigenschappen en een passend ?-?-diagram nodig. Er is behoefte aan een rekenmodel ten behoeve van een toets op dwarskracht en een kolomgrafiek in een vorm die gelijkenis heeft met de GTB. Deze aspecten met bijbehorende ontwerp- keuzes zullen in dit en een volgend artikel nader worden toege- licht. Er is hierbij gestreefd naar een zo goed mogelijke aanslui- ting op NEN-EN 1992 (Eurocode 2). De belangrijkste publicaties op het gebied van regelgeving zijn op dit ogenblik [13], [14], [15] en [16]. Opvallend is dat in [14] en [15] regelmatig wordt verwezen naar [13]. Ze zijn daarmee toegespitst op het gebruik van het merk Ductal van de Franse leverancier Lafarge. Naast deze publicaties is er op het gebied van VVUHSB in de afgelopen jaren een grote hoeveelheid artikelen verschenen. Natuurlijk bevatten de vele publicaties overeenkomsten, maar van een echte eenduidigheid in uitgangspunten, benaderings- wijze en resultaten is geen sprake. Wel kan op grond van vele onderzoeksresultaten worden geconcludeerd dat de betonsa- menstelling sterk van invloed is op de eigenschappen van het materiaal. Globaal gesproken gaat het hierbij om de aangehou- den water-cementfactor, het soort en de hoeveelheid vul- en hulpstoffen en het soort en percentage aan vezels. Voor het opstellen van het ?-?-diagram, de berekening op dwarskracht en de kolomberekening is gekozen voor een samenstelling met eigenschappen uit tabel 1. ir. Hans Ketel RO, ing. Rolf Willemse PMSE RC, ing. Paul van Rijen en ing. Edwin Koolen CAE Nederland bv 1 Ductal, toegepast in de Pont du Diablefoto: Laurent Boudereaux2 Ontwikkeling van druk- en treksterkte Tabel 1 Eigenschappen beschouwde samenstelling, conform opgave leverancier (Lafarge, Ductal FM) eigenschap indicatiewaarden druksterkte 150 ? 180 MPpa buigtreksterkte 15 ? 45 MPa E-modulus 50 ? 60 GPa dichtheid 2,5 g/cm 3 capillaire porositeit (>10 ?m)met warmtebehandeling: 0,5 ? 0,7% zonder warmtebehandeling: 1,2 ? 1,6% totale porositeit met warmtebehandeling: 1,9 ? 2,8% zonder warmtebehandeling: 4,0 ? 6,0% 2 Rekenmodel VVUHSB 52 3 2 0 11 0 0,3 mm 1e scheur 1% L f /4 W k scheurwijdte (1%) (w0,3) [N/mm 2 ] elastische tak Eij bcu u 1% btu bf f tj / lim bc u u 1% u 0,3 e thema 3a Trekgebied ?-?-diagram voor strain-softeningge - drag volgens AFGC / Setra 2002 (geïdealiseerd) 3b ?-?-diagram voor strain- hardeninggedrag volgens AFGC / Setra 2002 (geïde - aliseerd) rek bij grenswaarde betonstuik: ? u = 3 . 10 -3 rek ontstaan bij de eerste scheur: ? e = f tj ______ ?bf . E ij rek bij scheurwijdte van 0,3 mm: ? u0.3 = w 0.3 ___ lc + f tj ______ ?bf . E ij waarin w 0.3 = 0,3 mm rek bij scheurwijdte gelijk aan ? u1% = w 1% ___ lc + f tj ______ ?bf . E ij 1% van proefstukhoogte waarin w 1% = 0,01 . h en h = hoogte van het proefstuk (in mm) maximaal opneembare rek ? lim = l f ____ 4 . l c waarin l f de vezellengte is in mm Voor de spanningen geldt: ? bcu = 0,85 . f cj _____ ? . ? b ? btu = ? (w0.3) ______ k . ? bf waarin ? (w0.3) de karakteristieke spanning is bij een scheurwijdte van 0,3 mm ? u1% = ? (w1%) ______ k . ? bf , waarin ? (w1%) de karakteristieke spanning is bij ? = ? u1% In bovenstaande formules voor ? u0.3, ?u1% en ? lim is l c de karakte- ristieke lengte waarvoor geldt: l c = ? h. Hierin is h de element- hoogte. Door middel van deze karakteristieke lengte wordt dus een overgang bewerkstelligd van rek naar scheurwijdte. Daar waar binnen [13] voor vezelbeton een waarde voor l c van ? h wordt aangehouden wordt binnen CUR 111 een waarde ter grootte van h ? h x verondersteld. Hierbij moet worden opge- merkt dat CUR 111 specifiek voor vloeren geldt, dus voor rela- tief dunne elementen. Opstellen van het ?