C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gWegenbouwcement 2004 5 59ir. G.Chr. Bouquet MICT, ENCI bvdr.ir.drs. C.R. Braam, TU Delft, Faculteit der CivieleTechniek en Geowetenschappen (CiTG)ir. H.J.M. Lamers, Ingenieursbureau Lamers bving. M.J.A. Stet, KOAC?NPC bvIn dit artikel wordt een `gesloten analytische oplossing'beschreven voor de berekening van de benodigde wape-ning in voegloze, elastisch ondersteunde betonvloeren enbetonwegen in doorgaand-gewapend beton (DGB) meteen enkel wapeningsnet. Aanleiding voor het opstellenvan deze rekenmethode was de ontwikkeling van hetsoftwarepakket VENCON 2.0 voor de berekening vanbetonwegen in ongewapend en gewapend beton.De berekening start met het vaststellen van de mini-maal benodigde plaatdikte voor een ongewapendeplaat. Daarbij wordt de dwarsrichting beschouwd,ofwel de richting waarin de verharding in DGB niet isgewapend. Door de langsvoegen is de verhardingnamelijk opgedeeld in smalle stroken (ca. 3,5-4,0 m)waardoor de wrijving met de ondergrond tot beperktewrijvingskrachten leidt. In langsrichting is de plaatvoegloos, waardoor als gevolg van krimp en tempera-tuurdaling grote wrijvingskrachten ontstaan. De wape-ning heeft tot doel de door deze wrijving veroorzaaktetrekkracht op te nemen en de scheurwijdte te beheer-sen.O p g e l e g d e v e r v o r m i n g d o o r k r i m p e nt e m p e r a t u u r v e r a n d e r i n gKrimpBij een elastisch ondersteunde plaat zal de krimp aande bovenzijde, rb, in absolute zin altijd groter zijn dandie aan de onderzijde, ro, dus rb ro.Voor de opgelegde vervorming door krimp in eenplaat met dikte h met aan de bovenzijde rben aan deonderzijde rogeldt:- specifieke vormverandering: r= (rb+ ro) / 2 (1)- kromming r= (rb- ro) / h (2)In deze uitdrukkingen wordt een verkorting als nega-tief getal ingevoerd. Gezien het bovenstaande zal veel-al gelden dat r< 0 en r< 0. Positieve ori?ntatie:kromming positief als de rek aan de bovenzijde van deplaat groter is dan de rek aan de onderzijde.TemperatuurveranderingSpanningen ontstaan in het beton door temperatuur-veranderingen ten opzichte van de in de plaat aanwe-zige temperatuurverdeling waarbij het beton span-ningsloos is. De spanningsloze temperatuurverdelingwordt geschematiseerd met behulp van een `referen-tietemperatuur' aan de boven- (Trb) en onderzijde vande plaat (Tro).Spanningen ontstaan door temperatuurveranderingenten opzichte van deze referentietemperaturen, waar-voor geldt:- bovenzijde: Tb= Tb- Trb(3)- onderzijde: To= To- Tro(4)Voor de opgelegde vervorming door temperatuur geldtnu algemeen:- specifieke vormverandering:T= (Tb+ To) / 2 = T (5)- kromming T= (Tb- To) / h = T (6)waarin: is de lineaire uitzettingsco?ffici?nt van beton, 10-5;T is de gemiddelde temperatuurverandering in debetondoorsnede;T is de temperatuurgradi?nt in de betondoorsnede.Rekenmethode voor voegloze elastisch ondersteunde gewapend-betonplaten onder invloed van verhinderde opgelegde vervormingenOntwikkeling VENCON 2.0levert nieuw rekenmodel1 |Moment en normaal-kracht als gevolg vanverhinderde opgelegdevervorming in een (voeg-loze) betonweg in door-gaand gewapend betonnet v??r scheuren2 |Sectie van de betonplaat(dikte h) met enkele(langs)wapening op eenhoogte d vanaf de onder-zijdecr crMNM - lijn N - lijnNfNsdh-dNcrC o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gWegenbouwcement 2004 560Krachtsverdeling onder invloed van de opgelegde vervor-mingenVerondersteld wordt dat in het ongescheurde stadiumvolledige verhindering van opgelegde vervormingendoor krimp en temperatuur optreedt.S i t u a t i e b i j s c h e u r e n v a n h e t b e t o nUitgegaan wordt van de meest ongunstige situatie,waarbij behalve krimp, een afkoeling van de plaatplaatsheeft, bijvoorbeeld in de zomer tijdens de nachtof onder winterse omstandigheden. Bij elastischondersteunde