Minimumwapening8 200984 Minimum- wapening Om scheurwijdte te beperken en brosse breuk te voorkomen, is een mini- male hoeveelheid wapening nodig. Dit artikel gaat in op de eisen voor deze minimumwapening volgens Eurocode 2. Het is de negende aflevering in de serie met rekenvoorbeelden, waarin de diverse onderdelen van de Eurocode 2 worden toegelicht 1 ). Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (9) afstand (tabel 7.3N) een scheurwijdtetoets kan worden uitge- voerd. Bij scheurvorming in hoofdzaak veroorzaakt door belem- merde vervorming moet tabel 7.2N worden toegepast. Het is dus mogelijk uit deze tabel (op basis van een toegestane maximale scheurwijdte en een verwachte staafdiameter) een toelaatbare staalspanning af te leiden. Rekenvoorbeeld (EC2, par. 7.3.2) Een voorbeeld wordt behandeld waarin de minimumwapening wordt berekend van een kokerligger belast op zuivere buiging of op buiging en normaaldruk. Bereken de minimumwapening vereist in de ligger met koker- vormige dwarsdoorsnede (fig. 1). Uitgangspunten Geometrie: totale hoogte doorsnede: h = 1800 mm oppervlakte van de betondoorsnede: A c = 1,825 ? 10 6 mm 2 afstand van het zwaartepunt van de doorsnede tot de bovenste vezel: y G = 809 mm afstand van het zwaartepunt van de doorsnede tot de bovenste vezel van de onderflens: a = 1500 ? y G = 691 mm traagheidsmoment doorsnede: I c = 71,8?10 10 mm 4 In NEN-EN 1992-1-1 wordt in 7.3.2 vermeld dat een minimale hoeveelheid hechtende wapening vereist is om de scheurwijdte te beheersen in gebieden waar trekspanningen te verwachten zijn. De bijbehorende toetsingsregel (vgl. (7.1)) is anders dan die opgenomen in 9.2.1.1 (vgl. (9.1N)) waar de minimum- wapeningsdoorsnede voor balken is gegeven. Toepassingsregel 9.2.1.1 geeft de minimumwapening benodigd om, bij een opgelegde belasting die leidt tot zuivere buiging, bros bezwijken van de doorsnede te voorkomen. Toepassingsregel 7.3.2 heeft een verder strekkende toepassing en geeft aan hoeveel wapening benodigd is om te kunnen spreken van scheurwijdte- beheersing. De toepassingsregel heeft betrekking op alle gebieden waar trekspanningen te verwachten zijn. Deze kunnen ook zijn veroorzaakt door (gedeeltelijk) verhinderde opgelegde vervor- mingen. In de toepassingsregel wordt een maximaal toelaatbare staalspanning geïntroduceerd. Voor het vaststellen van de grootte ervan wordt verwezen naar 7.3.3 (2), waarin door middel van tabellen voor de toelaatbare staafdiameter (tabel 7.2N) en staaf- Minimumwapening 8 2009 85 weerstandsmoment onderkant doorsnede: W c, onder = 7,25?10 8 mm 3 kernstraal: i = (I c /A c ) 0,5 = 627 mm Betonsterkteklasse C45/55. Maximaal toelaatbare spanning in de wapening onmiddellijk na het ontstaan van een scheur: ? s = 200 N/mm 2 . (De maximaal toelaatbare spanning in de wapening onmiddel- lijk na het ontstaan van een scheur wordt in dit rekenvoorbeeld beperkt tot 200 N/mm 2 . Deze waarde is ontleend aan EC2 tabel 7.2N uitgaande van een maximale scheurwijdte w max = 0,2 mm en een verwachte staafdiameter Ø = 16 