O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor schrif ten84 cement 2008 1bhbaDe eerste aflevering van deze serie, Introductie tot deEurocodes, belichtte de belangrijkste verschillen tussenEurocode 2 en de Nederlandse voorschriften, inclusief determinologie. Deze aflevering beoogt de constructeur teassisteren bij het ontwerpen en berekenen van kolom-men en wanden met Eurocode 2. De te volgen rekenpro-cedures worden besproken en begeleidend commentaarwordt gegeven op de bepalingen uit de Eurocode.Eurocode 2 bevat geen afgeleide formules, omdat het inEuropa gebruikelijk is de principes in de voorschriften vastte leggen en voor gedetailleerde toepassingsregels teverwijzen naar andere bronnen zoals boeken en handlei-dingen.O n t w e r p - e n r e k e n p r o c e sEen procedure voor het tot in detail ontwerpen enberekenen van geschoorde kolommen (kolommendie niet bijdragen aan de weerstand tegen horizontalebelastingen) is weergegeven in tabel 1. Aangenomenwordt dat de afmetingen van de kolom al tijdens eenglobaal ontwerp met een snelle ontwerpmethode zijnvastgesteld. De kolomafmetingen zullen niet veelafwijken van hetgeen gebruikelijk is in de huidigepraktijk. Stappen 1 tot en met 4 van tabel 1 zijnbesproken in eerder verschenen handleidingen uitdeze serie. De volgende stap is het beschouwen vande brandwerendheid.D r a a g k r a c h t b i j b r a n dEurocode 2, Deel 1-2: Ontwerp en berekening vanconstructies bij brand, biedt de keuze uit geavan-ceerde, vereenvoudigde en op tabellen gebaseerdemethoden voor het vaststellen van de draagkracht vankolommen bij brand. Het gebruik van tabellen is desnelste methode voor het vaststellen van de mini-mumafmetingen en de minimumbetondekking vankolommen. Er zijn echter beperkingen aan verbon-den, die als opmerkingen en voetnoten aan de tabel-len zijn toegevoegd. Nadere uitleg over de geavan-ceerde en vereenvoudigde methoden kan wordenverkregen uit gespecialiseerde literatuur.Anders dan het aangeven van een minimumbeton-dekking is de tabellenmethode gebaseerd op denominale wapeningsafstand, a (fig. 1). Dit is deafstand van het hart van de hoofdwapening tot de zij-vlakken van het constructie-element. Het betreft eennominale (niet een minimum)afstand, zodat de ont-werper moet verzekeren data cnom + ?beugel + ?hoofdwapening/2.Voor kolommen geeft Eurocode 2, deel 1-2, tweemethoden, A en B. Beide zijn van toepassing, hoewelmethode A strengere grenzen stelt aan de excentrici-teit dan methode B.Methode A is iets eenvoudiger en wordt toegelicht intabel 2; de grenzen van het toepassingsgebied staanbij de opmerkingen vermeld. Vergelijkbare gegevensover dragende wanden zijn opgenomen in tabel 3.Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2 (5)KolommenA r t i k e l e n s e r i e E u r o c o d eDit artikel is het vijfde in een serie van acht, waarvoor het initiatief ligt bij Cembu-reau, het Europese verband van cementindustrie?n. De artikelen zijn vanuit hetEngels in het Nederlands vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. C.R. Braam en afge-stemd met CUR-Voorschriftencommissie 20.Tabel 1 | Ontwerp- en rekenprocedure voor kolommenstap taak verdere informatiein deze serie norm1 stel ontwerplevensduur vast afl. 2 NEN-EN 1990 / NB-tabel 2.12 stel belastingen op de ligger vast afl. 2 NEN-EN 1991 (10 delen) / NB3 bepaal welke combinaties van belas-tingen van toepassing zijnafl. 1 NEN-EN 1990 / NB-tabellenA1.1 en A1.24 stel duurzaamheidseisen vast en kiesbetonsterkteklasseafl. 2 NEN-EN 206-1 en NEN 85005 controleer betondekking benodigdvoor vereiste brandwerendheidafl. 2 + tabel 2 inafl. 5NEN-EN 1992-1-2, hoofdstuk56 bereken minimumbetondekking voorduurzaamheid, brand en aanhechtingafl. 