platen zal scheurvorming door verhin-dering van deze opgelegde vervormingen altijd aan debovenzijde van de plaat worden ge?nitieerd.In de `oneindig' lange betonplaat wordt het optredenvan zowel de kromming als de rek volledig verhinderd.Dit resulteert in het moment M en de trekkracht N(fig. 1).Scheurvorming zal optreden als de rek (bovenzijdeplaat) de grootte bereikt waarbij het beton zal scheu-ren, cr(ack)Hiervoor geldt:cr= cr/ Ec(7)Voor de betontrekspanning op het moment van scheu-ren geldt [1]:cr= 0,60 fct,m,0(8)Hierbij is fct,m,0de gemiddelde zuivere betontreksterk-te (korteduur) [2]:fct,m,0= 0,9[1,05 + 0,05(fcc,k,0+ 8)] (9)Verondersteld wordt nu dat juist nadat scheurvormingis opgetreden, van de betreffende moment-normaal-krachtcombinatie het moment M in de doorsnedewegvalt en alleen de normaalkracht N = Ncrresulteert.Na het optreden van scheurvorming zal een mogelijkevervorming van de doorsnede in zekere mate wordenverhinderd door de wrijving tussen de betonplaat ende ondergrond. Deze wrijving wordt in het model inrekening gebracht door middel van de kracht Nf(fig. 2).OpmerkingIn de ongescheurde doorsnede (fig. 1) treden zoweleen normaalkracht als een moment op. Direct na hetoptreden van scheurvorming zal ter weerszijden vaneen scheur de constructie verplaatsingen ondergaanten opzichte van de fundering. Deze kunnen zowel inverticale als in horizontale zin plaatshebben en dusaanleiding geven tot verticaal en horizontaal gerichtekrachten, zijnde respectievelijk funderingsdrukken enschuifspanningen op en in het grensvlak plaat-onder-grond. De interactie van deze krachten zorgt ervoordat een belemmerde, over de hoogte van de doorsnedeconstante rek, in de plaat leidt tot een resulterende,centrisch in de plaat aangrijpende normaaltrekkrachtNcr(fig. 2). Dit is gebleken uit onderzoek [3] aan`oneindig' lange platen (L/h > 150).Evenwicht van de horizontale krachten (N = 0) geeft:Ns+ Nf- Ncr= 0 (10)Evenwicht van de buigende momenten ten opzichtevan het betonstaal geeft:Ncr(d - h/2) ? Nfd = 0 (11)Hieruit kan worden afgeleid dat de kracht in hetbetonstaal gelijk is aan:Ns= Ncrh / 2d (12)Bij centrisch gelegen wapening en een centrische trek-kracht is de staalspanning in de scheur direct nascheuren (N = Ncr) gelijk aan [4]:s,cr= cr(1 + n) / (13)waarin:cris de betontrekspanning bij scheuren; = As/ bh;n = Es/ Ec.0,000,501,000,40 0,50 0,60 0,70 0,80wapeningspercentage (%)scheurwijdte(mm)e = 0 mm (w = 0,40 mm) e = 10 mm (w = 0,40 mm)e = 25 mm (w = 0,40 mm) e = 35 mm (w = 0,40 mm)e = 50 mm (w = 0,40 mm) e = 80 mm (w = 0,21 mm)w-eis VBC 1995 art 4.3.3 min wapeningsperc. m.b.t. trektoeltoeltoeltoeltoeltoel3 |Relatie tussen de scheur-wijdte en het wapenings-percentage bij verschil-lende excentriciteiten (e)van wapening 16. Deverticale lijn geeft hetminimum-wapeningsper-centage (0,47%) datongeacht de excentrici-teit moet worden aange-houden bij C35/45C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gWegenbouwcement 2004 5 61Voor de staalspanning bij scheuren in een doorsnedemet excentrische wapening geldt dus op grond van (12):s,cr= cr(1 + n ) h / 2 d (14)Bij scheuren loopt de staalspanning ter plaatse van descheur op tot s,cr. Onder invloed van een toename vande krimp en afkoeling ontstaat vervolgens nog eengeringe verhoging van de staalspanning s:s= s,cr+ s(15)Hierbij is de toename van de staalspanning in de fasemet een onvoltooid en voltooid scheurenpatroongeschematiseerd door een 2de-graadsparabool, waar-voor kan worden afgeleid dat geldt:s= Es(max- cr)2/ 2 (sy- cr- ts) (16)waarbij:maxis de maximale verkorting door krimp en afkoe-ling;cris de rek bij scheuren beton (zie vgl.7);sy= fs/ Esis detheoretische rek bij vloeien van staal;ts= s,cr- fdcis de rekvermindering door `tensionstiffening' [5];s,cr= s,cr/ Es;fdc= (60 + 2,4 s,cr) ? 