mm.) Bereken de minimumwapening voor twee situaties: 1 De doorsnede wordt alleen belast door het scheurmoment M cr (trek aan de onderkant van de doorsnede) 2 De doorsnede wordt belast door een normaaldrukkracht N = -6000 kN aangrijpend in het punt P (gelegen 250 mm boven de onderkant van de doorsnede; excentriciteit e N (fig. 1)) in combinatie met een moment dat scheurvorming veroorzaakt. De diktes van lijven (0,30 m) en flenzen (0,25 m en 0,30 m) zijn kleiner dan of gelijk aan 0,30 m. Niet-gelijkmatige eigenspan- ningen die zorgen voor een reductie van de krachten veroor- zaakt door verhinderde vervormingen, zijn dus niet van toepassing: k = 1,0 (EC2; 7.3.2(2)). Situatie 1 Als alleen het scheurmoment op de doorsnede wordt aange- bracht, wordt het gedeelte van de doorsnede gelegen onder punt G aan trekspanningen onderworpen. In de berekening wordt de minimumwapening voor de diverse onderdelen apart berekend; eerst voor de lijven, daarna voor de onderflens. Lijf Afmetingen: hoogte lijf = 1800 mm breedte lijf = 300 mm Bereken eerst de gemiddelde spanning in het beschouwde deel van de doorsnede, ? c (EC2; vgl. (7.4)). Gebruik wordt gemaakt van figuur 2 die het verloop van de betonspanningen over de hoogte van de doorsnede weergeeft. In de uiterste trekvezel wordt de treksterkte op het tijdstip waarop scheuren worden verwacht, bereikt: f ct,eff . Als uitgangspunt wordt gekozen: f ct,eff = f ctm met f ctm = 3,8 N/mm 2 voor C45/55 (EC2; tabel 3.1)). Omdat het spanningsverloop lineair is en het lijf een constante breedte heeft, volgt ? c eenvoudig uit de spanningen aan de onder- en bovenkant van het lijf: onderkant lijf:  ? onder = f ct,eff bovenkant lijf:  ? boven = ? ( 1500 ? a  _______ a + 300 ) f ct,eff De spanning ? c is:  ? c = 1 __ 2 ( ? onder + ? boven ) Bij zuivere buiging is voor lijven van kokervormige doorsneden (EC2; vgl. (7.2)):  k c = 0,4 [ 1 ? ? c ________ k 1 h   __ h * f ct,eff ] ? 1 Omdat ? onder > |? boven | is het beschouwde lijf onderworpen aan een resulterende trekkracht. Dan geldt voor de coëfficiënt die de effecten van normaalkrachten op de spanningsverdeling in rekening brengt:  k 1 = 2 h * ___ 3h    Dan is:  k c = 0,4 [ 1 ? ? c _____ 2 __ 3 f ct,eff ] ? 1 1 Dwarsdoorsnede van de kokerligger. 2 Betonspanningen over de hoogte van de ligger (zuivere buiging). 1 ) De artikelenserie is vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. René Braam (TU Delft, fac.  CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV) en afgestemd met Voorschriftencom- missie 20. Afkortingen EC2 = NEN-EN 1992-1-1 NB = Nationale Bijlage 2500 O y y G e N a x G P 1800 1250 250300 250 1500 900300 300 2500 O y y G a x G 1800 1250 250300 1500 900300 300 - + lijf f ct,e? 1 2 Minimumwapening8 200986 onderkant flens:  ? boven = f ct,eff De trekkracht binnen de flens is:  F ct = 1 __ 2 ( f ct,eff + a   _______ a + 300 f ct,eff ) b flens h flens = ( a + 150 _______ a + 300 ) f ct,eff A ct Dan is:   k c = 0,9 ? ( a + 150 _______ a + 300 ) = 0,76 De minimumwapening is (EC2; vgl. (7.1)):  A s,min = k c k f ct,eff A ct ________ ? s = 0,76 ? 