-?-diagram in de uiterste grenstoestand De basis voor de berekening van een snede belast op buiging wordt gevormd door het geïdealiseerd ?-?-diagram conform [13] (fig. 3). Momenteel is dit de enige norm waarin de uitgangspunten voor het opstellen van een ?-?-diagram voor balken of gedrongen elementen zijn vastgelegd. Voor dunne, slanke elementen voldoet dit diagram niet en wordt terugge- grepen op het diagram voor vezelbeton conform [16]. Wat voornamelijk opvalt binnen het trekgebied van dit ?-?-diagram is het relateren van de spanning aan de scheur - wijdte. Voorts wordt ? met het oog op uittrekken, dan wel breuk van de vezels ? van de veronderstelling uitgegaan dat de vezels geen bijdrage meer leveren aan de opname van de snede- kracht indien een rek van ¼ deel van de vezellengte ontstaat. Indien ? u1% groter is dan ? lim, dan verloopt de grafiek van ? u0.3 in een rechte lijn naar ? lim. In figuur 3a is dit met de blauwe gestippelde lijn weergegeven. Om het verloop van het ?-?-diagram te bepalen staat in [13] omschreven welke proeven moeten worden uitgevoerd en op welke wijze. Bij belasting op trek zijn de vezels binnen het elastische gebied nauwelijks actief. De trekspanning wordt door de betonmatrix opgenomen. Na het ontstaan van de eerste scheur worden de vezels geactiveerd. Afhankelijk van het vezelpercentage en de grootte van de staalvezels zal de opneembare trekspanning eerst nog toenemen. Het materiaal vertoont dus verstevigings- of strain-hardeninggedrag. In de trekkromme van staal komt dit gedrag tot uiting in het deel van het plastisch gebied dat zich uitstrekt vanaf de vloeigrens tot het punt waarop de maxi- male trekspanning wordt bereikt. In geval van strain-softeninggedrag neemt na het ontstaan van de eerste scheur de spanning direct af. Het percentage en de grootte van de staalvezels zijn zodanig dat geen verstevigings- gedrag op zal treden. Voor elke individuele betonsamenstelling zal dus proefondervindelijk moeten worden vastgesteld of er sprake is van strain-hardening dan wel van strain-softening. Volgens [13] geldt voor de rekken: 3a 3b Rekenmodel VVUHSB53 3 2 0 11 sr se sr = staalspanning in de scheurse = staalspanning in de stoorzonec = gemiddelde betontrekspanning (toelaatbaar) c staal verloop bij voltooid scheurpatroon beton sr;max Wk W k = scheurwijdte (verschil in verlenging tussen het beton en staal) s r;max CUR-111 h-hxAFGC-Setra2002 2/3h spanning nul-lijn neutrale lijn ongescheurde doorsnede gescheurde doorsnede c h x h verwaarloosd in CUR-111 softening gedrag hardening gedrag betonspanning = 0 4 Model betonnen trekstaaf t.b.v. verband rek en scheurwijdte 5 Rek- en spanningsverloop staal- vezelbeton volgens CUR 111 en AFGC / Setra 2002 in de UGT Daarnaast bestaat het praktische nadeel dat met het verband tussen scheurwijdte en rek tevens een directe relatie wordt gelegd tussen elementhoogte