10-6is de rekgrens bij bereikenvolledig ontwikkeld scheurenpatroon.Voor de wrijvingskracht nabij de scheur geldt:Nf= Ncr[d - h/2] / d (17)Als deze wrijvingskracht niet kan worden gemobili-seerd, zal dit ertoe leiden dat de aanvankelijk centrischaangrijpende normaalkracht zich geleidelijk verdernaar boven zal verplaatsen bij een afnemende Nf.S c h e u r w i j d t eNa scheuren door de opgelegde verhinderde vervor-mingen komt de betonplaat in een onvoltooide scheur-fase. Dan is de gemiddelde scheurwijdte [5]:wom= 2 [(0,4 /fcc,m,0Es) s,cr(s,cr? n cr)]0,85(18)waarin:fcc,m,0= f'ck+ 8, de gemiddelde (28-daagse) kubusdruk-sterkte; is de kenmiddellijn van de wapening;s,cris de trekspanning in het betonstaal bij scheuren(vgl.14);cris de betontrekspanning bij scheuren;n = Es/ Ec.Voor de maximaal optredende scheurwijdte in hetonvoltooid scheurenpatroon geldt:wo,max= sowom wtoel(19)waarin:sois een factor voor optredende spreiding; bijonvoltooid scheurenpatroon so= 1,3;is een factor voor langeduureffect / wisselbelas-ting,bij s 295 N/mm2is = 1,3;bij s> 295 N/mm2is = 1 / (1 ? 9 s310-9);(20)wtoelis de maximaal toelaatbare scheurwijdte.Hierbij is sde staalspanning in de scheur in de bruik-baarheidsgrenstoestand.Voor betonwegen in doorgaand-gewapend beton gel-den de volgende milieuklassen, conform tabel 1 vanNEN-EN 206-1 [6]: XC4, XD3 en XF4. Hierbij is demaximaal toelaatbare scheurwijdte volgens tabel 2 vanNEN 6720/Wijzigingsblad A3 [7] gelijk aan 0,2 mm.Met 8.7.2c van NEN 6720 kan nu voor betonwegenworden geschreven:wtoel= 0,2 kc(mm) (21)waarin:kc= c/cmin(1 kc 2).Volgens 9.2, tabel 44 van NEN 6720/A3:2004 [7] geldtvoor het nabewerkt (bezemstreek) oppervlak:cmin= 30 + 5 = 35 mm.Het op deze wijze berekende wapeningspercentagemoet ten minste gelijk zijn aan het minimum-wape-ningspercentage voor beton onder trek zoals genoemdin [2].Uit een vergelijking tussen berekende en gemetenwijdten van dwarsscheuren in de doorgaand-gewapen-de betonwegen A5 en A50 (beiden h = 250 mm; cen-trische wapening resp. ?16-135 (0,60%) en ?16-120(0,67%) en resp. sterkteklasse B 35 en B 45) blijkt hetmodel goede overeenstemming tussen beiden tegeven, zowel voor de scheurwijdte als voor de sprei-ding in scheurwijdte [8].02040600,40 0,50 0,60 0,70wapeningspercentage (%)excentriciteit(mm)? 16 mm ? 20 mm min. wapeningsperc. m.b.t. trek4 |Minimaal benodigdwapeningspercentage bijde maximaal toelaatbarescheurwijdte, afhankelijkvan de excentriciteit vande wapening 16 en 20plaatdikte 250 mmbetonsterkteklasseC35/45C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gWegenbouwcement 2004 562Een belangrijk aspect is de invloed van het tijdstipwaarop scheurvorming is ontstaan: de betontreksterk-te op het moment van scheuren heeft theoretischgezien grote invloed op de berekende scheurtrek-kracht en scheurwijdte. De scheurwijdten blijken ech-ter onafhankelijk van dit tijdstip te tenderen naar eeneindwaarde die ook kan worden beschreven door inhet trekstaafmodel algemeen gehanteerde uitgangs-waarden te gebruiken: scheurvorming bij een beton-trekspanning gelijk aan 60% van de gemiddelde 28-daagse korteduur betontreksterkte. Een en anderongeacht het werkelijke moment van scheuren. Danwordt uiteraard informatie over de ontwikkelingen inde jonge fase gemist, maar worden wel op eenvoudigewijze eindwaarden verkregen; een aanpak die bijgebrek aan zeer gedetailleerde informatie toch tot vol-doende nauwkeurige resultaten leidt. Hierbij moetwel worden opgemerkt dat de metingen zich uitstrek-ten over een periode tot maximaal drie maanden naaanleg, bij betontemperaturen die op het moment vanwaarneming niet beneden 10 C lagen.Ondanks de grote dekking (orde van grootte 100 mm)en de in absolute zin grote staafafstand (135 resp.120 mm) blijkt het trekstaafmodel goede resultaten televeren. Het is daarom niet nodig hiervoor correctiesin het model aan te brengen. Ook bleek de scheur-wijdte niet afhankelijk van de positie op het betonop-pervlak waar werd gemeten: direct boven de wape-ningsstaven zijn de scheurwijdten even klein als tus-sen de wapeningsstaven.V E N C O N 2 . 