2 NEN-EN 1992-1-1, art. 4.4.17 analyseer constructie voormaatgevende momenten ennormaalkrachtenafl. 2 +`Constructieveberekening' inafl. 5NEN-EN 1992-1-1,hoofdstuk 58 controleer slankheid figuren 2 en 3 inafl. 5NEN-EN 1992-1-1, deel 6.19 bereken vereiste hoeveelheid beton-staalfiguren 2 en 3 inafl. 5NEN-EN 1992-1-1, deel 6.210 controleer staafafstand `Regels voorstaafafstanden'in afl. 5NEN-EN 1992-1-1, deel 7.3opmerking: NB = Nationale Bijlage1 |Dwarsdoorsnedevan constructie-ele-ment met nominalewapeningsafstand aO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor schrif tencement 2008 1 85Tabel 2 | Minimum-kolomafmetingen en -wapeningsafstand metbetrekking tot brandwerendheidstandaard-brandwerend-heidminimumafmetingen (mm):kolombreedte bmin / wapeningsafstand ahoofdwapeningkolom blootgesteldaan meer dan ??nzijvlakkolom bloot-gesteld aan ??nzijvlakfi = 0,7fi = 0,5 fi = 0,7R 60 200/36300/31250/46350/40155/25R 90 300/45400/38350/53450/401)155/25R 120 350/451)450/401)350/571)450/511)175/35R 240 450/751) 2)295/70opmerkingenDe tabel is ontleend aan NEN-EN 1992?1?2, tabel 5.2a (methodeA) en is van toepassing onder de volgende voorwaarden:1. De effectieve lengte van een geschoorde kolom onderwor-pen aan een brandbelasting (l0,fi) 3 m. De grootte van l0,fimag gelijk worden gesteld aan 50% van de werkelijke lengtebij tussenvloeren en tussen 50% en 70% van de werkelijkelengte voor de kolom in de bovenste bouwlaag.2. De eerste-orde excentriciteit onder brandbelasting is 0,15 b(of h). Gebruik als alternatief eventueel methode B (zie Euro-code 2, deel 1-2, tabel 5.2b). De excentriciteit onder brand-condities mag gelijk worden gesteld aan de excentriciteit bijeen ontwerp bij normale temperatuur.3. De hoeveelheid betonstaal buiten gebieden met overlap-pingslassen is niet groter dan 4% van de betondoorsnede.4. fiis de verhouding tussen de normaalkracht onder brand-condities en de rekenwaarde van de draagkracht van dekolom bij normale temperaturen en mag conservatief gelijkworden gesteld aan 0,7.1) Pas minimaal 8 staven betonstaal toe.2) Methode B kan worden toegepast. Deze geeft 600/70 voorR 240 en fi= 0,7 en een mechanische wapeningsverhouding = 0,5 (zie NEN-EN 1992-1-2, tabel 5.2b).Voor kolommen die deel uitmaken van de bovenstebouwlaag zal de excentriciteit vaak de grenzen over-schrijden die beide methoden A en B stellen. In datgeval mag gebruik worden gemaakt van Bijlage C vanEurocode 2, deel 1-2. Als alternatief kan worden over-wogen de kolom, uit oogpunt van draagkracht bijbrand, te behandelen als ware het een ligger.K o l o m o n t w e r pEen stroomschema voor het ontwerpen en berekenenvan een geschoorde kolom is weergegeven infiguur 2. In geval van een slanke kolom geldt ookfiguur 3.StartIniti?le kolomafmetingen kunnen worden vastgesteld metsnelle ontwerpmethoden of door iteratieBepaal de krachten op de kolom gebruikmakend van eengeschikte berekeningsmethode. Resultaten:? de rekenwaarde van de normaalkracht NEd? de grootste eindmomenten Mtop en MbottomStel de effectieve lengte, l0, vast en gebruik:? figuur 5, of? tabel 4, of? uitdrukking (5.15) uit NEN-EN 1992-1-1Bereken de eerste-orde eindmomenten (fig. 4)M01 = min {|Mtop |, |Mbottom |} + ei NEdM02 = max {|Mtop |, |Mbottom |} + ei NEdmet ei = max {l0/400, h/30, 20 mm}.M01 en M02 moeten hetzelfde teken hebben als zij aandezelfde zijde trek veroorzaken.Bereken de slankheid, , uit: = l0/i met i is traagheidsstraal = 3,46 l0/h voor rechthoekige doorsneden (h is totale hoogte) = 4,0 l0/d voor ronde doorsneden (d is kolomdiameter)Bereken de limietwaarde van de slankheid, lim, uit:lim = 20 ABC /__n(zie paragraaf `Slankheid' voor een toelichting)ja Kolom is slankIs lim? (volg verder