en rek. Het verloop van het span- nings-rekdiagram is hierdoor afhankelijk van de gekozen afme- tingen van het te toetsen element. Met andere woorden: bij wijziging van de hoogte van een te toetsen element, verandert de karakteristieke lengte l c en daarmee ? u0.3, ?u1% en ? lim. Bij wijziging van het rekverloop wijzigt ook het spanningsverloop. Immers, zoals in figuur 8 is weergegeven zijn binnen de door - snede drie onbekende inwendige krachten te onderscheiden, namelijk de resultante van het drukgebied (N), de resultante van het trekgebied (T) en de resulterende trekkracht in de wapening (T s). Bij een inwendig statisch onbepaalde belastings- situatie is de spanningsverdeling afhankelijk van de optredende rekken. Dit vraagt dus om een berekening met een spreadsheet, waarmee een iteratieve berekening kan worden uitgevoerd. Bij het afleiden van het ? -? -diagram voor zowel de uiterste grens- toestand als de bruikbaarheidsgrenstoestand is aansluiting gezocht bij NEN-EN 1992. In tabel 2 en 3 is aangegeven welke symbolen van toepassing zijn binnen [13] en de NEN-EN 1992. Onder - scheid is hierbij gemaakt tussen het druk- en het trekgebied. Figuur 4 heeft betrekking op een betonnen trekstaaf, waarin één wapeningsstaaf opgenomen is. Dit model verschaft inzicht in bovengenoemd verband tussen scheurwijdte en rek. De totale scheurwijdte is de som van de scheurwijdte op het moment van scheuren en de verlenging ná het voltooien van het scheurpatroon. Er geldt: w k = w sr + ?w waarin: w sr = 2 . s r;max . (? sm ? ? cm) Hierin is s r;max de inleidingslengte, ? sm de gemiddelde staalrek en ? cm de gemiddelde betonrek. Voor s r;max geldt binnen het model uit figuur 4: s r,max = 0,25 . Ø __ ?L . fctm ___ fbd Voorts geldt voor de gemiddelde staal- en betonrek: ? sm = 0,5 . (? sr + ? se) ____________ Es = 1 _____ 2 . E s . (? sr + n . ? c) en ? sm = 1 _____ 2 . E s . n . ? c zodat uiteindelijk wordt gevonden: w k = 2 . 0,25 . Ø __ ?L . fctm ___ fbd . (? s ? 0,5 . ? sr) ___________ Es w k = 2 . s r;max . ? In het geval van traditioneel gewapende elementen zijn het aantal wapeningsstaven en de aanhechtspanning bekend, zodat de maximale scheurwijdte en rek nagenoeg exact kunnen worden vastgesteld. Voor staalvezelbeton is de term s r,max lasti- ger te definiëren. Er kan immers geen zuivere uitspraak worden gedaan over de aanhechting, het beschikbare oppervlak en de spreiding, ligging en oriëntatie van de vezels. Tabel 2 Overzicht symbolen in drukzone symbolen benaming AFGC / Setra 2002NEN-EN 1992 karakteristieke cilinderdruksterkte f cj fck gemiddelde cilinderdruksterkte -f cm rekenwaarde druksterkte f bcu fcd elasticiteitsmodulus E ij Ecm rek bij plastische vervorming? bc ?c3 rek bij grenswaarde betonstuik ? u ?cu3 coëfficiënt langeduureffecten ?? cc partiële materiaalfactor ? b ?c 4 5 Rekenmodel VVUHSB 54 3 2 0 11 50000 C90 C80 C70 C60 C50 C35 C25 in N/mm 2 in ? 