I I IBEREKENING IREKENMODEL VOORSPELTBEZWIJKGEDRAGing.H. van .de Ree, Transport & Distributie, afdeling Verbindingen en Bijzondere Constructies, ArnhemBetonconstructies worden in het algetneen ontworpen op basis van hetbezwijkstadiutn. Het niet-lineaire gedrag van de constructie tot aan dit stadiutn ende interactie tussen beton en wapening onder invloed van optredende krachten,geven aanleiding tot gecotnpliceerde berekeningen. Door gebruik te tnaken vangeavanceerde rekentechnieken is KEMA in staat rekentechnisch het bezwijkgedragvan een constructie betrouwbaar te voorspellen. Toetsing aan de werkelijkheid ishierbij essentieel. Met het eindige-eletnentenprogratntna DIANA is een niet-lineaireanalyse uitgevoerd van het bezwijkgedrag van een betonnen drukvat ondertoenetnende inwendige druk. Uit de literatuur bekende resultaten (analytisch enexperim.enteel) tnaakten toetsing van de berekeningsresultaten tnogelijk. Dit artikelbeoogt de constructeur inzicht te geven in de te hanteren rekentechniek, teneindeeen betrouwbare indicatie te verkrijgen otntrentde uiterste draagkracht van eenconstructie.beton plaatbeschermlaag, 76 mmuitvullaag, 76 mmbetonplaat, 305 mmliner, 2,12 mm248Schaahnode11:6 van het SANDIA-containtnent1Doel van het Sandia-experiment was,hestaande berekeningsmethoden ted I d dI werkvloertoetsenaan??nmo e.Voor at eexpe- -t_~_~__~~_-,-7",,-,62,-,,-O~ - -__+rimentele test plaatsvond hebben diver- maten in mrn )~se organisaties het constructiegedrag tot I--------------~~-----~---~~----_laan bezwijken voorspeld. De resultatenvan voorspellingen en experiment zijnTot nu toe is het nog steeds ge-bruikelijk betonconstructies teontwerpen op basis van lineair-elastische beschouwingen. Geavanceer-de berekeningen kunnen echter leidentot een optimalerontwerp op grond vanoptredende bezwijkmechanismen metherverdeling van krachten. Er is echterweinig ervaring met dergelijke analysesen vergelijkingsmogelijkheden ontbre-ken.In 1987 is bij Sandia National Laborato-ries (SNL), Albuquerque, New Mexico,een op schaal 1:6 gebouwd model vaneen betonnen drukvat beproefd (fig. 1).Het model bestaat uit een cilinder, aande bovenzijde afgedekt met een halvebol en aan de onderzijde rustend op eenronde funderingsplaat. Het beton is ge-wapend met een binnen- en buitennet,terwijl de gehele constructie aan de bin~nenzijde is voorzien van een stalen be-kleding (liner). Het model, ontworpenvolgens de ASME-code [1] op een in-wendige druk van 0,317 MPa, is getest,waarbij de druk stapsgewijs is verhoogdtotdat bezwijken optrad. Op diverseplaatsen en tijdstippen zijn in het modelrekken en verplaatsingen gemeten.46 Cement 1993 nr. 2a; (Jdrukfc'L--~~~~~-;trek_ afbreekcriteriu mII fe-t Tr?k4Bezwijkcriterium van Mohr-Coulomb in het tweedimensionalehoofdspanningsvlak (a3 = 0) met afhreekcriteriumzijn ontleend aan resultaten van ??n-as~sige trek-/drukproeven.Omdat dejuiste plaats van het ontstaanvan scheuren in hetbeton nietvan tevo-renvalt te voorspellen, is het zogenaam-de 'uitgesmeerd scheurconcept' gehan-teerd. Het gedrag van een scheur, als lo-kale discontinu?teit, wordt hierbij uit-gesmeerd gedacht over een bepaald ge-bied. Door dit gescheurde element tebeschouwen als continuum, behoeft hetelementen-net niet te worden aange-past.Als gevolg van dit scheurconceptis voorhet trekgebied gedefinieerd dat, na hetBetonHet beton isgedefinieerd als een homo-geen materiaal. De o-?