figuur 3) neeKolom is niet slank. MEd = M02Gebruik een kolomdiagram (fig. 9) om de vereiste As te vindenvoor het opnemen van NEd en MEdControleer vereisten voor staafafstand en hoeveelheidbetonstaalTabel 3 | Minimumafmetingen van een gewapende dragendebetonwand en wapeningsafstanden bij vereistebrandwerendheidstan-daard-brandwe-rendheidminimumafmetingen (mm):wanddikte / wapeningsafstand ahoofdwapeningwand blootgesteldaan ??n zijkant(fi = 0,7)wand blootgesteld aantwee zijkanten(fi = 0,7)REI 60 130/101)140/101)REI 90 140/25 170/25REI 120 160/35 220/35REI 240 270/60 350/60opmerkingen1. De tabel is ontleend aan NEN-EN 1992-1-2, tabel 5.4.2. Zie opmerking 4 bij tabel 2.1) Veelal zullen de eisen uit NEN-EN 1992?1?1 maatgevend zijnvoor de betondekking.2 |Stroomschema voorberekening geschoordekolomO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor schrif ten86 cement 2008 1StartBereken Kr uit figuur 9 of uit:Kr = (nu - n)/(nu - nbal) 1waarin:nu = 1 + = As,est fyd / (Ac fcd)As,est is de totale oppervlakte van de wapeningsdoorsnedeAc is de totale oppervlakte van de betondoorsneden = NEd / (Ac / fcd), de relatieve normaalkrachtNEd is de rekenwaarde van de normaalkrachtnbal = 0,4Bereken K uit K = 1 + ef 1waarin: = 0,35 + fck / 200 - / 150 is de slankheidef is de relatieve kruipco?ffici?ntZie ook de paragraaf `Kruip'Bereken e2 uite2 = 0,1 (Kr K fyd) l02/ (0,45 d Es)waarin:Es is elasticiteitsmodulus van betonstaal(2 x 105N/mm2)M0e = 0,6 M02 + 0,4 M01 0,4 M02M2 = NEd e2MEd = max {M02, M0e + M2, M01 + 0,5 M2}Gebruik een kolomdiagram om As,req,dbenodigd voor NEd en MEd te vinden.Is As,req,d As,est ? jaControleer detailleringseisenC o n s t r u c t i e v e b e r e k e n i n gHet type berekening moet zijn afgestemd op debeschouwde constructie. De volgende berekeningenmogen worden gebruikt:? lineair-elastische berekening;? lineair-elastische berekening met beperkte herver-deling;? plastische berekening;? niet-lineaire berekening.De lineair-elastische berekening moet worden uitge-voerd op basis van ongescheurd veronderstelde door-sneden (d.w.z. op basis van de grootheden van debetondoorsnede), gebruikmakend van lineaire span-ning-rekrelaties en de gemiddelde waarde van de lan-getermijn-elasticiteitsmodulus.Bij het ontwerp van de kolommen moeten de elasti-sche momenten uit een raamwerkberekening zonderenige herverdeling worden gebruikt. Bij slankekolommen kan een niet-lineaire berekening wordenuitgevoerd om de tweede-orde momenten te bereke-nen. Een alternatief is het gebruik van de moment-vergrotingsfactor-methode (NEN-EN 1992-1-1,art. 5.8.7.3) of de methode gebaseerd op de nominalekromming (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.8), zoals aan-gegeven in figuur 3.Bij toepassing van de momenten-vergrotingsfactor-methode moet de nominale stijfheid, volgens de Nati-onale Bijlage, niet worden bepaald met art. 5.8.7.2van NEN-EN 1992-1-1, maar met art. 7.2.3 van NEN6720 waarin de quasi-lineaire elasticiteitstheoriewordt beschreven. De methode gebaseerd op denominale kromming mag volgens de NationaleBijlage uitsluitend worden gebruikt bij kolommen enwanden in een geschoorde constructie.R e k e n w a a r d e n v a n d e m o m e n t e nDe rekenwaarde van het buigend moment MEd isgedefinieerd als (fig. 4c):MEd = max {M02, M0e + M2, M01 + 0,5 M2}waarin:M01 = min {|Mtop|, |Mbottom|} + ei NEdM02 = max {|Mtop|, |Mbottom|} + ei NEdei = max (l0/400, h/30, 20 mm) (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.2 (7) en 6.1 (4)) (eenheden in over-eenstemming met die van de momenten)Mtop, Mbottom zijn de momenten aan de kop en aan devoet van de kolom volgend uit een raam-werkberekening.Het eerste-orde, respectievelijk tweede-orde momenthalverwege