0Het beschreven model is toegepast in het door CROWontwikkelde programma VENCON 2.0 voor de bereke-ning van doorgaand-gewapende betonwegen [9].Hierbij wordt enkel in langsrichting een in het middenvan de doorsnede liggende wapening aangebracht.Uitgaande van een krimpberekening volgens 6.1.6 vanNEN 6720 (VBC 1995) en een lineaire afkoeling van25 C wordt het benodigde wapeningspercentage be-paald als functie van de scheurwijdte. In figuur 3 is voorbetonsterkteklasse C35/45 het effect van het wape-ningspercentage op de scheurwijdte voor verschillendeexcentriciteiten weergegeven. De resultaten gelden voor16 bij een plaatdikte van 250 mm. Bij een centrischaangebrachte wapening kan met 0= 0,61% wordenvolstaan. Bij staven met een kenmiddellijn van 20bedraagt het wapeningspercentage 0,65%. Hiermeewordt voldaan aan de eisen met betrekking tot het mini-mum-wapeningspercentage en de maximale scheur-wijdte ( 0,40 mm). Door de wapening excentrisch aante brengen, kan deze worden geoptimaliseerd.Overigens is de excentriciteit in het rekenprogrammaVENCON 2.0 begrensd op 25 mm.In figuur 4 is het minimaal benodigde wapeningsper-centage als functie van de excentriciteit weergegevenvoor wapeningsstaven 16 en 20. Het voordeel vantoepassing van het trekstaafmodel wordt ook hierdirect duidelijk: een fijner verdeelde wapening is effec-tiever voor de beheersing van scheurwijdten.T e n s l o t t eMet de gepresenteerde rekenmethode wordt aange-toond dat voor het beheersen van de scheurvormingdoor opgelegde verhinderde vervormingen in voeglozeplaten op een elastische bedding, de wapening zo hoogmogelijk in de doorsnede moet worden aangebracht.Dit sluit aan bij de ervaringen in de praktijk. Voor hetopnemen van buigende momenten uit wiellasten moetechter wel een voldoende grote inwendige hefbooms-arm overblijven; de drukzone moet dan immers bove-nin de plaat tot ontwikkeling komen.In de vloerenbranche worden steeds meer voeglozebedrijfsvloeren aangelegd met een enkel wapeningsnetbovenin de plaat. Dit is van belang als de betonvloer ookwaterdicht moet zijn. Bij wegen in doorgaand-gewa-pend beton is het nog steeds gebruikelijk de wapeningcentrisch in de plaat te leggen. VENCON 2.0 geeft demogelijkheid om deze, onder bepaalde voorwaarden,ook hoger in de doorsnede te leggen. Wellicht kan ditook een bijdrage leveren aan een verdere optimaliseringvan betonwegen in doorgaand-gewapend beton. L i t e r a t u u r1. Bouquet, G.Chr. en Braam, C.R., Minimum-wapeningspercentage bij beton onder trek.Cement 2003, nr.8.2. Bouquet, G.Chr. en Braam, C.R., De treksterktenvan beton nader beschouwd. Cement 2003, nr. 7.3. Pettersson, D. en Thelandersson, S., Design forcrack control in concrete structures on groundexposed tot imposed strains. Structural Concrete2000, Vol.1, No. 4, blz. 163-172.4. Bouquet, G.Chr., Minimumwapening bij betononder trek. Cement 1999, nr.8.5. Breugel, K. van et al., Betonconstructies ondertemperatuur- en krimpvervormingen - Theorie enPraktijk. Betonpraktijkreeks 2, BetonPrisma 's-Hertogenbosch, 1996.6. NEN-EN 206-1:2001, Beton - Deel 1: Specificatie,eigenschappen, vervaardiging en conformiteit.NNI Delft.7. NEN 6720:1995, TGB 1990 Voorschriften beton -Constructieve eisen en rekenmethoden (VBC1995), 2e druk (met ontwerp wijzigingsbladA3:2004). NNI Delft.8. Braam, C.R. en E.M. Horeweg, Scheurgedrag vandoorgaand gewapende betonwegen. Een vergelij-king tussen waarnemingen en de theorie.Stevinlaboratorium TU Delft, rapport 25.5-03-20,2003.9. Stet, M.J.A., Achtergrondrapport rekenmodellenen formularia. Rapport behorende bij CR-RomVENCON 2.0. CROW, Ede 2004.