113 2,3 0,106 + 0,106 450 ____ h 4875 ____ h 2,6 5,3 6,4 post-peak gedrag post-peak gedrag -0 0 -1 -2-3-4 -20 -40 -60 -80 -100 c [10 -3 ] compressive strain c [MPa] compressive stress thema grenswaarde bij betonstuik gelijk, namelijk 2,6?. Vanwege de geringe verschillen tussen de experimenteel gevonden waarden en de waarden conform NEN-EN 1992, zijn de waarden voor ? c3 en ? cu3 overeenkomstig NEN-EN 1992 aangehouden. Er geldt: ? c3 = 2,3? ? cu3 = 2,6? Uit figuur 6a blijkt dat het mengsel van Ductal ? waarvan de materiaaleigenschappen de basis hebben gevormd voor het maken van de oriënterende berekeningen ? na het ontstaan van de eerste scheur strain-hardening ofwel verstevigingsgedrag vertoont. Ter vereenvoudiging van het ?-?-diagram wordt het rood gearceerde deel buiten beschouwing gelaten. Het opper - vlak van dit gearceerde deel is zeer klein ten opzichte van het gehele oppervlak aan de trekzijde van het diagram, vanwege de relatief hoge waarde voor ? ctu ten opzichte van ? ct;0.3 en ? ct. fctd;2 komt hierdoor te vervallen waardoor voor f ctd;1 het symbool f ctd wordt gebruikt. De belangrijkste formules waarop de waarden volgens tabel 4 gebaseerd zijn, worden als volgt bepaald: f cd = ? cc . fck/?c , waarin ? cc = 1,0; E cd = f cd/?c3 ;fctd;1 = f ctk;0.05 /?c ; f ctd;2 = ? (w0.3) /k . ? c; ?ctu = l f/4 . l c ; ?ct = f ctd;1 /Ecd Het ?-?-diagram dat de basis vormt voor berekeningen in de uiterste grenstoestand is weergegeven in figuur 6a. Uit proeven met Ductal is gebleken dat ? bij belasting op druk ? de plastische fase wordt bereikt bij een rek van 2,35?. De grenswaarde van de rek bij betonstuik wordt bereikt bij 3? [3]. Zoals uit figuur 9 blijkt, stelt NEN-EN 1992 ? rekeninghou- dend met post-peak gedrag ? een begrenzing aan de rek bij betonstuik afhankelijk van de betonsterkteklasse. Post-peak gedrag is kenmerkend voor hogere betonsterkteklassen en wil zeggen dat de rek nog iets toeneemt bij een sterke teruggang van de opneembare drukspanning. Dit typische gedrag treedt op vanaf C55. Naarmate de betonsterkteklasse hoger wordt neemt de grenswaarde bij betonstuik af. Vanaf C80/95 blijft de Tabel 3 Overzicht symbolen in trekzone gekozen / gebruikte symbolen benaming AFGC / Setra 2002NEN-EN 1992aangepast symbool in NEN-EN stijl karakteristieke treksterkte f tj fctk;0.05 spanning bij ontstaan 1 e scheurf tj / ?bf - f ctd;1 spanning bij voltooid scheurpatroon ? btu -f ctd;2 rek bij ontstaan 1 e scheur ? e ?ct - rek bij voltooid scheurpatroon ? u0.3 -? ct0.3 rek bij scheurwijdte van 1% ? u1% -? ct1% maximaal opneembare rek ? lim ?ctu - partiële materiaalfactor ? bf ?c - scheurwijdte ww k - karakteristieke lengte l c -- elasticiteitsmodulus E ij Ecm - vezeloriëntatiefactor k- - vezellengte l f -- spanning bij scheurwijdte van 0,3 mm ? (w0.3) -- spanning bij scheurwijdte van 1% ? (w1%) -- Tabel 4 Overzicht materiaaleigenschappen symbool VVUHSB benaming C170 / 200 karakteristieke cilinderdruksterkte f ck 170 MPa karakteristieke kubusdruksterkte f ck;cube 200 MPa rekenwaarde druksterkte f cd 113 MPa karakteristieke treksterkte f ctk;0.05 8 MPa karakteristieke waarde treksterkte bij w = 0,30 mm? (w0.3) 12 MPa rekenwaarde treksterkte bij ontstaan 1e scheur f ctd;1 5,3 MPa rekenwaarde treksterkte bij w = 0.30 mm f ctd;2 6,4 MPa elasticiteitsmodulus E cm 50 000 MPa rek bij plastische vervorming ? c3 2,3 ? rek bij grenswaarde betonstuik ? cu3 2,6 ? rek bij ontstaan 1e scheur ? ct 0,106 ? rek bij w = 0,30 mm ? ct;0.3 (450/h) + ? ct ? maximale rek trekzijde ? ctu (4875/h) = 5,0 ? 25,0 ? vezeloriëntatiefactor k1,25 6a 6b Rekenmodel VVUHSB55 3 2 0 11 spanning rek 2,35 ? 