de kolomhoogte is:M0e = 0,6 M02 + 0,4 M01 > 0,4 M02 ;M2 = NEd e2waarin:NEd is de rekenwaarde van de normaalkracht;e2 is de uitbuiging ongeveer halverwege dehoogte ten gevolge van tweede-orde effecten.M01 en M02 zijn positief als zij beide trek aan dezelfdekant van de kolom veroorzaken.De berekening van de excentriciteit e2 is niet eenvou-dig en naar verwachting zullen dan ook enige itera-tiestappen nodig zijn om de uitbuiging ongeveer hal-verwege de hoogte, e2, uit te rekenen. Figuur 3 bevatde stappen van de berekening.Een niet-slanke kolom kan worden berekend onderverwaarlozing van tweede-orde effecten, waardoor derekenwaarde van het buigend moment gelijk is aanMEd = M02. Voor zo'n kolom volgt de wapening nu uiteen doorsnedeberekening met MEd en NEd. Het3 |Stroomschema voorberekening slankekolom; methode geba-seerd op de nominalekromming (NEN-EN1992-1-1, art. 5.8.8)Pas de waardevan As,est aanneeO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor schrif tencement 2008 1 87M02M02M01M01+ 0,5M20,5M2M0eL0M0e+ M2M2=NEde2eiNEdMa b c+ =l0= 2lbl0= 0,7lcl0= l/2dl0= lel/2 < l0< lfl0>2lgMl0= lalstroomschema uit figuur 3 behoeft dan niet teworden doorlopen.Voor een slanke kolom moet het tweede-ordemoment ten gevolge van de uitbuiging worden mee-genomen in de berekening. Dit moment heeft eenverloop zoals geschetst in figuur 4b. Het momentwaarop de slanke kolom moet worden gedimensio-neerd (fig. 4c) is de som van het moment in de niet-slanke kolom plus het nominale tweede-ordemoment. Het nominale tweede-orde moment halver-wege de hoogte (M2) is het product van de normaal-kracht en de totale uitbuiging (e2), dus de uitbuiginginclusief de tweede-orde uitbuiging. De totale uitbui-ging wordt met benaderingsformules berekend. Debasis is hierbij de optredende kromming (NEN-EN1992-1-1, art. 5.8.8.3 (1) vgl. (5.34)), waarin een cor-rectiefactor voor de invloed van de normaalkracht(NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.8.3 (3) vgl. (5.36)), heteffect van kruip (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.8.3 (4) vgl.(5.37)) en de effectieve lengte van de kolom (NEN-EN1992-1-1, fig. 5.7) een belangrijke rol spelen.E f f e c t i e v e l e n g t eFiguur 5 geeft voorbeelden van de effectieve lengtenvan kolommen. In de praktijk zullen meestal defiguren 5f en 5g van toepassing zijn. Eurocode 2 geeftvoor beide een uitdrukking waarmee de effectievelengte in de betreffende situatie kan worden bere-kend (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.3.2 (3): uitdrukking(5.15) voor het geschoorde element uit figuur 15f; uit-drukking (5.16) voor het ongeschoorde element uitfiguur 15g).In beide uitdrukkingen moeten de relatieve flexibili-teiten van de gedeeltelijke inklemmingen aan de uit-einden, k1 en k2, worden berekend. De uitdrukkingvoor k zoals gegeven in de Eurocode bevat ondermeer het berekenen van de rotatiestijfheid van deeindaansluitingen en brengt eventuele scheurvor-ming in rekening.Als k1 en k2 zijn berekend, kan voor geschoordekolommen met behulp van tabel 4 een effectievelengtefactor F worden berekend. De effectieve lengteis l0 = Fl.Voor een middenkolom, 400 mm vierkant, die eenvlakke plaatvloer met een dikte van 250 mm invelden van 7,5 m ondersteunt, is k1 = k2 = 0,11 eenrealistische waarde. Uit tabel 4 volgt dat l0 = 0,59 l.Als sprake is van een randkolom geldt k1 = k2 = 0,22en is l0 = 0,66 l; is de middenkolom aan de voet schar-nierend verbonden, is l0 = 0,77 l.De uitdrukkingen (5.16) en (5.17) uit Eurocode 2bieden aanzienlijke voordelen omdat deze zich zeergoed lenen voor opname in rekenprogrammatuur.Tabel 4 | Effectieve lengtefactor F voor geschoorde kolommenk2 k10,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,70 