-relatie voor on-gewapend, niet opgesloten beton onderdruk is in figuur 3 afgebeeld. Het opge-sloten zijn van het beton is weergegevendoor de opgaande tak als de raaklijn aande gegeven kromme te nemen, welkedan tevens correspondeertmet de opge-geven elasticiteitsmodulus. Na het be-reiken van de druksterkte wordt het be-ton, volledig opgesloten onder druk, af-wijkend gedefinieerd als ideaal plas-tisch. Dit moet worden gezien als ver-brijzeling, waarbij het beton onder ge-lijkblijvende spanningalleen nogverderwordt ingedrukt.Voorts is het Mohr-Coulomb-bezwijk-criterium toegepast. Dit criterium geeftin de spanningsruimte een omhullende,waarbinnenhetmateriaal ondercombi-naties van spanningen nog elastisch is.De omhullende (fig. 4) wordt bepaalddoor de cohesie cen de inwendige wrij-vingshoek cp.Voor beton onder druk met cp = 300geldt c = 13,54 N/mm2? Bij dezelfdewaarden voor cp en c in het trekgebiedzou de treksterkte worden overschat.Omdit te voorkomen is een zogenaamdtrek-afbreekcriterium ingevoerd. Wan~neer in een integratiepunt bij een span-ningscombinatie dit criterium wordtbereikt, zal het materiaal scheuren.MateriaalmodellenTeneinde het gedrag van hetvatbij hogeinwendige druk te voorspellen, zijn ma~teriaalmodellen ge?ntroduceerd die hetgedragvanbetonenstaal beschrijven totver buiten het elastische gebied. Een ge-compliceerde samenwerking heeftplaats die, vooral na optreden van lokaalbezwijken ofplasticiteit, het gedrag vande constructie sterk be?nvloedt. De be-nodigde elementaire materiaalgegevensgepubliceerd in [2, 3]. Gezien het grotebelang voor de Nederlandse elektri-citeits produktiebedrijven om het ge-drag van een betonnen drukvat ondereen belasting zoals inwendige druk tekennen, is ook door KEMA het Sandia-model doorgerekend. De resultaten zijnvervolgens vergeleken met de experi~mentele waarnemingen en de gepubli-ceerde analyse-resultaten.11111111111111111111111150 -r-~~~~~~~~~~~----,I \I \40 / \/ \I \I \/ \/ \30 / \/ \/ \\I \20/ \I \;;- /EI \~ \z \10 \~ \r \\00 1 2 4 5 6-4E 1%0)~~~- gegeven -_ toegepast3(1-e-relatie voor ongewapend betononder drukelasticiteitsmodulus E = 33 100 N/mm2dwarscontractieco?ffici?nt v = 0,2uiterste druksterktef~ ~ 46,9 N/mm2uiterste treksterkteIc = 3,45 N/mm2Analytisch modelDe analyse is gericht op het berekenenvan het globale constructiegedrag. Hetrekenmodel (fig. 2)is dan ook gedefini~eerd als axiaal-symmetrisch en zodanigopgebouwd uit elementen, dat de geo-metrie enhet samengesteldegedrag tus-sen de verschillende materialen kunnenworden beschreven.Het beton wordt gerepresenteerd doorI-~-~~~~~----------jvierhoekige isoparametrische acht-2 knoops elementen, met 9 Gauss-inte-Rekenmodel met wapening gratiepunten. De berekening is ten aan-146 elementen538 knooppunten zien van nauwkeurigheid en stabiliteit1036 vrijheidsgraden gerelateerd aan deze integratiepunten,I-"-~ ~ --j omdat daarin de materiaaleigenschap-pen worden berekend.De wapening en de liner zijn over hetbeton-elementennet geprojecteerd. Dehieruit per element onderscheidenstaal-elementen vormen een ge?nte-greerd deelvanhetbeton-element,zon-der eigen vrijheidsgraden. Dit impli-ceert volledige aanhechting met het be-ton. Spanningen en