prof.ir.W.J.BeranekTNO-IBBC, Rijswijkrapporteur CUR-VB-commissie C 26Krachtswerking .invoorgespannen vlakkeplaatvloeren (II)*Zoals bekend moet van het gemiddelde negatieve GTB-moment in de kolomstrook 60%gelijkmatig worden verdeeld over de kolomstrook en de resterende 40% worden geconcen-treerd over de wapeningsbaan s, zodat het moment ms gelijkis aan (zie fig. 21b):ems = mgem (0,6 + 0,2 s) (25)Voor d = 500 mm en t = 250 mm volgt dan s = 1625 mmo Gekozen is s = 1,60 m zodatms = 1,50mgem.In figuur 20b is het momentenverloop voor belastinggeval I uitgezet, dat in principe hetgeschematiseerde momentenverloop van figuur 18 weergeeft. Beschouwt men nogmaals deVoor vierkante kolommen volgt dan:S = 2,5 d + 1,5 t .............?...................................................... (24a)Deze formule voor S geeft iets andere resultaten dan die in de VB 1974; het voordeel is dat zebeter geschikt is indien ook kolommomenten op de plaat moeten worden overgedragen (ziedeel 3 van dit artikel).9. Het bepalen van de optimale voorspanning9.1 Algemene gang van de berekeningBij de momentenlijnen in figuur 19 is voor alle daartoe in aanmerking komende gevallenuitgegaan van een afgesplitste belasting q'? = - q (zie tabel 1). Op deze wijze is het onregel-matige momentenverloop ten gevolge van de zwaartekrachtsbelasting volledig ge?limi~neerd. In sommige gevallen treden dan nog strokenbelastingen op die een volkomen gelijk-matige momentenverdeling in breedterichting tot gevolg hebben. In principe moet altijdrekening worden gehouden met de storingsrnomenten in hetkolomvak ten gevolge van q~.Deze momenten kunnen echter sterk worden gereduceerd en zelfs tot nul worden terugge-bracht door de breedte van de randstroken te verminderen en de afmetingen van de kolom,c.q. kolomkop te vergroten. Een berekening zoals hierboven geschetst verloopt gemakkelijken lijkt alleszins plausibel. Maar in de meeste gevallen is er toch meer voorgespannen dannoodzakelijk is (zie fig. 19). De berekende momentenlijnen zijn echter uitstekend geschiktom als tussenstap te dienen voor de bepaling van de optimale voorspanning. Hiertoe wordtgebruik gemaakt van een diagram waarin alle spanningen in de maatgevende doorsnedenworden uitgezet als functie van de voorspanning [4J.De methode berust op het volgende: Bij gegeven plaatafmetingen en bij een gegevenkabelpatroon met vastgestelde kabelligging zijn alle spanningen die worden veroorzaaktdoor de voorspanning recht evenredig met de voorspanning. Dit houdt in dat wanneer despanningen in de maatgevende doorsneden bekend zijn voor twee waarden van de voor-spanning, ze voor elke andere waarde van de voorspanning kunnen worden bepaald doorlineaire interpolatie.De spanningen worden nu bepaald voor de volgende twee gevallen:0: de voorspanning is juist gelijk aan nul (q'? = 0).I: de voorspanning wordt zodanig gekozen dat de npwaarts gerichte belasting q'? (of eenandere vergelijkingsbelasting) juist gelijk is aan de zwaartekrachtsbelasting (q'? = - q).In geval 0 grijpt dus uitsluitend dezwaartekrachtsbelasting aan (die dezelfde momentenver-deling geeft voor alle varianten). In geval I grijpt die combinatie van belastingen aan, waar-mee alle momentenlijnen van figuur 19 zijn berekend.Het optimaliseren kan het beste gebeuren aan de hand van het geschematiseerde momen-tenverloop zoals dat met behulp van de GTB-tabellen kan worden bepaald. De werking vanhet diagram zal worden uiteengezet aan de hand van het momentenverloop voor variant 4A.In figuur 20a is het momentenverloop uitgezet voor belastinggeval