1,00 2,00 5,00 9,00 scharnierend0,10 0,59 0,62 0,64 0,66 0,67 0,69 0,71 0,73 0,75 0,76 0,770,20 0,62 0,65 0,68 0,69 0,71 0,73 0,74 0,77 0,79 0,80 0,810,30 0,64 0,68 0,70 0,72 0,73 0,75 0,77 0,80 0,82 0,83 0,840,40 0,66 0,69 0,72 0,74 0,75 0,77 0,79 0,82 0,84 0,85 0,860,50 0,67 0,71 0,73 0,75 0,76 0,78 0,80 0,83 0,86 0,86 0,870,70 0,69 0,73 0,75 0,77 0,78 0,80 0,82 0,85 0,88 0,89 0,901,00 0,71 0,74 0,77 0,79 0,80 0,82 0,84 0,88 0,90 0,91 0,922,00 0,73 0,77 0,80 0,82 0,83 0,85 0,88 0,91 0,93 0,94 0,955,00 0,75 0,79 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,93 0,96 0,97 0,989,00 0,76 0,80 0,83 0,85 0,86 0,89 0,91 0,94 0,97 0,98 0,99scharnierend 0,77 0,81 0,84 0,86 0,87 0,90 0,92 0,95 0,98 0,99 1,005 |Voorbeelden van ver-schillende knikvormenen corresponderendeeffectieve lengten voorafzonderlijke elementen(NEN-EN 1992-1-1, art.5.8.3.2, fig. 5.7)4 |Rekenwaarden van debuigende momentena. eerste-orde momen-ten voor niet-slankekolommenb. additionele tweede-orde momenten voorslanke kolommenc. totale momentenver-loop voor slankekolommenO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor schrif ten88 cement 2008 1105 kNm105 kNmrm= 1,0C = 1,7 - 1 = 0,7a)105 kNm0C = 1,7 - 0 = 1,7b)rm= 0105 kNm105 kNmC = 1,7 + 1,0 = 2,7c)rm= -1,0cu3cu3scscc3yyststscscn.l.fcfd2d2d2d2fcfdcxxhhabS l a n k h e i dEurocode 2 geeft aan dat tweede-orde effectenkunnen worden verwaarloosd indien ze kleiner zijndan 10% van de corresponderende eerste-orde effec-ten (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.2 (6)). Als alternatiefvoor deze bepaling mogen tweede-orde effectenworden verwaarloosd indien de slankheid kleiner isdan een bepaalde limietwaarde (lim) (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.3.1 (1)).De slankheid is = l0 / i waarin i de traagheidsstraalis. De limietwaarde is:lim = 20 A B C /__n (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.3.1(1), vgl (5.13) met NB)waarin:A = 1 / (1 + 0,2 ef) (als ef onbekend is,mag A = 0,7 worden aangehouden);ef is de effectieve kruipco?ffici?nt(NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.4 (2));B =________(1 + 2 ) (als onbekend is,mag B = 1,1 worden aangehouden); = As fyd / (Ac fcd ), mechanische wapenings-verhouding;C = 1,7 - rm (als rm onbekend is,mag C = 0,7 worden aangehouden);n = NEd / (Ac fcd ), relatieve normaalkracht;rm = M01 / M02, momentenverhouding;M01, M02 zijn de eerste-orde eindmomenten,|M02| |M01|Als de eindmomenten M01 en M02 aan dezelfde zijdetrek veroorzaken, moet rmpositief worden genomen(zodat C 1,7 ), anders negatief (zodat C > 1,7).Van de drie factoren A, B en C heeft C de grootsteinvloed op min en is het eenvoudigst te berekenen.Een eerste inschatting van min kan dan ook wordengemaakt door de standaardwaarden voor A en B aante houden, maar C wel te berekenen (fig. 6). Er moetop worden gelet dat bij het berekenen van C de juistetekens van de momenten worden gebruikt. Voorongeschoorde elementen moet voor C altijd dewaarde 0,7 worden gehanteerd.S t e r k t e v a n k o l o m m e nUit praktisch oogpunt wordt de rechthoekige span-ning-rekrelatie gebruikt, eerder gebruikt bij het bere-kenen van liggers in de vierde aflevering van dezeserie (fig. 7). Hierbij moet echter wel worden opge-merkt dat de grenswaarde van de betonstuik voorbetonsterkteklassen tot en met C50/60 gelijk is aan0,00175 (c3; NEN-EN 1992-1-1, fig. 3.4) als de geheledoorsnede onder centrische druk staat (fig. 8a). Als deneutrale lijn zich buiten de doorsnede bevindt (fig.8b), ligt de grenswaarde van de betonstuik tussenc3 = 0,00175 en cu3 = 0,0035 (NEN-EN 1992-1-1, fig.3.4). De gemiddelde stuik in de doorsnede moet danworden beperkt tot c3 (halverwege de hoogte