rekken in het staalworden teruggerekend aan de hand vanhet berekende verplaatsingsveld van hetelement.Cement 1993 nr. 2 47'- --- --__----1BEREKENINGDe stijfheidsmatrix wordt gerepresen-teerd door de raaklijn aan de belasting-verplaatsingscurve (evenwichtspad) enwordt daarom ook wel de tangenti?lestijfheidsmatrix genoemd.Bij het iteratieproces is aanvankelijk ge-kozen voor de Newton-Raphson me-thode (fig. Ba), waarin de tangenti?lestijfheidsmatrix bij iedere iteratie wordtaangepast. Er heeft snelle convergentienaar evenwicht plaats. Zodra echter deneaire materiaalgedrag. De stijfheids-matrix is niet constant,maar eenfunctievan de vervormingen. Dit resulteert ineen set niet-lineaire vergelijkingen.De numerieke oplossingsmethode be-staat uit het stapsgewijs opvoerenvan debelasting. Bij iedere belastingsstap wor-den de evenwichtsvergelijkingen geli-neariseerd en opgelost. De resultatenwijzen op een onbalans tussen belastingen inwendige kracht. Technieken zijnbeschikbaar om binnen de belastings-stap iteratiefdeze onbalans weg te wer-ken. Van belang is hierbij de belastings-stap L1pn?ette groot te kiezen, opdatvol-doende convergentie naar de even-wichtstoestand plaatsheeft.toege?past/ ongewg~:::end }~:::I........-f;oIgens Mil[erborg J......... -----.................... .--"--...-\ \"\\\\\'--..............,--3450N~Z.>::-: 1150'l-:Numerieke oplossingsmethodeBij een fYsisch niet-lineaire analysemoet de oplossing van de evenwichts-vergelijkingen voldoen aan het niet-li-5 Aangehouden softening/stifFeningBelastingDe niet-lineaire analyse impliceert indit geval een belastingsgestuurde oplos-singsmethodiek. Gestart is met het be-lastingsgevaleigen gewicht. .Met als gegeven uit een voorafgaandestatische analyse dat tot een drukvan 0,2MPa de constructie zich nog lineair-elastisch gedraagt, is de inwendige drukin twee stappen op 0,2 MPa gebracht.Daarna is een belastingsstapgrootte van0,01 MPa gehanteerd.BodemDe bodem is beschreven als zandhou-dende klei met een gemiddelde bed-dingsconstante van 61 MPa/m. Om deinteractie aan te geven tussen funderingen ondergrond zijn zogenaamde inter-face-elementen toegepast. In het druk-gebied is lineair-elastisch gedrag voor-geschreven. Voor het trekgebied is ge-steld dat er geen contactis ener dus geenkrachtsoverdracht meer plaatsheeft.LinerEvenals bij het betonstaal is ook het ma-teriaal van de liner als elasto-plastischgedefinieerd, inclusief strain-harde-ning (fig. 7).Tervoorkomingvaninstabi-liteit in het rekenproces is het vloeipla-teau genivelleerd. Ook hier is het VonMises vloeicriterium toegepast.BetonstaalDit materiaal is als elasto-plastisch ge-schematiseerd, waarbij rekening is ge-houden met 'strain-hardening'. Hier-mee wordt aangeduid dat boven devloeigrens de spanning nog kan toene-men. Deze versteviging is vastgelegd ineen equivalente spanning-rek-relatie,gebaseerd op zuiverplastische rek (fig. 6).Voorts is, uitgaande van een zelfde ge-drag onder trek als druk, het vloeicri-terium van Von Mises gehanteerd.bereikenvande treksterkte, de spanninggeleidelijkafneemtbij toenemendever-vorming. Dit gedrag staat bij ongewa-pend beton bekend als 'tension-softe-ning' en bij gewapend beton als 'tensi-on-stiffening'. Het verloop van softe-ning en stiffening blijkt in de praktijkovereen te komen.Alleen de grootte