Din de maatgevendedoorsneden 1-1 en 2-2. Dit is in principe de geschematiseerde momentenlijn van figuur 4a,met dien verstande dat de wapeningsbaan S nu is bepaald met behulp van de volgendeformule [6, 7] (zie fig. 21a):Sy = dy + 1,5(dx + t) .................?.......?..................................... (24)Heteerste deel van dit artikel is geplaatst inhet vorige nummer van Cement (nummer 5,blz. 330-341).Eind dit jaar zal het derde gedeelte wordengepubliceerd.Het eerste deel bevat enkele kleine onjuist-heden:- Figuur 13: de horizontale schaalverdelingis weggevallen; hier zijn uitgezet P2 en (tege-lijkertijd) 1... Bij de opvolgende verticale lij-nen behoren de getallen:0- 0,10 - 0,12 -0,14-0,16 -0,18 -0,20.Bij de lijnen voor {} behoort tussen 0 en 0,10te staan 0,05 in plaats van O,S.- Formule (19) -rxx wijzigen in (Jxx.- Hoofdstuk 7.2. In de tekst op blz. 338, luidtde 2e regel na de berekening:De getrokken lijnen geven de momentenweer die ontstaan door de gebruiksbelas-ting q (vergelijk fig. 4).Deze tekst heeft betrekking op variant 2 infiguur 19.Voor de beschouwde variant 4A van figuur18 dient de tekst te luiden: De getrokkenlijnen geven de momenten weer die ont-staan ten gevolge van de belasting q~.- Figuur 19: het kabelpatroon voor variant 7in de derde rij behoort bij het momentenver-loop zoals dat is uitgezet voor de daarbovenstaande variant 4B.Cement XXXV (1983) nr. 6 39820Geschematiseerd momentenverloop voorvariant4Aal, a2-belastinggeval 0; uitgangspuntGTB-tabel/lI-2bI, b2-belastinggevall; uitgangspunt figuur18 uitdeel 1f.I.=1-198112f.I.=Okz51berekening zoals die isweergegeven in 7.2, dan blijken de zwaartekrachtsmomenten volgensfiguur 20a volledig te zijn ge?limineerd, Ten gevolge van de strokenbelasting ontstaan demomenten mxx = +0,030 qt2 in doorsnede 1-1 en mxx= -0,020 qt2 in doorsnede 2-2, Uit deberekening van het storingsmoment ten gevolge van q!3 volgt m3 = 0,33 m.Ter wille van de eenvoud is het verloop van het storingsmoment nu bepaald door hetmomentenverloop in de kolomstrookvan doorsnede 1-1 volgens figuur 20a1 te vermenigvul-digen met 0,33; in alle overige stroken is het storingsmoment gelijk aan nul.Superpositie van het storingsmoment met het moment ten gevolge van de strokenbelastinglevert de waarden zoals die in figuur 20b1 en tabel 2 zijn weergegeven. Voorts zijn demomenten in de verschillende stroken voor een gemakkelijker herkenbaarheid als volgtaangegeven (?g. 22):m = moment in de middenstrook;k = moment in de kolomstrook.De indices geven de beschouwde doorsnede aan. Bij de kolomstrook in doorsnede 1-1 heefthet symbool k1 echter alleen betrekking op het moment buiten de wapeningsbaan s, Hetmoment in de wapeningsbaan sis aangegeven als S1. Zowel in figuur 20 als in tabel 2 zijnmomentco?ffici?nten C verstrekt op dezelfde wijze als in de GTB, zodat geldt:m = C' 10--Jqt 2 ..... , ?. , ........?.??...........??........?........??............... (26)mgemrmgem * (0,G.0,2 tlO,6mgemtJ.mbelasting~ doorsnede 1-1 doorsnede 2-2gevalS1 k1 m1 k2 m20 -198 -79 -40 +54 +34I - 35 + 4 +30 -20 -20Tabel 2Momentenco?ffici?nten C voor variant 4A22Aanduiding van de momenten in deverschillende stroken van de vloer21Wapeningsbaan sa. bepaling van de breedte van dewapeningsbaan sb. onderverdeling van het negatievemoment Over de kolomstrookSlik,. ml11 O.L?.\----~-""'---o,':1 1 i1 i ! i,' ! ! i. kz 1 mz 1 ?2-t--~---~---t---?