van dedoorsnede, aangezien c3 / cu3 = 0,5). De in de uiter-ste drukvezel aan te houden grenswaarde kan wordengevonden door een lijn te trekken van het (buiten dedoorsnede gelegen) punt met een rek gelijk aan nulen het `scharnierpunt' dat behoort bij de gemiddelderek van 0,00175 halverwege de hoogte van de door-snede. Deze algemene relaties zijn weergegeven infiguur 8d. Voor betonsterkteklassen boven C50/60zijn de principes hetzelfde, maar moeten anderewaarden voor c3 en cu3 (de grenswaarde van debetonstuik) worden gehanteerd.Voor de oppervlakte van de doorsnede van het beton-staal dat benodigd is, kunnen twee uitdrukkingenworden afgeleid. Uitgaande van de rechthoekigespanning-rekrelatie wordt voor het krachten-, respec-tievelijk het momentenevenwicht gevonden:As = 2 (NEd - fcd b dc) / (sc - st)As = 2 [M - fcd b dc (h/2 - dc/2)] / [(h/2 - d2) (sc + st)]6 |Voorbeelden van bereke-nen factor C7 |Rechthoekige (a) en bi-lineaire (b) rek- en span-ningsfiguren voor opdruk belast betonO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor schrif tencement 2008 1 89h0,001750,00175ax0,00175x /(x-h /2)bx0,0035 maxchx0,0035 max0,00175 minssdh/2d00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,450,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,3 Kr= 0,200,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0A sf yk/bhf ckKr= 10,30,40,50,60,70,80,9d2/h = 0,10M / bh2fckN/bhfwaarin:As is de totale oppervlakte van de doorsnedevan het betonstaal (As / 2 is per kolomzijdeaangebracht);NEd is de rekenwaarde van de normaalkracht;M is het bij NEd behorende moment;fcd is de rekenwaarde van de betondruksterkte;sc (st) is de spanning in de drukwapening (trekwa-pening) (druk in drukwapening als positiefgetal invoeren);b is de breedte van de betondoorsnede;d2 is de afstand van uiterste trek- en drukvezelvan het beton tot hart trek-, resp. drukwape-ning;dc is de nuttige hoogte van de betondrukzone(de zone met drukspanningen) = x h; = 0,8 voor betonsterkteklasse C50/60x is de drukzonehoogte;h is de hoogte van de betondoorsnede.Uitgaande van de bi-lineaire spanning-rekrelatie voorbeton onder druk (NEN-EN 1992-1-1, fig. 3.4) wordtgevonden:As = 2 (NEd - fcd b x) / (sc - st)As = 2 [M - fcd b x (h/2 - x)] / [(h/2 - d2) (sc + st)]waarin: is de oppervlaktefactor van het spanning-rekdiagram van beton onder druk (0,75); is de zwaartepuntsfactor van het spanning-rekdiagram van beton onder druk (7/18).Er wordt op gewezen dat bij het opstellen van deuitdrukkingen is aangenomen dat de neutrale lijnbinnen de doorsnede valt (fig. 7.) Dit betekent dat hetbeton in de uiterste drukvezel de grenswaarde van debetonstuik cu3 bereikt. Deze is gelijk aan 0,0035 voorbeton tot en met sterkteklasse C50/60.Deze vergelijkingen kunnen alleen iteratief wordenopgelost. Computerprogramma's of speciale ontwerp-grafieken (zie ter illustratie fig. 9) worden vaakgebruikt. Een volledig overzicht van ontwerpgrafiekenis beschikbaar op de website www.eurocode2.info.K r u i pAfhankelijk van de aannamen in het ontwerp kan hetnodig zijn de effectieve kruipfactor ef te bepalen(NEN-EN 1992-1-1, art. 3.1.4 en art. 5.8.4). In Euro-code 2 is een nomogram opgenomen (fig. 3.1)waarmee kan worden gewerkt als de sterkteklasse vanhet cement (R, N of S) bekend is. Deze is echter ineen ontwerpstadium vaak nog niet bekend. In hetalgemeen kan dan worden gewerkt met sterkteklasseR. Als sprake is van het toepassen van meer dan 35%hoogovencement of als meer dan 20% vliegas wordttoegepast, mag sterkteklasse N worden gehanteerd.Als deze percentages groter zijn dan respectievelijk65% en 35%, mag worden uitgegaan van klasse S.Volgens 5.8.4 van NEN-EN 1992-1-1 mag een effec-tieve kruipfactor worden bepaald