1,0 ? 3,8 ? 900 ? 300 _____________________ 200 = 3899 mm 2 Deze hoeveelheid betonstaal moet gelijkmatig worden verdeeld over de flensbreedte, bijvoorbeeld 20Ø16 = 4021 mm 2 (fig. 3). Situatie 2 Een uitwendige normaaldrukkracht N = -6000 kN grijpt aan in punt P, gelegen 250 mm boven de onderkant van de onderflens (fig. 1). De excentriciteit ten opzichte van de zwaartelijn van de doorsnede is e N = 1800 ? y G ? 250 = 741 mm. Het scheurmoment is:  M cr = [ ? N  ___ A c ( 1 + e N A c ______ W c,onder ) + f ct,eff ]  M cr = [ ? 6000 ? 10 3 _________ 1,825 ? 10 6 ( 1 + 741 ? 1,825 ? 10 6 _________ 7,25 ? 10 8 ) + 3,8 ] ?7,25 ? 10 6 = 9585 ? 10 6 Nmm De combinatie van de uitwendige normaalkracht N en het scheur- moment M cr komt overeen met het belasten van de doorsnede door een normaalkracht N die aangrijpt op een afstand e boven de zwaar- telijn van de doorsnede gelegen: In deze uitdrukking voor k c is ? c positief als sprake is van een drukkracht. Omdat in dit rekenvoorbeeld sprake is van een resulterende trekkracht wordt een min-teken toegevoegd. Aldus is:  k c = 0,4 [ 1 ? ?( ? onder + ? boven ) _____________ 4 __ 3 f ct,eff ] ? 1  k c = 0,4 [ 1 + 3 __ 4 (2a ? 1200) __________ (a + 300) ] ? 1 Voor a = 691 mm is k c = 0,46. De oppervlakte van het beton binnen de trekzone, ofwel het deel van het lijf dat juist vóór het ontstaan van de eerste scheur onder trek staat, is: A ct = 300 ? (a + 300) De minimumwapening is (EC2; vgl. (7.1)):  A s,min = k c k f ct,eff A ct ________ ? s = 0,46 ? 1,0 ? 3,8 ? 300 ? 991 ____________________ 200 = 2598 mm 2 Deze hoeveelheid wapening moet worden aangebracht in het gedeelte van het lijf waarin scheurvorming optreedt. De wape- ning moet voornamelijk worden aangebracht nabij de meest getrokken vezel. Echter, voldoende wapening moet in de rest van het lijf aanwezig zijn om daar de scheurwijdte te beheersen. In het gescheurde stadium is de drukzonehoogte x = 346 mm. Dan is h ? x = 1800 ? 346 = 1454 mm. Volgens CEB-bulletin 158-E moet bij een vereiste w k = 0,2 mm wapening worden aangebracht over een hoogte van 800 mm, gemeten vanaf de ondervezel. Gekozen kan worden voor 6Ø16 in de onderste 300 mm van het lijf (de onderflensdikte); 5Ø16 h.o.h. 100 mm ter weerszijden van het lijf over 500 mm boven de bovenvezel van de onderflens. Onderflens Voor de onderflens (breedte 900 mm, hoogte 300 mm) is (EC2; vgl. (7.3)):  k c = 0,9 F ct ______ A cr f ct,eff ? 0,5 De trekkracht F ct binnen de flens onmiddellijk voor het scheu- ren ten gevolge van het scheurmoment wordt berekend met de gemiddelde trekspanning in de flens (fig. 2): bovenkant flens:  ? boven = a   _______ a + 300 f ct,eff 691 500 (5+5) ø16 (5+5) ø16 6 ø16 20 ø16 2500 O y y G a x G 1800 1250 233 lijf 250300 1500 900300 300 - + e N P 250 f ct,e? 3 4 Minimumwapening 8 2009 87 3 Situatie 1 (alleen buigend moment): Minimumwapening in lijven en onderflens 4 Betonspanningen over de hoogte van de ligger (normaal- drukkracht en buiging) 5 Situatie 2 (normaaldrukkracht en buigend moment): Minimumwapening in lijven en onderflens De spanning ? c is positief als sprake is van een drukkracht. In de hier beschouwde situatie 2 is hiervan sprake. Dan is:  k c = 0,4 [ 1 ? 