3 ? bcu spanning rek C20 C35 C50 C55 C60 C70 C80 C90 2,35 ? 3 ? bcu spanning rek C20 C35 C50 C55 C60 C70 C80 C90 2,3 ? 2,6 ? f cd a aT T T 1 x1 x 2 x 3 T 2 T 3 trekgebied nader beschouwd T Ts N x a x x T 0,9h-x ) x (1- cu3 c3 ctct;0,3 ctd ctus tevens geldt: T s = A s . fyd Dan volgt voor de hoogte van het drukgebied: x = A s . fyd __________________________________ b . (0,56 . f cd ? 192,31 . f ctd . [? ctu + ? ctd ? ? ct] Hierbij is x begrensd overeenkomstig artikel 5.5. van NEN-EN 1992-1-1 ? ? 0,54 + 1,25 ( 0,6 + 0,0014 ______ ?cu3 ) . x u __ d voor f ck > 50 N/mm 2 waarin: ? = M nhvd _____ Mel = 1 en d = 0,9h ? x u = 0,9h _____________________ 0.54 + 1,25 ( 0,6 + 0,0014 ______ ?cu3 ) en ten slotte volgt voor de maximale momentcapaciteit: M u = N . x . (1 ? ?) + T . a + T s . (0,9h ? x) Uit gemaakte berekeningen voor balken van verschillende afmetingen is gebleken dat de inwendige spanningsverdeling volgens figuur 8, dus het bezwijkstadium in de uiterste grens- toestand, niet zal worden bereikt zonder toepassing van voor - spanning. Leidend is namelijk de optredende rek in het conventionele wapeningsstaal. In de berekeningen is deze karakteristieke rek bij maximale belasting overeenkomstig NEN-EN 1992-1-1 (? uk) begrensd op 5%. Hierbij is uitgegaan van een staalkwaliteit B500B. De hoge benodigde rek in het wapeningsstaal om deze plastische spanningsverdeling moge- lijk te maken is eenvoudig te verklaren uit de kleine benodigde hoogte voor het drukgebied ten gevolge van de hoge toelaat- bare drukspanning. Op grond van een evenwichtsbeschouwing van een op buiging belaste doorsnede volgens figuur 8 is uiteindelijk ? met het verband tussen spanningen en rekken ? het maximaal opneem- baar moment af te leiden. Voor het drukgebied geldt: N = 0,56 . b . f cd . x en ? . x = 0,34 . x Voor het trekgebied geldt: x T= ? i=1 3 xi = 384,62 . x . ? ctu T = ? i=1 3 Ti = 192,31 . x . f ctd . b . ( ?ctu + ? ctd ? ? ct) a = T 1 . 2/3 . x 1 + T 2 . (1/2 . x 2 + x 1) + T 3 . (1/3 . x 3 + x 2 + x 1) ____________________________________________ T 9a Rekken volgens Ductal 9b Rekken volgens Ductal en NEN-EN 1992 9c Aangehouden rekken UGT 6a Geïdealiseerd ?-?-diagram UGT 6b Werkelijk verloop ?-?-diagram UGT 7 Trekgebied spanning- en rekdiagram 8 ?-?-diagram over de doorsnede in UGT 7 8 9a 9b 9c Rekenmodel VVUHSB 56 3 2 0 11 thema 10 ?-?-diagram over de doorsnede in BGT 11 ?-?-diagram voor dunne platen overeenkomstig CUR 111 Voor dunne platen geldt ten slotte: ? ft;max = w max _______ 2(h ? x) ? b = x _____ h ? x . ? ft;max ftd = f td1 ? ? ft;max ____ ?ctu . (f td2 ? f td3) ? = 1/2 . f td + 1/6 . (f td2 ? f td) ___________________ ftd + 1/2 . (f td2 ? f td) T = 1/2 . b . (h ? x) . (f td + f td2) N = 1/2 . ? b . b . x f td;3 is de spanning waarbij de optredende rek 25? bedraagt. De waarde voor f td;3 dient experimenteel te worden bepaald. Voor de gemaakte oriënterende berekeningen is deze waarde, vanwege het ontbreken van deze proefresultaten gelijk aan 0 N/mm 2 verondersteld. Ter indicatie: stel de hoogte van het drukgebied (x) en de reste- rende hoogte (h ? x) verhouden zich als 1:3. Voorts wordt uitgegaan van een vloer van 150 mm dik. De optredende scheurwijdte bedraagt de maximaal toelaatbare waarde van 0,30 mm. Dan ontstaat aan de