die gelijk is aan detotale kruipfactor, vermenigvuldigd met het quoti?ntvan het moment ten gevolge van de permanentebelasting ?n het totale moment, inclusief belastings-factoren.D u b b e l e b u i g i n gDe invloeden van dubbele buiging kunnen wordengecontroleerd met vergelijking (5.39), voor het eerstopgesteld door Breslaer (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.9(4)):(MEdz / MRdz )a+ (MEdy / MRdy )a 1,08 |Rekfiguren voor kolom-mena. centrische drukb. voor x > hc. voor x < hd. algemene relatie9 |Ontwerpgrafiek voorkolommen, gebaseerd oprechthoekige spanning-rekrelatie voor op drukbelast betonO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor schrif ten90 cement 2008 1waarin:MEdz/y is de rekenwaarde van het moment om derespectievelijke assen, inclusief een tweede-orde moment;MRdz/y is de momentweerstand in de respectieve-lijke richtingen;a is de exponent; voor cirkelvormige en ellipti-sche doorsneden geldt a = 2; voor rechthoe-kige doorsneden, zie tabel 5;NEd is de rekenwaarde van de normaalkracht;NRd = Ac fcd + As fyd, de rekenwaarde van deopneembare normaalkracht in de door-snede.O n g e s c h o o r d e k o l o m m e nEurocode 2 bevat geen verwijzingen met betrekkingtot het ontwerpen en berekenen van niet-geschoorderaamwerken. Wel worden handreikingen gedaan metbetrekking tot de effectieve lengte van een onge-schoord element (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.3.2, vgl.(5.16)). Voor C moet altijd een waarde 0,7 wordengehanteerd (NEN-EN 1992-1-1, art. 5.8.3.1, vgl.(5.13N)). De rekenwaarden van de momentenmoeten worden vastgesteld met inbegrip van tweede-orde effecten. De tabellenmethode met betrekking totbrandwerendheid dekt niet expliciet niet-geschoordekolommenW a n d e nAls de langste zijde van de doorsnede groter is danviermaal de kortste zijde, wordt het element als eenwand beschouwd. Het ontwerpen en berekenen vanwanden verschilt niet significant van dat van kolom-men, met uitzondering van:? eisen met betrekking tot brandwerendheid (zietabel 3);? buiging ten opzichte van de zwakke as, deze zalkritisch zijn;? afwijkende regels voor staafafstanden en wape-ningshoeveelheden (zie hierna).Voor buiging om de sterke as met betrekking tot sta-biliteit worden geen specifieke richtlijnen gegeven;dan kunnen staafwerkmodellen worden gebruikt(NEN-EN 1992-1-1, art. 6.5).R e g e l s v o o r s t a a f a f s t a n d e n e n v o o r d ev e r e i s t e h o e v e e l h e i d b e t o n s t a a lMaximum-wapeningsverhoudingBuiten gebieden met overlappingslassen mag inkolommen en wanden de wapeningsverhouding nietgroter zijn dan 0,04 (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.5.2). Dewaarde kan worden verhoogd indien kan worden aan-getoond dat de samenhang van het beton niet wordtaangetast. Het goed kunnen storten en verdichtenvan de betonspecie is essentieel. Als de wapenings-dichtheid hoog is, kan zelfverdichtende betonspecieworden toegepast.Minimum-wapeningsverhoudingDe minimumoppervlakte van de langswapening inkolommen is As,min = 0,10 NEd / fyd 0,002 Ac (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.5.2 (2), vgl. (9.12N)).MinimumstaafdiameterDe aanbevolen minimumdiameter van een wape-ningsstaaf langswapening in een kolom is 8 mm(NEN-EN 1992-1-1, art. 9.5.2 (1) en NB).De minimumdiameter van de dwarswapening is6 mm of, als deze groter is, een kwart van de maxi-male diameter van de langsstaven (NEN-EN 1992-1-1,art. 9.5.3 (1)).MaximumstaafafstandDe maximumstaafafstand van dwarswapening(beugels, haarspelden of spiraalwapening) mag nietgroter zijn dan de kleinste van (NEN-EN 1992-1-1,art. 9.5.3 (3) en NB):? 20 maal de minimumdiameter van de langsstaven;? de kleinste afmeting van de kolom;? 