0,69 ? 3,8 ___________ 1,5 ? 1,8 ? 3,8 ] = 0,30 ? 1 De oppervlakte van het beton binnen de trekzone juist vóór het ontstaan van de eerste scheur is: A ct = 300 ? (233 + 300) mm 2 De minimumwapening is (EC2; vgl. (7.1)):  A s,min = k c k f ct,eff A ct ________ ? s = 0,30 ? 1,0 ? 3,8 ? 300 ? 533 ____________________ 200 = 911 mm 2 Een mogelijke wapening is 5Ø16 = 1005 mm 2 (fig. 5). In het gescheurde stadium is x = 745 mm. Bij h ? x = 1800 ? 745 = 1055 mm volgt met CEB-bulletin 158-E bij w k = 0,2 mm dat wapening vereist is tot 300 mm vanaf de ondervezel. Dat is over een afstand die gelijk is aan de flensdikte. Onderflens Voor de onderflens (breedte 900 mm, hoogte 300 mm) is (EC2; vgl. (7.3)):  k c = 0,9 F ct ______ A ct f ct,eff ? 0,5 De trekkracht F ct wordt berekend met de gemiddelde trekspan- ning in de flens (fig. 4): bovenkant flens:  ? boven = 233 _________ 233 + 300 f ct,eff onderkant flens:  ? boven = f ct,eff De trekkracht binnen de flens is:  F ct = 1 __ 2 ( f ct,eff + 233 _________ 233 + 300 f ct,eff ) b flens h flens = 0,72 f ct,eff A ct Dan is:  k c = 0,9 ? 0,72 = 0,65 De minimumwapening is (EC2; vgl. (7.1)):  A s,min = k c k f ct,eff A ct ________ ? s = 0,65 ? 1,0 ? 3,8 ? 900 ? 300 _____________________ 200 = 3335 mm 2 Deze wapening, bijvoorbeeld 18Ø16 = 3619 mm 2 (fig. 5), moet gelijkmatig verdeeld over de flensbreedte worden aangebracht. ? e = M cr ___ N     ? e N = 9585 ? 10 6 ________ 6000 ? 10 3 ? 741 = 1598 ? 741 = 857 mm De doorsnede is spanningsloos op een afstand y van de zwaarte- lijn:    N   ___ A c + ( M cr + N e N )y   ___________ I c = ?6000 ? 10 3 _________ 1,825 ? 10 6 + (9585 ? 6 ? 741) ? 1 0 6 y    __________________ 71,82 ? 10 10 = 0 y = 458 mm Dit betekent dat de lijven over een hoogte a + 300 ? y = 691 + 300 ? 458 = 533 mm aan trekspanningen zijn onderworpen. Het lineaire spanningsverloop over de hoogte van de door- snede is weergegeven in figuur 4. Ook nu wordt de minimumwapening voor de diverse onderdelen apart berekend; eerst voor de lijven, daarna voor de onderflens. Lijf De totale hoogte van de doorsnede is h = 1800 mm. Omdat h > 1,0 m is dan h* = 1,0 m en is h / h* = 1,8. De gemiddelde spanning in het beschouwde deel van de door- snede, ? c (EC2; vgl. (7.4)) volgt uit figuur 4: onderkant lijf:  ? onder = f ct,eff bovenkant lijf:  ? boven = ? ( 1800 ? 533 _________ 533 ) f ct,eff = ?2,38 f ct,eff De spanning ? c is:  ? c = 1 __ 2 ( ? onder + ? boven ) = ?0,69 f ct,eff Bij buiging gecombineerd met normaalkracht is voor lijven van kokervormige doorsneden (EC2; vgl. (7.2)):  k c = 0,4 [ 1 ? ? c ________ k 1 h   __ h * f ct,eff ] ? 1 Omdat ? c < 0 is het lijf onderworpen aan een resulterende drukkracht. Dan is de coëfficiënt die de effecten van normaal- krachten op de spanningsverdeling in rekening brengt k 1 = 1,5. 231 5 ø16 5 ø16 18 ø16 5