vande uiterste breuktek ?u, cr' waarbij geenspanning meer wordt overgedragen, zalverschillen. De niet-lineaire dalendesofteni~gtak is in figuur 5 volgens het 0.48principe van Hillerborg als bi-lineair ~ Eu, cr (%0)weergegeven [4, 5]. Het in de bereke- 1--- - - __- - - - - - - - - - - - - 1ning gehanteerde criterium is beschre-ven met een lineair verlopend diagramtot een uiterste rek van 1,00/00. Hiermee L- - - - - - - - _ - - - - - 'wordtdebuigstijfheid iniedergeval nietoverschat.Voor de haakwerking in een breukvlakbij grindbeton om het toeslagmateriaalheen ('aggregate-interlock') is 10% vande glijdingsmodulus in rekening ge-bracht [6].100-200-O-+---.------,--r-,--r--.---r~.,____,r_--1o w ~ w 00 m ~ 1~ 1~ ~ ~~ plastische rek (%0)--- gegeven --- toegepast-----400- ,e--------~300 -500 -.---------------------,;;-EE.......z-01CCCla0..lil'(ij0:;?60700 ~------------=::::+-======1I +~+----+ilO: -+---....,---....,----.-----.----..,-------1o 10 210 310 40 50~ equivalente plastische rek (%)~+~ gegeven en toegepastg' 400-c:ii 300-0..lil] 200->NE 600EZ 5006 Relatie spanning - plastische rek wapeningelasticiteitslnodulus E ~ 214 000 N/m.m.2constante van Poisson v ~ 0,3vloeispanningh = 459 N/m.m.27 Relatie spanning- plastische rek linerelasticiteitslnodulus E ~ 207 000 N/m.m.2constante vanPoisson v = 0,3vloeispanningh = 346 N/m.m.248 Cement 1993 nr. 2......r::uror....xwOl-0CW)::!::::Jia ~ verplaatsing8Iteratieve rekenproceduresa. Newton-Raphson ll1ethodeb. Methode ll1etconstante stijfheidevenwichtspad ......curor....xQJOl-0Cw):.....ib ~ verplaatsinga b c9 Vervorll1?ngen bij respectievelijk 0,7 MPa, 1,0 MPa en 1,1 MPastijfheid afneemt eneenmaximumindecurve wordt genaderd, neemt de con~vergentie snel af, wat kan leiden tot di-vergentie ofsingulariteit.In de berekening doet zich dit voor bijeen inwendige druk van 0,76 MPa. Deoorzaakligt bij het plaatselijk loskomenvan de funderingsplaat. Dit wijst nogniet op bezwijken van de constructiezelf. Vanuit de situatie bij een druk van0,7 MPa is opnieuwgestart, maar nu metCement 1993 nr. 2toepassing van de methode met con~stante stijfheidsmatrix (fig. Bb). Dat wilzeggen dat tijdens het iteratieprocessteeds de stijfheidsmatrix van de voor-gaande belastingsstap wordtgehan-teerd. De berekening verloopt stabieler,doch convergeert minder snel, zodatveel iteraties per stap nod?g zijn.Vanafeen inwendige druk van 1,14 MPaheeft geen goede convergentie meerplaats.Bij 1,16 MPawaarschuwthetpro-gramma dat in toenemende mate onba-lans optreedt. Het is dan weinig zinvolde berekening verder voort te zetten.Resultaten van de berekeningDe resultaten kunnen het beste grafischwordengepresenteerd.Bijdiverse druk-ken ?s de vervorming van en de scheur-vormingin hetmodel ol? vergrote schaalweergegeven (fig. 9 - 10). De scheurvor-ming in het vlak van de doorsnede is49L...,~~~~~~~~~_~~~~~~~~~~_I_13_E_RE_KE__N__IN_G~_~~_~_\\ .. . ",\~~=10 Tangenti?le scheuren in beton bij respectievelijk 0,3 MPa, 0,5 MPa, 0,7MPa en 1,1 MPaRadiale scheuren in beton bij respectievelijk 0,3 MPa, 0,5 MPa, 0,7 MPa en 1,1 MPa1150 Cement 1993 nr. 20.0 0.1 02 0.3~ druk (MPa)0.4 0.5 0.6 0.7 o.~140120100E.s ~OCJ'I.!:: 60U)+-roro0.. 40L-a>>i200.9 1.0 1.1 1.2~ druk (MPa)12 . ++ ~ experimentVerticale verplaatsing cilindervoet ten opzichte van centrUl11 funderingsplaat - = KEMA-resultaat10--.