-l-2j! i II i ! iQ._-j------j.._.Q1 1Om een vloer te kunnen dimensioneren dienen de maximale en minimale buigende momen-ten bekend te zijn zoals die ontstaan onder invloed van de permanente belasting te zamenmet de ongunstigste standen van de veranderlijke belasting. In het algemeen kan men dan bij(niet integrerende) vlakke plaatvloeren volstaan met het berekenen van de vloer ondervolbelasting en onder strookbelasting. In dit laatste geval is een 'dwarstravee' van een vloerafwisselend wel en niet belast door de veranderlijke belasting1). Bij een strookbelastingzullen ook kolommomenten optreden. Aangezien de invloed hiervan nog niet is behandelden de invloed van de veranderlijke belasting bij de berekende gevallen niet groot is tenopzichte van de permanente belasting, zal voor de berekening van de extreme momentenworden uitgegaan van de volgendebelastinggevallen:a. gelijkmatig verdeelde belasting op alle velden met alleen qp;----------------~ b. gelijkmatig verdeelde belasting op alle velden met q = qp + qq.1) Deze vereenvoudiging heeft overigens geen enkele invloed op de algemeenheid van het teHet 'zwaartekrachtsbelastinggeval' strook- beschrijven proc?d?. Behalve deze variatie in momenten door het al dan niet (plaatselijk)belasting heeft dus niets te maken met het aanwezig zijn van de veranderlijke belasting, treedt steeds een derdebelastinggeval op:'voorspanbelastinggeval' strokenbelasting. c. verticale belasting ten gevolge van de voorspanning.Cement XXXV (1983) nr. 6 3992TIlLU Io1 ILU Im=:JJm1/2reLUo 1112 2~~~~~~~-,-~~~,------,--~_~__~I~--monient .1k2 ?q,*0JI.=- %--q- m?qo--q+q~-- mc.JI.=b. moments1Het maakt hierbij natuurlijk niets uit dat dit belastinggeval voor een eenvoudige berekeningweer is gesplitst in vier 'basisbelastinggevallen'.Belastinggeval c. levert momenten die recht evenredig zijn met de grootte van de voorspan-ning en door deze te vari?ren kan een optimale momentenverdeling worden bereikt. Bij deuitwerking van het diagram zullen voorlopig alleen de belastinggevallen b. en c. wordenbeschouwd. Achteraf kan dan gemakkelijk ook de invloed van belastinggeval a. wordenverdisconteerd.a..,~~ P;q~P;1"m' (trek)adruk"druk~,.o~"ml(drUk)a."23Spanningsverloop in de boven- enondervezel van de plaat als functie van 11, bijvariant4Aa. belastingen in zone 0b. spanningsverloop voor het moment S1 indoorsnede 1~1c. spanningsverloop voor het moment k2 indoorsnede 2-29.2 Inleiding voor het tekenenvan het diagramBij het diagram worden de spanningen in de maatgevende doorsneden uitgezet zoals die inde boven- en ondervezel van de plaat optreden. In eerste instantie wordt hierbij alleen geletop de buigspanningen. In het elastische stadium geldt voor elk punt van de plaat dat debuigspanningen in boven- en ondervezeleven groot zijn en tegengesteld van teken:ab = -aa. Indien nu de voorspanning geleidelijk wordt opgevoerd, nemen in elk punt despanningen ten gevolge van de verticale voorspanbelastingevenredig toe met de voorspan-ning. In figuur 23a zijn deze belastingen symbolisch weergegeven; de zwaartekrachtsbelas-ting blijft constant en de opwaarts gerichte belasting q'b neemt in stappen van' /2 q toe tot 2q;voor de andere delen van de voorspanbelasting geldt uiteraard eenzelfde evenredige toena-me. De verhouding tussen de opwaarts gerichte vergelijkingsbelasting (in het algemeen q'b)en de neerwaarts gerichte zwaartekrachtsbelasting q wordt uitgezet langs de horizontale asen aangegeven door:11 = - q'b/qDe resulterende belastingen zoals die zijn aangegeven in figuur 23a gelden uitsluitend voorde middenzone van de plaat, in de overige zones treden geheel andere resulterende belastin-gen op, die uiteraard ookweer lineair afhankelijk zijn van 11.In figuur 23b-c is voor twee 'vakken' van de vloer het spanningsverloop in de maatgevendedoorsneden weergegeven als functie van 11. De grootte van het moment voor 11 = 0 is teontlenen aan figuur 20a1 en voor 11 = 1 aan figuur 20b,. De spanningen volgen uit (zie ookformule [26]):a = mlw = 6mlt2 = 6? 