400 mm.In doorsneden binnen een afstand gelijk aan degrootste afmeting van de kolomdoorsnede boven ofonder een balk of plaat, moet deze maximale hart-op-hartafstand worden gereduceerd tot 0,6 maal heteerder genoemde maximum (NEN-EN 1992-1-1, art.9.5.3 (4)).Elke langsstaaf of staafbundel in een hoek moet opzijn plaats worden gehouden door dwarswapening.Geen enkele staaf binnen een drukzone mag verderdan 150 mm vanaf een opgesloten staaf liggen (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.5.3 (6)).MinimumstaafafstandDe minimumafstand tussen twee wapeningsstavenmoet gelijk zijn aan (NEN-EN 1992-1-1, art. 8.2 (2) enNB):? de kenmiddellijn van de wapeningsstaaf;? de maximumkorrelafmeting van het toeslagmate-riaal plus 5 mm;? 20 mm.S p e c i f i e k e e i s e n b i j w a n d e nDe minimumoppervlakte van de verticale wapeningin wanden is As,vmin = 0 Ac, de maximumoppervlakteis As,vmax = 0,04 Ac (NEN-EN 1992-1-1, art. 9.6.2 (1) enNB).Tabel 5 | De grootte van de exponent a voor rechthoekigedoorsnedenNED/NRD0,1 0,7 1,0a 1,0 1,5 2,0opmerkingVoor tussenliggende waarden mag lineair worden ge?nterpoleerd.O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor schrif tencement 2008 1 91Symbolensymbool omschrijving grootte1/r0 referentiekromming yd/(0,45 d)1/r kromming Kr K 1/r0A wapeningsafstand bij brandwerendheidA factor voor bepalen limietwaarde slankheid 1 / (1+0,2 ef)Ac oppervlakte van de betondoorsnede bhAs oppervlakte van de doorsnede van betonstaal in de gehele kolomdoorsnedeB factor voor bepalen limietwaarde slankheidC factor afhankelijk van het krommingsverloop 10 (bij constante doorsnede)C factor voor bepalen limietwaarde slankheid 1,7 - rmD nuttige hoogtee2 tweede-orde uitbuiging (1/r)l02/cei excentricitieit ten gevolge van geometrische imperfectiesEs elasticiteitsmodulus van betonstaal 2 x 105N/mm2fcd rekenwaarde van de betondruksterkte cc fck/cfck karakteristieke cilinderdruksterkte van betonl vrije lengte van het gedrukte element tussen de eindaansluitingenl0 effectieve lengteKr correctiefactor afhankelijk van de normaalkrachtK factor voor het in rekening brengen van kruipM01,M02 eerste-orde momenten inclusief de invloed van geometrische imperfecties|M02| |M01|M2 nominaal tweede-orde moment NEd e2M0e equivalent eerste-orde moment 0,6 M02 + 0,4 M01 0,4 M02MEd rekenwaarde van het buigend momentn relatieve normaalkracht NEd/(Acfcd)nbal grootte van n voor de maximum momentweerstand 0,4nu factor voor het in rekening brengen van de invloed van kolomwapening 1 + NEd rekenwaarde van de normaalkrachtrm momentverhouding M01/M02x drukzonehoogtez inwendige hefboomsarmcc co?ffici?nt die langeduureffecten op de druksterkte en ongunstige effectenvoortkomend uit de manier waarop de belasting wordt aangebracht, inrekening brengt1,0 (NB) factor 0,35 + fck/200 - /150yd rekenwaarde van de vloeigrens van het betonstaal fyd/Esm parti?le factor voor materiaaleigenschappen 1,15 voor betonstaal (s)1,5 voor beton (c) slankheid l0/ilim limietwaarde slankheidfi belastingsniveau tijdens brandbelasting NEd,fi/NRdef effectieve kruipfactor (,t0) MEqp/MEd(,t0) eindwaarde van de kruipco?ffici?nt uit art. 3.1.4 mechanische wapeningsverhouding As fyd/(Ac fcd)|x| absolute waarde van xmax.{x,y+z}het maximum van de waarden van x en y + zDe afstand tussen twee aangrenzende verticale stavenmag niet groter zijn dan driemaal de wanddikte of,als dit kleiner is, 400 mm (NEN-EN 1992-1-1, art.9.6.2 (3)).De minimumoppervlakte van de horizontale wape-ning in wanden is As,hmin = 0 Ac (NEN-EN 1992-1-1,art. 9.6.3 (1) en NB). nL i t e r a t u u r1. Moss, R.M. en O. Brooker, How to design con-crete structures using Eurocode 2: 5. Columns.BCA / The Concrete Centre, UK.