trekzijde een verlenging van 1,3? in de uiterste vezel. Het optredende verschil tussen f td3 = 0 en 0 < f td3< ftd2 bedraagt in dat geval niet meer dan 5%. Met andere woorden: de conservatieve benadering om voor f td3 = 0 N/mm 2 aan te houden leidt tot een zeer beperkte afwijking in de bijdrage van het trekgebied aan het opneembaar inwendig moment doordat het verschil tussen ? ft;max en ? u relatief groot is. Rekenvoorbeeld Ter illustratie van het verschil in gedrag tussen een balk vervaardigd uit VVUHSB en conventioneel beton is een reken- voorbeeld opgesteld waarvan de resultaten samengevat zijn in tabel 5. Het betreft een balk met een breedte van 400 mm en een hoogte van 600 mm. Om de wapening te laten vloeien voordat de betonstuik wordt bereikt, kan voor beide situaties de maximaal toelaatbare hoogte van het drukgebied worden bepaald. Op grond van deze maximaal toelaatbare hoogte kan de maximale hoeveelheid wapeningsoppervlak worden vastge- steld, om ten slotte tot het maximaal opneembaar moment te komen. Vanwege het aanmerkelijk hoger maximaal wapenings- In de meest gangbare gevallen blijkt het optredend moment in de uiterste grenstoestand al opneembaar met de veronderstelde spanning-rekverdeling in de buikbaarheidsgrenstoestand, zoals in figuur 10 weergegeven. Dit wordt hoofdzakelijk bewerkstel- ligd door het betrekkelijk omvangrijke trekgebied, dat een significant aandeel aan het inwendig momentevenwicht levert. Voor dunne platen is de spanning-rekverdeling, zoals voorge- steld in CUR 111, beter bruikbaar dan de spanning-rekverde- ling overeenkomstig figuur 8. Het spanning-rekdiagram volgens CUR 111 is weergegeven in figuur 11. Voor zowel slanke als gedrongen elementen kan voor de bere- kening van het maximaal opneembaar moment het spannings- figuur, zoals dat van toepassing is in de bruikbaarheidsgrens- toestand, worden aangehouden. Met deze conservatieve bena- dering wordt reeds in de uiterste grenstoestand aan de scheur - wijdte eis van w max = 0,30 mm voldaan. Hiertoe wordt in het ?-?-diagram ten behoeve van de bruikbaarheidsgrenstoestand de optredende staalrek beperkt tot een rek corresponderend met een scheurwijdte van 0,30 mm. Voor de relatie tussen rek en scheurwijdte geldt in dit geval: w k = 2 __ 3 h . (? s ? ? ct) ? 3w k ____ 2h = ? s ? ? ct zodat ? s = 3w k ____ 2h + ? ct Voorts kan worden afgeleid: T = (d ? x) . ( 1 ? 1 __ 2 . ? ct __ ?s ) . fctk;0.05 . b a = 1 __ 2 + 5 __ 6 . ( ?ct __ ?s ) 2 __________ 1 ? 1 __ 2 ( ?ct __ ?s ) . (d ? x) ? a = ? . (d ? x) waarin ? = 1 __ 2 + 5 __ 6 . ( ?ct __ ?s ) 2 __________ 1 ? 1 __ 2 ( ?ct __ ?s ) N = 1 __ 2 . x 2 ______ (d ? x) . ? s . E cm . b zodat volgt: M qp = 2/3 . N . x + (d ? x) . (T . ? + Ts) Tabel 5 Vergelijk opneembare momenten wapening [mm 2] wap. percentage [%] C28/35 C170/200 opneembaar moment balk b x h = 400 x 600 mm 2 3115 1,3604 kNm708 kNm 6392 2,7niet haalbaar 1503 kNm }Mu;d = N . 