1()-3 c9{:- (27)Substitutie van q = 9 . 1()3 Nlm2, e= 7,20 m en t = 250 mm levert:a = 44,8' 10-3 C (N/mm2 ) ?.??...............?..?.....?.?...??..................?.. (27a)In figuur 23b is het spanningsverloop voor het moment S1 in doorsnede 1-1 weergegeven enwel het spanningsverloop in boven-en ondervezel van de plaat als functie van 11, en hetspanningsverloop over de hoogte van de plaat voor de volgende waarden van 11: 0, ' /2, 1, l'12,2. In figuur 23c is op overeenkomstige wijze het spanningsverloop voor het moment k2 indoorsnede 2-2 weergegeven.o"drukG'drukb.o~24Ruimtelijk diagram voor hetspanningsverloop in de ondervezels van deplaat als functie van 11 voor variant 4Aa. spanningsverloop in doorsnede 1-1b. spanningsverloop in doorsnede 2-2Cement XXXV (1983) nr. 6 40026Tweedimensionaal diagram voor variant 4ASpanningen ten gevolge van de.superpositie van zowel de gevallen a. en c. alsvan de gevallen b. en c. volgens 9.1a. spanningen ten gevolge van demomenten in het kolomvakb spanningen ten gevolge van de momentenin de overige vakkenUit figuur 26 blijkt verder dat er aanzienlijke verschillen in grootte blijven bestaan tussen despanningen in het kolomvak, maar dat de spanningen in de overige vakken kunnen wordenweergegeven door twee dicht op elkaar gelegen lijnenbundels waarbij eigenlijk alleen deomhullende van dit stelsel maar van belang is. Dit heeft ertoe geleid om de spanningslijnenvoor de doorsneden 1-1 en 2-2 niet alle te zamen in ??n overzichtsfiguur op te nemen, watnogal onoverzichtelijk wordt, maar om gebruik te maken van een vereenvoudigd diagramzoals weergegeven in figuur 27. Van de 'basisbundel' bestaande uit de spanningen tengevolge van de momenten ml, k2 en m2 wordt alleen de omhullende gegeven, het gebiedIn figuur 25a zijn de spanningslijnen uit figuur 24a nogmaals weergegeven, maar nu doorge-trokken tot de waarde Il= 2,2. Tevens zijn ook de spanningen in de bovenvezel aangegevendie men vindt door de juist genoemde lijnen te spiegelen ten opzichte van de horizontale as.Op overeenkomstige wijze zijn in figuur 25b de spanningslijnen in doorsnede 2-2 weergege-ven. Bij het uitzetten van het diagram behoeft men er zich in feite niet om te bekommeren aanwelke zijde van de plaat nu de trek- of drukspanningen optreden; de betreffende C-waardewordt gewoon ter weerszijden van de horizontale as uitgezet.In beide doorsneden blijken de extreme spanningen een minimum te vertonen. In doorsnede1-1 treedt dit op voor Il = 1,02 en in doorsnede 2-2 voorIl = 0,68. Voorts blijken de momentenSl en kl die optreden in het kolomvak (= kruising van de kolomstroken) duidelijk groterte.zijndan de momenten ml, k2 en m2 die in de overige vakken van het ideale middenveld optreden.Om deze reden zijn de spanningslijnen in figuur 26 wat anders gegroepeerd; voor demomenten in het kolomvak zijn ze weergegeven in figuur 26a en voor de momenten in deoverige vakken in figuur 26b. Bovendien is in deze figuren ook het spanningsverloop weerge-geven bij de minimale belasting qp = 7 kN/m2. Bij belastinggeval 0 volgen deze spanningendoor die ten gevolge van q = 9 kN/m2te vermenigvuldigen met 719.De hierbij behorendespanningslijnen als functie van Il volgen dan door per strook lijnen tetekenen die evenwijdig zijn aan de lijnen