-~---~-~-~------~~~-~1.21.10.9 1.0~druk (MPa)225200175EE 1500.80.70.60.50.40.3i o~~~-------.----~~--.-J0.0 0.1 0.2~ druk (MPa)? 6ECJ'Ici! 4ro.!!J0-L.~ 213 Radiale verplaatsing cilinder op halve hoogte++ ~ experiment- - = KEMA-resultaataangegeven met vierkantjes in de inte-gratiepunten (fig. 11). Op dezelfde wijzekan het vloeien van de wapening en deliner worden afgebeeld. Zodra in hetmodel scheurvorming optreedt ten ge-volge van tangenti?le spanningen (bij0,3 MPa), dient men zich te realiserendat het probleem in feite niet meer axi-aal-symmetrisch is en het rekenmodelaf\vijktvan de realiteit. Deze scheurvor-ming is dan ook bij hogere drukken nietmeer representatief.De maximale verplaatsing bij 1,1 MPaligt in de orde-grootte van 55 mm ophalve cilinderhoogte. Gezien de afme-tingenvan de constructieen devrij plot-seling versnelde toename van de ver-plaatsing vanaf 1,0 MPa, zullen geome-trisch niet-lineaire effecten geensigni-ficante rol spelen tot onmiddellijk voortotaal bezwijken. De berekende be-zwijkdruk kan worden vastgesteld op1,16 MPa.De cilinderbasis ondergaat een aanzien-lijke rotatie, resulterend in verbrijzelenvan het beton aan de buitenzijde, be-zwijken van de wapening of scheurenvan de liner daar ter plaatse. Overigensvloeien de wapening ende liner niet al-leen aan de binnenzijde van de cilinder-voet, maar ook bij de overgang naar debol. Het bezwijken van de cilinderwandofde bol op halve hoogte is ook moge~lijk. Het betonvan cilinderen bol is overde gehele dikte op sterkte bezweken enis alleen nog opgesloten door de wape-ning en de liner.Vergelijking met de testresultatenDe rekenresultaten van de deelnemen-de organisaties zijn verzameld in devorm van grafieken van verplaatsingenen rekken op diverse plaatsen in het mo-del. Enkele grafieken zijn bijgevoegd,metde resultatenvanhet experimentenhetKEMA-onderzoekdaarin geprojec-teerd (fig. 12 - 14). Om de verschillengoed uit te laten komen zijn bij de gra-fieken twee verschillende schalen ge-bruikt. In het algemeen wordt de sprei-ding in de resultaten groot boven 1,0MPa. Dit kan worden verklaard uit degehanteerde verschillende oplostech~nieken bij het instabiel worden van deconstructie in de buurtvan het bezwijk-stadium.De experimentele test is gestart vanuitde situatie waarbij het model reeds deontwerpdrukhad doorstaan. De inwen~dige druk is opnieuw opgevoerd tot on-geveer 1,01 MPa. Bij deze druk is hetmodel bezweken door het ontstaan vaneen doorgaande scheur, direct naast deingestorte verstevigingsplaat rond eendoorvoering in de cilinderwand. Dewaarnemingengaandan ooknietverderdan die druk.Ondanks verschillen in uitgangspositieen metingen, kanworden geconstateerddat de met DIANA berekende resulta-ten behoren tot die, die het werkelijkegedrag het beste benaderen.Voor het beton is het uitgesmeerdscheurconcept toegepast. In werkelijk-heid zullen de scheuren optreden opdiscrete locaties. De berekende span-ningen,rekken en vervormingen moe-ten daarom worden beschouwd als ge-middelde waarden, en zijn dus niet di-rect te vergelijken met experimenteleuitkomsten.Zodra scheurvorming ten gevolge vantangenti?le spanningen optreedt en deaxiaal~symmetrie niet meer opgaat,blijven de resultaten toch bij de werke-lijkheid. Dit is toe te schrijven aan dedichtheid van de toegepaste wapening,waardoor nauwelijks lokalisaties kun-nen optreden.Cement 1993 nr. 2 51'--- I_B_ERE__KE__N_I_N_G _302520E~ 15Ol.