2/3 . x + T . ? . (h ? x) Rekenmodel VVUHSB57 3 2 0 11 T T s N a x x T = d - x 2/3 x c ct c s fctd cu3 ft;max u = 25? f cd ftd;2 f td f td;3 T N x x ) x (1- (h-x) £ percentage voor een balk uitgevoerd in VVUHSB is het maxi- maal opneembaar moment aanzienlijk groter. Wordt dezelfde balk voor zowel VVUHSB als conventioneel beton voorzien van dezelfde wapeningshoeveelheid, dan ligt het maximaal opneembaar moment voor de balk vervaardigd uit VVUHSB slechts 17% hoger. Deze lichte verhoging komt tot stand door de extra bijdrage geleverd door de vezels. Conclusie ? VVUHSB toegepast in elementen belast op buiging vertoont ? indien voorzien van dezelfde wapeningshoeveelheid ? geen opmerkelijk hogere opneembare momenten dan elementen vervaardigd uit conventioneel beton. ? Toepassing van VVUHSB maakt een hoger maximaal wape- ningspercentage mogelijk waardoor uiteindelijk het maxi- maal opneembaar moment aanzienlijk hoger uitvalt. ? Indien geen voorspanning wordt toegepast is scheurvorming maatgevend. ? In de bruikbaarheidsgrenstoestand leveren de vezels een grote bijdrage aan het opneembaar moment. ? VVUHSB is bij uitstek geschikt voor het opnemen van hoge drukkrachten. Het toepassen van voorspanning leidt tot slanke constructies die hoge belastingen op kunnen nemen. In een volgend artikel wordt aandacht besteed aan een toets op dwarskracht en worden kolomberekeningen gepresenteerd. Meer informatie Voor meer informatie over VVUHSB zie www.uhsb.nl . ?? BROnnEn 1 Prisco, M. di, Pizzari, G. & Vandewalle, L, Fibre reinforced concrete: New design perspectives. RILEM, 2009. 2 Chanwillard, G. & Rigaud, S., Complete characterisation of tensile properties of Ductal UHPFRC according to the French recommendations. Lafarge Labortoire Central de Recherche, St. Quentin Fallavier, France. 3 Association Française de Génie Civil (AFGC), Service d'études techniques des routes et autoroutes (Setra), 2002, Bétons fibrés à ultra-hautes performan- ces recommandations provisoires. 4 Ductal, Mechanical Performances, Lafarge. 5 NEN-EN 1992-1-1: Eurocode 2: Ontwerp en berekeningen van beton- constructies ? Deel 1-1, Algemene regels en regels voor gebouwen. 6 Bruin, H.J. de, Voorgespannen spoor - brug in hogere sterkte beton, slank, slanker, slankst!,TU Delft, Holland Rail- consult, 2003. 7 Walraven, J.C., College: High strength concrete. TU Delft, sectie Betoncon- structies, 2009. 8 Walraven, J.C., Hoge sterkte beton: van idee naar realisatie.TU Delft, sectie Betonconstructies. 9 Schmidt, M. & Fehling, E., Ultra-High- Performance Concrete: Research, Development and Application in Europe. 2003. 10 Naaman, A.E., High Performance Fiber Reinforced Cement Composites. Department of Civil and Environmen- tal Engineering University of Michi- gan, 2003. 11 Wiens, U, Sachstandbericht UHFB Druckfassung 2007-05-21. DAfStb, Germany, 2007, 12 Schachinger, I., Schubert, J., Mazanec, O., Effect of Mixing and placement Methodes on Fresh and Hardened Ultra High Performance Concrete (UHPC). 1 st symposium Kassel, Germany 2004. 13 FGC / Setra 2002, Ultra High Perfor - mance Fibre-Reinforced Concretes, Interim Recommendations. Associa- tion Française de Génie Civil, Groupe de Travail BFUP. 14 Recommendations for Design and Construction of Ultra High Strength Fibre Reinforced Concrete Structures (Draft). Japan Society of Civil Engineers. 15 Design Guidlines for Ductal Prestressed Concrete Beams. School of Civil and Environmental Engineer - ing, University of New South Wales, mei 2000. 16 CUR Aanbeveling 111, Staalvezelbe - ton bedrijfsvloeren op palen ? Dimensionering en uitvoering. CUR Bouw & Infra, 2007. 10 11