die gelden voor de maximale belasting. Dit isgemakkelijk in te zien omdat de ontlastende invloed van de voorspanbelasting onafhankelijkis van de grootte van de zwaartekrachtsmomenten.In het begingedeelte van het diagram waar alle lijnen nog convergeren blijven de span"ningslijnen voor de maximale belasting maatgevend. Nadat de spanningslijnen van teken zijnomgeslagen - omdat de opwaarts gerichte voorspanbelasting gaat overheersen ~ blijken despanningslijnen voor de minimale belasting maatgevend te worden. Ook als de extremespanningen ten gevolge van de zwaartekrachtsbelasting op andere wijze worden berekend,blijven de overeenkomstige spanningslijnen evenwijdig aan elkaar.Ruimtelijk diagramOm wat met het diagram vertrouwd te raken isin figuur 24 een ruimtelijke voorstelling vaneen en ander gegeven. Op de horizontale as wordt de grootte van Il uitgezet, op de verticaleas de grootte van de buigspanningen, uitgedrukt in cr? w? 10-3; drukspanningen naar boven,trekspanningen naar beneden (zie figuur 24a). Langs de derde as, ook in het horizontale vlak,gelegen, is de rechterhelft van doorsnede 1-1 uitgezet, met het momentenverloop Zoals datook is gegeven in figuur 20al. Voor Il = 1wordt eveneens het rechterdeel van doorsnede 1-1uitgezet, maar nu met het momentenverloop zoals dat volgt uit figuur 20bl. Indien nu deovereenkomstige momentvlakken voor Il = 0 enll = 1 worden verbonden door rechte lijnen,is het spanningsverloop in doorsnede 1-1 uitgezet als functie van Il, dus als functie van deopwaartse kracht van de voorspanning. Uitgaande van de tekenafspraak voor de spanningenis in feite alleen het spanningsverloop in de ondervezel van de plaat uitgezet voor doorsnede1-1.Voor Il = 0 treden in doorsnede 1~1 immers alleen maar negatieve momenten op. Dezeveroorzaken drukspanningen in de ondervezel van de plaat en dienen volgens de gemaaktetekenafspraak dus naar boven te worden uitgezet.Voor Il = 1 treedt in de middenstrook een positief moment op dat trekspanningen in deondervezel veroorzaakt die dus naar beneden moeten worden uitgezet. In figuur 24a zijn ookspanningsfiguurtjes over de plaathoogte weergegeven voor het moment ml voor Il = 0 enIl = 1. Op overeenkomstige wijze is in figuur 24b hetspanningsverloop in de ondervezel vande plaat uitgezet voor doorsnede 2-2, nu uitgaande van het momentenverloop zoals dat isweergegeven in de figuren 20li2 en b2.In plaats van de spanningen voor elk geval te berekenen met cr = mlw (formule 27a) kan meneven goed uitgaan van de grootheid cr . w(= m) en rechtstreeks de waarde van de mo-mentco?ffici?nten C uitzetten. Zowel voor het uitzetten van het diagram alsvoor het bepalenvan de eventueel benodigde bijlegwapening is dit wel zo eenvoudig. De numerieke waardenvan de spanningen worden dan alleen bepaald waar dit ter controle volgens de voorschriftennoodzakelijk is met behulp van formule (27), c.q. (27a) voor de in de rekenvoorbeeldenbehandelde varianten.9.3 Tweedimensionaal diagramNa de inleiding voor het tekenen van het diagram in 9.2 kan nu worden overgegaan tot hettekenen van een tweedimensionaal diagram. Hiertoe worden alle spanningslijnen van figuur24 geprojecteerd op het verticale cr-Il-vlak. Hierdoor is nu niet langer zichtbaar op welkgedeelte van de doorsnede de spanningslijnen betrekking hebben, zodat dit er per lijn moetworden bijgeschreven.a.-9 -20rP;;;,--__- -+---__---?---10 a.00.,.,I {10.;JqI2)(N/tn'h2).,? 2.1.,...,25Tweedimensionaal diagram voor variant 4ASpanningen ten gevolge van desuperpositie vande gevallen b. en c.volgens 9.1a. spanningsverloop in doorsnede 1~1b. spanningsverloop in doorsnede 2-.