~Vl...... 10ro~Cl.'-~ 5? + -00.0 0.1 0.2-----:l> druk (MPa)0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8200175150EE 125g' 100'Vi......~ 75?5.~ 501.2 1.314 Verticale verplaatsing boltop ten opzichte van centrum funderingsplaat++ = experiment- = KEMA-resultaatConclusiesDe door KEMA uitgevoerde theore-tische analysevaneenbetonnendrukvatis, met behulp van een computermodel,succesvol uitgevoerd met het program-ma DIANA. Ondanks vereenvoudigingin het model is voor het globale gedragvan de constructie, met betrekkelijkweinigelementen, tocheengoede bena-dering van de werkelijkheid bereikt.De ontwerpdruk van het experimenteleschaalmodel was 0,317 MPa. De bere-kende bezwijkdruk kan worden gesteldop 1,16 MPa. Uit de analyse blijkt voortsdat diverse bezwijkmechanismen op-treden, mede als gevolg van herverde-ling van inwendige krachten.Mogelijke schade bij doorvoeringen ofsparingen in de cilinderwand is met hetaxiaal-symmetrisch rekenmodel niet tevoorspellen. Het optreden van eenscheur direct naast een doorvoering,bleek bij het experiment bepalend voorde integriteit van het vat.Bij het toepassenvanDIANAdienen di-verse parameters teworden gebruikt dieuit onderzoek, ervaring ofproefonder-vindelijk moeten worden vastgesteld.Uit de ervaring met andere berekenin-gen zijnwaarden ingezet. Om de gevoe-ligheid hiervan op de resultatente bepa-len zou een nader parameteronderzoeknodig zijn. Niettemin kunnen de resul-taten worden gerekend tot die, die dewerkelijkheid het meest benaderen.De sterkte van een betonconstructiemet de toegepastewapeningvalt goed teberekenen. Ook wordt een goede indi-catie verkregen omtrent de marge tus-sen het ontwerp- en het bezwijksta-dium.Tenslotte bestaatde mogelijkheidde wapening effectiever te ontwerpen,waardoor de constructie, geoptimali-seerd, een grotere capaciteit krijgt.52De uitgevoerde analyse heeft aange-toond datKEMAin staat is, metgeavan-ceerde niet-lineaire elementenmetho-dieken, betrouwbare voorspellingen tedoen ten aanzien van bezwijkgedrag enuiterste draagkracht van constructies.Literatuur1. ASMEboilerand pressurevessel code,section III, division 2. ACI standard 359-80, 1980 edition.2. Round-RobinPretest Analyses of a1:6 ScaleReinforced Concrete Contain-ment Model Subject to Static InternalPressurization. Edited by DavidB.Clauss, NUREG/CR-4913,SAND87-0891, May 1987.3. Proceedings ofthe Fourth Workshopon Containment Integrity, ArlingtonVirginia June 14-17, 1988. Edited byR.Cochrell, NUREG/CP-0095,SAND88-1836.4. Rots, J.G., Computational modelingof concrete fracture. Dissertatie TUDelft, 1988.5. Reinhardt, HW, HA.W.Cornelis-sen, D.AHordijk, Tensile tests and fai-lure analysis of concrete. JournalofStructural Engineering ASCE 112(11), p.2462-2477, 1986.6. CDR-rapport 134, Betonmechanica,Voorbeelden van niet-lineaire bereke-nmgen met DIANA MaTs10. CDR,Gouda, 1987.7. Dictaat PATO~cursus 'Betonme-chanica voor constructeurs', 1986.8. Dictaat cursus 'ElementenmethodeModuul III, niet-lineariteit'. StichtingPostacademisch Onderwijs CivieleTechniek en Bouwtechniek, Delft 1991.9. DIANA finite element analysis,User's Course Nonlinear Analysis andmanuals. Delft 1991.Cement 1993 nr. 2