-2Cement XXXV (1983) nr. 6 40127Vereenvoudigd diagram (variant 4A)"00.''01.200f----.-~:::.=-::"_____r-----=--=---'--'--'--~--"'-waarden bij.Bij variant 4Czijn de randstrokenzo smal dat de invloed van de belasting q!l sterk isteruggedrongen. De bundels convergeren nu veel sterker dan voorheen en de minimumbreedten van de bundels voor de verschillende vakken van de vloer liggen veel dichter bijeendan in alle vorige gevallen.Hoofdgroep c:Bij variant 6 wordt de belasting q wel genivelleerd door qll, maar de hierbij optredendestrokenbelastingen versterken nu de invloed van de neerwaarts gerichte belasting. Hierdoorconvergeert de basisbundel vrijwel niet en houdt een aanzienlijke breedte. Alleen de span-ningen ten gevolge van het moment Sl nemen duidelijk af bij toenemende!1.Bij variant 5 tenslotte, waar maar in ??n richting smalle randstroken met voorspanning zijnaangebracht, treedt in de richting van de voorspanning precies hetzelfde beeld op als bijvariant 4B, maar in de niet voorgespannen richting is het beeld aanmerkelijk ongunstiger danbij variant 6; de basisbundel begint vrijwel direct te divergeren. Toepassing van variant 5 isdus alleen zinvol als de overspanning eyveel kleiner is dan ex, zodat met een beperktehoeveelheid betonstaalwapening in y-richting kan worden volstaan.In [6] is ook de invloed van een hoge veranderlijke belasting onderzocht: qq = 5 kN/m2. Deminimale'en maximale belastingen bedragen dan qp = 7 kN/m2 en q = qp + qq = 7 + 5 = 12kN/m2 . De kolomdoorsnede is groter gekozen (dx ' dy = 0,7xO,7 m2) zodat ook bij verwaarlo-zing van de gunstige invloed van de voorspankabels de toelaatbare schuifspanning nietwordt overschreden. De schaal is gelijk gekozen aan die van figuur 30. De lijnen voor deminimale belasting blijven dan gelijk aan die van figuur 30. Voor de maximale belasting inbelastingtoestand 0 volgen de waarden door die voor q = 9 kN/m2 te vermenigvuldigen met12/9 . De desbetreffende lijnen van het diagram lopen weer evenwijdig met de overeenkomsti-ge lijnen voor de minimale belasting. In figuur 31 zijn de diagrammen weergegeven voor devarianten 4B en 4C. Boven de as zijn hierbij enkele maatgevende lijnen ingetekend; benedende as is op de gebruikelijke wijze hetvereenvoudigde diagramweergegeven.Bij variant 4C is de invloed van q!l nu volledig ge?limineerd. Alle bundels vertonen eenminimum voor !1 = 1,05. Indien alleen qp aangrijpt is een volkomen vlak blijvende vloerverkregen als wordt voorgespannen tot !1 = 0,88; indien q = qp + qq aangrijpt, moet wordenvoorgespannen tot !1 = 1,34om hetzelfde resu ltaat te verkrijgen.11. Materiaalverbruik en kostenvergelijkingVoor de bepaling van de benodigdehoeveelheid voorspanwapening en betonstaalwapeningkan men twee wegen volgen:a. de benodigde hoeveelheden worden bepaald in het gebruiksstadium en er wordt aange-toond dat met deze hoeveelheden wapening de vereiste breukveiligheid kan worden bereikt;b. de vereiste hoeveelheid wapening wordt bepaald in het bezwijkstadium en er wordt nage-gaan welke consequenties dit heeft voor het gebruiksstadium.In het hier behandelde deel zal het onder a. genoemde uitgangspunt worden gehanteerd,waarbij de controle op de vereiste breukveiligheid evenals de behandeling van punt b. in deel3 van dit artikel besproken zullen worden.De afleiding van de benodigde hoeveelheden voorspanstaal en betonstaal is gegeven in [6].Zonder op de details in te gaan kan worden gezegd dat de hoeveelheid voorspanstaalevenredig is met !1 en met de co?ffici?nt